用空间向量求空间角共22张
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用向量方法求空间中的角 课件
求空间距离
●
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
第七章 §7.7 向量法求空间角-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
7－4sin θ＝7±2 3.
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的
中点，A→F＝λA→D(0<λ<1)，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102， 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 正方体的棱长为2， 则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， ∴—D1→E ＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)， A→D＝(－2,0,0)，
所以—A′—→B ·C→D＝(—A′—→C ＋C→B)·C→D＝—A′—→C ·C→D＋C→B·C→D＝－92－72＝ －8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则 cos θ＝|cos〈—A′—→B ，C→D〉|＝||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||＝3|－×83|＝89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0，y0＋ 3，z0－3)＝232－x0， 23－y0，－z0，
x0＝232－x0，
即y0＋
3＝2
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的
中点，A→F＝λA→D(0<λ<1)，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102， 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 正方体的棱长为2， 则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， ∴—D1→E ＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)， A→D＝(－2,0,0)，
所以—A′—→B ·C→D＝(—A′—→C ＋C→B)·C→D＝—A′—→C ·C→D＋C→B·C→D＝－92－72＝ －8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则 cos θ＝|cos〈—A′—→B ，C→D〉|＝||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||＝3|－×83|＝89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0，y0＋ 3，z0－3)＝232－x0， 23－y0，－z0，
x0＝232－x0，
即y0＋
3＝2
立体几何中的向量方法空间角ppt
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
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立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和：这个[0平, 面]所成的角.
Hale Waihona Puke 2An思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin | cos n, AB |
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
三、面面角：
uur uur
向量法
n1，n2
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设平面的法向量n (x, y, z),由
xB
AM • n 0
AN
•
n
0
即 6x 2y 6z 0
4y 3z 0
D11 N C11
Dy
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.＝ tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1＝tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2＝ 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a ＝ 0.
⑹ l ⊥ α⇔
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
n1∥ a
⇔ n1＝t a .
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
n2
uur uur
n1，n2 n2
n1
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2
l
ur uur
cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 DD1的中点
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为
30 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8,0),
AA11
3
BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？
B
r
r
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a
rr
r
a，b
r
ara，br
r
b
b
结论： cos
|
|
|cos CD, AB |
例1.如图所示的正方体中，已知F1与 E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
夹角余弦值z？
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和：这个[0平, 面]所成的角.
Hale Waihona Puke 2An思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin | cos n, AB |
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
三、面面角：
uur uur
向量法
n1，n2
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设平面的法向量n (x, y, z),由
xB
AM • n 0
AN
•
n
0
即 6x 2y 6z 0
4y 3z 0
D11 N C11
Dy
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.＝ tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1＝tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2＝ 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a ＝ 0.
⑹ l ⊥ α⇔
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
n1∥ a
⇔ n1＝t a .
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
n2
uur uur
n1，n2 n2
n1
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2
l
ur uur
cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 DD1的中点
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为
30 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8,0),
AA11
3
BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？
B
r
r
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a
rr
r
a，b
r
ara，br
r
b
b
结论： cos
|
|
|cos CD, AB |
例1.如图所示的正方体中，已知F1与 E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
夹角余弦值z？
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标