1因式分解配方法课件
用因式分解法求解一元二次方程 课件 数学九年级上册
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程
x2＝3x.但他们的解法各不相同．
由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.
因此x＝ 3 9 ， x1＝0，x2＝23. 所以这个数是0或3.
方程x2＝3x两边 同时约去x，得 x＝3. 所以这个数是3.
新课导入
由方程x2＝3x，得 x2－3x＝0， 即x(x－3)＝0. 于是x＝0，或x－3＝0. 因此x1＝0，x2＝3. 所以这个数是0或3.
第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方 程
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点）
新课导入
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
讲授新课
解方程：x2+5x-6=0.
x2 5x 6 (x 6)(x 1)
x
6 步骤：
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0.
∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
x
①竖分二次项与常数项
1
x 6x 5x ②交叉相乘，积相加
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+2x=4
x2+3x-4=0
x2+2x+1=5
分解因式，得
(x+1)2=5
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程
第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。
一元二次方程解法——因式分解、配方法
3 2 B． （2-5x）+（5x-2） =0，∴（5x-2） （5x-3）=0，∴x1= ，x2= 5 5
2
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ） ． A．x2+1=0 B． （2x+1）2=0
C． （x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 2．下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x2=1 是同解方 程；③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1） （x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3，其中正确的命题有（ ） ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2-mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（ ） ． A．-
解：设 6x+7=y
1 1 1 1 y+ ，x+1= y6 6 2 2 1 1 1 1 依题意，得：y2（ y+ ） （ y- ）=6 6 6 2 2
则 3x+4= 去分母，得：y2（y+1） （y-1）=72 2 2 4 2 y （y -1）=72， y -y =72
1 2 289 ）= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
p ，达到降次转化之目的．若 p＜0 则方程无解
自主练习：1：用直接开平方法解下列方程： （1） x 225 ；
2
（2） ( x 1) 9 ；
2
1 ． 2
（3） (6 x 1) 25 0 ．
2
2 （4） 4( x 2) 81 0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
课件《因式分解》课件PPT_人教版1
x=
（b2-4ac≥0）
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
5 ， x2=5.
导入新知
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
a b c (∵2ax＝∵＋31，)(b2＝＝x－－314，，)=c0＝. －＝1，－4， ＝－1，
②(x－1)2＝3；
把方程左边因式分解，
y y x①b=2x－∴2－4ax3c＝x=＋(－1－＝100)；－（2－b240-=41±a0c0≥0）－24×2－3 4×3×－1＝2±3
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程．
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是很简单？
探究新知
【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方 程降为一次的？
x(10-4.9x)=0 ①
x=0或10-4.9x=0 ②
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解.
x1=6, x2=-2.
人教九年级数学上册《因式分解法》课件
5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2 (2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 解：x1＝1，x2＝53
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
2．解一元二次方程，首先看能否用___直__接__开__平__方__法______；再看 能否用____因__式__分__解__法______；否则就用____公__式__法_____；若二次项 系数为1，一次项系数为偶数可先用__配__方__法_____．
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
22＋2，x2＝－
2＋2 2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2 (4)(x＋5)2＋x2＝25.