公务员考试之容斥原理及解题的技巧

公务员考试之容斥原理解题技巧

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：

A∪B=A+B－A∩B

快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )

A、27人

B、25人

C、19人

D、10人

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）

A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）

A.22人

B.28人

C.30人

D.36人

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。（曾凡稳）

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：

A∪B=A+B－A∩B

快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有( )

【答案】C

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B

得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数文氏图如下：

其中各区域含义分别为：1区域代表只属于A集合；2区域代表只属于A和B；3区域代表只属于B集合；4区域代表只属于B和C；5区域代表三集合公共部分；6区域代表只属于A和C；7区域代表只属于C集合；2+5区域代表A∩B；4+5区域代表B∩C；5+6区域代表A∩C；1+2+5+6区域代表属于A集合；3+2+5+4区域代表属于B集合；4+5+6+7区域代表属于C集合。

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）

A．120 B．144 C．177 D．192

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字，得下图：