由子系统主导的协同优化算法

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多智能体协同决策算法研究与性能优化

多智能体协同决策算法研究与性能优化近年来，随着人工智能和机器学习的快速发展，多智能体系统在各个领域的应用逐渐增多，这要求我们对多智能体协同决策算法进行深入研究与性能优化。

多智能体协同决策问题包含了多个智能体之间的协作与决策，旨在实现一个整体的目标。

多智能体协同决策算法研究的关键在于如何将各个智能体之间的不确定性和冲突进行有效处理，以实现系统整体的优化。

当前，已存在许多多智能体协同决策算法，如博弈论、强化学习、进化算法等。

然而，这些算法仍然面临一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解问题、通信开销大等。

因此，我们需要在已有算法的基础上，对其性能进行优化。

首先，针对计算复杂度高的问题，可以考虑使用分布式决策框架。

这样，每个智能体可以根据局部信息进行决策，从而降低计算复杂度。

同时，各个智能体之间可以通过通信进行信息传递和协调，以达成全局最优解。

分布式决策框架可以有助于解决多智能体系统中智能体规模较大、决策空间较大等问题，提高决策效率。

其次，对于局部最优解问题，可以考虑引入协作学习的思想。

协作学习是指多个智能体通过共享知识和经验，协同学习并提高整体性能的一种方法。

例如，可以使用集体智慧算法如蚁群算法、粒子群优化算法等，通过智能体之间的信息交流和协作，寻找全局最优解。

另外，也可以通过引入适应性学习算法，让智能体根据环境的变化不断调整策略，以适应系统的动态变化，避免陷入局部最优解。

最后，对于通信开销大的问题，可以考虑使用分布式优化算法和无线传感器网络等技术。

分布式优化算法可以通过优化智能体之间的通信策略，使得通信开销降低，从而提高算法的性能。

另外，无线传感器网络可以用于多智能体系统中智能体之间的信息交流，从而降低通信开销，并保证系统的实时性和可靠性。

综上所述，多智能体协同决策算法的研究与性能优化是一个复杂且具有挑战性的问题。

为了实现系统整体的优化，我们可以考虑分布式决策框架、协作学习和分布式优化算法等方法。

通过对算法进行性能优化，我们可以提高多智能体协同决策的效率和性能，推动多智能体系统的应用发展。

Isight-11-多学科设计优化-MDO-介绍

多学科设计优化—— 基本概念
• 多学科设计优化（Multidisciplinary Design Optimization） – 美国国家航空宇航局（NASA）Langley 研究中心的多学科分支机构（MDOB）对多学科设计优化的定义如下： • Multidisciplinary Design Optimization (MDO) is a methodology for the design of complex engineering systems and subsystems that oherently exploits the synergism of mutually interacting phenomena. – 多学科设计优化是一种针对于涵盖多个学科领域的复杂系统进行设计优化的方法，强调各学科子系统在独自设计优化的基础上的相互之间的并行协作 – 多学科设计优化的主要思想是在复杂系统设计的整个过程中集成各个学科的知识、分析不建模理论和计算方法，应用有效的设计优化策略组织和管理计算过程，充分发挥学科与家的技术优势，通过实现并行设计优化，获得系统的整体最优解
多学科设计优化—— 特点
• 按系统中各学科属性将复杂系统分解为子系统，其分解形式不工业界通用的设计组织形式相一致
• 各子系统具有相对独立性，便于发挥学科与家在某一领域的技术优势，应用适合于该学科的分析和优化工具进行建模和优化，提高子系统分析求解的准确度和效率，同时便于对学科优化设计模型进行调控
• 方法：通过学科级优化，采用松弛因子等方法实现系统级协调的方式，将多学科问题分解为系统级和学科级两层优化。
• 原理：协同优化算法的原理是将一复杂的目标函数分解成简单的子目标函数，然后再将这些子目标函数进行协同优化。 – 基本思想是每个子空间在设计优化时可暂时丌考虑其它子空间的影响，只需满足本子系统的约束，它的优化目标是使该子空间设计优化方案不系统级优化提供的目标方案的差异最小 – 各个子系统设计优化结果的丌一致性，通过系统级优化来协调，通过系统级优化和子系统优化之间的多次迭代，最终找到一个一致性的最优设计

多学科协同优化设计

协同优化设计
一、基本概念二、二、数学模型及求解算例
目录
三、协同优化的优、缺点
协同优化设计
一、基本概念二、二、数学模型及求解算例
目录
三、协同优化的优、缺点
系统优化问题：
协同优化设计的基本概念
协同优化设计的基本概念
协同优化的基本概念：
协同优化为两级优化，将原优化问题转化为一个系统级及多个并行的学科级。系统级将系统级变量的目标值分配给各学科，各学科在满足自身约束要求的情况下，目标函数应使本学科优化的系统变量值与系统分配下来的目标变量值差距最小，经学科级优化后，各目标函数再传回给系统级，构成系统级一致性约束，解决各学科间系统变量的不一致性。一般情况下要多次系统级优化才能实现学科级间的协调。
协同优化设计
一、基本概念二、二、数学模型及求解算例
目录
三、协同优化的优、缺点
协同优化设计
一、基本概念二、二、数学模型及求解算例
目录
三、协同优化的优、缺点
协同优化设计的数学模型及求解算例
协同优化的系统级优化模型
协同优化的学科级优化模型
响应面方法：
利用一系列系统级设计点和学科级优化结果进行二次拟合，形成新的系
J1={0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0} 学科级2： J2={0.802, 3.3743 , 8.3267, 8.9109 ,9.5149, 4.3663 ,1.198 , 0.9901}
协同优化设计的数学模型及求解算例
求解步骤：
（3）根据已得到的{z}、{J1}及{J2}构造响应面方程，利用最小二乘法求解未知系数，得到学科级目标函数的二次响应面。

大规模系统的分布式协同优化算法研究

大规模系统的分布式协同优化算法研究在当下信息时代，大数据与智能化应用已成为社会经济发展的核心驱动力。为了处理大量数据和解决大规模系统的优化问题，研究和开发高效的分布式协同优化算法已成为必然趋势，尤其是在互联网、物联网、工业4.0等领域。本文将探讨分布式协同优化算法在大规模系统中的应用、优化方法和挑战。

一、大规模系统中的分布式协同优化算法大规模系统是指由大量互相连接的组件构成的系统，如网络、交通、能源、金融等。在这些系统中，节点间的信息传递和协作起着至关重要的作用，如何利用节点间的信息协同解决优化问题成为一大挑战。此时，分布式协同优化算法就发挥了巨大作用。

分布式协同优化算法是指将优化问题分解成多个子问题，并由各节点在本地执行局部优化，最终通过信息交换和协同迭代达到全局优化结果的一种算法。这种算法具有优秀的高可扩展性、高灵活性和高准确性等特点，适用于解决大规模系统中的优化问题。

二、分布式协同优化算法的优化方法分布式协同优化算法可以应用于不同的优化问题，如多目标优化、非线性优化、凸优化等。其中，最为普遍的优化方法包括下列几种：

1. 调整目标函数：通过重新设计目标函数或引入辅助变量，使问题可分解成多个子问题并利用优化解决。

2. 分解方法：将复杂问题分解成多个子问题，再将子问题分配给各节点求解并协同汇总。

3. 向量衡量方法：将优化问题转化为多向量表达方式，使问题可分解成多个子问题，并利用各节点依据信息交换和协同更新求得全局最优解。 4. 组合方法：将多种优化方法和策略结合使用，如混合整数规划和机器学习方法等。

三、分布式协同优化算法面临的挑战尽管分布式协同优化算法在解决大规模系统的优化问题上具有很大的优势，但是仍然面临诸多挑战。

1. 传输负载：由于节点间需要不断进行信息交换，每次交换数据的传输负载很大，会影响算法的效率。

2. 资源管理：大规模系统中，资源的分布和管理是一项大量工作，如何合理分配各节点的计算和存储资源成为一大难题。

一种新的多学科协同优化方法及其工程应用

并减少计算量。１２新的协同优化算法理论分析．
考虑到等式约束条件／（＝０４ｘ）可以等价为：ｘ）０Ｈ（并且一－ｘ）／（ ≤０，Ｈ（０／而Ｘ）可以等价为一４ｘ）０，所以约束条件可均按Ｇ（０／（Ｘ）来表述。设原问题包含个子学科，Ｐ个约束条件，
一
种新的多学科协同优化方法及其工程应用
凌昊，程远胜，刘均，曾广武
（中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉４０７）华３０４
摘
要
本文提出了一种新的多学科设计协同优化方法，并将其应用于潜艇分舱设计中。方法在系统级通过学科该级耦合变量的折中来得到系统级耦合变量，采用各学科级目函数加权和来综合评价设计的优劣，避免了系标
凌
吴，等：一种新的多学科协同优化方法及其工程应用
Ｆ＝＋２＋Ｉ …＋Ｉ厂２＋ｉｚ＝，
ｉ＝１
“ ／ｚｊｌ．），＝，，１２
（３）
各个子学科的约束函数集合的并集为原Ｉ的约束函数集合。式中，司题
，、．
该问题的新协同优化模型如式（）和式（）所示：２３学科级：
ｍｎｉ
．
一ｉＲ
）２
ｋ｛２．） ∈ １，．，．，
（）２
ｓ．ｇ（Ｙ０．ｘ，）ｔ
系统级：
５２卷第２期（第１５期）总９
５２卷
第２期（第１５期）总９

协同控制算法

协同控制算法
协同控制算法是指多个控制器之间通过通信协作，共同控制同一系统，以实现更好的控制效果。

这种算法广泛应用于工业自动化、机器人控制、交通运输等领域。

协同控制算法的基本思想是将多个控制器的控制策略进行协调，使得整个系统的性能得到最优化。

协同控制算法的实现需要解决以下几个关键问题：
1.协同控制算法的设计：协同控制算法的设计需要考虑多个控制器之间的信息交换、控制策略协调等问题，同时需要根据具体的控制对象和控制要求，确定最优的控制算法。

2.通信协议的设计：协同控制算法需要通过通信协议实现多个控制器之间的信息交换，通信协议的设计需要考虑通信效率、通信可靠性等问题。

3.实时性问题：协同控制算法需要保证实时性，即在控制过程中及时响应控制信号，保证系统稳定性和控制精度。

4.容错性问题：协同控制算法需要具备容错性，即在某些控制器故障或通信故障的情况下，仍能保持系统的正常运行。

协同控制算法已经广泛应用于工业自动化、机器人控制、交通运输等领域。

在工业自动化领域，协同控制算法可以实现多个控制器对
工业生产线的协同控制，提高生产效率和生产质量；在机器人控制领域，协同控制算法可以实现多个机器人之间的协同作业，提高机器人的工作效率和精度；在交通运输领域，协同控制算法可以实现多个交通信号灯之间的协同控制，提高道路通行效率和安全性。

协同控制算法是一种高效的控制方法，可以在多个控制器之间实现信息交换和控制策略协调，提高系统的控制效率和控制精度。

随着通信技术和控制技术的不断发展，协同控制算法的应用范围将会越来越广泛。

介绍软硬件的协同

介绍软硬件的协同
软硬件的协同是指软件和硬件之间相互配合，共同工作的过程。

这种协同可以在多个层面上实现，包括系统内部子系统之间的协作、跨平台的技术整合以及在设计阶段的统一规划等。

具体如下：
1. 子系统协作：在复杂的系统中，不同的硬件和软件子系统需要相互沟通和协作，以确保整个系统的高效运行。

这种协作可以是软件与软件之间、软件与硬件之间，或者硬件与硬件之间的。

2. 协同设计：软硬件协同设计是一种开发方法，它强调在设计过程中对软件和硬件部分使用统一的描述和工具进行集成开发。

这种方法可以完成全系统的设计验证，并跨越软硬件界面进行系统优化。

3. 系统优化：软硬件协同设计的本质在于将软件和硬件的设计及优化统一起来，以期在系统层面获得更高的性能收益。

这种优化通常涉及到算法到硬件架构的映射，以及如何在不同层面上实现最佳的性能平衡。

4. 技术整合：在实际应用中，软硬件协同还可能涉及到不同技术平台的整合，例如在云计算、人工智能等领域，软件算法需要与特定的硬件平台（如AI芯片）紧密结合，以发挥最大的效能。

总的来说，软硬件的协同是现代技术发展的一个关键趋势，它要求开发者在设计时考虑到软件和硬件的相互作用，以实现更高效、更强大的系统解决方案。

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第３１卷第１期　２０１０年１月　宇　航　学　报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．１　Ｊａｎｕａｒｙ　２０１０　

由子系统主导的协同优化算法　梅小宁，杨树兴　（北京理工大学宇航科学技术学院，北京１０００８１）　

摘　要：针对多学科设计优化中的协同优化算法在应用时存在不可避免的困难，在标准协同优化问题分解模　式的基础上提出了一种改进算法ＳＬＣＯ（Ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　Ｌｅａｄｉｎｇ　Ｃｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）。ＳＬＣＯ充分利用了子系统优化结　果来产生新的系统级期望值，将优化目标和耦合处理都交给子系统来完成。从数学上证明了该算法的收敛性，并　用测试算例进行验证，结果表明，该算法稳定，寻优效果好，并且有一定的灵活性。　关键词：多学科设计优化；协同优化；一致性；耦合处理　中图分类号：Ｖ４２１．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—１３２８（２０１０｝０１．０２９２—０７　ＤＯＩ：１０．３８７３／ｉ．ｉｓｓｎ．１０００—１３２８．２０１０．Ｏ１．０４９　

０　引言　协同优化　（Ｃｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＣＯ）是使　用较多的ＭＤＯ多级算法之一。标准的ＣＯ算法可　以描述为：将优化任务分解为系统级和子系统级，系　统级负责优化目标函数，并给出一致性等式约束，子　系统则协同系统级处理耦合，使设计满足一致性约　束。具体执行时，首先由系统级给出一个包含耦合　变量的期望值传递给子系统，各子系统在满足自身　状态方程组和约束的前提下，找到与系统级期望值　

一致性最好的解，并将这个解和期望值之问的不一　致程度反馈给系统级。系统级则不断优化目标函　数，将新的期望值传递给子系统，直到子系统一致性　约束得到满足，并且目标函数达到最优。　在此过程中，系统级负责优化目标函数，子系统　被动地适应系统级给出的期望值，反馈给系统级的　仅仅是与期望值的差异，子系统获得的解中的更多　信息被丢弃了，这导致一致性很难得到满足。此外，　由于采用一致性等式约束来保证子系统之间的耦　合，只有当系统级所有的等式约束被满足时，才能找　到可行的优化解。而这里的一致性等式约束容易导　致Ｋａｒｕｓｈ—Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ稳态条件被破坏，使得非线性　规划等常规数值优化方法求解该问题时迭代过程无　法控制，甚至求解失败　。　收稿日期：２００９—０３—１４；　修回日期：２００９—０５．２０　基金项目：国防基础科研项目（Ｂ２２２００６０６０）　为了解决上述问题，本文在保留标准ＣＯ算法　两级分解特点的基础上，提出一种由子系统主导的　协同优化算法（Ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　Ｌｅａｄｉｎｇ　Ｃｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅ　Ｏｐｔｉｍｉ—　ｚａｔｉｏｎ，ＳＬＣＯ）。　１　ＳＬＣＯ算法内容　１．１　ＳＬＣＯ的问题空间定义　在包含Ⅳ个设计变量，　个状态变量的优化　问题中：　设计空间：由设计变量构成的Ⅳ维欧氏空间；　系统分析空间：由设计变量和状态变量共同构　成的　＋Ⅳ维欧氏空问；　系统可行空间：满足系统状态方程组和约束条　件的设计点的集合，它是系统分析空问的子空间；　子系统分析空间：子系统涉及到的设计变量和　状态变量构成的欧氏空间；　子系统可行空间：满足子系统的状态方程组和　约束条件的设计点的集合，是子系统分析空间的子　空间，所有子系统可行空间的交集为系统可行空间。　１．２　ＳＬＣＯ基本思想　ＳＬＣＯ的问题分解模式和标准ＣＯ相同，并通过　所有子系统获得的优化解来产生新一轮系统级期望　值，以充分利用上一轮优化结果的信息，使各子系统　设计方案能够尽快达到一致。　第１期　梅小宁等：由子系统主导的协同优化算法　２９３　子系统的不一致性体现为耦合变量的不一致，　所以系统级期望值向量由耦合变量构成，定义为所　有子系统上一轮结果的线性组合。为简单起见，令　线性系数为包含对应耦合变量的子系统个数的倒　数，那么下一轮期望值就为本轮各子系统设计点在　系统分析空间的几何中心，对于　个子系统包含的　耦合变量，有：　１　ｎ　＝÷∑　（１）ｃ　Ｔ厶　ｌ，　一ｉ＝ｌ　式中，　为耦合变量，　为优化子系统ｉ得到的值，　为下一轮期望值，／７，∈Ｎ是子系统个数，若子系　统ｉ不包含变量　，则Ｘｊ＝０。　在ＳＬＣＯ中，优化目标函数的任务也由子系统　完成。不失一般性，对于极小化优化问题，每个子系　统的设计向量需要满足两个要求：（１）与系统级期　望值的差异最小；（２）使目标函数最小。因此，子系　统的任务实质上是一个多目标优化，两个优化目标　分别为：　村　Ｄ　＝∑（　ｓ　—　ｓ　）　＋∑（Ｙ　—Ｙ　）　ｉ：１　１　ｆｉ＝ｆ（ｘ　，　，Ｙ　，Ｙ　）　式中，下标ｉ表示在子系统ｉ中，其中：　Ｄ　：子系统ｉ的不一致性，表示耦合变量和期　望值的差异；　、Ⅳ：子系统包含系统变量和耦合状态变量的　个数；　ｓ　Ｙ　：系统级设计变量和耦合状态变量；　厂：原目标函数；　ｘ．：独立设计变量构成的向量；　，：系统设计变量构成的向量；　Ｙ　：本地子系统状态向量；　ｒ　：其他子系统状态变量构成的状态向量。　优化时将这两个目标先转化为一个目标。由于　在可行解附近，Ｄ　的值趋于０，此时每一轮优化带　来的Ｄ．改进程度可能比目标函数的改进小多个数　量级，如果直接用线性加权来处理这两个优化目标，　将会导致在最后阶段，Ｄ　的优化很可能被忽略，从　而无法收敛到０或者精度要求的范围内。　因此，使用ｌｎ（Ｄ　）函数进行处理，ｌｎ（Ｄ　）是Ｄ；　的单调增函数，在优化中不会改变Ｄ　的最优值，并　且在Ｄ　的０值附近可以更加灵敏的反映其变化。　经过上述处理，再用式（２）将子系统优化任务转　化为单目标。　Ｆ　＝　＋（１一　）ｌｎ（Ｄ　）　（２）　式中，　∈［０，１］为分配两个目标函数权重的权重　因子。若　取值太小，当收敛到一致性条件满足精　度要求时，所得到的可行解不一定是最优解　。　取值越大，获得的可行解越接近理论最优值，但太大　又可能破坏收敛性。因此将　设定为动态值，用子　系统不一致性Ｄ　的改善程度ＡＤ　，结合目标函数的　变化情况作为修改　的依据。采用合适的准则修　改　能最大可能地获得理想的最优解，将在下文的　具体步骤中详细叙述。　３Ｄ　定义为：　

△Ｄ：　＝　（ｎ为优化迭代次数）　』，ｉ　

综上，ＳＬＣＯ的优化任务可以描述为：　系统级：　

：　窑　２，…　

ｙ　＝去　Ｋ　Ｊ＿　２，…＇Ⅳ）　子系统：　ｆｉｎｄ　ｘ　，ｘｓｔ，ｙｒ１　ｗｆｉｎ　Ｆｉ＝　＋（１一　）Ｉｎ（Ｄ，）　Ｓ．ｔ．　Ｇ（　，　，Ｙ　，ｙｒｉ）≤０　Ｈｉ（　，船　，Ｙ　，ｙｒ　）＝０　ｗｈｅｒｅ　＝Ｆｙ　（　，船　，ｙｒ　）　

＝ｆ（ｘ　，船　，　，ｙｒ　）　Ｍ　Ｎ　Ｄ　＝∑（ｘｓ　—ｙｅｓ４）。＋∑（），　—Ｙ　）　

式中：　Ｋ：子系统个数；　Ｋｘｓｊ：包含系统设计变量　的子系统个数；　

，：包含耦合变量　，的子系统个数；　Ｇ　：不等式约束方程组；　日　：等式约束方程组；　毋　：状态方程组。　１．３　ＳＬＣＯ步骤　根据前面所讨论的内容，ＳＬＣＯ的步骤如下：　２９４　宇航学报　第３ｌ卷　（１）给定初始设计　。，Ｙ。，令期望值　＝　０，Ｙ　＝Ｙ０，权重因子　＝１；　（２）子系统将　，　。，ｙｒｉ作为设计变量，对目　标函数　＝　＋（１一　）ｉｎ（Ｄ　）执行优化，得到优　化解　，　ｓ　，ｙｒ；；　（３）由　，ｙｒ；计算新的期望值船　，Ｙ　；　（４）检测收敛条件，若条件满足，终止迭代过　程，输出　、　作为优化解，对应状态变量为Ｙ　，　否则修改　值，转步骤（２）继续执行。　其中修改　的准则和收敛条件为：　（１）令　为精度要求的一足够小正数，若Ｄ　＞　且ｍａｘ（ＡＤ　）＞７７，保持　不变；若ｍａｘ（ＡＤ　）＜　７７，减小　值；　（２）若Ｄ　＜　，可停止优化，此时得到的设计　变量不一定是理论最优解，而是一个改进的可行解。　不断增加　值，并保存此前获得的解，继续优化过　程，直到满足下面两个条件之一：（ａ）Ｄ　＞　且　ｍａｘ（ＡＤ；）＜叩，输出最后一次　值增加之前的解作　为优化结果。（ｂ）　达到取值上限　，且目标函数　值无明显变化。　此外，在条件（２）的Ｄ　＜　满足之后，可以根据　情况和计算成本随时停止迭代过程，此时虽然不能　获得理论最优解，仍将获得一个更优秀的可行解。　

２收敛性　２．１收敛过程　由式（１）得出系统级期望值后，若子系统暂不考　虑目标函数　，仅对Ｄ　执行极小化优化。那么，只　要系统级存在可行空间，若干轮优化之后，子系统解　和系统级期望值的不一致性将趋于０，即此过程是　收敛的。图１用几何方式表示了二维系统分析空间　中两个子系统的问题，曲线ＳＳＡ。和ＳＳＡ　分别为两　个子系统的可行空间，交点　为唯一的可行点。　以　’为初始点，经过迭代，每一轮各子系统的设计　点和系统级期望值构成的序列都将收敛到　。　考虑目标函数．　时，只要　取值合适，使得新　

一轮子系统的解和期望值的差异比上一轮小，迭代　过程仍是收敛的。如图２，曲面Ａ、　分别表示两个　子系统的可行空间，ＡＢ相交构成的曲线　表示系　

／　（０）＼／　

＼　

图１子系统设计点及期望值收敛过程　Ｆｉｇ．１　Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ａｎｔｉｃｉｐａｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　

统可行空间。椭圆曲线表示目标函数在设计空问分　布的等值线，点ｏ　、ｂ　分别为空间Ａ和　中的目标　函数最优点。按照ＳＬＣＯ算法的迭代过程，以　。为　初始点，若取　＝０，将忽略目标函数，随着系统级迭　代的进行，子系统设计点会如图１所描述的方式在　Ａ、口中分别沿着曲线ａ，、　逐步收敛到可行点　。；　取合适的　∈（０，１），子系统设计点分别沿着曲线　ａ　、ｂ　上的点逐步收敛到优化的可行点　。　

图２三维空间中两子系统Ｉ司题的ＳＬＣＯ方法　迭代过程示意图　Ｆｉｇ．２　ＳＬＣＯ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｓｋｅｔｃｈ　ｏｆ　ｂｉ・－ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　３—－Ｄ　ｓｐａｃｅ　

２．２收敛性证明　设共有ｋ个子系统，各子系统可行空间（证明中简　＾　称为子空间）分别表示为　（　＝１，２，…，ｋ），ｎＸｉ为子　

‘＝Ｉ　空间的交集，亦即系统可行空间。　ｌｍ］（ｍ＝１，２，…）为　

第ｍ轮得到的子系统ｉ的解，　为第ｍ轮计算得出　的第ｍ＋１轮系统级期望值，系统分析空间中两点ｎ与