因式分解(常用方法)ppt课件
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因式分解(常用方法)课件
④ 4x2 – 8xy + 4y2
= 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
做一做
用完全平方公 式进行因式分解。
①a 18a 81 ④m n 2m n 1
2
4 2 2
2 1 2 2 2 ⑤a b c 4abc 4 ②x x 3 9 2 2 ③ s t 2st ⑥ 25x 2 20x 4
利用平方差 公式因式分解。
2 2
①169a 196b
⑤9m 2 n 2 16t 2
2 2
1 2 1 2 x y ② x y ⑥ 4 16 9 4 4 2 2 4 ③ 25x 16 y ⑦ p q q ④9 xy 36x y
2 3 2
⑧2a b 4a b
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2
把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
例如：2
（3） 6x3 – 54xy2 解：原式 = 6x (x2–9y2) = 6x (x+3y)(x–3y)
2 （4） (x+p)2 – ( x – q ) X Y
解：原式= [ (x +p)+(x –q) ]·[ (x +p)–(x –q) ] X Y X Y
= (2x+p–q)(p+q)
因式分解法-ppt课件
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
x1=2，x2=-1.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
x1
1 2
,
x2
1. 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
完全平方公式 平方差公式
课后作业
1.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12；
2.填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2=2(x-2). (1）适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； (2）适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； (3）适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； (4）适合运用配方法 ④ . 【提示】每个题都有多种解法，选择更 合适的方法，可以简化解题过程！
因式分解法-PPT课件
★ 选择适当的方法解一元二次方程
例2 用适当的方法解下列方程： （1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ；
分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2.
（2）x2+4x-1 ＝ 0 ；
(x + m) （x + n）＝0
Hale Waihona Puke 解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
因式分解
x(x-7) =0 ②
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b =
0.
x =0 或 x-7=0
降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根） 这种解法是不是很简单？
例1 用因式分解法解下列方程
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－ 3)， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0. 解得x1＝3，x2＝9. (3)5x(2x－3)＝10x－15.
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ a. （3）形如x2 ±2ax+ a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式 分解为（x± a ）2＝ 0，则① x+a ＝ 0，即x1 ＝ x2 ＝ -a. ② x-a ＝ 0，即 x1 ＝ x2 ＝ a. （4）形如x2 +（a+b）x+ab ＝ 0 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则 方程化为（x+a）（x+b）＝ 0，所以x+a ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2 ＝ -b.
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
专题(七) 因式分解的技巧PPT课件(华师大版)
(2)x(x－1)－y(y－1)． 解：(x－y)(x＋y－1)
二、巧用因式分解解决问题 类型一 简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718； 解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值． 解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二 求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版） 第十二章 整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能 类型一 符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)； 解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二 系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2； 解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三 指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4； 解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2
二、巧用因式分解解决问题 类型一 简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718； 解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值． 解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二 求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版） 第十二章 整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能 类型一 符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)； 解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二 系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2； 解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三 指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4； 解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
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因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是逆变形
5
依照定义，判断下列变形是不是 因式分解 （把多项式化成几个整式的积）
①x 2x 2 x2 4
②6x4 y3 2x3 y 3xy2
③x 2
9 4x4
x
3 2x2
x
3 2x2
④5x2 y 3x2 y 2x2 y
以便于更好的解决一些问题
3
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积)
回忆前面整式的乘法
x2 x ___x_x___1_ __ x2 1 __x__1__x__1__
4
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分，解也叫做把这个多项 式分解因。式
6
创设情景
学校打算把操场重新规划一下，分 为绿化带、运动场、主席台三个部分， 如下图，计算操场总面积。
a
b
c
m
7
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
a
b
c
mm
m
8
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？ m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
③ 1 m3n mn 5 mn2
3
6
④0.49 p2q 0.21pq2
⑦ x2 y 2x3y x2 y2 23 6
⑧49 4mn2 98 5n2m
14
15
维度A
公式回顾
▪ 平方差公式： ▪ 完全平方公(式a ： b)(a b) a2 b2 ▪ 立方和公式：(a b)2 a2 2ab b2 ▪ 立方差公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例如：2
（3） 6x3 – 54xy2 解：原式 = 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y) （4） (x+p)2 –X(x–q)2 Y 解：原式= [ (xX+p)+(xY–q) ]·[ (xX+p)–(xY–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)
21
做一做
利用平方差公 式因式分解。
`.
12
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
13
做一做
按照提公因式 法因式分解。
①3a2b 6abc
⑤36x2 y3 45x3 y2
② 5x3 y 10xy2 20xy ⑥74a3b2c4 111a4b3c4
复习回顾
口答：
xx 1 __x_2___x__ x 1x 1 ___x_2 __1__ 2x3x 7 _6_x_2__1_4_x_
2
新课引入
问题：630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行 分解质因数 630 = 2×32×5×7
类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
选考 学试 ，不 不会 做涉 统及 一 要 求 ，
16
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
①169a2 196b2 ⑤9m2n2 16t 2
② 1 x2 1 y2 ⑥ x2 y2
4 16
94
③25x4 16y2 ⑦ p q2 q4
④9xy2 36x3 y2 ⑧2a b2 4a b2
22
23
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式 中每一个项都含有的因式，叫做 公。因式
9
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
m 7 m 7 __m__2 __14_m___4_9_
17
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 平方差公式
试计算：9992 – 12 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000
因式分解:（1）x2 – 422 ;（2）y2 – 2552 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)
19
例如：1
（1） – 4x2 + y2 解：原式 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
（2） x4 – 1 解：原式 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 ! 20
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，
3、把它与公因式相乘。
10
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4
a
b2
最大公约数 相同字母 最低指数
观察 一看系数 二看字母 三看指数 方向
11
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
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a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)