山东省威海市数学高二下学期文数第一次月考模拟卷
山东省威海市数学高二下学期文数第一模块试卷
山东省威海市数学高二下学期文数第一模块试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·河北模拟) 若命题p为：为（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量,则x=4是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高二下·安徽期中) 已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A .B . 4C . -4D . -4i4. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A . 假设三个内角都不大于60°B . 假设三个内角都大于60°C . 假设三个内角至多有一个大于60°D . 假设三个内角至多有两个大于60°5. （2分） (2019高二下·舒兰月考) 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分）命题：是奇数，：是偶数（）则下列说法中正确的是（）A . 或为真B . 且为真C . 非为真D . 非为假7. （2分） (2018高二下·长春期末) 如图是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2）处依次为（）A . 命题及其关系、或B . 命题的否定、或C . 命题及其关系、并D . 命题的否定、并8. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 设曲线在点处的切线方程为，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 下列关于四种命题的真假判断正确的是（）A . 原命题与其逆否命题的真值相同B . 原命题与其逆命题的真值相同C . 原命题与其否命题的真值相同D . 原命题的逆命题与否命题的真值相反10. （2分） (2019高二下·汕头月考) 函数f（x）=2x-sinx的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·辽宁模拟) “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A . 2017×22016B . 2018×22015C . 2017×22015D . 2018×2201612. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（）A .B .C . -1D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·吴江模拟) 设a∈R，则“a＞1”是“a2＞l”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”）14. （1分）函数f（x）=exsinx在区间[0， ]上的值域为________．15. （1分）设f（x）=， x=f（x）有唯一解，f（x0）=， f（xn﹣1）=xn ， n=1，2，3，…，则x2015=________16. （1分） (2019高三上·番禺月考) 设函数，已知在有且仅有5个零点，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知a∈R．命题p：函数f（x）= 的定义域为实数集R，命题q：函数g（x）=2x ﹣a（x≤2）的值域为正实数集的子集．若“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．18. （10分）(2020·贵州模拟) 已知函数，（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，对于任意，都有 .19. （10分）(2017·汉中模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣ax+ ，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ，n≥2）．20. （10分） (2017高一上·西城期中) 设，函数．（1）若在上单调递增，求的取值范围．（2）即为在上的最大值，求的最小值．21. （10分） (2017高二下·资阳期末) 已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围；（2）求证：．22. （10分）(2020·茂名模拟) 设函数，曲线在点处的切线方程为 .（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）当时，若为整数，且，求的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2023-2024学年山东省威海乳山市高二下学期开学数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省威海乳山市高二下册开学考试数学模拟试题一、单选题1．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数=a （）A ．2i -B ．4-C ．2D ．4【正确答案】B依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则另一根为2i -由韦达定理得()()22i i a ++-=-，所以4a =-故选：B2．直线10x +=的斜率为（）AB ．C ．3D ．3-【正确答案】C10x +=可化为33y x =，即可得出斜率.【详解】10x +=可化为33y x =，则3k =故选：C本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.3．已知动点P 在直线1:3410l x y -+=上运动，动点Q 在直线2:640l x my ++=上运动，且12l l //，则PQ 的最小值为（）A ．35B ．310C ．15D ．110【正确答案】C根据两平线上任意两点距离的最小值即为平行线间的距离求解.【详解】因为12l l //，所以64341m =≠-，解得8m =-，化简得2:3420l x y -+=设12,l l 间的距离为d ，则15d =，由平行线的性质知PQ 的最小值为15，故选：C4．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD =）A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．150︒【正确答案】C设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，22222||||cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-，292516234cos α∴=++-⨯⨯⨯，解得cos 0α=，∴90α=︒，∴这个二面角的度数为90︒，故选：C.本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.5．如图，在正四面体OABC 中，D 是OA 的中点，则BD 与OC 所成角的余弦值是A ．12B C ．2D ．6【正确答案】B【分析】取AC 的中点E ,连接DE ,BE ,可得BDE ∠就是BD 与OC 所成的角,设OA a =,可得2BD BE a ==,12DE a =,利用余弦定理可得cos BDE ∠的值,可得答案.【详解】解:如图:,取AC 的中点E ,连接DE ,BE ,可得BDE ∠就是BD 与OC 所成的角,设OA a =,则2BD BE ==,12DE a =,222cos 2BD DE BE BDE BD DE +-∠==⋅故选:B.本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.6．若关于x的方程3kx k =+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B转化为函数(1)3y k x =-+与函数y =作出函数的图象，利用,MA MB 的斜率可求得结果.【详解】因为关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，所以函数(1)3y k x =-+与函数y =(1)3y k x =-+与半圆y =如图：直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆21y x =-A 时，211k =+，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k =，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数21y x -k 的范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：B方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求.7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（）A ．4039B ．4040C ．4041D ．4042【正确答案】B由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（）A ．119B ．121C ．120D ．122【正确答案】C根据题设条件化简得到2214n n a a +-=，结合等差数列的通项公式，求得n a =1112n n a a +=+，结合裂项法，求得数列的前n 项和，列出方程，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，可得2214n n a a +-=，所以数列{}2n a 是以4首项，公差为4的等差数列，所以24n a n =，可得n a =又由111122n n a a +==+，前n项和)111122n S =++=，令)1152=，解得120n =.故选：C.裂项求和的方法与注意点：1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前n 项和；2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.二、多选题9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（）A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12n n S =3+，则数列{}n a 是等比数列D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝【正确答案】AB直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断.【详解】选项A.由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 20191822211=+++++= 故A 正确.选项B.由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C.由12n n S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.选项D.由122n n n a a a +=+，可得11112n n a a +-=所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列.所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误.故选：AB关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.10．关于双曲线221:132x y C -=与双曲线222:123y x C -=下列说法正确的是（）A ．它们的实轴长相等B ．它们的渐近线相同C ．它们的离心率相等D ．它们的焦距相等【正确答案】BD根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.【详解】双曲线221:132x y C -=，223,2a b ==，2225c a b =+=，实轴长2a =y x x ==，离心率3c e a ==，焦距2c =双曲线222:123y x C -=，222,3a b ==，2225c a b =+=，实轴长2a =渐近线方程3y x x ==，离心率2c e a ===，焦距2c =；综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等.故选：BD11．已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D．||2AB =【正确答案】ABD两圆相减就是直线AB 的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求AB .【详解】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确；11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，2AB ===，故D 正确.故选：ABD关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||AE ，AC DF ⊥，则（）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF1D ．AE 与平面1A BD 【正确答案】ACD【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证.选项A ：由||AE ==1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，；选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-；选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A:||AE =即=所以1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1的圆上；故A 正确；对于B:正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A内，1A 到直线11B D的距离为d =当点E ，F 落在11A C上时，min ||1EF ；故C 正确；对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D 因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=- 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z = ，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =，设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：2|||4sin|cos,|||||n AEn AEn AEπθα⎛⎫++⎪==⨯当且仅当4πθ=时，sinα=故D正确故选：CD多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．三、填空题13．若直线10x y-+=与直线310mx y+-=互相垂直，则实数m的值为__________．【正确答案】3直接利用两直线垂直，求出m.【详解】因为直线10x y-+=与直线310mx y+-=互相垂直，所以30m-=，解得：3m=故3若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1B2=0,两直线垂直.14．已知()1,1,0a=r，()1,0,2b=-r，且ka b+与2a b-的夹角为钝角，则实数k的取值范围为____.【正确答案】()7,22,5⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且夹角不为平角.【详解】()()1,,2,23,2,2ka b k k a b+=--=-，ka b+与2a b-的夹角为钝角，则()()2570ka b a b k+⋅-=-<，即75k<.又当ka b+与2a b-的夹角为平角时，有12322k k-==-，得2k=-.故实数k的取值范围为75k<且2k=-.故()7,22,5⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭15．若数列{a n}的前n项和为S n＝23a n＋13，则数列{a n}的通项公式是a n=______.【正确答案】1(2)nna-=-；【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1,当n≥2时，a n=S n-S n-1=（2133na+）-（12133n a -+）=23n a -123n a -整理可得13a n ＝−23a n−1，即1n n a a -=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．考点:等比数列的通项公式．16．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN 的最小值是________.根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可.【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小．因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==，所以当||PM 最小时，||MN最小因为PM =∣所以当||PC 最小时，||MN 最小．因为min ||PC ==，所以cos MCP ∠所以sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN ∠=所以min ||3MN =．故答案为本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.四、解答题17．在①圆C 与y轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上．注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】答案见解析.选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b==由垂径定理得223r b =+解得1b =，所以2a =，2r =所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =-联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r =所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以5r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r=+可得：2540b b -=，因为该方程∆<0，所以方程无解故不存在满足题意的圆C ．“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.18．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设n n a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a a n n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得nS 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n a a n n +=+，因为n n a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1）13n n b -=，由13n n a n-=，可得13n n a n -=⋅，01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，上面两式相减可得：0121233333n nn S n --=++++-⋅ 13313nn n -=-⋅-，则(21)3144n n n S -=+．数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.19．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.【正确答案】（1）2;n a n =（2）见解析【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，AD PA PB ===PA PB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明:平面PAD ⊥平面PBC ;（2）若M 为PC 中点，求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2105（1）利用DA ⊥平面PAB ，得到DA PB ⊥，又有PA PB ⊥，DA PA A = ，得到PB ⊥平面PAD ，从而平面PAD ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值．【详解】（1）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，矩形ABCD 中，DA AB ⊥，所以DA ⊥平面PAB因为PB ⊂平面PAB ，所以DA PB⊥又因为PA PB ⊥，DA PA A = ，DA ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD所以PB ⊥平面PAD ．因为PB ⊂平面PBC ，所以，平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）知DA ⊥平面PAB ，取AB 中点O ，连结PO ，则PO AB ⊥，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(2,0,0,)P ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B，(0,D -，M则(0,0,DA =-，(1,3,DM =，(0,4,DB =- ，设平面AMD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n DA n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即030z x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1y =-，则3x =，0z =，所以(3,1,0)n =- 同理易得，平面BMD的一个法向量为(m =-所以cos ,||||5m n m n m n ⋅<>==-⋅ ．由图示，平面AMD 与平面BMD 所成夹角为锐角，所以平面AMD 与平面BMD所成夹角的余弦值5．立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．21．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO 垂直AC ，再通过计算，根据勾股定理得PO 垂直OB ，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M 坐标，再利用向量数量积求得向量PC 与平面PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB ．因为2AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥==，由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知，PO ⊥平面ABC ．（2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,,(0,2,O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB = ．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =- ．设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2=0+(4)=0y ax a y -⎧⎪⎨⎪⎩，可取24),,)n a a =--所以cos OB n 〈⋅〉．由已知得cos OB n 〈⋅〉= ．=．解得4a =-(舍去)，43a =．所以4333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．又(0,2,PC =- ，所以cos ,4PC n 〈〉=．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4．［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知PO ⊥平面ABC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ．如图5，在平面ABC 内作MN AC ⊥，垂足为N ，则MN ⊥平面PAC ．在平面PAC 内作NF AP ⊥，垂足为F ，联结MF ，则MF AP ⊥，故MFN ∠为二面角M PA C --的平面角，即30MFN ∠=︒．设MN a =，则,4NC a AN a ==-，在Rt AFN △中，(4)2FN a =-．在Rt MFN △中，由(4)a a =-，得43a =，则823FM a ==．设点C 到平面PAM 的距离为h ，由M APC C APM V V --=，得2141184433323h ⋅=⋅⋅⋅⋅，解得h PC 与平面PAM ［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知PO ⊥平面ABC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ．如图6，在平面ABC 内作MN AC ⊥，垂足为N ，则MN ⊥平面PAC ．在平面PAC 内作NF AP ⊥，垂足为F ，联结MF ，则MF AP ⊥，故MFN ∠为二面角M PA C --的平面角，即30MFN ∠=︒．同解法1可得43MN a ==．在APC △中，过N 作NE PC ∥，在FNM △中，过N 作NG FM ⊥，垂足为G ，联结EG ．在Rt NGM △中，42233NG NM ==⋅=．因为NE PC ∥，所以843NE NA a ==-=．由PA ⊥平面FMN ，可得平面PAM ⊥平面FMN ，交线为FM ．在平面FMN 内，由NG FM ⊥，可得NG ⊥平面PAM ，则NEG ∠为直线NE 与平面PAM 所成的角．设NEG α∠=，则3sin 83NG NE α==NE PC ∥，所以直线PC 与平面PAM 所成角的正弦［方法四］：【最优解】定义法如图7，取PA 的中点H ，联结CH，则CH =C 作平面PAM 的垂线，垂足记为T （垂足T 在平面PAM 内）．联结HT ，则CHT ∠即为二面角M PA C --的平面角，即30CHT ∠=︒，得CT =联结PT ，则CPT ∠为直线PC 与平面PAM 所成的角．在Rt PCT △中，4,PC CT ==sin 4CPT ∠=．【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，离心率为2，且过点2D ⎫⎪⎪⎭．（1）求椭圆E 的标准方程;（2）过点()4,0P 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点(N 在P ，M 之间)．证明:直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．【正确答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（1）待定系数法求椭圆标准方程；（2）用“设而不求法”表示出M 、N ，，从而表示出直线MB ，NA ,证明直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．【详解】（1）因为2c e a ==，所以12b a =椭圆过点2D ⎫⎪⎪⎭，所以2221142b b +=，所以2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=（2）设直线:4l x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y 联立22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2248120m y my +++=2161920m ∆=->，m >m <-由韦达定理得：12284m y y m -+=+，122124y y m =+由题意得：直线11:(2)2y MB y x x =--，直线22:(2)2y NA y x x =++所以()()12212(2)2(2)y x x y x x +-=-+即()()12112212121262262x my y y my y y my y y y my y +--=+++整理得()()121221622226x y y my y y y -=++，即()()121221622326x y y y y y y -=-+++⎡⎤⎣⎦即()()12126262x y y y y -=-若213y y =，则1m =±，此时2161920m ∆=-<，所以12620y y -≠所以1x =（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
2023-2024学年山东省威海市乳山市高二下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省威海市乳山市高二下册4月月考数学试题一、单选题1．假设A B ，是两个事件，且()0P A >，()0P B >，则下列结论一定成立的是（）．A ．()()P AB P B A ⋂≤B ．()()()P A B P A P B ⋂=C ．()()P B A P A B =D ．()()P B P B A =【正确答案】A【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可【详解】解：对于A 选项，由()()()P A B P B A P A ⋂=，()01P A <≤，可知()()P A B P B A ⋂≤，故A 正确；对于B 选项，()()()P A B P A P B ⋂=成立的条件为A B ，是两个独立事件，故B 错误；对于C 选项，由()()()P A B P B A P A ⋂=，()()()P A B P A B P B ⋂=，故当()()P A P B =时才有()()P B A P A B =，故C 错误；对于D 选项，若()()()()P A B P B P B A P A ⋂==，故()()()P A B P A P B ⋂=，即A B ，是两个独立事件时()()P B P B A =成立，故D 错误．故选：A ．2．将英文单词“rabbit ”中的6个字母重新排列，其中字母b 不相邻的排列方法共有（）A ．120种B ．240种C ．480种D ．960种【正确答案】B【分析】先排除b 之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b 即可.【详解】由题意可先排除b 之外的其余四个字母，有44A 种排法，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b ，有25C 种放法，故字母b 不相邻的排列方法共有4245A C 2410240=⨯=（种），故选：B3．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．34【正确答案】C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.4．已知函数()()21cos ,4f x x x f x =+'为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】求出()1sin 2f x x x '=-，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.【详解】由()21cos 4f x x x =+可知()1R,sin 2x f x x x ∈∴=-'，则()()1sin 2f x x x f x -=-+-'='，即()f x '为奇函数，故A ，D 错误；又ππ1π6(0612212f -'=-=<，故C 错误，B 正确，故选：B5．目前，国际上常用身体质量指数BMI ()()22kg m =体重单位：身高单位：来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）A ．3100B ．9200C ．35D ．34【正确答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为2n 和n ，则男员工中，肥胖者有33210050n n ⨯=人，女员工中，肥胖者有210050nn ⨯=人，设任选一名员工为肥胖者为事件A ，肥胖者为男性为事件B ，则3150()350n P AB n ==，325050()375n nP A n +==，则1()350()2()475P AB P B A P A ===.故选：D.6．已知函数()2ln 1f x x mx =+-有两个零点,a b ，且存在唯一的整数[]0,x a b ∈，则实数m 的取值范围为（）A ．e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,B ．ln 3e e ,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 2e ,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2e ,14⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】将函数()2,)ln (01f x x mx x ->=+有两个零点,a b ，转化为()2ln 1(0),x h x x y m x +=>=的图象有两个交点问题，利用导数判断()h x 的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数[]0,x a b ∈的不等关系，即可求得答案.【详解】由题意函数()2,)ln (01f x x mx x ->=+有两个零点,a b ，即()2ln 10f x x mx =+-=，得2ln 1x m x +=有两个正实根，设()2ln 1(0)x h x x x +=>，则()()()()4332ln 112ln 12ln 1x x x x x h x x x x -+-+-+='==，令()0h x '=，解得12e x -=，当120e x -<<时，()0h x '>，()h x 在12(0,e )-上单调递增；当12e x ->时，()()0,h x h x '<在12(e ,)-+∞上单调递减；故当12e x -=时，函数取得极大值，且12e e 2h -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1e x =时，()0h x =；当10e x <<时，()0h x <；当1ex >时，()2ln 10,0,0x x h x +>>>，作出函数()h x 的大致图象，如图所示：直线y m =与()2ln 1x h x x +=的图象的两个交点的横坐标即分别为,a b ，由题意知121,e e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又()()ln21ln2e 11,244h h +===，因为存在唯一的整数[]0,x a b ∈，所以12b ≤<，又直线y m =与()2ln 1x h x x +=的图象有两个交点，由图可知：()()ln2e 21,14h m h m <≤∴<≤，即ln 2e ,14m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选：D.关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数[]0,x a b ∈，因此解答时利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，列出保证条件成立的不等式，求解答案.7．已知函数对于任意,()0x ∈+∞时，不等式e ln 1ax x x ax ++<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫-∞- ⎝⎭C ．(),e -∞-D ．(),1-∞-【正确答案】B【分析】将不等式化为e ln e 1ax ax x x +<，构造()ln f x x x =+进而化为(e )(1)ax f x f <，利用导数研究()f x 单调性，再得11ln a x x<在(0,)+∞上恒成立，构造()ln g t t t =研究其最值，即可得参数范围.【详解】由题设e ln ln e 1ax ax x x ++<，即e ln e 1ax ax x x +<，令()ln f x x x =+且,()0x ∈+∞，上述不等式等价于(e )(1)1ax f x f <=，而1()10f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上递增，则有e 1ax x <在(0,)+∞上恒成立，所以11ln a x x <在(0,)+∞上恒成立，记1t x=∈(0,)+∞，令()ln g t t t =，则()1ln g t t =+'，当10et <<时，()0g t '<，则()g t 单调递减，当1e t >时，()0g t '>，则()g t 单调递增，所以11ln y x x =在(0,e)上递减，在(e,)+∞上递增，则min e 1|e x y y ===-，故1e<-a .故选：B.关键点点睛：由e ln e 1ax ax x x +<并构造函数()ln f x x x =+并研究单调性，将问题转化为11ln a x x<在(0,)+∞上恒成立，再次构造()ln g t t t =研究最值求范围.8．已知ln 20.69≈，设3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】将a 化为3332，和b 比较，确定变量，构造函数3()2x x f x =，利用其导数判断其单调性，即可比较,a b 大小，再比较,a c ，即可得答案.【详解】由于33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====，故设函数32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x xx x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==，当3ln 2x <时，()0f x '>，即()f x 在3(,)ln 2-∞上单调递增，由于33 4.35ln 20.69≈≈，故(3)(3.5)f f <，即333 3.53 3.522a b =<=，又ln82727363813a c e ==>>=，故b a c >>，故选：D关键点睛：比较,a b 的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题9．已知事件,A B 满足()()0.5,0.2P A P B ==，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若()0.2P BA =∣，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【正确答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A ，因为B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，错误；对B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.7P A B P A P B +=+=，正确；对C ，因为()()()0.2P AB P BA P A ==∣，所以()0.1P AB =，而()()0.5,0.2P A P B ==，所以()()()0.1P AB P A P B ==，正确；对D ，因为A 与B 相互独立，所以A 与B 相互独立，所以，()()()()()10.50.80.4P AB P A P B P A P B ⎡⎤==⨯-=⨯=⎣⎦，错误．故选：BC.10．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（）A ．展开式中所有项的系数之和为256B ．展开式中系数最大项为第3项C ．展开式中有2项有理项D ．展开式中不含x 的一次项【正确答案】CD【分析】根据题意列关于n 的方程，求出n 值，然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法，结合组合数的性质可解答此题．【详解】 在n 的展开式中，前3项的系数成等差数列，100221112()()222n n n C C C ∴⋅=+，解得：8n =或1（舍去）．当1x =时，所有项的系数和为：83()2562≠，A ∴错；8通项为：245861881()2rr r rr rr T C C x--+==128812188111221122k k k k k kk k C C C C ------⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩8!8!2(1)!(81)!(2)!.(82)!8!8!2(1)!(81)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⎪-⋅-+--+⎪⎪⎨⎪⎪⋅≥-⋅-+⋅-⎪⎩12110219k k k k ⎧≥⎪⎪--⎨⎪≥⎪-⎩34,k ≤≤展开式中第3项与第4项系数最大，B ∴错，当0r =，6时为有理项，共2项，C ∴对；由上面通项可令24516r-=，解得185r =不为整数，∴展开式不含x 一次项，D ∴对．故选：CD ．11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．关于函数()12ln f x x x x=++，下列判断正确的是（）A ．12x =是()f x 的极小值点B ．函数()f x 图像上的点到直线20x y -=C ．函数()()2g x f x x =-有且只有1个零点D ．不存在正实数k ，使()f x kx >成立【正确答案】AB【分析】对A ：求导，利用导数求极值点；对B ：结合导数的几何意义分析运算；对C ：求导，利用导数分析零点问题；对D ：结合选项C 中的结论分析判断.【详解】对A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22211112x x f x x x x -+'=-+=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；故函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()f x 的极小值点，故A 正确；对B ：设直线20x y b -+=与函数()f x 的图像相切，切点坐标为()00,x y ，由()2112f x x x'=-+，可得()02001122f x x x '=-+=，解得01x =，所以()0121ln13y f ==++=，即切点为()1,3，则切点()1,3到直线20x y -=的距离为d =即函数()f x 图像上的点到直线20x y-=B 正确；对C ：因为()()12ln g x f x x x x =-=+，所以()22111x g x x x x-=-+='，当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；故函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()11ln110g x g ≥=+=>，所以函数()()2g x f x x =-不存在零点，故C 不正确，对D ：由选项C 可知：()()20g x f x x =->，即()2f x x >恒成立，所以存在正实数k ，使()f x kx >恒成立，故D 错误．故选：AB ．方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B ，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解．三、填空题13．函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________【正确答案】(e,e)【分析】设切点坐标为()000,ln x x x ，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为()000,ln x x x ，由函数()ln g x x x =可得()ln 1g x x '=+，因为函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，所以0ln 12x +=，解得0e x =，所以切点坐标为(e,e)，故答案为.(e,e)14．50张中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．【正确答案】15【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n .【详解】用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝()()()()()()1122248248505048!48!21!49!2!50!10.550!50!2!50!!50!n n n nn n n n C C C C C C n n n n --⋅----+>⇒+>--，所以()()25011504950492n n n n --+>⨯⨯，解得n ≥15.故15.15．()()()357222x y y z z x ---的展开式中不含z 的各项系数之和______.【正确答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得z 项幂次为0，确定项数后即可得到答案.【详解】()()()357222x y y z z x ---利用二项展开式的通项公式进行展开，设()32x y -项为k ，()52y z -项为n ，()72z x -项为m .展开后得()()()357357C 2·C 2·C 2k n mk k n n m mx y y z y z ------对每一项进行合并得()357357C C C 2m k nk n mk m n k m n x y z ++-+-+-+-，因为展开式中不含z ，所以70m n -+=，又m 得取值为{}0,1,2,3,4,5,6,7，n 得取值为{}0,1,2,3,4,5，故得7,0m n ==.代入展开式得()()77071051053573C C C ·2C 2kkk k k kk k x y x y ++-+-+-=-，又k 得取值为{}0,1,2,3，分别带入后各项系数之和为()()()()()()()()789107891001233333C 2C 2C 2C 2232322128-+-+-+-=-+⋅-+⋅-+-=.故12816．已知对31,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()1e1ln 1mx m x x ++--恒成立，则实数m 的最小值是__________.【正确答案】21e/2e -【分析】()1e1ln 1mx m x x ++-≥-⇔11ln e e 1ln 1mx mx x x +++-≥+-，令()ln 1(0)f x x x x =+->，求导后判断()f x 在()0,∞+上单调递增，从而问题转化为31,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1e mx x +≥恒成立.而1e mx x +≥⇔ln 1x m x -≥，令()ln 1x g x x -=，求导得到()2max 1eg x =，进而可求解.【详解】()1e1ln 1mx m x x ++-≥-⇔1e ln 1mx mx x x ++≥+-⇔()1e 11ln 1mx mx x x +++-≥+-⇔11ln e e 1ln 1mx mx x x +++-≥+-令()ln 1(0)f x x x x =+->，则31,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()1emx f f x +≥恒成立.对()ln 1f x x x =+-求导得()110f x x'=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.所以31,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1e mx x +≥恒成立.而1e mx x +≥⇔1ln mx x +≥⇔ln 1x m x-≥令()ln 1x g x x-=，则()22ln x g x x -'=令()20,e g x x '==，所以当21e ex ≤<时，()()0,g x g x '>单调递增；当23e e x <≤时，()()0,g x g x '<单调递减.所以()()22max 1e e g x g ==.故21e m ≥，即实数m 的最小值是21e .故21e 思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.四、解答题17．（1）求值：591C C n nn n --++．（2）若57A 56C n n =，且()23012312nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+．求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值．【正确答案】（1）4n =时，591C C 5n nn n --++=；5n =时，591C C 16n n n n --++=；（2）2-【分析】（1）根据组合数的性质推出n 的取值范围，再分类求解；（2）先求出n 的值，再运用赋值法求解.【详解】（1）由组合数的性质，可得05,091,n n n n ≤-≤⎧⎨≤-≤+⎩解得45n ≤≤．又因为*n ∈N ，所以4n =或5n =，当4n =时，原式1545C C 5=+=，当5n =时，原式0456C C 16=+=；（2）由57A 56C n n =，得()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，即()()5690n n --=，解得15n =或n =-4（舍去），所以15n =，当15n =时，由已知，得()15231501231512x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，令1x =，得012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-，令0x =，得01a =，所以123152a a a a +++⋅⋅⋅+=-18．已知m ，n 是正整数，f （x ）＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7．（1）对于使f （x ）的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；（2）利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)（3）已知(1＋2x )8的展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a．【正确答案】（1）5；（2）2.02；（3）1285．【分析】（1）由题可得117m n C C +=，即得；（2）利用二项式展开式可得；（3）由题可得a ，再列出不等式组，即解.【详解】（1）根据题意得117m n C C +=，即m ＋n ＝7，①f （x ）中的x 2的系数为2222(1)(1)222mnm m n n m n m nC C --+--+=+=，将①变形为n ＝7－m 代入上式得x 2的系数为m 2－7m ＋21＝27(2m -＋354，故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数有最小值为9．当m ＝3，n ＝4时，x 3的系数为33345C C +=；当m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为33435C C =+．即此时x 3的系数为5.（2）f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈04C ＋14C ×0.003＋03C ＋13C ×0.003≈2.02．（3）由题意可得，a ＝48C ＝70，∵展开式的通项为188(2)2k k k k kk T C x C x +==，由118811882222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即56k k ≥⎧⎨≤⎩∴k ＝5或6时系数最大，此时，b ＝7×28，∴1285b a =.19．已知函数()()221ln f x x m x m x =+--.(1)当1m =时,求曲线()y f x =的极值;(2)求函数()f x 的单调区间;(3)若对任意()2,3m ∈及[]1,3x ∈时,恒有()1mt f x -<成立,求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)极小值为13ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(3)73t ≤【分析】（1）先求函数导数()()()211x x f x x-+'=，再求导函数在定义区间上零点12x =．列表分析导函数符号变化规律得函数极值；（2）由导函数为零点得121,2x x m ==-，共分四种情况0m ≥，102m -<<，12m =-，12m <-进行讨论单调区间即可；（3）先分离x 得()min 1mt f x -<,即12mt m -<；再分离m 得12t m<+的最小值【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,当1m =时,()()()()2211ln ,x x f x x x x f x x-+'=+-=,解得=1x -(舍去),12x =,当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增,所以()f x 的极小值为13ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()()()2221221x m x mm f x m x x x+--'=+--=,令()0f x '=可得121,2x x m ==-，①当0m ≥时,当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当102m -<<时,当1,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 在1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,当()10,,2x m ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 在()0,m -和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；③当12m =-时,由()21220x x f x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=≥可得()f x 在()0,∞+上单调递增；④当12m <-时,当1,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 在1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,当()10,,2x m ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭和(),m -+∞上单调递增.（3）由题意可知,对()[]2,3,1,3m x ∀∈∈时,恒有()1mt f x -<成立,等价于()min 1mt f x -<,由（2）知,当()2,3m ∈时,()f x 在[]1,3上单调递增,()()min 12f x f m ∴==,所以原题等价于()2,3m ∀∈时,恒有12mt m -<成立,即12t m<+.在()2,3m ∈时,由715232m <+<,故当73t ≤时,12mt m -<恒成立,73t ∴≤.方法点睛：导数与函数的单调性（1）函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '＞，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.20．已知函数1()xx f x e +=（e为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数1()()()xx xf x tf x e ϕ=++，存在实数1x ，2[0,1]x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围.【正确答案】（1）0；（2）32e t <-或e 32t >-．【详解】试题分析：（1）求导得()xxf x e '=-，根据导数的符号即可求出()f x 的单调区间（2）如果存在12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，那么min max 2[()][()]x x ϕϕ<由题设得2(1)1()xx t x x eϕ+-+=，求导得()(1)()x x t x x e ϕ--'=-由于含有参数t ，故分情况讨论，分别求出()ϕx 的最大值和最小值如何分类呢？由()(1)0xx t x e ---=得,1x t x ==，又由于[0,1]x ∈故以0、1为界分类当1t ≥时，()ϕx 在[0,1]上单调递减；当0t ≤时，()ϕx 在[0,1]上单调递增以上两种情况都很容易求得t 的范围当时，()ϕx 在[0,]t 上单调递减，()ϕx 在[,1]t 上单调递增，所以最大值为(0),(1)ϕϕ中的较大者，最小值为()t ϕ，3(0)1,(1)teϕϕ-==，一般情况下再分类是比较这两者的大小，但12()2t t e ϕ+=，由（1）可知4122t t e e +≤≤，而233t e e e-≤≤，显然312t t t e e -+<，所以min max 2[()][()]x x ϕϕ<无解试题解析：（1）∵函数的定义域为R ，()xxf x e '=-∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<∴()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减（2）假设存在12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则min max 2[()][()]x x ϕϕ<．∵2(1)1()()()xxx t x x xf x tf x ee ϕ-+-+=++='∴2(1)()(1)()x xx t x t x t x x e e ϕ-++'+--==-当1t ≥时，()0x ϕ'≤，()ϕx 在[0,1]上单调递减，∴2(1)(0)ϕϕ<，即312et >->②当0t ≤时，()0x ϕ'>，()ϕx 在[0,1]上单调递增，∴2(0)(1)ϕϕ<，即320t e <-<③当时，在，()0x ϕ'<，()ϕx 在[0,]t 上单调递减，在，()0x ϕ'>，()ϕx 在[,1]t 上单调递增，所以2()max{(0),(1)}t ϕϕϕ<，即132max{1,}t t te e+-<――――――――(*)由（1）知，1()2tt g t e +=在上单调递减，故4122t t e e +≤≤，而233t e e e-≤≤，所以不等式(*)无解综上所述，存在(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞ ，使得命题成立考点：1、导数的应用；2、不等关系21．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？【正确答案】(1)35；(2)小明更容易晋级复赛.【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设小明只能答对4个问题的编号为：a b c d ,,,，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分；或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答对一题得0分，第二轮答对两题得60分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.【详解】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，则有()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种，设小明只能答对4个问题的编号为：a b c d ,,,，则小明在第一轮得40分，有()()()()()(){},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共6种，则小明在第一轮得40分的概率为：63105=；（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为35，则小明在第一轮得0分的概率为：32155-=，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：()()10.50.50.510.510.50.50.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=⎡⎤⎣⎦；()230.40.60.60.40.2885P =⨯⨯+⨯=；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=；430.40.40.0965P =⨯⨯=；当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：()()50.510.510.50.50.50.50.125P ⎡⎤=⨯-+-⨯⨯⨯=⎣⎦；620.40.40.0645P =⨯⨯=；当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，小芳晋级复赛的概率分别为：()()710.510.50.50.50.0625P ⎡⎤=-⨯-⨯⨯=⎣⎦；∴小芳晋级复赛的概率为：13570.1250.06250.1250.06250.375P P P P +++=+++=；小明晋级复赛的概率为：2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=；0.4480.375> ，∴小明更容易晋级复赛.22．已知函数()ln f x x =，2()()(21)g x f x ax a x =+-+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，试讨论函数()g x 的单调性；（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y （12x x <）,证明：2111k x x <<．【正确答案】（I ）=2y -；（II ）当12a >时，()g x 在1(0,)2a，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a 上单调递减，当102a <<时，()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上单调递减，当12a =时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；（III ）证明见解析.【详解】试题分析：（I ）当1a =时，2()ln 3g x x x x =+-，根据(1)0g '=，()12g =-，求得切线方程为=2y -；（II ）定义域为()0,+¥，求导得()()()211ax x g x x='--，由()0g x '=得，112xa=，21x =，对a 分成3类，结合函数图像进行分类讨论()g x 的单调区间；（III ）先用分析法分析，要证2111k x x <<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-，因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<，令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t -<<-（1t >），令1()ln 1h t t t=+-利用导数可证明上述不等式成立.试题解析：（Ⅰ）依题意得2()ln 3g x x x x =+-，则1()23g x x x+'=-，(1)0g '=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为=2y -.（Ⅱ）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞,且22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=，当0a >时，由()0g x '=得，112x a=，21x =，①当12a >时，112a <，由()0g x '>得，102x a <<，或1x >；由()0g x '<得，112x a<<，所以()g x 在1(0,)2a，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a 上单调递减③当102a <<时，112a >，由()0g x '>得，01x <<，或12x a >；由()0g x '<得，112x a<<，所以()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上单调递减③当12a =时，112a=，在(0,)+∞上，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增.综上,当12a >时，()g x 在1(0,)2a，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a 上单调递减；当102a <<时，()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上单调递减；当12a =时，()g x 在(0,)+∞上单调递增.（Ⅲ）依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--，要证2111k x x <<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-，因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<<，令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t-<<-（1t >），令1()ln 1h t t t=+-（1t >）则22111'()t h t t t t -=-=0>，∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-（1t >）①同理可证：ln 1t t <-②综①②得11ln 1t t t-<<-（1t >），即2111k x x <<【方法点晴】求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.。
山东省高二下学期数学第一次月考模拟卷
山东省高二下学期数学第一次月考模拟卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高三上·南京月考) 已经复数满足（i是虚数单位），则复数的模是________．2. （1分） (2019高二上·扶余期中) 若复数为纯虚数，则 ________.3. （1分） (2017高三上·朝阳期中) 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S．若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为________；当r=________时，罐头盒的体积最大．4. （1分） (2015高二下·郑州期中) 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长满足关系：AB2+AC2=BC2 ．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积满足的关系为________．5. （1分） (2019高一下·江门月考) 已知、，，若三点共线，则 =________6. （1分） (2018高三上·东区期末) 已知是虚数单位，复数满足，则 ________7. （1分） (2015高二上·邯郸期末) 对于正整数n，设曲线y=xn（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列{an}的前n项和为Sn=________．8. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围为________.9. （1分） (2018高二下·如东月考) 已知函数，不等式的解集为________．10. （1分） (2018高二上·台州月考) 设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．11. （1分） (2016高一上·江阴期中) 已知函数f（x）= 满足对任意的x1≠x2 ，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0成立，则a的取值范围是________．12. （1分） (2019高三上·北京月考) 已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是________.（写出一对序号即可）13. （1分）(2020·镇江模拟) 设函数，，其中．若存在唯一的整数x,使得，则实数k的取值范围是________．14. （1分） (2018高二下·如东月考) 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数中________”．二、解答题 (共10题；共89分)15. （5分） (2016高二下·赣榆期中) 已知复数z的实部和虚部都是整数，（1）若复数z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，求复数z；（2）若复数z满足z+ 是实数，且1＜z+ ≤6，求复数z．16. （10分）(2014·安徽理) 设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3 ，其中a＞0．（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．17. （5分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）与g（x）=x+ 有相同极值点，①求实数a的值；②若对于∀x1 ，x2∈[ ，3]（e为自然对数的底数），不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．18. （10分）已知函数f（x）=lnx+x．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．19. （10分） (2019高一上·长沙月考) 设二次函数，已知不论，为何实数，恒有且 .（1）求证：；（2）若函数的最大值为，求，的值.20. （10分） (2019高一上·丰台期中) 设函数（l是常数）.（1）证明：是奇函数；（2）当时，证明：在区间上单调递增；（3）若，使得，求实数m的取值范围.21. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知， .（1）求函数的最小值；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围.22. （10分）用数学归纳法证明：23. （10分） (2016高二下·故城期中) 已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex ．24. （9分） (2017高一下·西城期末) 已知数列{an}的前n项和，其中n∈N* ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若对于任意正整数n，都有，求实数λ的最小值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共10题；共89分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、。
2021-2022年高二下学期第一次月考 文科数学 含答案
实用文档2021-2022年高二下学期第一次月考 文科数学 含答案一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1.已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分 表示 ( )A. B. C. D. 2.若，其中，是虚数单位，则（ ） A ．0B ．2C ．D ．53.设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ．5.某流程图如图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是 （ ） A. B. C. D.UBA实用文档6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示， 则该三棱锥的侧视图面积为（ ） A. B. C. D.7.已知函数且,是f(x)的导函数，则= ( ) A. B.- C. D.-8.已知命题 p:”表示椭圆的充要条件是“方程1"0,0"22=+>>by ax b a ； q:所表示的点在第二象限复数在复平面内ii+-11,； r:∥平面，则直线；s:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为， 则下列复合命题中正确的是( )A.r 或sB.p 且qC.非rD.q 或s9.过双曲线(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆的切线FM(切点为M)，交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点则双曲线的离心率是( )实用文档A. 2B. 3 C ．2 D.5 10.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为 .13.设),(1230301234:R y x y x x y x p ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥-+，)0,,(:222>∈≤+r R y x r y x q ， 若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 14.已知都是正实数， 函数的图象过点，则的最小值是 .15.已知定义在上的奇函数满足，且时， ，有下列四个结论：① ；②函数在上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是________(写出所有正确命题的序号)三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
山东省威海市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析
山东省威海市2017-2018学年高二下学期第一次月考试卷（文科数学）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题中，真命题是（）A．命题“若|a|＞b，则a＞b”B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题C．命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”2．若函数f（x）=a2﹣cos x，则f′（x）等于（）A．sin x B．cos x C．2a+sin x D．2a﹣sin x3．过曲线y=上一点P的切线的斜率为﹣4，则点P的坐标为（）A．（，2）B．（，2）或（﹣，﹣2）C．（﹣，2）D．（，2）4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣15．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（）A．y=sin x B．y=xe2C．y=x3﹣x D．y=ln x﹣x6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（）A．B． C． D．7．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）8．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取极小值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取极大值9．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≤D．a≥10．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（）A．0 B．C．D．11．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]二、填空题（本大题共4小题每小题4分，共16分）13．设复数z=，则复数z的实部是．14．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的．15．当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，则实数m的取值范围是．16．如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf′（x）＜0的解集为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（1）与复数2﹣12i相等；（2）为纯虚数．18．有下列两个命题：命题p：对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．19．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．20．已知等差数列{an }满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．（Ⅰ）求an 及Sn；（Ⅱ）令bn =（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．21．设函数f（x）=+（a+1）x+1，其中a为实数．（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．山东省威海市2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题中，真命题是（）A．命题“若|a|＞b，则a＞b”B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题C．命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例，可判断A；写出原命题的逆命题，可判断B；写出原命题的否命题，可判断C；根据三角函数的定义，可判断D，【解答】解：a=b=3时，|a|＞b成立，但a＞b不成立，故命题“若|a|＞b，则a＞b”为假命题；命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题为命题“若|a|=|b|，则a=b”，为假命题；命题“当x=2时，x2﹣5x+6=0”的否命题为命题“当x≠2时，x2﹣5x+6≠0”，为假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，故选：D．2．若函数f（x）=a2﹣cos x，则f′（x）等于（）A．sin x B．cos x C．2a+sin x D．2a﹣sin x【考点】导数的运算．【分析】根据题意，直接对f（x）求导，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=a2﹣cos x，则f′（x）=sinx；故选：A．3．过曲线y=上一点P的切线的斜率为﹣4，则点P的坐标为（）A．（，2）B．（，2）或（﹣，﹣2）C．（﹣，2）D．（，2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由切点处的导数等于﹣4求得答案．【解答】解：设切点为P（），由y=，得y′=﹣，∴，由，解得．∴点P的坐标为（，2）或（，﹣2）．故选：B．4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1．【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，可得在点（0，b）处的切线斜率为a，由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，可得a=1，b=1，故选：A．5．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（）A．y=sin x B．y=xe2C．y=x3﹣x D．y=ln x﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据正弦函数、一次函数及函数单调性的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=sinx在（0，+∞）内没有单调性，∴该选项错误；B．e2＞0；∴一次函数y=xe2在（0，+∞）上为增函数，∴该选项正确；C．x=时，y=；x=时，y=；；∴y=x3﹣x在（0，+∞）上不是增函数；D．x=1时，y=﹣1；x=10时，y=﹣9；﹣1＞﹣9；∴y=lnx﹣x在（0，+∞）上不是增函数．故选：B．6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则△ABC中最短边的边长等于（）A．B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，得到B为最小角，利用大角对大边得到b为最短边，进而有sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵B=45°，C=60°，c=1，∴由正弦定理=得：b===．故选D7．函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间【解答】解：f′（x）=令f′（x）＞0得0＜x＜1所以函数f（x）=lnx﹣x的单调递增区间是（0，1）故答案为：B8．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取极小值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取极大值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误．由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，可知B、D错误．故选C．9．若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a≤D．a≥【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5，函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0，转换为一元二次函数问题．【解答】解：由题意知：函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5则f'（x）=3ax2﹣2x+1，函数f（x）在R上单调递增，则说明f'（x）在R上恒有f'（x）≥0；所以有，即：解得：a故选：D10．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（）A．0 B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数判断函数的单调性即可得出结论．【解答】解：f（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x），∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，=f（1）=．∴当x=1时，f（x）max故选B．11．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25， =1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A ．12．若函数f （x ）=x ﹣sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，]C ．[﹣，]D ．[﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f （x ）的导数，由题意可得f′（x ）≥0恒成立，设t=cosx （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0，对t 讨论，分t=0，0＜t ≤1，﹣1≤t ＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f （x ）=x ﹣sin2x+asinx 的导数为f′（x ）=1﹣cos2x+acosx ， 由题意可得f′（x ）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx ≥0，即有﹣cos 2x+acosx ≥0，设t=cosx （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t ≤1时，3a ≥4t ﹣，由4t ﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a ≥﹣1，即a ≥﹣；当﹣1≤t ＜0时，3a ≤4t ﹣，由4t ﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a ≤1，即a ≤．综上可得a 的范围是[﹣，]．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题每小题4分，共16分）13．设复数z=，则复数z 的实部是 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：z====﹣=﹣i ，所以复数z 的实部为．故答案为14．设a ，b ∈R ，则“a +b ＞4”是“a＞2且b ＞2”的 必要不充分条件 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立，若a ＞2且b ＞2，则必有a+b ＞4，即必要性成立，故“a +b ＞4”是“a＞2且b ＞2”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．15．当x ∈[﹣1，2]时，x 3﹣x 2﹣x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是 （2，+∞） ．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x ∈[﹣1，2]时，x 3﹣x 2﹣x ＜m 恒成立，即实数m 大于左边函数的最大值，利用导数法可求．【解答】解：由题意，令f （x ）=x 3﹣x 2﹣x ，∴f′（x ）=3x 2﹣2x ﹣1，令 f′（x ）=3x 2﹣2x ﹣1=0，得x=1或x=﹣，当x ∈（﹣1，﹣）∪（1，2）时 f′（x ）＞0，当x ∈（）时，f′（x ）＜0．∴f （x ）的增区间为（﹣1，﹣），（1，2）；减区间为（）．∵f （﹣）=，f （2）=2．∴f（x）=x3﹣x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最大值为2．∴实数m的取值范围是m＞2．故答案为：（2，+∞）．16．如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，）．【考点】导数的运算．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系即可得到不等式的解集．【解答】解：由函数的图象可知当x和（）时，函数单调递增，f'（x）＞0，当x∈（）时，函数单调递减，此时f'（x）＜0．则不等式xf′（x）＜0等价为：当x＞0时，f'（x）＜0，此时0，当x＜0时，f'（x）＞0，此时x，即不等式的解集为：（﹣∞，﹣）∪（0，），故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，）三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（1）与复数2﹣12i相等；（2）为纯虚数．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）直接由复数相等的条件列方程组求得m的值；．（2）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果．【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得解之，得m=﹣1．（2）根据纯虚数的定义得解之，得m=﹣2．18．有下列两个命题：命题p：对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立．命题q：函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增．若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，然后利用若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，得到p假q真，根据条件确定范围即可．【解答】解：（1）对∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时显然成立；当a≠0时，必有，解得0＜a＜4，所以命题p：0＜a＜4．函数f（x）=4x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增，则对称轴，解得a≤8，所以命题q：a≤8，若“p∨q”为真命题，“￢p”也为真命题，则p假q真，所以，解得a≤0或4≤a≤8．即实数a的取值范围是a≤0或4≤a≤8．19．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：由题意知f′（x）=，g（x）=ln x+，∴g′（x）=，令g′（x ）=0，得x=1．当x ∈（0，1）时，g′（x ）＜0， 故（0，1）是g （x ）的单调减区间． 当x ∈（1，+∞）时，g′（x ）＞0， 故（1，+∞）是g （x ）的单调增区间．因此，x=1是g （x ）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以g （x ）的最小值为g （1）=1．20．已知等差数列{a n }满足a 3=7，a 5+a 7=26，数列{a n }的前n 项和S n ． （Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）令b n =（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=7，a 5+a 7=26，可得，解出利用等差数列的前n 项和公式即可得出；（Ⅱ）b n ===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=7，a 5+a 7=26，∴，解得a 1=3，d=2．∴a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．∴数列{a n }的前n 项和S n ==n 2+2n ．（Ⅱ）b n ===，∴数列{b n }的前n 项和T n =++…+==．21．设函数f （x ）=+（a+1）x+1，其中a 为实数．（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导f′（x）=ax2﹣3x+a+1，从而由f′（1）=a﹣3+a+1=0求a并验证；（2）不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1可化为ax2﹣3x+a+1＞x2﹣x﹣a+1；故a＞对任意a∈（0，+∞）都成立；从而化为≤0；从而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=+（a+1）x+1，∴f′（x）=ax2﹣3x+a+1；则由函数f（x）在x=1处取得极值知，f′（1）=a﹣3+a+1=0；解得a=1；经验证，当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值；故a=1；（2）不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1可化为ax2﹣3x+a+1＞x2﹣x﹣a+1；故a＞对任意a∈（0，+∞）都成立；故≤0；故﹣2≤x≤0；故实数x的取值范围为[﹣2，0]．22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设F（c，0），由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当l⊥x轴时，不合题意，设l：y=kx﹣2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程．【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，∴a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程为：；（2）当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，，．从而．又点O到直线PQ的距离．∴△OPQ的面积为，设，则，当且仅当，即t=2时取“=”．∴，即时等号成立，且满足△＞0，∴当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为或．。
2021-2022年高二下学期第一次月考 数学文试题 含答案
2021-2022年高二下学期第一次月考 数学文试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数,且=2,则的值为（ ）A.1B.C.－1D. 02. 与是定义在R 上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）A .2 B.为常数函数C. D.为常数函数3. 函数的递增区间是（ ）A. B. C. D.4．函数的导数是 （ ）A ．B ．C ．D ．5. 设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )6. 曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）A ．B. C. D.0备注：7．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A ．－ln22B ．－ln2C ．ln2 D.ln22 8.若函数在内单调递增，则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．9.定义在R 上的函数满足,,若且,则有（ ）A ． B. C. D. 不确定10．已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11. 已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ，则f (x )<0的解集为( )A ．{x |0<x <4}B ．{x |0<x <2}C ．{x |－2<x <0}D ．{x |－4<x <0}12.已知非零向量，则函数321()||213f x x a x a b x →→→=+++在R 上有极值，则的取值范围（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数的递减区间是__________.14. 若恰有三个单调区间，则的取值范围为_____ __.15 已知函数)0(1)1(3)(223>+--+=k k x k kx x f 的单调减区间是(0,4),则k 的值是__________.16. 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（、、 是两两不等的常数），则 .三. 解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数的图象过点P （0,2）,且在点M 处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.18. 已知函数。
山东省数学高二下学期文数第一次月考试卷
山东省数学高二下学期文数第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 复数的值等于（ ）A. B. C.i D . －i 2. （2 分） 用反证法证明命题：“a，b∈N，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设 的内容应为 （ ） A . a，b 都能被 5 整除 B . a，b 都不能被 5 整除 C . a，b 不都能被 5 整除 D . a 不能被 5 整除3. （2 分） (2020 高三上·泸县期末) 函数的大致图象为（ ）A.B.第 1 页 共 23 页C.D. 4. （2 分） (2019 高二上·南宁月考) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.1B.C.D.5. （2 分） (2017·大新模拟) 某公司在销售某种环保材料过程中，记录了每日的销售量 x（吨）与利润 y（万 元）的对应数据，下表是其中的几组对应数据，由此表中的数据得到了 y 关于 x 的线性回归方程 =0.7x+a，若每 日销售量达到 10 吨，则每日利润大约是（ ）x34y2.535644.5A . 7.2 万元B . 7.35 万元第 2 页 共 23 页C . 7.45 万元 D . 7.5 万元 6. （2 分） (2019 高三上·东莞期末) 已知 题正确的是（ ）是两条不同的直线，A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则是三个不同的平面，则下列命7. （2 分） (2018·永州模拟) 若曲线和在点 和点 ，使得是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边的取值范围是（ ）的中点在上分别存 轴上，则实数A.B.C. D.8. （2 分） (2019·东城模拟) 若 A. B. C. D.满足,则第 3 页 共 23 页的最大值为（ ）9. （2 分） (2018·宁德模拟) 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（ ）A. B. C. D.10. （2 分） (2017 高二下·榆社期中) 若双曲线 C： ﹣y2=1 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P 为双曲线 C 上一点，满足=0 的点 P 依次记为 P1、P2、P3、P4 ， 则四边形 P1P2P3P4 的面积为（ ）A. B.2C.D.211. （2 分） (2019 高二下·梅县期末) 设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意，都有，则称 S 为封闭集．下列命题：①集合为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②第 4 页 共 23 页若 S 为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若 S 为封闭集，则满足是封闭集.其中真命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4的任意集合 T 也12. （2 分） (2018·临川模拟) 已知定义在 R 上的函数满足，且当时，成立，若，则的大小关系是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） i 为虚数单位，复数 z1 ， z2 在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1＝2－3i，则 z2＝________．14. （1 分） (2016 高二下·唐山期中) 若直线 y= x+b 与曲线 y=﹣ x+lnx 相切，则 b 的值为________．15. （1 分） (2016 高二下·东莞期中) 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ABC 的面积为 S，内切圆半径为r，则 r=；类比这个结论可知：四面体 P﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4 ， 内切球的半径为r，四面体 P﹣ABC 的体积为 V，则 r=________．16. （1 分） (2020 高一下·吉林月考) 对于，有如下命题：①若腰三角形；②，则为直角三角形；③若形，其中正确命题的序号是________.，则为等，则为钝角三角三、 解答题 (共 5 题；共 47 分)17. （10 分） (2019 高一下·深圳期中) 已知等比数列 的前 项和为 ，公比，，第 5 页 共 23 页． （1） 求等比数列 的通项公式；（2） 设，求的前 项和 ．18. （10 分） (2017 高二上·汕头月考) 如图，四边形与 交于点平面.是矩形,是 的中点,（1） 求证：面；（2） 若,求点 到平面距离.19. （15 分） (2016·北京理) A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样 获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班 66.577.5B班 6789C班 34.567.58101112910.5 1213.5（1） 试估计 C 班的学生人数；（2） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有 学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3） 再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小，（结论不要求证明）20. （2 分） (2019 高三上·上海月考) 已知点，第 6 页 共 23 页，动点满足直线与的斜率之积为，记 的轨迹为曲线 .（1） 求 的方程，并说明 是什么曲线；（2） 过坐标原点的直线交 于 、 两点，点 在第一象限， 延长交 于点 ，①证明：是直角三角形；②求面积的最大值.21. （10 分） (2020 高三上·永州月考) 已知函数（1） 讨论的单调性；（2） 若时，求实数 的取值范围.轴，垂足为 ，连结 并 .第 7 页 共 23 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 8 页 共 23 页解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 9 页 共 23 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：第 10 页 共 23 页解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共47分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、。
2022年山东省威海市荣成第五中学高二数学文月考试卷含解析
2021-2022学年山东省威海市荣成第五中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．(－∞,0) B．(－∞,2) C. (0,+∞) D．(2,+∞)参考答案：C2. 若，则是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 C．既不充分又不必要条件参考答案：A3. 甲乙两位同学同住一小区，甲乙俩同学都在7：00～7：20经过小区门口．由于天气下雨，他们希望在小区门口碰面结伴去学校，并且前一天约定先到者必须等候另一人5分钟，过时即可离开．则他俩在小区门口碰面结伴去学校的概率是（）A．B． C． D．参考答案：D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤20，0≤y≤20}，集合对应的面积是边长为20的正方形的面积S=20×20=400，而满足条件的事件对应的集合是A═{（x，y）|}，由此能求出两人能够会面的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤20，0≤y≤20}集合对应的面积是边长为20的正方形的面积S=20×20=400，而满足条件的事件对应的集合是A═{（x，y）|}，作出可行域，得：两人能够会面的概率是p==故选：D．4. 下列四个图像中，是函数图像的是（）A、（1）B、（1）、（3）、（4）C、（1）、（2）、（3）D、（3）、（4）参考答案：B略5. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C略6. 已知对任意实数x，有，且时，，则时( )A． B．C． D．参考答案：B7. 过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条参考答案：C8. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．9. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且|PF|=x0，则x0的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出焦点坐标坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值即可．【解答】解：该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且，根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2，故选：C．10. 已知P为抛物线y2=4x上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（2，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．1 B．C．2 D．3参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D ，P ，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，为2﹣（﹣1）=3． 故选：D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处的切线倾斜角为_________参考答案：略12. 点P 在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥平面；③；④平面平面.其中正确的命题序号是.参考答案：（1）（2）（413. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5，则 m= .参考答案：略14. “若x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是 参考答案：15. 在的展开式中，常数项是 （用数字作答）。
2020-2021学年山东省威海市列电中学高二数学文月考试卷含解析
2020-2021学年山东省威海市列电中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则是的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于A．B．C．3 D．﹣3 参考答案：A3. 若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数a等于（）A. -2B. -1C. 1D. 2参考答案：D【分析】求出函数在处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数。
【详解】由题可得：，，曲线在处的切线的斜率为1，曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，，解得：；故答案选D.【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。
4. 复数i＋i2在复平面内表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略5. 若函数f（x）=a2﹣sinx，则f′（β）等于（）A．2a﹣cosβ B．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ参考答案：B【考点】导数的运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据基本导数公式求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣cosx，∴f′（β）=﹣cosβ，故选B【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．6. 在复平面内,复数对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：C7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据，可以把不等式变形为：构造函数，知道函数的单调性，进而利用导数，可以求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，设函数，于是有，而，说明函数当时，是单调递增函数，因为，所以，，因此当时，恒成立，即，当时恒成立，设，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数有最小值，即为，因此不等式，当时恒成立，只需，故本题选A.【点睛】本题考查了通过构造函数，得知函数的单调性，利用导数求参问题，合理的恒等变形是解题的关键.8. 已知函数在(2,+∞)上不单调，则m的取值范围是（）A. (4,+∞)B. (－∞,4]C. (－∞,0)D. (0,+∞)参考答案：A【分析】求出导函数，由在上有解且不是等根可得．【详解】由题意，有两个不等实根，且在上有解．，，，∴，即．故选：A．【点睛】本题考查导数与单调性．对于可导函数，一般由确定增区间，由确定减区间．因此函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．9. 空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段参考答案：B10. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )A．－4 B．－6 C．－8 D．－10参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 三个数377,319,116的最大公约数是．参考答案：2912. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为 .参考答案：13. （4分）设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q= _________ ．参考答案：14. 在等比数列中，若，，则公比= .参考答案： 2略15. 如图是函数y=f（x ）的导函数f′（x ）的图象，对下列四个判断：①y=f（x ）在（﹣2，﹣1）上是增函数； ②x=﹣1是极小值点；③f （x ）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数； ④x=3是f （x ）的极小值点； 其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过导函数的图象，判断出函数的单调区间，函数的极值，从而得出答案． 【解答】解：对于①：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数，故①错误； 对于②：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x ）＜0，f （x ）递减，区间（﹣1，2）上，f′x）＞0，f （x ）递增，∴x=﹣1是极小值点，故②正确；对于③：在区间（﹣1，2）上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数，在（2，4）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数，故③正确； 对于④：f （﹣3）＜0，故④错误； 故选：C ．16. 设为虚数单位，若复数参考答案：试题分析：考点：复数运算17. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。
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山东省威海市数学高二下学期文数第一次月考模拟卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共11题；共22分)
1. （2分）不等式的解集为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）下列命题错误的是（）
A . 对于命题，使得x2+x+1<0，则为:，均有
B . 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若，则”
C . 若为假命题，则p,q均为假命题
D . “x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
3. （2分） (2017高二下·中山期末) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117用算筹可表示为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知，其中m,n是实数，i是虚数单位，则m+n= （）
A . 3
B . 2
C . 1
D . -1
5. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 下列推理属于演绎推理的是（）
A . 由圆的性质可推出球的有关性质
B . 由等边三角形、直角三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是
C . 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分
D . 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电
6. （2分）若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）
A . ﹣2﹣3i
B . ﹣2+3i
C . 2﹣3i
D . 2+3i
8. （2分）若在直线上移动，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）在极坐标系中，过点(2,-)且平行于极轴的直线的方程是（）
A . ρcosθ=
B . ρcosθ=﹣
C . ρsinθ=1
D . ρsinθ=﹣1
10. （2分） (2018高二上·陆川期末) 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证 < a”索的因应是（）
A . a－b>0
B . a－c>0
C . (a－b)(a－c)>0
D . (a－b)(a－c)<0
11. （2分）已知，给出下列命题：
①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；
其中真命题的个数为（）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
二、填空题 (共4题；共4分)
12. （1分）(2017·南通模拟) 设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为________．
13. （1分） (2016高一下·合肥期中) 把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{an}，若ak=2017，则k=________．
14. （1分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=________．
15. （1分） (2019高三上·镇海期中) 已知是等比数列，且，，则
________，的最大值为________．
三、解答题 (共7题；共42分)
16. （3分）(2017·衡水模拟) 已知两动圆F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0
＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B 满足：• =0．
（1）求曲线C的方程；
（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求△ABM面积S的最大值．
17. （6分） (2017高二下·惠来期中) 已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）﹣|a﹣1|＜0有解，求a的取值范围．
18. （6分） (2019高二下·吉林月考) 己知圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
19. （9分） (2018高三上·大连期末) 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：)，按照区间
，
分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）.
（1）求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；
（2）将身高在区间内的学生依次记为三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；
（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人.用列举法计算组中至少有1人被抽中的概率.
20. （6分）已知a＞1，椭圆C： =1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ．直线l：x=ay+ 与椭圆C 交于A，B两点，
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设△AF1F2 ，△BF1F2的重心分别为G，H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数a的取值范围．
21. （6分）已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（1）求实数a的值
（2）求出f（x）的所有极值．
22. （6分） (2017高一上·长春期末) 已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0，a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．
参考答案一、单选题 (共11题；共22分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共7题；共42分) 16-1、
16-2、
16-3、
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
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