§8.2 偏导数
第八章绕流运动
x
y
在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。
一 均匀流
设均匀流的速度为与 x 轴平行，那么
ux x y a
uy
y
x
0
求速度势函数: d uxdx uydy adx ax c
令 c=0， ax
求流函数 d uydx uxdy ady ay c 令 c=0， ay
得证。
§8.2 平面无旋流动
1 流网的性质
（2）流网中每一网格的边长之比等于和 的增值之比
若取 =，则流网网格为正方形网格。
／
证明：如右图所示，取相邻两线间的差 值为ΔC，流线间隔为Δn ，等势线间隔 为Δs。
us
q A
n
C n
且
us
s
s
C s
所以 C n，则流网网格为正方形网格。
§8.2 平面无旋流动
仍为
Γ
ur r 0, u r 2 r
由以上关系式知，r 0 时，u ，所以涡点为奇点，该式仅 适用于 r＞0 区域。由此式可见， 只是 的函数。
故有
d
u rd
2
d
积分得
2
速度和流函数的关系为
ur
1 r
0，
u r
r 上式表明 只是 的函数，所以
d
u dr
Γ 2 r
dr
点涡
上式积分得
Γ ln r 2
由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 =常数；流线为不同半径的同心圆
数。与点源（或点汇）相反。点涡的强度即沿围绕点涡的速度环量 Γ ＞0 时，环流为逆时针方
0，环流为顺时针方向。由斯托克斯定理知，点涡的强度 Γ 取决于旋涡的强度。
第二节 偏导数
V k , T V, T P P k
从而
P V
V T
T P
kT V2
k P
V k
kT PV
1
.
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
§8.3偏导数
§8.3偏导数8.3.1偏导数概念在二元函数),(y x f z =中如果只有自变量x 变化，而自变量y 固定（即看作常数），这时它就是x 的一元函数，这函数对x 的导数，就称为二元函数z 对于x 的偏导数。
1.函数)y ,x (f z =在点)y ,x (M 处的偏导数的定义定义1 设函数),(y x f z =在点),( y x M 的某一邻域)( M N 上有定义，当y 固定在 y 而x 在 x 处有增量x ∆时，相应函数有增量),(),( y x f y x x f -∆+，若极限 xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim①存在，则称此极限为函数)y ,x (f z =在点),( y x M 处对x 的偏导数，记为M xz ∂∂，),( y x f x 或M xf ∂∂.例如，极限①可表示为 xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0类似地，)y ,x (f z =在点),( y x M 处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim，记为M yz ∂∂，),( y x f y 或M yf ∂∂。
2．函数)y ,x (f z =在区域D 内的偏导函数如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数是x 、y 的函数，称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数，记为x z∂∂，).(y x f x 或xf ∂∂。
例如，xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0，D y x ∈),(。
类似地，可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导函数， 记为yz ∂∂，).(y x f y 或y f∂∂。
例如，yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0，D y x ∈),(，),(y x f 在点),( y x 处对x 的偏导数),( y x f x 就是偏导函数),(y x f x 在点),( y x 处的函数值；),(y x f 在点),( y x 处对y 的偏导数),( y x f y 就是偏导函数),(y x f y 在点),( y x 处的函数值。
高数 偏导数 知识点与例题精讲
导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f ( x x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
x
y
3、设u
x
y z
, 则u
__________;u
__________;
x
y
u ____________. z
4、设z
arctan
y ,则2z x x 2
________; 2 z y 2
_______;
2 z ____________. xy
显然 fxy(0,0) f yx (0,0).
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 9 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
高阶偏导数
纯偏导 混合偏导（相等的条件）
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
淮海工学院高等数学目标练习与测试集（下）（苏州大学出版社）
淮海⼯学院⾼等数学⽬标练习与测试集（下）（苏州⼤学出版社）第七章空间解析⼏何与向量代数⼀、向量代数（A:§7.1,§7.2；B:§7.1）Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解空间直⾓坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，⾃学定⽐分点公式.（ⅱ）理解向量的概念（向量，单位向量，模，⽅向⾓，⽅向余弦，分向量与投影）及其坐标表达，了解向径的坐标表⽰与点坐标表⽰之间的关系.（ⅲ）掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表⽰，⾃学混合积. （ⅳ）学会⽤向量代数⽅法解决有关向量间位置关系的问题. Ⅱ、基本题型（ⅰ）有关空间直⾓坐标系下点坐标的问题. 1．（4'）在空间直⾓坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A ），，（432-B ），，（432-C ），，（432--D ），，（432--. 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为__________；=||AB __________. 3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标⾯；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点坐标. 4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM ⽤坐标可表⽰为__________.5．（8'）⼀边长为a 的⽴⽅体放置在xoy ⾯上，其下底⾯的中⼼在坐标原点，底⾯的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标. 6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标.（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表⽰.7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、⽅向余弦、⽅向⾓及单位向量.8．（6'）若γβα,,为向量a的⽅向⾓，则=++γβα222cos cos cos ____________；=++γβα222sin sin sin ____________.9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a-+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.10．（6'）已知点P 的向径OP 为单位向量，且与z 轴的夹⾓为6π，另外两个⽅向⾓相等，求点P 的坐标.11.（6'）已知向量a 与各坐标轴成相等的锐⾓，若32||=a，求a的坐标. （ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算.12．（4'）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（）.A a b b a ?=?B a b b a ?-=?C 22||a a =D 0=?a a. 13．（7'）设）（2,1,3-=a，）（1,2,1-=b，求b a与.b a14.（7'）设)3,0,1(),2,1,1(),2,3,2(=-=-=c b a ，求.)(c b a（ⅳ）⽤向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求⼀向量在另⼀向量上的投影. 15．（每题4'）确定下列各组向量间的位置关系：（1）)2,1,1(-=a与)4,2,2(--=b；（2）)1,3,2(-=a与)2,2,4(-=b .16．（7'）求向量)4,3,4(-=a在向量)1,2,2(=b 上的投影.（ⅴ）⽤向量积来计算有关平⾏四边形和三⾓形的⾯积问题.17．（7'）已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的⾯积.18．（7'）ABC ?三顶点在平⾯直⾓坐标系中的坐标分别为),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，则如何⽤向量积的⽅法来求出ABC ?的⾯积？19．（7'）试找出⼀个与)1,1,0(),1,2,1(==b a 同时垂直的向量.Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）涉及到代数向量（即⽤坐标表达式表⽰的具体向量）的综合计算问题. 20．（10'）已知三点)2,1,2(),1,1,1(),1,2,2(321M M M ，（1）求321M M M ∠；（2）求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.21．（8'）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求⼀点C ，使ABC ?的⾯积最⼩. *Ⅳ、提⾼题型（ⅰ）⽤“⼏何向量”（即不涉及到坐标表达式的向量）来处理有关向量问题.22．（7'）已知：c b a ,,为单位向量，且满⾜0 =++c b a ，求.a c c b b a ?+?+? 23．（7'）设5||,4||,3||===c b a 且0 =++c b a ，求c b ?；.||a c c b b a ?+?+?24．（8'）设b a k B b a A +=+=,2，已知2||,1||==b a |，且θ=∧),(b a ，πθ<≤0，（1）若B A⊥，求k 值.（2）θ为何值时，A 与B为邻边的长⽅形⾯积为4？25．（7'）设⾮零向量b a ,，求证：.|)||(|1lim 0b prj a t b a ta t =-+→⼆、平⾯⽅程（A:§7.5; B:§7.1）Ⅰ、内容要求（ⅰ）掌握平⾯的法向量及点法式⽅程，了解平⾯其它形式的⽅程. （ⅱ）掌握平⾯与平⾯特殊位置关系，了解夹⾓算法. （ⅲ）学会计算点到平⾯的距离. Ⅱ、基本题型（ⅰ）三点式平⾯⽅程的求法，根据⼀般式⽅程指出平⾯的特殊位置. 26．（7'）求过三点)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2(321M M M ---的平⾯⽅程.若),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x B z y x A 不共线，你能给出过此三点的平⾯⽅程吗？ 27．（每题5'）指出下列平⾯⽅程的位置特点，并作⽰意图：（1）03=-y ；（2）023=+z y ；（3）.0832=-+-z y x （ⅱ）⼆平⾯垂直与平⾏的判定. 28．（每题4'）判定下列两平⾯之间的位置关系：（1）042=-+z y x 与1842=-+z y x ；（2）132=+-z y x 与.423=-z x （ⅲ）⼆平⾯夹⾓的计算（夹⾓规定为[0,2π]）. 29．（4'）求两平⾯062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹⾓. （ⅳ）点到平⾯距离的计算.30．（4'）点)3,2,1(到平⾯0121243=+-+z y x 的距离=d ______________. 31．（7'）求01=+++D Cz By Ax 与02=+++D Cz By Ax 之间的距离. （ⅴ）⽤点法式⽅程建⽴平⾯⽅程． 32．（每题7'）求满⾜下列条件的平⾯⽅程：（1）平⾏y 轴，且过点)1,5,1(-P 和)1,2,3(-Q ; （2）过点)3,2,1(且平⾏于平⾯0522=+++z y x ；（3）过点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平⾯.0=++z y x三、直线⽅程（A:§7.6 ;B:§7.1）Ⅰ、内容要求（ⅰ）掌握直线的⽅向向量及对称式⽅程，了解直线其它形式的⽅程.（ⅱ）掌握直线与直线特殊位置关系的条件. （ⅲ）学会计算点到直线的距离. Ⅱ、基本题型（ⅰ）两点式直线⽅程的计算.33．（4'）过点),,(,,,(2222)1111z y x M z y x M 的直线⽅程为_______________________. （ⅱ）⼀般式⽅程转化为对称式⽅程.34．（7'）⽤对称式⽅程及参数式⽅程表⽰直线??=++-=+++.0432,01z y x z y x（ⅲ）两直线平⾏或垂直的判定.35. （每题4'）判别下列各直线之间的位置关系：（1）31211:1+=+=+-z y x L 与??=+=+=.3,2,21:2z t y t x L （2）32:1zy x L ==-与??=-+=-+.023,012:2z x y x L *（ⅳ）点到直线距离的计算． 36．（7'）求原点到221-=-=-z y x 的距离. 37．（7'）设0M 是直线L 外⼀点，M 是直线L 上任意⼀点，且直线的⽅向向量为s，试证：点0M 到直线L 的距离.||||0s s M M d=四、平⾯与直线综合题训练Ⅰ、基本题型（ⅰ）直线与平⾯的交点计算. 38．（5'）求直线2432-=-=-z y x 与平⾯062=-++z y x 的交点. （ⅱ）已知点在已知平⾯的投影计算.39．（7'）求点)3,0,5(-M 在平⾯012:=+-+∏z y x 上的投影. （ⅲ）直线与平⾯特殊位置关系的判定. 40．（4'）设1 11121:-+=+=--z y x L 与2222:=-+∏z y x ，则------------------（）. A ∏⊥L B ∏//L C L L =∏ D L 与∏夹⾓为4π. *Ⅱ、综合计算题型（ⅰ）涉及线⾯关系的综合计算.41．（7'）求过点），，（302-且与直线=+-+=-+-.01253,07422z y x z y x 垂直的平⾯⽅程.42．（7'）求过点），，（420且与两平⾯12=+z x 和23=-z y 平⾏的直线⽅程. 43．（7'）求过点)2,1,3(-且通过12354zy x =+=-的平⾯⽅程. 44．（7'）已知直线13021:1--=-=-z y x L ，直线11122:2zy x L =-=+，求过1L 且平⾏2L 的平⾯⽅程.*Ⅲ、提⾼题型（ⅰ）已知点在已知直线上的投影问题. 45．（7'）求点)6,1,4(-M 关于直线11=-z y x L 的对称点. （ⅱ）已知直线在已知平⾯上投影直线⽅程的计算. 46．（7'）求直线??=++-=--+.01,01z y x z y x 在平⾯0=++z y x 上的投影直线⽅程.五、曲⾯与曲线及其⽅程（A:§7.3, §7.4；B:§7.1）Ⅰ、内容要求（ⅰ）了解曲⾯⽅程的概念，*记忆常⽤⼆次曲⾯⽅程及其图形（球⾯、椭球⾯、锥⾯、抛物⾯）.（ⅱ）了解母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程；⾃学以坐标轴为旋转轴的旋转曲⾯的⽅程.. （ⅲ）了解曲线的⼀般式与参数式⽅程.*（ⅳ）学会计算空间曲线在坐标平⾯的投影⽅程. Ⅱ、基本题型（ⅰ）母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程与平⾯直⾓坐标系下曲线⽅程的区别. 47．（每题5'）指出下列⽅程在平⾯解析⼏何中和空间解析⼏何中分别表⽰什么图形？（1）3=x ；（2）42=+y x ；（3）122=+y x ；（4）.2x y = *（ⅱ）常⽤⼆次曲⾯的草图画法及图形辨识. 48．（每题5'）说出下列⼆次曲⾯的名称，并作草图：（1）1)3()2()1(222=-+-++z y x ;（2）14222=++z y x ; （3）;22y x z +=（4）;422y x z +=（5）.422y x z --=*（ⅲ）空间曲线在坐标平⾯上的投影⽅程计算.49．（5'）求+=--=.)(3,42222y x z y x z 在xoy ⾯上的投影⽅程.Ⅲ、提⾼题型（ⅰ）旋转曲⾯⽅程的计算（⾃学）.50．（7'）将xoz 坐标⾯上的双曲线12222=-cz a x 分别绕z 轴和x 轴旋转⼀周，求所⽣成的旋转曲⾯⽅程.51．（4'）⽅程9322222=++z y x 在空间直⾓坐标系中表⽰----------------------------（）. A 球⾯ B ⾮旋转椭球⾯ C 旋转椭球⾯ D 椭圆抛物⾯.52．(7')设过点（1，0，0）且平⾏于Z 轴的直线为L ，在yoz ⾯内，有⼀抛物线段21z y -=)11(≤≤-z ,求此曲线段绕直线L 旋转所得曲⾯∑的⽅程.（ⅱ）画出各曲⾯所围成的⽴体图形（⾃学）.53．(7')012243,1,2,0,0,0=-++=====z y x y x z y x . 54．(7')22y x z +=及222y x z --=.第七章测试题⼀、（7×4'）选择题:1. 点),,(c b a 关于y 轴的对称点坐标为-------------------------------------------------------（）. A ),,(c b a --- B ),,(c b a -- C ),,(c b a - D ),,(cb a -.2. 下列哪组⾓可以作为某个空间向量的⽅向⾓---------------------------------------------（）. A 60,45,30 B 90,60,45 C 120,90,60 D 135,90,45.3. 1222=+y x 在空间直⾓坐标系下表⽰---------------------------------------------------（）. A 椭圆 B 圆柱⾯ C 椭圆柱⾯ D 圆锥⾯.4. 设b a ,为与,同向的单位向量，则=j a Pr --------------------------------------（）. A a ? B a ? C ?b a D ?b a .5. 平⾯03326=-++z y x 与xoy ⾯夹⾓为-------------------------------------------（）.A6π B 4π C 3π D 2π. 6. 直线431232:--=+=-z y x L 与平⾯3:=++∏z y x 的位置关系为----------（） A 平⾏ B 垂直 C 斜交 D L 在平⾯∏上*7. ⽅程4922y x z +=在空间解析⼏何中表⽰------------------------------------------------（） A 旋转椭球⾯ B 椭圆抛物⾯ C 旋转抛物⾯ D 椭圆柱⾯⼆、（3×4'）填空题:1. 过点)3,2,1(M 且与yoz 坐标⾯平⾏的平⾯⽅程为________________.2.4=2=，24=?b a=________________.3. 点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离为________________. 三、（4×7'）计算题: 1. 试指出==+219422x y x 在平⾯直⾓坐标系与空间直⾓坐标系中分别表⽰什么图形？2. 设},0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{-=-=-=求.)(??3. 求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影.4. 求k 的值，使直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直.四、（9'）求平⾯1=++czb y a x 被三个坐标平⾯所截得的三⾓形⾯积（0≠abc ），并求该平⾯与三个坐标平⾯所围的⽴体体积.*五、（8'）求过点)1,0,2(且与直线=++-=-+-093240632z y x z y x 平⾏的直线⽅程.*六、（8'）求证：直线??=---=-+-01205235z y x z y x 包含在平⾯07734=-+-z y x 之内.七、（两题选作⼀题，每题7'）：*1. 设与1=，（∧π，求lim0x →*2. 求点)1,3,2(关于直线32217+=+=+z y x 的对称点坐标.第⼋章多元函数微分法及其应⽤⼀、多元函数的基本概念（A:§8.1;B:§7.2,§7.3）Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解⼆元函数的概念，理解⼆元函数的⼏何意义；了解n 维空间、多元函数概念（⾃学）.（ⅱ）掌握简单的多元初等函数定义域的计算；了解⼆元函数极限. （ⅲ）简单了解连续的概念以及有界闭域上连续函数的性质. Ⅱ、基本题型（ⅰ）⼆元函数解析表达式的确定.1．（4'）设xy y x f =),(，则=-+),(y x y x f ___________________. 2．（4'）若22),(y x y x y x f +=-+，则=),(y x f _____________________. （ⅱ）多元初等函数定义域的计算. 3．（每题4'）求下列多元函数的定义域：（1）]2)ln[(y x x y z --=; （2）2222z y x R u ---=+).0( 12222>>-++r R rz y x（ⅲ）简单的⼆元初等函数极限计算. 4．（每题5'）求下列各极限：（1）)ln(1)ln(lim )1,1(),(y x e e y x y x +++→；（2）2439lim)0,0(),(-+-+→xy xy y x ;（3）x y x -+→32lim)0,0(),(.（ⅳ）简单的⼆元初等函数连续问题. 5．（4'）是⾮题：⼀切⼆元初等函数在定义域内都连续（）. 6．（每题5'）求下列函数的间断点：（1）1ln 22-+=y x z ; （2）=z 122yx -.Ⅲ、提⾼题型（ⅰ）⽤定义讨论连续问题.7．（7'）证明??=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处不连续.8．（7'）证明=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在)0,0(处连续.⼆、偏导数（A §8.2,§8.4,§8.5; B §7.4,§7.6, §7.7）Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解⼆元函数偏导数的概念，记忆偏导与连续的关系.（ⅱ）掌握具有明确解析式的多元初等函数偏导数及⼆阶偏导数的计算. （ⅲ）掌握⼆元复合函数⼀阶偏导数的链式法则，学会计算⼆阶偏导数. （ⅳ）了解隐函数概念及其存在定理，学会计算⼀元、⼆元隐函数⼀阶偏导. Ⅱ、基本题型（ⅰ）多元初等函数的偏导计算. 9．（每题7'）求下列函数的偏导数或偏导数值: （1）)ln(xy z =，求;xz（2）y x z 2tan=，求;,yzx z （3）设yy x y x f arcsin )1(),(-+=，求);1,(x f x （4）设zy xu =，求);2,2,3( ),2,2,3( ),2,2,3(z y x u u u（5）设yxy z )1(+=，求. ,y x z z10．（每题7'）求下列函数的⼆阶偏导数或偏导数值:（1）设13323+--=xy xy y x z ，求y x z 2，xy z 2，);0,1(xx f（2）设x yz arctan =，求22xz ??，;xy z11．（7'）验证函数22ln y x z +=，满⾜⽅程.02222=??+??yzx z（ⅱ）复合函数的偏导计算.12．（7'）设v e z usin =，⽽xy u =，y x v +=，求x z ??，.yz13．（7'）设t uv z 2sin +=，⽽t u ln =，t v =，求全导数.dt dz14．（7'）设),(22y x xy f z =，求x z ??，.yz15．（7'）设)cos ,(sin 2y x f x z =，求x z ??，.yz，.2y x z 16．（7'）设)(u xF xy z +=，⽽xy u =，)(u F 为可导函数，求证：.xy z y zy x z x +=??+??17．（7'）设])([y x f z +=?，其中?,f 具有⼆阶连续偏导数，求.xy z （ⅲ）⼀元、⼆元隐函数的偏导计算（*含⽅程组所确定的简单隐函数）. 18．（7'）设0sin 2=-+xy e y x，求.dxdy19．（每题7'）计算⼆元隐函数的偏导: （1）设04222=-++z z y x ，求x z ??，;yz（2）设yzz x ln =，求. ,y x z z 20．（7'）证明0)c o s ()s i n (=-+-bz cy az cx 所确定的隐函数),(y x f z =满⾜.c yz b x z a=??+?? *21．（7'）设??=+=-.1,0xv yu yv xu ，求x u ??，.y v*22．（7'）设?=++=++.1,1222z y x z y x ，求dx dz ，dy dz . Ⅲ、提⾼题型（ⅰ）⽤定义计算分段函数的偏导.23．（7'）证明??=+≠++=0 ,00 ,),(2222222y x y x y x x y x f 在点)0,0(连续，但)0,0('x f 不存在.（ⅱ）较复杂的复合函数⼆阶偏导计算.24．（7'）设),(2yxx f z =，f 具有⼆阶连续的偏导数，求.2y x z25．（7'）设),(y x f 可微，()()()()()(),2,,,42,1,32,1,22,1''x x f x f x f f f y x ====?求()1'.（ⅲ）混合函数偏导计算.26．（7'）设32),,(yz x z y x f =，其中),(y x z z =由⽅程03222=-++xyz z y x 确定，求)1,1,1('x f ．27．（7'）设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满⾜.c yzb x z a=??+?? *28．（7'）设??-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u ，其中g f ,具有⼀阶连续偏导数，求.,x vx u 三、全微分（A:§8.3; B:§7.5）Ⅰ、内容要求（ⅰ）了解全微分的概念，记忆全微分存在的必要条件和充分条件. （ⅱ）按掌握偏导数计算的要求，掌握全微分计算. （ⅲ）学会⽤全微分形式不变性计算全微分. Ⅱ、基本题型（ⅰ）涉及多元函数连续，偏导，全微分关系的选择题. 29．记忆下述推理框图：且偏导连续z 可偏导由此框图可编出许多选择题，请同学们⾃编⾃考，并和⼀元函数连续、可导、可微的关系⽐较.（ⅱ）全微分的基本计算. 30．（每题7'）求下列函数的全微分dz （可⽤两种⽅法）: （1）22yx y z +=;（2）xyz arcsin=; （3）1432222=++z y x ;（4）若yz z x ln =. Ⅲ、提⾼题型（ⅰ）⽤定义计算分段函数的全微分.31．(1)（7'）设),(y x ?连续，),(||),(y x y x y x ?ψ-=，试研究),(y x ψ在)0,0(处的可微性;(2)（7'）设??=+≠++=0,00,2222222y x y x y x y x z ，求dz ；并讨论在)0,0(处，函数是否连续？是否可偏导？是否可微？四、多元函数微分学的应⽤（A:§8.6,§8.7,§8.8; B:§8.3,§8.4,§8.5）（⼀）⼏何问题Ⅰ、内容要求（ⅰ）记忆曲线在⼀点处的切向量公式以及曲⾯在⼀点处法向量的公式. （ⅱ）学会确定曲线的切线与法平⾯⽅程以及曲⾯的切平⾯与法线⽅程.*（ⅲ）理解⽅向导数与梯度的概念，了解其⼏何意义，记忆偏导、⽅向导数、可微的关系. *（ⅳ）掌握⽅向导数与梯度的计算. Ⅱ、基本题型（ⅰ）参数式曲线⽅程所确定的曲线在⼀点处切向量、切线及法平⾯⽅程计算.32．（7'）求曲线=+=+=211t z t t y t t x 在点)1,2,21(处的切向量、切线及法平⾯⽅程.33．（7'）求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在2π=t 所对应点处的切向量，切线及法平⾯⽅程.（ⅱ）由0),,(=z y x F 或),(y x f z =所⽰曲⾯在⼀点处法向量、切平⾯及法线⽅程计算. 34．（7'）求球⾯142 22=++z y x 在)3,2,1(处的内法向量、外法向量.35. （1）(7')求曲⾯3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的法向量、切平⾯及法线⽅程.（2）(7')求曲⾯=z 522-+y x 在点)0,1,2(处的法向量、切平⾯及法线⽅程..记忆：请同学们编出有关选择题.*（ⅳ）⼆元函数沿平⾯直线⽅向的⽅向导数计算；三元函数沿空间直线⽅向的⽅向导数计算.36．（7'）求函数)ln(2y x z +=在点)0,1(处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的⽅向导数. 37．（7'）求函数ze y x u 22+=在点)0,1,1(P 处沿从该点到点)1,0,2(Q 的⽅向l 的⽅向导数. 38．（7'）求函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿⽅向⾓为3,4,3πγπβπα===的⽅向导数.*（ⅴ）已知函数的梯度计算.39．（7'）设22),,(z y x z y x f ++=，求).3,2,1(f grad 40．（7'）设z y x z y x f ++=2),,(2，求).1,0,1(f grad Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）涉及本节内容与空间解析⼏何内容的综合计算.41．（7'）已知曲⾯)0()(32≠=++a a z y x xyz ，求其经过),,(a a a P -，),,(a a a Q --的两个切平⾯的交线⽅程.42．（7'）求空间曲线===234213141t z t y t x 的平⾏于平⾯023:=++∏z y x 的切线⽅程.*43．（7'）求椭球⾯932222=++z y x 与锥⾯2223y x z +=的交线C 上点)2,1,1(0-M 处的切线与法平⾯⽅程.请你总结⼀下曲线==0),,(0),,(z y x G z y x F 的切向量求法.*44．（7'）求函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B ⽅向的⽅向导数.*45．（7'）求函数z y x xy z y x z y x f 62332),,(222--++++=，在点)1,1,1(0M 处⽅向导数的最⼤值.*46．（7'）求函数32223240),,(z y x z y x f ---=在点)2,3,3(0--M 处沿n 的⽅向导数，其中n 为1),,(=z y x f 过0M 处的内法向量. *Ⅳ、提⾼题型（ⅰ）⽤定义计算⽅向导数（⾃学）. 47．（7'）试证明22),(y x y x f +=在)0,0(处沿任何⽅向的⽅向导数存在，但不可微.（ⅱ）难度较⼤的综合题型. 48．（7'）过??=++=+-120:z y x z y x L 作与曲⾯1:222=-+∑z y x 相切的平⾯，求此平⾯⽅程.49．（7'）设),(v u F 可微，试证曲⾯0),(=----cy c z a x F 上任⼀点处的切平⾯都通过定点. 50．（7'）在椭球⾯122222=++z y x 上求⼀点，使得函数222),,(z y x z y x f ++=沿着点)1,1,1(A 到)1,0,2(B ⽅向的⽅向导数具有最⼤值.（⼆）极值问题Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解多元函数极值与条件极值的概念.（ⅱ）记忆多元函数极值存在的必要条件，记忆⼆元函数极值存在的充分条件. （ⅲ）掌握⽤拉格朗⽇乘数法计算条件极值及其相应的简单实际的问题. Ⅱ、基本题型：（ⅰ）涉及到多元函数极值存在的必要条件的问题.51．（7'）若bx ay x y x z y x f -++-=22333),,(在)2,3(-处取得极值，求.,b a （ⅱ）涉及到多元初等函数极值充分条件的问题. 52．（7'）求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值. 53．（7'）求函数)2(),(22y x ey x f yx -=-的极值.（ⅲ）涉及到⼀个条件的条件极值的问题. 54．（7'）若)0,,(111>=+a y x ay x ，求xy z =的极⼩值. Ⅲ、综合应⽤题型（ⅰ）⾮条件极值的应⽤题（仅出现唯⼀驻点）. 55．（7'）有⼀宽为cm 24的长⽅形铁板，把它两边折起来做成⼀断⾯为等腰梯形的⽔槽.问怎样折法才能使断⾯的⾯积最⼤？56．（7'）设21,Q Q 依次为商品甲、⼄的需求量，2122115210,28p p Q p p Q -+=+-=，⼜设总成本函数2123Q Q C +=，其中21,p p 依次为商品甲、⼄的价格，问21,p p 取何值时，可使总利润最⼤？（ⅱ）涉及拉格朗⽇乘数法的综合题型.57．（7'）求原点到曲⾯1)(22=--z y x 的最短距离.58．（7'）将周长为p 2的矩形绕它的⼀边旋转⽽构成⼀个圆柱体.问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最⼤？59．（7'）要造⼀个容积等于定数k 的长⽅体⽆盖⽔池，应如何选择⽔池的尺⼨，⽅可使这的表⾯积最⼩？60．（7'）某⼚⽣产两种产品，产量分别为21,Q Q ，总成本函数80325222121+++=Q Q Q Q C若两种产品共⽣产39件，问21,Q Q 取何值时，可使总成本最⼤？61．(7') 某公司可以通过电台与报纸两种⽅式作销售⼴告.根据统计资料，销售收⼊R （万元）与电台⼴告费⽤1x （万元）及报纸⼴告费⽤2x （万元）之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=（1）在⼴告费⽤不限的情况下，求最优⼴告策略;（2）若提供的⼴告费⽤为1．5万元，求相应的最优⼴告策略. 62．（7'）设在x 轴的上、下两侧有两种不同的介质Ⅰ和Ⅱ.光在两种介质中的传播速度分别是1v 和2v ，⼜设点A 在Ⅰ内，点B 在Ⅱ内，要使光线从A 到达B 所⽤的时间最短，问光线应取怎样的路径？Ⅳ、提⾼题型（ⅰ）涉及到多元隐函数极值的问题.63．（7'）求由⽅程10422222=-+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.你能⽤两种⽅法求解吗？（ⅱ）多元函数的最值问题.64．（7'）求函数22y x z +=在圆域9)2()2(22≤-+-y x 上的最值.65．（7'）求函数)4(),(y x xy y x f --=在由直线0,1==y x 及6=+y x 所围成的闭区域上的最值.第⼋章测试题⼀、（7×4'）选择题:1. ),(y x f z =各偏导存在是该函数可微的-------------------------------------------------（）. A 充分⾮必要条件 B 必要⾮充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件.2. 设xyy x y x y x f 2),(22-=-+，则=),(y x f -------------------------------------------（）.A22y x xy - B 222y x xy - C 224y x xy - D )(222y x xy-.3. 设yx z =，则=dz ----------------------------------------------------------------------------（）. A dx yx y 1- B xdy x y lnC xdy x dx yxy y ln 1+- D dy yx xdx x y y 1ln -+.4. 设函数),(y x f z =在点（00,y x ）处具有偏导数，则0),(),(0000==y x f y x f y x 是该函数在（00,y x ）取得极值的-------------------------------------------------------------------（）. A 充分⾮必要条件 B 必要⾮充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件.5. 设函数),,(y x t f u =，⽽),(),,(t s y y t s x x ==均有⼀阶连续偏导数，则=??tu（）. At y y f t x x f + B t y y f t x x f t f ++?? Ct y y f t x x f t u ++?? D sy y f t x x f t f ++??. 6. 上半球⾯229y x z --=在点)2,2,1(处的法向量可选为------------------------（）.A }1,1,21{-B }1,1,21{--C }1,1,21{-D }1,1,21{. 7. 设),(),,(),,(y x z z x z y y z y x x ===都是由⽅程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，则=xzz y y x -----------------------------------------------------------------（）. A 1- B 0 C 1 D 不确定，随F 不同⽽变化.⼆、（3×4'）填空题:1. 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为________________. 2. )1ln(22y x z ++=，则)2,1(dz =________________.3. 曲线=-=-=2sin 4cos 1sin tz t y tt x 在2π=t 所对应点处的切线⽅程为________________.三、（4×7'）计算题:1. 设)](),([y x f z ??=，其中?,f ⼆次可微，求.,2yx zx z2. 设),(y x z z =由1sin 22=+-ze z y y x 所确定，求.yz ??3. 设)23tan(2y x t z -+=，⽽t y t x ==,1，求z 关于t 的全导数.dt dz*4. 求函数22y xy x z +-=在点)1,1(处⽅向导数的最⼤值及相应的⽅向.。
D8.2偏导数与全微分
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 (2) 偏导数连续
偏导数存在 函数可微
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21
定理 (必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
求 fxy (0,0) , f yx (0,0) .
解：
fx (x, y)
f y (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
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分子与分母的商 !
？ z
x
xy y z
y (
z y2
)
1 x
z 1 xy
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8
二、二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
24
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
偏导数与全微分
偏改 变量
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
2.偏导数 设有函数 z f (x, y), 如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为f (x, y)在点
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2 已知 f ( x, y) e xy x y , 求 f x( x, y), f y( x, y), f x(1,2), f y(1,2).
解 f x( x, y) ye xy yx y1 f y( x, y) xe xy x y ln x
zy
xe x y ( x 1) 1 1 y
zy (1.0) e 2
dz 2edx (e 2)dy. (1,0)
定理8.2 如果函数 f (x, y) 在点P(x, y)及其邻域 内有连续的偏导数 f x( x, y)和 f y( x, y), 则该函数在点 P(x, y) 处可微.
(3)关系 函数 f (x, y)在 ( x0 , y0 )处的偏导数等于
偏导函数在( x0 , y0 ) 处的函数值.
(4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数,
对 y 求偏导把 x 看作常数,
原
按一元函数求导法则求.
始
法 则
重要注意事项
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
z z f (x, y)
.P
.O
y0
x0
T2
y
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
大一高数微积分下册答案
第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。