因式分解的十二种方法

因式分解几种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式X3-2X2-X=X(X2 -2X-1)

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3

例2、分解因式a +4ab+4b 解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、十字相乘法

对于mX +pX+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(aX+d)(bX+c)

例4、分解因式7X2 -19X-6

分析： 1 -3

7 2 2-21=-19

解：7X -19X-6=（7X+2）(X-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

步骤：（1）将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）

（2）将二次项系数化为1

（3）将常数项移到等号右侧

（4）等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方

（5）将等号左边的代数式写成完全平方形式

（6）左右同时开平方

（7）整理即可得到原方程的根

6、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例5：分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120

解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120

令 x2+5x=A, 代入上式,得

原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96

=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)

7、求根法（一元二次）

利用公式：X=

8、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例6: 已知：ax2+bx+c=2(x+1)(x-2). 试求：①a+b+c ；②a-b+c.

解：①以 x=1，代入等式的左右两边，得 a+b+c＝-4；

②以 x=-1，代入等式的左右两边，得 a-b+c＝0.

分析题：

（1）已知：ax3+bx2+cx+d 能被x2+p整除. 求证：ad=bc.

（2）已知：x3-9x2+25x+13=a(x+1)(x-2)(x-3) +b(x-1)(x-2)(x-3) + c(x-1)(x+1)(x-3)+d(x-1)(x+1)(x-2).

求：a+b+c+d的值.

（3）分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3

解题过程：设结果为(x+y+a)(x+2y+b)

展开得x2+3xy+2y2+(a+b)x+(2a+b)y+ab

根据系数相等得：a+b=4,2a+b=5,ab=3

则a=1，b=3

112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900