空间向量的应用(空间角的求法)
8.7.2 利用空间向量求空间角和距离
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
则各点的坐标分别为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)，
报
告 一
因为B→P＝(－1,0,2)，设B→Q＝λB→P＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)， 课
时
又C→B＝(0，－1,0)，则C→Q＝C→B＋B→Q＝(－λ，－1,2λ)，
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
第8章 第7节 第2课时
第33页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报 告
(1)[证明] 由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，
一
又PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.
课
时
又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
|AD||n|
3
2a ＝ 32a2×1
22，
作 业
二
解得θ＝45°，即AD与平面BCD所成的角为45°.
第8章 第7节 第2课时
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
(2)∵A→D·B→C＝0，∴AD⊥BC，
告
一
∴AD与BC所成角为90°.
课
时
(3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，
作 业
报 告 二
第8章 第7节 第2课时
第3页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
[考纲展示] 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平 课 时
面、平面与平面的夹角的计算问题．
作 业
报
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
(完整版)利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能(教师)
课题利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能一、空间向量（一）空间向量基本定理对于如果三个向量a r ，b r ，c r 不共面，那么对空间任一向量p u r存在唯一的有序实数组{,,}x y z ，使p xa yb zc =++u r r r r（二）空间向量的坐标表示（1）空间直角坐标系设123,,e e e u r u u r u r 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为正交基底），以123,,e e e u r u u r u r的公共起点O 为原点，分别以123,,e e e u r u u r u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -。
建立空间直角坐标系要遵循“左手法则”。
（2）空间向量的坐标对于空间任一向量p u r ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =u u u r u r 。
由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使p xa yb zc =++u r r r r。
我们把,,x y z 称作向量p u r 在单位正交基底123,,e e e u r u u r u r下的坐标，记作(,,)p x y x =u r 。
点的坐标：此时向量p u r 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标(,,)x y x 。
（3）空间向量运算的坐标表示 ① 空间向量的坐标运算法则设123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r112233(,,)a b a b a b a b -=--- 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ 112233a b a b a b a b ⋅=++② 空间向量平行与垂直条件112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈r r r r1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=③ 空间向量夹角公式r r④ 空间向量长度公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
第8讲 向量法求空间角
30
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练 2 (2022·全国甲卷)在四棱锥 P -ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，CD ∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ 3.
(1)证明：BD⊥PA； (2)求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值．
31
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
则cos θ＝__□1__|c_o_s__〈__u_，__v_〉__|___＝_□_2__||uu_|·|_vv_||__．
2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，
直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝_□_3_|_co_s__〈__u_，__n_〉__|
∴A→B1＝(－2 2， 3， 2)， C→B1＝(－ 2， 3， 2)，C→B＝(0， 3，0)．
28
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
设平面 BCC1B1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··CC→→BB1＝＝00，，即－3y＝2x＋0， 3y＋ 2z＝0，
令 x＝1，则 y＝0，z＝1，∴n＝(1，0，1)．
AC 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B( 3，1，0)，C1(0，2，2)，∴A→1B＝( 3，1，
－2)，A→C1＝(0，2，2)，
∴|cos〈A→1B，A→C1〉|
＝
（
3）2＋31×2＋0＋（1－×22）－2×2×202＋22＋22＝14，
12
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
设平面 A′BCD′的法向量为 n＝(x，y，z)，
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
利用向量法求空间角-教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。
利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2
2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
[小题体验]
1．已知正四棱锥 S -ABCD 的侧棱长与底面边长都
相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的
余弦值为________．
解析：以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA，OB，
―→ |D1C1·n| ―→
＝2×2 3＝13，
|D1C1||n|
即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为13．
答案：13
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
1．求异面直线所成角时易忽视角的范围0，π2而导致结论错误． 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应
| EF || DC |
所以〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
所以异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°．
答案：45°
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
2．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB
OS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设边
长为 2，则有 O(0，0,0)，A( 2，0,0)，B(0， 2，0)，S(0，0， 2)，
D(0，－ 2，0)，E0， 22， 22，―A→E ＝－ 2， 22， 22，―SD→＝
(0，－
2，－
2)，|cos〈―A→E ，―SD→〉|＝|―|―AA→E→E|··― |―SSD→D→||＝2×2
＝ 3
33，
故 AE，SD 所成角的余弦值为 33．
答案：
3 3
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
2．(教材习题改编)在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝2，BC ＝ AA1 ＝ 1 ， 则 D1C1 与 平 面 A1BC1 所 成 角 的 正 弦 值 为 ________． 解析：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)， 所以D―1→C1＝(0,2,0)，A―1→C1＝(－1,2,0)，―A1→B ＝ (0,2，－1)， 设平面 A1BC1 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ 为
|a·n| l 与 α 所成的角，则 sin φ＝_|c_o_s_〈__a_，__n__〉__| ＝_|a_|_|n_|_.
3．二面角
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由nn··―A―A11→→CB1＝＝2－y－x＋z＝2y0＝，0，
空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
令 y＝1，得 n＝(2,1,2)，
设 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为 θ，则
sin
θ＝|cos〈D―1→C1，n〉|＝
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
[小题纠偏] 1．如图所示，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1，E，
F 分 别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心， 则 EF 和 CD 所成的角是________． 解析：以 D 为原点，分别以射线 DA，DC， DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间 直角坐标系 D -xyz，设正方体的棱长为 1， 则 D(0,0，0)，C (0,1,0)，E12，12，1，
为线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β
的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的 方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面 的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面 角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或 外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
(1)若 AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个平面内与棱 l 垂 uuur
直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量 AB uuur
与CD的夹角，如图(1)．
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量 为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大 小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝||nn11|·|nn22||，如图(2)(3)．
＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设 AB ＝PA＝1，知 A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)， C(1,1,0)，P(0，0,1)，由题意，AD⊥平面 ABP， 设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD，又 因为 CD⊥平面 PAD，所以 AE⊥CD，又 PD∩CD＝D，所以 AE⊥平面 CDP． 所以―A→D ＝(0,1,0)，―A→E ＝0，12，12分别是平面 ABP，平面 CDP 的法向量，且〈―A→D ，―A→E 〉＝45°， 所以平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45°．答案：45°
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空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
F12，0，12，―E→F ＝0，－12，－12，
―D→C ＝(0,1,0)，
所以
Байду номын сангаас
cos〈―E→F ，―D→C 〉＝
―→ ―→ EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
第六节
空间向量的应用(空间角的求法) 结 束
空间向量的应用(空间角的求法)
1．异面直线所成角 |a·b|
设异面直线 a，b 所成的角为 θ，则 cos θ＝_|a_||_b_| ， 其中 a，
b 分别是直线 a，b 的方向向量．
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