《高考风向标》2012年高考数学一轮复习 第九章 第5讲 数列的通项公式精品课件 理

n－1
【互动探究】 4．已知由正数组成的两个数列{an}，{bn}，如果an、an＋1 是关于x的方程x2－2b2x＋anbnbn＋1＝0的两根. n (1)求证：{bn}为等差数列； (2)已知a1＝2，a2＝6，分别求数列{an}，{bn}的通项公 式．
解：(1)由an、an＋1是关于x的方程x2－2b
2an 3．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，则{an}的通 2＋an 2 an ＝ 项an＝________. n＋1
4．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2(Sn＋1)＝n＋1，则an
3 (n 1) n ＝_________. 2 (n 2)
5．已知数列{an}满足a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 1 * an＝3n(n∈N*) N )，则an的通项公式为____________．
Sn ∴数列 是以首－ － (2)由(1)的结论可得 n ＝2n 1，∴Sn＝n·n 1， 2 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n·n 1－(n－1)·n 2＝2n 2(n＋1)． 2 2 由已知，a1＝1，又当n＝1时，2n 2(n＋1)＝1， ∴an＝(n＋1)2n 2(n∈N*)． bn＋1 bn＋Sn bn＋1 bn － * (3)由 ＝ n (n∈N )，得 ＝ n ＋2n 1， n＋1 n＋1 bn bn－1 － 由此式可得 n ＝ ＋2n 2， n－1 bn－1 bn－2 － ＝ ＋2n 3， n－1 n－2
(2)因为an＝log2bn，∴3n＋2＝log2bn⇒bn＝23n 2. bn＋1 23n 5 ∴ b ＝ 3n＋2 ＝8，b1＝32，所以{bn}是等比数列，首项为 2 n 321－8n 32 n 32，公比为8，故Tn＝ ＝ 7 (8 －1)． 1－8
＋ ＋
【互动探究】
1．已知{an}是等比数列，对∀n∈N*，an>0恒成立，且 a1a3＋2a2a5＋a4a6＝36，则a2＋a5等于( D ) A．36 B．± 6 C．－6 D．6
S (1)求证：数列 n 为等比数列； n
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； 1 bn＋1 bn＋Sn (3)若数列{bn}满足：b1＝2， ＝ n (n∈N*)，求数列 n＋1 {bn}的通项公式．
解析：(1)将an＋1＝Sn＋1－Sn代入已知nan＋1＝(n＋2)Sn， Sn＋1 Sn 整理得 ＝2× n (n∈N*)． n＋1 S1 又由已知 1 ＝1，
2 两根得an＋an＋1＝2bn，anan＋1＝anbnbn＋1， 2 ∴2bn＝bn－1bn＋bnbn＋1. 2 n
x＋anbnbn＋1＝0的
∵bn>0，∴2bn＝bn－1＋bn＋1(n>1)，∴{bn}是等差数列．
2 (2)由(1)知2b1＝a1＋a2＝8，∴b1＝2，
∵a2＝b1b2，∴b2＝3，∴bn＝n＋1，∴bn－1＝n， an＝bn－1bn＝n(n＋1)(n>1)． 又a1＝2符合上式，∴an＝n(n＋1)．
解析：∀n∈N*，an>0，a1a3＋2a2a5＋a4a6＝(a2＋a5)2＝ 36，∴a2＋a5＝6，故选D.
考点 2
应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例2：(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2n－ 1(n≥2)，求数列{an}的通项公式； (2)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·n，求数 a 列{an}的通项公式．
【互动探究】 2．已知数列{an}中，a1＝2，(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0(n∈ N*)，求数列{an}的通项公式．
an＋1 n＋1 解：由(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0得， a ＝ . n＋2 n an an－1 an－2 a3 a2 ∴an＝ · · · a · ·1 „· a a an－1 an－2 an－3 2 1 32 4 n n－1 n－2 ＝ · · · 4·· „· 3 2＝ . n＋1 n n－1 n＋1
2
n－1
n an＝ 3 (n∈
考点 1 利用基本公式求数列的通项公式 例1：已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a3＝
11，S9＝153. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设an＝log2bn，证明{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn. a3＝a1＋2d＝11 a1＝5 解析：(1)由 ⇒ ⇒an＝3n＋2. S9＝9a1＋4d＝153 d＝3
n 2
(n≥2)，
(n 1 )
.
(n 2 )
纠错反思： (1)求数列的通项公式要特别注意数列的首项，分清是第几项. (2)得到的结论Sn1 2an 1 只有在n≥2的条件下才能成立.
an1 3 a (3)当n≥2时， 成立，数列 n 不一定是等比数列. an 2
(4)正确利用数列的概念及公式解题. 【互动探究】 3．若数列{an}中，an＝2n＋3n，且数列 an 1－pan 为等比数
求数列通项常用数学思想有： (1)转化与化归思想；(2)整体(换元)思想；(3)方程思想．
－ － － － －
„„ b3 b2 － ＝ 2 ＋23 2， 3 b2 － ＝b1＋22 2. 2 把以上各等式相加得， bn － － － － ＝2n 2＋2n 3＋„＋23 2＋22 2＋b1. n 1 1 bn 1－2 ∵b1＝2，∴ n ＝ ＋2， 1－2 n n ∴bn＝2(2 －1)(n∈N*)．
第5讲
数列的通项公式
数列通项的常用方法 (1)利用观察法求数列的通项．
(n 1) S1 (2)利用公式法求数列的通项：①an＝ ； S n S n1 (n 2)
②等差数列{an}公式、等比数列{an}公式．
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项： ①an＋1＝an＋f(n)；②an＋1＝anf(n)． (4)构造等差、等比数列求通项： ①an＋1＝pan＋q； ③an＋1＝pan＋f(n)； ②an＋1＝pan＋qn； ④an＋2＝p·n＋1＋q·n. a a
解析：(1)方法一：(迭加法) ∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)，∴an－an－1＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋„＋(a2－a1) n2n－1＋1 ＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋(2n－5)＋„＋5＋3＋1＝ 2 ＝n2. 方法二：(迭代法) ∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)， ∴an＝an－1＋2n－1＝an－2＋2(n－1)＋2n－1 ＝an－3＋2(n－2)＋2(n－1)＋2n－1 „
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列是( A ) A.公差为2的等差数列 C．首项为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数 n 的一 次函数．则数列{an}的通项公式为____________. an＝4n－2
＋
列，求 p 的值．
解：∵数列{an＋1－pan}为等比数列， ∴(an＋1－pan)2＝(an－pan－1)(an＋2－pan＋1)， 将an＝2n＋3n代入上式并整理， 得(2－p)(3－p)×2n×3n＝0， ∴p＝2或p＝3.
例4：已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1， nan＋1＝(n＋2)Sn (n∈N*)．
(1)迭加法适用于求递推关系形如“an ＋ 1 ＝an ＋ f(n)”，迭乘法适用于求递推关系形如“an＋1＝an· f(n)”． (2)迭加法、迭乘法公式：①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋ (an－2－an－3)＋„＋(a2－a1)＋a 1；②an＝ an an－1 an－2 a3 a2 · · · „· · ·1. a an－1 an－2 an－3 a2 a1
错源：使用公式an＝Sn－Sn－1时未注意n≥2的条件 例3：已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝2an＋1－1. 求数列{an}的通项公式．
误解分析：解本题易出现的错误：(1)使用公式an＝Sn－Sn－
1时未注意n≥2的条件；(2)对等比数列概念认识不够，只要式
an＋1 子 a ＝q成立，就认为是等比数列；(3)数列{an}的首项为a2 n 时，仍然认为an是第n项．
＝1＋3＋5＋„＋2(n－2)＋2(n－1)＋2n－1＝n2， ∴an＝n2. (2)∵a1＝1，Sn＝n2·n， a ∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1， an n－1 ∴an＝Sn－Sn－1＝n an－(n－1) an－1⇒ ＝ . an－1 n＋1
2 2
a3 a 2 an an－1 an－2 ∴an＝ · · · a · ·1 „· a a an－1 an－2 an－3 2 1 n－1 n－2 n－3 21 ＝ · · · 4·· „· 3 1 n＋1 n n－1 2 ＝ . nn＋1
正解：由Sn＝2an＋1－1，得Sn－1＝2an－1， an＋1 3 则an＝2an＋1－2an，∴ a ＝2(n≥2)． n a2 3 而a1＝1，Sn＝2an＋1－1，得a2＝1，a ＝1≠2，
1
∴数列{an}从第二项起是等比数列，
3 故有an＝1× 2
1 ∴an＝ 3 n 2 2