因式分解的常用方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数中常见的一种运算方法，它在解决多项式的因式分解、求解方程等问题中起着重要的作用。
在代数学习中，掌握好因式分解的方法对于提高解题效率和解题能力都是非常有帮助的。
因此，本文将介绍因式分解法的四种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法，它适用于多项式中存在公共因子的情况。
具体步骤如下：1. 将多项式中的公因式提取出来；2. 将提取出的公因式与剩下的部分分别相乘得到因式分解的结果。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以将公因式2提取出来，得到2(x+2y)，这就是多项式的因式分解结果。
二、配方法。
配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特殊形式的多项式。
具体步骤如下：1. 将多项式中的各项按照特定的方式相加或相减，使得可以进行因式分解；2. 根据配方法的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其写成(x+y)^2的形式，这就是多项式的因式分解结果。
三、分组法。
分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于四项式的因式分解。
具体步骤如下：1. 将四项式中的各项进行分组；2. 对每组进行因式分解；3. 将每组的因式分解结果进行合并，得到最终的因式分解结果。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其进行分组，得到x(x+2y)+2(x+2y)，然后再进行因式分解，最终得到(x+2y)(x+2)的因式分解结果。
四、公式法。
公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于一些特定的多项式。
具体步骤如下：1. 根据多项式的特定形式，使用相应的公式进行因式分解；2. 根据公式的规则，将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)的结果。
以上就是因式分解法的四种方法，它们分别适用于不同的多项式形式，能够帮助我们更好地进行因式分解运算。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法因式分解是数学中的重要概念，它可以将一个多项式或一个数分解成其因子的乘积形式。
因式分解有许多常用的方法，下面将介绍其中一些。
1.提取公因式：这是最基本且常用的因式分解方法。
如果一个多项式中的每一项都可以被一个因子整除，那么可以从每一项中提取出这个公因式，并将其提取出来形成一个公因式的乘积。
例如，对于多项式2x + 4xy，我们可以将其分解为2x(1 + 2y)。
2.分组法：当一个多项式中有多个项，且这些项具有相同的公因子时，可以使用分组法来进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+2x^2+x+2，我们可以将其进行分组，得到x^2(x+2)+(x+2)=(x^2+1)(x+2)。
3.平方差公式：平方差公式可以将一个二次多项式分解成两个平方的差。
例如，对于二次多项式x^2-4，我们可以使用平方差公式来得到(x+2)(x-2)。
4.公式法：对于一些常见的多项式形式，可以使用特定的公式来进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2 + bx + c，我们可以使用二次公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来进行因式分解。
5.因式分解公式：对于一些特殊形式的多项式，可以使用因式分解公式来进行因式分解。
例如，对于三次多项式x^3 + y^3，我们可以使用因式分解公式x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)来进行因式分解。
6.完全平方公式：完全平方公式可以将一个二次多项式分解成两个平方的和。
例如，对于二次多项式x^2 + 2ax + a^2，我们可以使用完全平方公式(x + a)^2来进行因式分解。
除了上述常用的方法外，还有一些特殊的多项式形式可以使用其他方法进行因式分解，例如差平方公式、立方差公式等。
因式分解是解决多项式运算和方程求解的重要工具，熟练掌握因式分解方法对于数学学习和解题都有很大的帮助。
因式分解的十二种方式
因式分解的十二种方式因式分解是数学中的重要概念，它可以帮助我们简化和解决各种数学问题。
本文将介绍因式分解的十二种常用方式。
1. 公因式提取法公因式提取法是用于将多项式中的公因式提取出来。
首先找到多项式中所有项的公因式，然后将公因式提取出来，剩下的部分则是提取后的因式。
例如，对于多项式2x + 6，可以提取公因式2，得到2(x + 3)。
2. 完全平方公式完全平方公式是用于将平方差式因式分解的方法。
根据完全平方公式，平方差可以写成两个平方数的差。
例如，对于平方差a^2 - b^2，可以因式分解为(a + b)(a - b)。
3. 一元二次方程一元二次方程可以通过将其因式分解为两个一元一次方程来求解。
首先将方程设置为等于零，然后根据因式分解的方式将其分解成两个一元一次方程。
例如，对于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x的解为2和3。
4. 分组法分组法是用于将多项式中的项进行分组然后进行因式分解的方法。
通过分组，可以在多项式中找到共同的因式，然后进行提取和化简。
例如，对于多项式3a + 6b + 9c + 18d，可以将其进行分组，得到(3a + 6b) + (9c + 18d)，然后提取公因式，得到3(a + 2b) + 9(c +2d)。
5. 十字相乘法十字相乘法是用于将二次三项式进行因式分解的方法。
通过十字相乘法，可以找到二次三项式的两个因式，从而进行因式分解。
例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以使用十字相乘法得到(x + 2)(x + 3)。
6. 定积分法定积分法是用于计算定积分的方法，也可以用于对多项式进行因式分解。
通过计算定积分，可以得到多项式的因式分解形式。
例如，对于多项式x^3 - 1，可以通过计算定积分得到(x -1)(x^2 + x + 1)。
7. 化简法化简法是用于对复杂多项式进行因式分解的方法。
因式分解的14种方法讲解
因式分解的14种方法讲解因式分解是数学中常用的重要方法，它可以将一个多项式表达式分解为一个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，有多种方法可以使用。
下面我将为您介绍14种常见的因式分解方法。
方法一：公因式提取法1.公因式提取法是最基本的一种因式分解方法，适用于多项式中存在公共的因式。
例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
方法二：配方法2. 配方法适用于二次型多项式的因式分解。
对于ax² + bx + c形式的多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于多项式x² + 3x + 2，可以找到两个因数(x + 1)(x + 2)。
方法三：x平方差3.x平方差适用于形如x²-a²的多项式，其中a是一个常数。
这种情况下，可以将其分解为两个因子(x+a)(x-a)。
方法四：因式分解公式4.因式分解公式适用于一些特殊的多项式形式。
例如，x²-y²可以通过公式(x-y)(x+y)分解。
方法五：完全平方公式5. 完全平方公式适用于形如a² ± 2ab + b²的多项式。
这种情况下，可以将其分解为平方项的和或差。
(a ± b)²。
方法六：两个平方差的乘积6.两个平方差的乘积适用于形如(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)的多项式。
这种情况下，可以分解为两个平方差相乘。
方法七：立方公式7. 立方公式适用于形如a³ ± b³的多项式。
这种情况下，可以将其分解为立方项的和或差。
(a ± b)(a² ∓ ab + b²)。
方法八：差的立方8. 差的立方适用于形如a³ - b³的多项式。
这种情况下，可以分解为差的立方公式(a - b)(a² + ab + b²)。
方法九：高次幂差的因式分解9.高次幂差的因式分解适用于形如aⁿ-bⁿ的多项式，其中n为正整数。
因式分解十二种方法公式
因式分解十二种方法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个多项式分解为若干个因子的乘积。
在因式分解中，有许多不同的方法和公式可以使用。
下面将介绍十二种因式分解的方法和公式。
一、公式法公式法是一种较为常用和简便的因式分解方法。
它利用一些已知的公式，将多项式分解为更简单的形式。
例如，我们可以利用平方差公式将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
又如，利用差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
二、提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法。
它利用多项式中的公因式，将多项式分解为公因式和余项的乘积。
通过提取公因式，可以简化多项式的形式，便于后续的计算和分解。
三、配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在二次项的情况。
配方法通过将多项式中的一部分进行配方，从而将多项式分解为两个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解二次多项式，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。
四、分组分解法分组分解法是一种适用于四项多项式的因式分解方法。
它通过将多项式中的项进行分组，从而将多项式分解为多个简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解四项多项式，可以将其分解为两个二次多项式的乘积。
五、和差化积法和差化积法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在和差项的情况。
和差化积法通过将多项式中的和差项进行化简，从而将多项式分解为简化的多项式的乘积。
这种方法常用于分解多项式中的高次项。
六、平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
平方差公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
七、差平方公式差平方公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
差平方公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。
八、立方差公式立方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个立方多项式分解为两个一次多项式的乘积。
因式分解的9种方法
因式分解的9种方法因式分解是代数学中的一项重要内容，可以将一个复杂的代数表达式分解成简单的乘积形式，从而便于计算和理解。
在因式分解过程中，根据不同的情况和不同的代数表达式，可以采用多种方法进行分解。
下面将介绍常见的九种因式分解方法。
一、公因式法公因式法是因式分解中最常用的方法之一、公因式法适用于含有公因式的多项式表达式。
它的基本思想是找出多项式表达式中所有项的最高次幂的公因式，然后将整个表达式除以这个公因式进行分解。
例如：4x^3+2x^2-6x可以分解为2x(2x^2+x-3)。
二、配方法配方法适用于含有二次项和一次项的多项式表达式。
它的基本思想是通过增加一个适当的常数因子，使得多项式表达式可以分解成两个完全平方的形式相加或相减。
例如：x^2+2x+1可以分解为(x+1)(x+1)。
三、平方差公式平方差公式适用于含有二次项且系数为1的多项式表达式。
它的基本思想是将多项式表达式表示为两个完全平方的差。
例如：x^2-4可以分解为(x+2)(x-2)。
四、差两个平方公式差两个平方公式适用于含有平方项的多项式表达式。
它的基本思想是利用两个完全平方的差进行分解。
例如：x^4-16可以分解为(x^2+4)(x^2-4)。
五、两项平方和公式两项平方和公式适用于含有平方项和常数项的多项式表达式。
它的基本思想是将多项式表达式表示为两个平方项的和。
例如：x^2+6x+9可以分解为(x+3)(x+3)。
六、组合法组合法适用于含有三项或三项以上的多项式表达式。
它的基本思想是根据多项式表达式中各项间的关系，将表达式分解为不同的组合。
例如：x^3+x^2+x+1可以分解为(x^2+1)(x+1)。
七、分组法分组法适用于含有四项或四项以上的多项式表达式。
它的基本思想是将多项式表达式进行适当的分组，然后在每一组内进行因式分解。
例如：x^3+2x^2+x+2可以分解为(x^3+x)+(2x^2+2)=x(x^2+1)+2(x^2+1)=(x+2)(x^2+1)。
因式分解的五种方法
因式分解的五种方法一、提公因式法。
这就像是从一群小伙伴里找出那个共同的小头目一样。
比如说，对于式子3x + 6，3就是公因式呀。
我们就可以把它提出来，写成3(x + 2)。
你看，就这么简单，把公共的部分先拎出来，就像把大家共有的宝贝先拿出来放一边，剩下的部分放在括号里。
这是因式分解里最基础也是最常用的方法哦。
二、公式法。
这里面有平方差公式和完全平方公式呢。
平方差公式就是a^2 - b^2=(a + b)(a - b)。
就像两个数的平方相减，就能变成这样两个数的和与差的乘积。
比如说9x^2 - 16，这就是(3x)^2 - 4^2，那它就可以分解成(3x + 4)(3x - 4)啦。
完全平方公式有a^2+2ab + b^2=(a + b)^2和a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2。
要是看到式子长得像这样，那就可以直接用公式啦。
像x^2+4x + 4，这里a=x，b = 2，它就是(x +2)^2呢。
三、分组分解法。
这个方法就有点像给小伙伴们分组做游戏啦。
比如对于式子ax + ay + bx + by，我们可以把前面有a的放在一组，后面有b的放在一组，就变成了a(x + y)+b(x + y)，然后再提公因式(x + y)，最后得到(a + b)(x + y)。
是不是很神奇，就像把不同的小团队又组合成了一个大团队。
四、十字相乘法。
这个方法就像在玩一个十字交叉的小魔术。
对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）。
比如说x^2+3x + 2，我们要找到两个数，它们相乘等于c（这里是2），相加等于b（这里是3），那就是1和2啦。
然后就可以写成(x + 1)(x + 2)。
就像把数字在一个十字框架里找到合适的搭配一样，特别有趣。
五、添项、拆项法。
这个方法就有点调皮啦。
比如说对于式子x^3 - 3x^2+4，我们可以把4拆成-x^2 + x^2+4，然后式子就变成x^3 - 3x^2 - x^2+ x^2+4，再分组变成(x^3 - 4x^2)+(x^2+4)，接着继续分解。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中常见的一种运算方法，通过因式分解可以将多项式分解成若干个一次或二次因式的乘积，从而简化计算和解题过程。
在代数学中，因式分解是一个非常重要的内容，掌握因式分解的方法对于学习代数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍因式分解的四种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧。
一、提公因式法。
提公因式法是因式分解中最基本的方法之一，它适用于多项式中存在公因式的情况。
具体的步骤是先找出多项式中的公因式，然后将多项式中的每一项都除以这个公因式，最后将得到的商式相乘即可得到原多项式的因式分解形式。
例如，对于多项式2x^2+6x，我们可以先找出公因式2x，然后将每一项除以2x，得到x+3，因此原多项式的因式分解形式为2x(x+3)。
二、配方法。
配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在完全平方公式的情况。
具体的步骤是将多项式中的每一项根据完全平方公式进行配方，然后利用配方公式将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x+1，我们可以将其写成(x+1)^2的形式，因此原多项式的因式分解形式为(x+1)^2。
三、分组法。
分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在四项式的情况。
具体的步骤是将多项式中的项进行分组，然后利用分组的形式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其写成(x^3+3x^2)+(2x+6)的形式，然后再对每一组进行提公因式或配方法进行因式分解。
四、公式法。
公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在特定公式的情况。
具体的步骤是将多项式根据特定的公式进行变形，然后利用公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+y^3，我们可以利用公式x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)进行因式分解。
综上所述，因式分解的方法有很多种，但是掌握其中的基本方法对于解题和学习都非常重要。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和掌握因式分解的技巧，从而更好地应用于实际问题中。
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因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 .在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因 式分解中常用的公式,(1) (a+b)(a-b) = a2(2) (a ±b)2= a2(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ------- a2 23 3(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3---- 下面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2； (6) a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例.已知a b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2ab bc ca ，则 ABC 的形状是（ ） A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形等腰直角三角形解： a 2 b 2 c 2 ab bc ca2222a 22b 2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)22 (b c)2 (c2a) 0 a b c例如： 2-b 2 -22 2± 2ab+b 2 -------- a 2 3 32-b 2=(a+b)(a-b) ；2 2 22±2ab+b 2=(a ±b) 2； 3 3 2 2+b =(a+b)(a -ab+b ) ； 3- b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) ．三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。
解：原式=(am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) = (m n )(a b) 例2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) = 2a(x 5y)= (x 5y)(2a* 每组之间还有公因式! 练习：分解因式1、a 2 (5by bx) b(x 5y) b) = bx 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。
bx) b) b)(x ab ac be 原式= (2ax = x(2a (2a 、xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x y ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组, 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式 = (x 2 y 2) (ax ay )= (x y)(x y) a(x = (x y)(x y a) 例4、 分解因式： a 2 2ab b 2 2 e 解：原式 = (a 2 2ab b 2) 2 e = (a b)2 2 e=(a b e) i(a b e) 练习： 分解因式 3、x 2 x 9y 23y 综合练习：(1) x 3 2 x y xy 2 3yy ) 4 (2) (3)x 2 (5) a 49y 2 16a 2 8a 1 a 29 6xy 2a 32 ax 2a 4a 2(10ay 5by) 5y(2a b) 5y) 虽然可以提公因 2yzbx 2 6ab bx ax9b 22 12b x 4a 2 y b 2x 4a b 2y四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1的二次三项式 直接利用公式一一 x 2(P q)x pq 特点：(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数的乘积； (3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律2例.已知0v a w 5，且a 为整数，若2x 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 b 24ac >0而且是一个完全平方数。
9 8a 为完全平方数，a 1(-1 ) + (-6 ) = -7练习 6、 分解因式(1)⑶ x 210x 242xz yz y(m 1)(m 1)(7)x 2 2xy (9) y(y 2) (11 )a 2(b c) b 2(a c) c 2(ab) 2 2(8) a22a b 2 2b 2ab 1 (10) (a c)(a c) b(b 2 a) 2abc( 12)a 3b 3c 33abc 练习5、分解因式(1)x 214x 2415a236 (3) x 4x 5(X p)(x q)进行分解。
分解因式：x25x 6将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 3的分解适合，即 2+3=5。
解：x 2 5x 6 = x 2(2 = (x 2)(x 例5、X 6=(-1) X (-6) 1 2 5。
，从中可以发现只有 23)x 23)用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积, 的代数和要等于一次项的系数。
X3 X2+1X 3=5 且这两个因数 例6、分解因式：x2 解：原式=x 2=(x 7x 6[(1)( 6)]x1)(x 6)1)( 6) -6ax 2+bx+c ,者E 要求于是X 22⑵ y 2y 15（二）二次项系数不为条件：（1） a i a 2 1的二次三项式2ax bx c a i （2） （3） 分解结果： b ax 2例7、分解因式: 分析： C 1C2a 1C2 bx a 2C 1c =(a 1x c 1 )(a 2x c 2) a C 2C i a i C 2 a ? G解：3x 2 练习7、分解因式:11x 103 -5 -2X (-6)+( -5)= -1111x 10 =(x (1)5x 2 3x 2 1 2)(3x 7x 6 5)2(2) 3x 7x 2(3) 10x 2 17x 32(4) 6y 11y 10（三）二次项系数为 1的齐次多项式例8分解因式：a 2 8ab 128b 2 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 乘法进行分解。
1 1 a 的二次三项式，利用十字相解: 8b -16b8b+（-16b ）=-8b a 2 8ab 128b 2 = a 2[8b( 16b)]a 8b ( 16b) (a 8b)(a16b)练习8分解因式（1） 2x 2 m3xy 2y 226mn 8n (3) 2 2a ab 6b（四）二次项系数不为 例 9、2x 7xy 1 -2y 2 -3y （-3y ）+（-4y ）= -7y -3 解:原式=（x 2y ）（2x 3y ） 练习9、分解因式：（1）15x 2的齐次多项式 6y 22 2例 10、x y 3xy 2 把xy 看作一个整体11-2-1)+(-2)= 解: 7xy 4y 2原式= (xy 1)(xy2)2 2(2) a x 6ax 8五、换元法。
（1） 、换单项式分解因式 x 6 + 14x 3 y + 49y 2.原式变形为22 14m y + 49y = (m + 7y) = ( x （2） 、换多项式例 2 分解因式 (x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分， 我们可以只把相同部分2 2 2换元，设 x +6= m ，则 X+4x+6= m+4x, x+6x+6= m+6x ，原式变形为2 2 2 2 2 2(m+4x)(m+6x)+x 2= m 2 +10mx+24x 2+x 2= m 2 +10mx+25x 22 2 2= (m+5x) 2= ( x 2 +6+5x)22 2 2= [(x+2)(x+3)] 2= (x+2) 2 (x+3) 2.以上这种换元法， 只换了多项式的一部分， 所以称为 “局部换元法” . 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体22换元法”.比如，设x +4x+6=m,贝U x +6x+6=m+2x,原式变形为（3） (x y )2 3(x y) 10( 4) (a b)34a 4b 3（5） 22 xy 5x4 y 6x 5（6） m24mn24n 23m6n 2（7）2 x 4xy 4y 22x 4y 3（8）25(a b) 2 223(a 2 b 2) 1 0(a b)2（9） 4x 24xy 6x 3y 2 y 10( 10)2 12(x y)2 11(x 2y 2)2(xy)2思考： 分解 因式： 2 abcx 2 (a 2b2 c 2)x abc综合练习 10、（1） 8x 6 7x31222)12x2 11xy 15y 2分析 ：注意到 x 6=（ x 3） 2，若把单项式 x 3换元，设 2= m ，例12 m+ 323+ 7y)x (x+1)- m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m 2-m)2 2 2 2 2 2 2 2m(m+2x)+ x = m +2mx+x= (m+x) = ( x +4x+6+x) = ( x +5x+6)2 2 2=[(x+2)(x+3)] = (x+2) (x+3).另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算 .对于本例，设m=寸2 2 2 2 2[(X +4x+6) +(X +6x+6)]= x +5x+6,则 x+4x+6=m-x, x+6x+6=m+x,2 2 2 2 2 2 2(m+x)(m-x)+x = m -x +x = m = (x +5x+6) = [(x+2)(x+3)]=(x+2) 2(x+3) 2.例 3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积， 可以把它们分成两组相乘,于是，原式变形为使之转化成为两个多项式的乘积 无论如何分组，最高项都是 X 2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同 .因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] 2 2=(x +x-2) (x +x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设 1 2 2 2m= 2 [ (x +x-2)+ (x +x-12)]=x+x-一 2 2 ______________________________________________则 x +x-2=m+5，x +x-2= m-5，原式变形为2 2 2 2(m+5)(m-5)+24=m -25+24=m -1=(m+1)(m-1)=( x +x-7+1)( x+x-7-1)=(x 2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).⑶、换常数2例 1 分解因式 x (x+1)-2003 X 2004x. 分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两 个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如,设 m=2003,则 2004=m+1.2x (x+1) - m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)2)1 1x2 2=x[(x -m ) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)] =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004). 例 13、分解因式(1) 2005x 2 (20052 1)x (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax 2 (a 2 = (ax 1)(x 200526) x 1)x a a) (2005x 1)(x 2005)(2)型如abed e 的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。