《高考数学第一轮复习》第64讲 空间向量在立体几何中的应用精品PPT课件
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《高考数学第一轮复习课件》第64讲 空间向量在立体几何中的应用
③若n1·2=0,则α⊥β;④若n1· n n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A ) A.①③ C.②③ B.①② D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
7
AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
7
AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
高三数学一轮复习8.6空间向量及其应用精品课件人教版
8.6空间向量及其应用
中国人民大学附属中学
1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做向量。如位移、速度、力等； 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量； 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等 长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2．向量运算和运算率 OB OA AB a b BA OA OB a b
D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a ,
，则下列向量中与 BM 相 AD b ，AA 1 c
等的向量是（ A ） (A) (B) (C)
1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a bc 2 2
D1 A1 M B1 C1
D A B
C
(D)
例4．已知两个非零向量 a =(a1，a2，a3), b =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 （ D ） A. a :| a | b :| b | B. a1· b1=a2· b2=a3· b3 C. a1b1+a2b2+a3b3=0 D. 存在非零实数k，使 a =k b
例7．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1, 1， 2), C(－3，0，4)。设 （1）求 a 和 b =a ， =b AB , AC
10 的夹角的余弦； 10
（2）若向量k a + b 与k或k 2 2
记作 a b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何 向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间 四点，且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一 个基底，那么点O, A, B, C一定共面；③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向 量 a b, a b, c ，也是空间的一个基底。其 中正确的命题是（ C ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
中国人民大学附属中学
1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做向量。如位移、速度、力等； 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量； 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等 长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2．向量运算和运算率 OB OA AB a b BA OA OB a b
D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a ,
，则下列向量中与 BM 相 AD b ，AA 1 c
等的向量是（ A ） (A) (B) (C)
1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a bc 2 2
D1 A1 M B1 C1
D A B
C
(D)
例4．已知两个非零向量 a =(a1，a2，a3), b =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 （ D ） A. a :| a | b :| b | B. a1· b1=a2· b2=a3· b3 C. a1b1+a2b2+a3b3=0 D. 存在非零实数k，使 a =k b
例7．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1, 1， 2), C(－3，0，4)。设 （1）求 a 和 b =a ， =b AB , AC
10 的夹角的余弦； 10
（2）若向量k a + b 与k或k 2 2
记作 a b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何 向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间 四点，且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一 个基底，那么点O, A, B, C一定共面；③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向 量 a b, a b, c ，也是空间的一个基底。其 中正确的命题是（ C ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
2025届高中数学一轮复习课件《空间向量及其应用》ppt
高考一轮总复习•数学
第9页
四 直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量 就是指所在的直线和这条直线 平行或重合 的向量，显然一条直线的方向向量可以有 无数 个． 2．平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量 也有 无数个 ，它们是 共线 向量． (2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面 是 唯一 确定的．
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角余 弦值
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb| (a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23· b12＋b22＋b23
＝32a＋12b＋32c.
高考一轮总复习•数学
第21页
用已知向量表示某一向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算 一定要结合图形特点.
高考一轮总复习•数学
第13页
1．判断下列结论是否正确． (1)若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a∥α.( ) (2)在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( √ ) (3)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( ) (4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
若 α1⊥α2，则 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用PPT课件
如图所示，以 B 为坐标原点， ，
， 的方向分
别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设 PE＝x(0<x<4)，
又∵AB＝BC＝4，∴BE＝4－x，EF＝x.
在 Rt△PED 中，∠PED＝60°，
∴PD＝ 23x，DE＝12x，
∴BD＝4－x－12x＝4－32x，
∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P0，4－32x， 23x.
(2)由(1)的证明，可知 ED⊥DB，A1D⊥平面 BCED. 以 D 为坐标原点，以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图．
设 PB＝2a(0≤2a≤3)，作 PH⊥BD 于点 H，连接 A1H、A1P，
则 BH＝a，PH＝ 3a，DH＝2－a.
解：(1)证明：因为等边△ABC 的边长为 3，且ADDB＝ECAE＝12， 所以 AD＝1，AE＝2.在△ADE 中，∠DAE＝60°， 由余弦定理得， DE＝ 12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3. 因为 AD2＋DE2＝AE2，所以 AD⊥DE. 折叠后有 A1D⊥DE. 因为二面角 A1-DE-B 是直二面角， 所以平面 A1DE⊥平面 BCED. 又平面 A1DE∩平面 BCED＝DE，A1D⊂平面 A1DE，A1D⊥ DE，所以 A1D⊥平面 BCED.
3a 4a2－4a＋5×
2.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3， AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
(1)求二面角 C-DE-C1 的正切值； (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值．
[例 3] 如图，在 Rt△ABC 中，AB ＝BC＝4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥BC 交 AC 于点 F，将△AEF 沿 EF 折起 到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得∠PEB＝60°.
高三数学第一轮复习 第7编 7空间向量在立体几何中的应用课件 新人教B版
［2010年高考浙江卷］如图，在矩形 2 ABCD中，点E,F分 别在线段AB,AD上，AE=EB=AF= 3 FD=4.沿直线EF将 △AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF. (1)求二面角A′—FD—C的余弦值； (2)点M,N分别在线段FD,BC上，
若沿直线MN将四边形
MNCD向上翻折，使C与A′ 重合，求线段FM的长. 返回目录
| n1 |·| n 2 |
.
(2)已知直线l平行于平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，叫作l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫作两个 平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫作两 个平面的公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段 的长都相等，公垂线段的 长度 叫作两平行平面 的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离. (4)若平面α的一个 法向量 为m，P是α外一点，A是
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如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底 面ABCD，AD= 2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上， ∠ABM=60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点；
(2)求二面角S-AM-B的余弦值.
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【解析】如图,以D为原点，射线DA，DC，DS为x,y,z轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 D（0，0， 2 0）,S(0,0,2),C(0,2,0),B( ,2,0),A( 2 ,0,0).
∴FH∥平面EBD. (2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC· GE=0, ∴AC⊥GE.
又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
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利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线 与直线、直线高考浙江卷］如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10. (1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE; (2)证明:在△ABO内存在一点M, 使FM⊥平面BOE,并求点 M到OA,OB的距离.
2020届高三数学第一轮复习 空间向量及其运算课件 新人教B版 精品
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名师伴你行
【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运 算律即可.
【解析】（1）∵P是C1D1的中点，
∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ 12D1C1
=a+c+ 1 AB=a+c+ 1 b.
2
2
(2)∵N是BC的中点,
∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+
1BC
2
=-a+b+ 1 AD=-a+b+ 1 c.
4.空间向量的直角坐标运算
(1)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则 ①a+b= ( x1+x2,y1+y2,z1+z2) ; ②a-b= (x1-x2,y1-y2,z1-z2) ; ③λa= (λx1,λy1,λz1) ;(4)a·b= x1x2+y1y2+z1z2.
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2.空间向量向量a,b( b≠0 ),a∥b的充
要条件是 存在唯一的 实数x,使 a=xb
.
(2)共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线 ，则向量c 与向量a,b共面的充要条件是 存在唯一 的一对实数 x,y，使c= xa+yb .
(3)空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c 不共面 ， 那么对空间任一向量p, 存在一个唯一的 有序实数组 x,y,z，使p= xa+yb+zc ，这时a,b,c叫作空间的一 个 基底 ，记作{a,b,c}，其中a,b,c都叫作 基向量 .
名师伴你行
(2)若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2)，则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) .
名师伴你行
【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运 算律即可.
【解析】（1）∵P是C1D1的中点，
∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ 12D1C1
=a+c+ 1 AB=a+c+ 1 b.
2
2
(2)∵N是BC的中点,
∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+
1BC
2
=-a+b+ 1 AD=-a+b+ 1 c.
4.空间向量的直角坐标运算
(1)已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则 ①a+b= ( x1+x2,y1+y2,z1+z2) ; ②a-b= (x1-x2,y1-y2,z1-z2) ; ③λa= (λx1,λy1,λz1) ;(4)a·b= x1x2+y1y2+z1z2.
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2.空间向量向量a,b( b≠0 ),a∥b的充
要条件是 存在唯一的 实数x,使 a=xb
.
(2)共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线 ，则向量c 与向量a,b共面的充要条件是 存在唯一 的一对实数 x,y，使c= xa+yb .
(3)空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c 不共面 ， 那么对空间任一向量p, 存在一个唯一的 有序实数组 x,y,z，使p= xa+yb+zc ，这时a,b,c叫作空间的一 个 基底 ，记作{a,b,c}，其中a,b,c都叫作 基向量 .
名师伴你行
(2)若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2)，则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) .
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如 图 所 示 ， 分 别 以 AB 、 AC 、 AA1 所 在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),
B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4). (1)可得 D E =(-2,4,0).
2.立体几何中的向量方法
(1)线线关系：若不重合的两直线AB、
CD的方向向量分别为 A B 、C D .
θ (θ∈一[0般, 关]2 )系，：则设co直sθ线=|cAoBs〈与CD,所A B | A B || C D |
.
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD A B ⊥C D
| AB n | 2
=④ | A B | | n |.
特殊关系：(ⅰ)AB⊥α A∥B n 存 在实 数λ，使 =AλBn(用于证明线面垂直)；
(ⅱ)AB∥α A⊥B n A·nB =0(用于证明线 面平行).
(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.
一 般 关 系 : 设 以 α,β 为 面 的 二 面 角 为 θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉⑤ 相等或互. 补
又平面ABC的法向量 为 A A 1 =(0,0,4).
因为 D E ·A A 1 =-2×0+ 4×0+0×4=0，
所以DE∥平面ABC.
(2) B 1 F =(-2,2,-4), E F =(2,-2,-2), A F =(2,2,0)， B1F·E F =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，
4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的
夹角等于120°，则直线l与平面α所成的
角等于
.30°
由题设，l与α所成的角 θ=90°-(180°-120°)=30°.
5. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 各 顶 点 的 坐 标 分 别 是 P(-1,0,0) ， A （ 0 ， 1 ， 0 ） ， B （ -4 ， 0 ， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 2 1 .
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向 量为n，下列结论成立的是( C) A.若a∥n,则a∥α B.若a·n=0,则a⊥α C.若a∥n,则a⊥α D.若a·n=0,则a∥α
由方向向量和平面法向量的定义 可知应选C.对于选项D，直线a 平面α 也满足a·n=0.
2.已知α、β是两个不重合的平面，其方向向量 分别为n1、n2,给出下列结论： ①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β, ③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A )
新课标高中一轮总复习
理数
第九单元
直线、平面、简单几何 体和空间向量
第64讲
空间向量在立体几何中 的应用
1.了解直线的方向向量与平面的法向 量的概念；能用向量语言表达线线、线面、 面面的垂直与平行关系；能用向量方法证 明有关线、面位置关系的一些定理(包括 三垂线定理).
2.能用向量法求空间角、空间距离， 体会向量法在研究立体几何中的工具性作 用.
(4)点到平面的距离：若AB是平面α外 的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面 α的法向量为n.
设点A到平面α的距离为d,则d等于 A B 在n上的射影的绝对值.
即d=|| A B |cos〈A B ,n〉|=⑩ | A B n | .
|n |
(5)异面直线间的距离：若异面直线
AB、CD的方向向量分别为 、A B，nC⊥D ，
7
由已知, A P =(-1,-1,0), A B =(-4,-1,0), A C =(0,-1,2). 设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
n·A B =-4x-y=0 得 n·A C =-y+2z=0， 则 取x=-1，得n=(-1,4,2).
y=-4x y=2z，
则h= | n A P | = | 1(1)(1)402|
A.①③
B.①②
C.②③
D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面 β 的 法 向 量 为 m. 若 〈n,m〉=130° ， 则 二 面角α-l-β的大小为( ) C
A.50°
B.130°
C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
因二面角的范围是［0°,180°］，由 法向量的夹角与二面角的平面角相等或互 补可知，二面角的大小可能是130°也可能 是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝 角或锐角.
② ABCD=0 (用于证明线线垂直);
(ⅱ)AB∥CD A B∥ C D 存在实数λ,使③ (用于A B证=明λ C线D 线平行).
(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方 向向量为 A B ，平面α的法向量为n.
一般关系:设直线AB与平面α所成的角 为θ(θ∈[0, ])，则有sinθ=|cos〈 A,nB〉|
n⊥A B，又MC∈D AB，P∈CD，则异面直线
AB、CD间的距离d=
1.1 | M P n |
|n |
典例精讲
题型一利用空间向量证明平行和垂直关系
例1 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，
△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且 AB=AA1 ， D 、 E 、 F 分 别 为 B1A 、 C1C 、 BC 的中点. (1)求证:DE∥平面ABC； (2)求证:B1F⊥平面AEF.
|n |
(1)2 42 22
= 3 = 21 .
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1.法向量的有关概念及求法 如果一个向量所在直线垂直于平面，则该 向量是平面的一个法向量. 法向量的求法步骤： (1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)； (2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程； (3)解：把z看作常数，用z表示x,y； (4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好)，便得平面法向量n的坐标.
当 二 面 角 为 锐 ( 直 ) 二 面 角 时 ， cosθ=|cos 〈n,m〉|=⑥ | n m | .
| n || m |
当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦ | n m.|
| n || m |
特殊关系:(ⅰ)α⊥β n⊥m ⑧ n·m=. 0
(用于证明面面垂直)；
(ⅱ)α∥β n∥m 存 在 实 数 λ ， 使 ⑨ (用于n=证λm明面面平行).