空间向量的运算及应用
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
空间向量应用知识点总结
空间向量应用知识点总结一、空间向量的定义和性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指具有大小和方向的物理量，可以在空间中表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
2. 空间向量的几何意义：空间向量的几何意义是指用有向线段来表示向量，其方向由箭头表示，长度由线段的长度表示。
3. 空间向量的性质：空间向量与平面向量相似，具有平行、共线、相等、相反等性质，还有长度相等、共线向量的倍数、共面向量的叉乘等性质。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法：空间向量的加法是指两个向量相加后得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
2. 空间向量的减法：空间向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
3. 空间向量的数量积：空间向量的数量积是指两个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积，其方向由两个向量的夹角决定。
4. 空间向量的叉积：空间向量的叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量，其结果向量的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，其方向垂直于两个向量构成的平面。
5. 空间向量的混合积：空间向量的混合积是指三个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于三个向量构成的平行六面体的体积。
三、空间向量在物理学中的应用1. 力的合成：在物体受到多个力的作用时，可以利用空间向量的加法和减法原理，将所有的力向量进行合成或分解，从而求出合力或分力的大小和方向。
2. 力的平衡：当一个物体处于受力平衡状态时，可以利用空间向量的数量积或叉积原理，求出合力或力矩为零的条件，从而判断物体是否处于平衡状态。
3. 力的做功：当一个物体受到外力作用而发生位移时，可以利用空间向量的数量积原理，求出外力做功的大小和方向，从而判断外力对物体的能量变化情况。
4. 力的矢量描述：在分析物体的运动和力的作用时，可以通过空间向量的描述方法，将力的大小和方向用向量来表示，从而对物体的运动和受力情况进行分析。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。
空间向量的变换与应用
空间向量的变换与应用空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的工具。
在数学和物理学中，空间向量广泛应用于解决空间几何、力学、电磁学等问题。
本文将探讨空间向量的变换及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的定义空间向量是指在空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影。
向量的大小可以通过求模运算得到，即向量的大小等于各个坐标分量平方和的平方根。
二、空间向量的变换空间向量的变换包括平移、旋转和缩放。
下面将分别介绍这三种变换的定义和应用。
1. 平移变换平移变换是指将向量在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行平移变换时，只需要通过给向量的各个坐标分量加上对应平移量d(x, y, z)，即得到平移后的向量b(x+d_x, y+d_y,z+d_z)。
平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体在空间中的移动效果。
比如，在游戏中，我们可以通过平移变换来实现角色的行走和物体的位置调整。
2. 旋转变换旋转变换是指通过旋转角度来改变向量的方向。
一般来说，旋转变换可以绕空间中的任意轴进行，包括X轴、Y轴、Z轴，以及不过原点的任意轴。
旋转变换的具体计算涉及到复杂的三角函数运算，这里不做详细介绍。
在实际应用中，旋转变换常用于计算机动画、机器人运动控制和三维建模中。
3. 缩放变换缩放变换是指通过乘以一个比例因子来改变向量的大小。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行缩放变换时，只需要将向量的各个坐标分量分别乘以对应的缩放因子s(x, y, z)，即得到缩放后的向量b(s_x*x, s_y*y,s_z*z)。
缩放变换在计算机图形学和模型设计中非常常见，用于控制物体的大小和比例。
例如，在电影特效中，我们可以通过缩放变换来实现巨大怪兽的呈现效果。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的运算与应用教学设计和教学方法
空间向量的运算与应用教学设计和教学方法在数学与物理学领域中，空间向量的运算与应用是一项重要的课程内容。
本文将介绍一种针对空间向量的教学设计和教学方法，旨在帮助学生更好地理解和应用空间向量的运算。
1. 引言这个部分可以简要介绍空间向量的概念和重要性，为读者提供背景信息。
2. 教学目标在这一节中，可以列举几个学习目标，比如：(1) 理解空间向量的定义和性质；(2) 能够进行空间向量的加法、减法和数乘运算；(3) 掌握空间向量的模、方向和夹角的计算方法；(4) 了解空间向量在物理学等实际问题中的应用。
3. 教学内容本节可以详细介绍空间向量的基本概念和定义，包括向量的表示方法、加法、减法和数乘运算的规则等。
同时，可以举例说明空间向量的性质和具体计算步骤。
4. 教学方法(1) 理论讲解：通过讲解空间向量相关的概念和性质，帮助学生建立起对空间向量的认知框架。
(2) 示范演示：通过示范和解题实例，引导学生掌握具体的运算方法和计算技巧。
(3) 练习巩固：设计一些练习题，使学生能够独立完成空间向量的运算练习，并提供及时的反馈和指导。
(4) 实践应用：通过实际问题、案例分析等方式，让学生将所学的空间向量知识应用到解决实际问题中，培养学生的应用能力。
5. 教学资源这一节可以列举一些教学资源的参考，如教材、课件、练习册、模拟软件等，供学生参考和使用。
6. 教学评估在学习过程中，通过小测验、课堂参与度、作业和考试等方式进行教学评估，以评判学生的理解、应用和分析能力。
7. 教学延伸针对对空间向量感兴趣的学生，可以推荐一些拓展阅读资源，如相关数学和物理学的教材、文献资料等，以帮助他们进一步探索空间向量的运用领域。
结语空间向量的运算与应用是一门理论与实践相结合的学科，通过合适的教学设计和教学方法，可以帮助学生更好地理解和应用空间向量。
同时，教师的角色也十分重要，需要起到引导和激发学生兴趣的作用。
希望本文提供的教学设计和教学方法能够为相关教育工作者提供一些参考，提高空间向量课程的教学质量。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
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＝－a＋b＋12c.17Fra bibliotek板块一
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
6＝kλ＋1，
∴ 2μ－1＝0， 2λ＝2k.
λ＝2， 解 得 μ＝21
λ＝－3， 或 μ＝12.
故选
A.
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
3．[课本改编]已知 a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若 a⊥
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解 A→C1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c.
A→G＝A→A1＋A→1G
＝A→A1＋13(A→1D＋A→1B)
＝A→A1＋13(A→D－A→A1)＋13(A→B－A→A1)
＝13A→A1＋13A→D＋13A→B
(a－λb)，则实数 λ 的值为( )
A．－2
B．－134
14 C. 5
D．2
解析 由题意知 a·(a－λb)＝0，即 a2－λa·b＝0，又 a2
＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选 D.
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
4．[课本改编]若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解 O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→N＝O→A＋23(O→N－O→A)＝ O→A＋2312O→B＋O→C－O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
M→G＝O→G－O→M＝O→G－12O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C－12O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C.
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
(2)当 k＝0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在 平面 ABB1A1 内．
kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解 (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1， ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面．
解析 cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝－2155.
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板块二 典例探究·考向突破
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考向 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)A→P；(2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
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触类旁通 用已知向量表示某一向量的方法
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利 用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表 示出来．
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
【变式训练 1】 在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B， O→C表示O→G，M→G.
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
考向 空间向量的坐标运算 例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－ 3,0,4)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
＝13a＋13b＋13c.
因为A→C1＝3A→G，所以 A，G，C1 三点共线．
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触类旁通 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
【变式训练 3】 如图，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1， 点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝
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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
触类旁通 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量 的模、向量的夹角，在研究几何问题中只要建立适当的坐标 系，把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示，就可以 使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研 究立体几何问题的基本思想．
[必备知识]
考点 1 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存
在实数 λ，使 a＝λb .
2．共面向量定理
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共
面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
p＝xa＋yb
.
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3．空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc .其中，{a，
b，c}叫做空间的一个 基底．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一
点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝
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2．[课本改编]已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若
a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是( )
A．2，12
B．－13，12
C．－3,2 D．2,2
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10 10 .
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(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝ 0.∴k＝2 或 k＝－52. 即当 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直时，k＝2 或 k＝－52.
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D ＋D→A＝0.( √ ) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( × ) (3)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( √ ) (4)对于空间非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0.( √ ) (5)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，得 a＝c.( × )
A→B＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
；
a1b1＋a2b2＋a3b3
(7)cos〈a，b〉＝ a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
.
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[必会结论] 点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共 线问题，如证明 A，B，C 三个点共线，即证明A→B与A→C共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题， 要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C， 或对空间任一点 O，有O→A＝O→P＋xP→B＋yP→C，或O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)即可．
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(2)a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
；
(3)a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
；
(4)λa＝ (λa1，λa2，λa3)