初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中数学因式分解(精华例题)(学案)
初中因式分解的经常使用方式 一、提公因式法. 如多项式),(cbamcmbmam
其中m叫做那个多项式各项的公因式， m既能够是一个单项式，也能够是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 写出结果．
三、分组分解法. 〔一〕分组后能直接提公因式 例一、分解因式：bnbmanam 例二、分解因式：bxbyayax5102 练习：分解因式一、bcacaba2 二、1yxxy 〔二〕分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ayaxyx22
例4、分解因式：2222cbaba
练习：分解因式3、yyxx3922 4、yzzyx2222
综合练习：〔1〕3223yxyyxx
〔2〕baaxbxbxax22
〔3〕181696222aayxyx
〔4〕abbaba4912622
〔5〕92234aaa 〔6〕ybxbyaxa222244
〔7〕222yyzxzxyx
〔8〕122222abbbaa
〔9〕)1)(1()2(mmyy 〔10〕)2())((abbcaca 〔11〕abcbaccabcba2)()()(222
〔12〕abccba3333
四 十字相乘法 1．二次三项式 〔1〕多项式cbxax2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322xx和652xx
都是关于x的二次三项式． 〔2〕在多项式2286yxyx
中，若是把 看做常数，确实是关于 的二次三项式；若是把 看做常数，确实是关于 的
二次三项式． 〔3〕在多项式37222abba
中，把 看做一个整体，即 ，确实是关于 的二次三项式．一样，多项
式12)(7)(2yxyx
，把 看做一个整体，确实是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)关于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax
(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解
初中因式分解的常用方法—特色专题详解一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果． 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-对应练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
初二数学---因式分解常用法汇总精华版
因式分解1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.多项式的分解因式与整式乘法互为逆运算；例1：下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）（1）22))((y x y x y x -=-+ （2）)(223x x x x x x +=-+（3）2)3(232-+=-+x x x x （4）)1)(1(1++=+++y x y x xy（5）)11(12xx x x x ++=-+ （6）2222)1(xy y x x xy -=- 例2：把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 注意事项：①分解因式是多项式的恒等变形，被分解的式子必须是一个多项式；②因式分解的结果必须是以乘积的形式表示；2、因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等；2.1提公因式法★★公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式；相同字母（或因式） 的最低次幂的积；例、因式分解：（1）2)(2)(2)(2)(2)(2y x y x y y x x x y y y x x -=---=-+-（2）)93(2)1862(186222323+--=+--=-+-m m m m m m m m m（3）)123(4)4812(481222323323+--=+--=-+-t s st st st t s st st t s（4）())3()(3)(9)(39)(333434---=---=-+-q p q p q p q p p q q p 2.2公式法（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-条件：①有且只有两项；②两项异号；③都是平方项；（2）完全平方公式：首平方，尾平方，首尾两倍在中央完全平方式的特点：1、必须是三项式（或可以看成三项的）2、必须有两个同号的平方项3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 2.3十字相乘法（1）定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法；（2）适用范围：二次三项式02=++c bx ax ，（3）方法：头尾分解，交叉相乘，求和凑中；（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解例：分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x（二）二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y2.4分组分解法四项分组分解法的一般解法：(1)“两两分组”:这里的两项必须各自可以提取公因式或平方差公式分解，经过分解后它们会产生新的公因式可以提取； (2) “一三结合”：这里的“一”指的是一个平方式，“三”指的是一个完全平方式。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
初中数学因式分解解题方法及真题练习(含答案解析)
初中数学因式分解解题方法及真题练习（含答案解析）因式分解和整式乘法互为逆运算，是初中数学里最重要的恒等式之一。
因式分解，是初中数学的重头大戏。
如果因式分解没有学好，那么后面分式，一元二次方程等内容就非常的艰难。
很多初学的同学，觉得因式分解好难。
因为因式分解灵活多变，技巧性强。
但是，真正熟练掌握因式分解方法，原来因式分解一点都不难。
因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解。
因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵拆项法⑶添项法⑷公式法：⑸十字相乘法：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-x(2003淮安市中考题)x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考题)解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)真题解析1．（2018?济宁）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2）B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2【分析与解】提公因式、平方差公式。
原式=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）。
选B。
注意：因式分解必须分解到不能再分解为止！2．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（）A．﹣x2+4x=﹣x（x+4）B．x2+xy+x=x（x+y）C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）【分析与解】提公因式、完全平方公式。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解
专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
初中数学：因式分解的方法（1）-例题与求解（培优03）
初中数学：因式分解的方法（1）-例题与求解（培优03） 【阅读与思考】 提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止. 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法: 1.换元法: 对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的.从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等. 2.拆、添项法: 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解. 【例题与求解】 【解析】 可以把x²+x看成整体，相乘以后，再因式分解. 【点评】 此题考查用十字相乘法进行因式分解，注意整体思想的应用. 【解析】 先把前两项和后两项分别提取公因式，然后再提取公因式即可进行因式分解. 【点评】 本题考查了分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组.本题前两项和后两项先进行分解，然后再提取公因式. 【解析】 设x-2=a，y-2=b，则x-y=a-b，然后将立方差公式展开后提取公司、因式，得出两因式相乘的形式，代入a、b的值即可得出答案. 【点评】 本题考查了利用立方公式进行因式分解的知识，难度不大，注意运用换元法解答本题. 【解析】 (1)首先利用补项法，进而提取公因式分解因式得出即可； (2)根据多项式的特点，可以将常数项8拆成-1+9，然后分组分解、也可以将一次项-9x拆成-x-8x，然后分组分解； (3)这个题用常规的方法难以分解，考虑应用拆项变形，经过探索试验，把3a²拆成a² +2a²即可. 【点评】 考查了立方差公式应用，正确利用补项法分解因式是解题关键. 【解析】 先把x³+6x²+11x+6转化为x³+x²+5x²+5x+6x+6，然后把一、二项结合一组，三、四项结合一组，五、六两项结合一组，然后进一步分解. 【点评】 本题考查用分组分解法进行因式分解，关键是将x³+6x²+11x+6转化为x³+x²+5x²+5x+6x+6，然后进一步分解.
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初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中 占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得 分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等 方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法. 如多项式 am bm cm m(a b c),
其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a 2 b 2 (a b)(a b),
a 2 2ab b 2 (a b) 2 ,
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )
写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am an bm bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式= (am an) (bm bn)
= a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！ = (m n)(a b)
思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= (2ax 10ay) (5by bx) 原式= (2ax bx) (10ay 5by)
= 2a( x 5 y) b( x 5 y) = x(2a b) 5 y(2a b)
= ( x 5 y)(2a b) = (2a b)( x 5 y)
练习：分解因式 1、 a 2 ab ac bc 2、 xy x y 1
1 （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只 能另外分组。 解：原式= ( x 2 y 2 ) (ax ay) = ( x y)( x y) a( x y)
= ( x y)( x y a)
例 4、分解因式： a 2 2ab b 2 c 2
解：原式= (a 2 2ab b 2 ) c 2
= (a b) 2 c 2
= (a b c)(a b c)
注意这两个例题的区别！ 练习：分解因式 3、 x 2 x 9 y 2 3 y 4、 x 2 y 2 z 2 2 yz
综合练习：（1） x 3 x 2 y xy 2 y 3 （2） ax 2 bx 2 bx ax a b （3） x 2 6 xy 9 y 2 16a 2 8a 1 （4） a 2 6ab 12b 9b 2 4a （5） a 4 2a 3 a 2 9 （6） 4a 2 x 4a 2 y b 2 x b 2 y （7） x 2 2 xy xz yz y 2 （8） a 2 2a b 2 2b 2ab 1 （9） y( y 2) (m 1)(m 1) （10） (a c)(a c) b(b 2a) （11） a 2 (b c) b 2 (a c) c 2 (a b) 2abc （12） a 3 b 3 c 3 3abc 四、十字相乘法. （一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式—— x 2 ( p q) x pq ( x p)( x q) 进行分解。 特点：（1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例 5、分解因式： x 2 5x 6 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。 由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 从 中 可 以 发 现 只 有 2 × 3 的 分 解 适 合 ， 即 2+3=5 。 1 2
解： x 2 5x 6 = x 2 (2 3) x 2 3 1 3 = ( x 2)( x 3) 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例 6、分解因式： x 2 7 x 6
2 解：原式= x 2 [(1) (6)]x (1)(6) 1 -1 = ( x 1)( x 6) 1 -6
（-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式(1) x 2 14 x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x 2 4 x 5
练习 6、分解因式(1) x 2 x 2 (2) y 2 2 y 15 (3) x 2 10 x 24
（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax 2 bx c 条件：（1） a a a a c 1 2 1 1 （2） c c c a c
1 2 2 2 （3） b a c a c b a c a c
1 2 2 1 1 2 2 1 分解结果： ax 2 bx c = (a x c )(a x c )
1 1 2 2 例 7、分解因式： 3x 2 11x 10
分析： 1 -2 3 -5
（-6）+（-5）= -11 解： 3x 2 11x 10 = ( x 2)(3x 5)
练习 7、分解因式：（1） 5x 2 7 x 6 （2） 3x 2 7 x 2 （3）10 x 2 17 x 3 （4） 6 y 2 11y 10
（三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2
分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解： a 2 8ab 128b 2 = a 2 [8b (16b)]a 8b (16b) = (a 8b)(a 16b)
练习 8、分解因式(1) x 2 3xy 2 y 2 (2) m 2 6mn 8n 2 (3) a 2 ab 6b 2
（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、 2 x 2 7 xy 6 y 2 例 10、 x 2 y 2 3xy 2 1 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= ( x 2 y)(2 x 3 y) 解：原式= ( xy 1)( xy 2)
练习 9、分解因式：（1）15 x 2 7 xy 4 y 2 （2） a 2 x 2 6ax 8
综合练习 10、（1） 8x 6 7 x 3 1 （2）12 x 2 11xy 15 y 2
（3） ( x y) 2 3( x y) 10 （4） (a b) 2 4a 4b 3
（5） x 2 y 2 5 x 2 y 6 x 2 （6） m 2 4mn 4n 2 3m 6n 2 3