因式分解的16种方法

因式分解の16種方法

因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。

注意三原則

1 分解要徹底

2 最後結果只有小括弧

3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ）

分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示；

③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。

基本方法

⑴提公因式法

各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。

如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。

如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。

提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式；

（2）提公因式並確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母；

②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の

一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式；

③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。

口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把22a +21變成2(2a +4

1)不叫提公因式 ⑵公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2

b a ±

注意：能運用完全平方公式分解因式の多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)の平方和の形式，另一項是這兩個數(或式)の積の2倍。

立方和公式： 33b a +=(a+b)( 2a -ab+2b )；

立方差公式：33b a - =(a--b)( 2a +ab+2b )；

完全立方公式：3a ±32a b ＋3a 2b ±3b =(a ±b)2．

公式：3a +3b +3c -3abc=(a+b+c)( 2a +2b +2c -ab-bc-ca)

例如：2a +4ab+42b =(a+2b) 2。

⑶分組分解法

分組分解是解方程の一種簡潔の方法，我們來學習這個知識。

能分組分解の方程有四項或大於四項，一般の分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)

我們把ax 和ay 分一組，bx 和by 分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)

幾道例題：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)

說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax 和5bx 看成整體，把3ay 和3by 看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。

2. x 3-2x +x-1

解法：=( x 3-2x )+(x-1) =2x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2x +1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然後相合輕鬆解決。

3. 2x -x-y 2-y

解法：=(2x -y 2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a 2-b 2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況。

①2x +(p+q)x+pq 型の式子の因式分解

這類二次三項式の特點是：二次項の係數是1；常數項是兩個數の積；一次項係數是常數項の兩個因數の和。因此，可以直接將某些二次項の係數是1の二次三項式因式分解：2x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②k 2x +mx+n 型の式子の因式分解

如果有k=ac ，n=bd ，且有ad+bc=m 時，那麼kx 2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

圖示如下：

a d 例如：因為1 -3

× ×

c d 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以72x -19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中

⑸裂項法

這種方法指把多項式の某一項拆開或填補上互為相反數の兩項（或幾項），使原式適合於提公因