高等数学A(上) 主要内容

高等数学A （上）的主要内容

合肥工业大学数学学院 宁荣健

一、极限

⒈求极限的类型和方法

⑴利用极限四则运算法则和复合函数极限运算法则求极限； ⑵利用无穷小与无穷大的关系求极限；

⑶利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小求极限； ⑷利用等价无穷小代换求极限； ⑸利用两个重要极限求极限； ⑹利用极限与单侧极限的关系求极限； ⑺利用夹逼准则求极限；

⑻利用单调有界准则证明数列极限存在； ⑼利用初等函数的连续性求极限； ⑽利用洛必达法则求极限；

⑾利用导数定义和定积分定义求极限；

⑿利用微分中值定理（包括泰勒公式）和积分中值定理求极限。

⒉变相求极限的类型

⑴无穷小的比较。高阶无穷小，低价无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等。 ⑵求渐近线。水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线；并注意单侧渐近线。 ⑶判断间断点的类型。第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。 ⑷判断函数在点0x 处的可导性。特别是分段函数在分点处的可导性。

⑸判断反常积分的敛散性。包括无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 ⒊极限与连续性，可导性，可积性，反常积分敛散性的关系 ① 连续性：)()(lim 00

x f x f x x =→。

② 可导性：0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-。

③ 可积性：

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→==∆∑⎰

。

④ 反常积分敛散性：定积分+极限，如()lim ()b

a

a

b f x dx f x dx +∞→+∞

=⎰

⎰。

二、连续性

⒈连续函数的基本性质

⑴连续函数的四则运算法则。 ⑵连续函数的复合运算法则。 ⑶连续函数的反函数运算法则。

⑷初等函数在其定义区间内均连续。

⒉有限闭区间上的连续函数的性质

⑴最值定理。结合导数的应用，会求最值。 ⑵有界定理。

⑶介值定理。经常在证明题中运用，注意和最值定理及积分中值定理结合使用。 ⑷零点定理。经常用于判断方程的根问题。

⒊判断方程的根

⑴惟一根的判断：存在性（零点定理和罗尔定理）和唯一性（单调性与反证法）。 ⑵含参数的方程根讨论：与函数作图相结合。 ⒋连续性与极限、可导、可积的关系 ⑴()f x 在点0x 处可导

⇒⇐()f x 在点0x x =处连续⇒

⇐

lim ()x x

f x →存在。 ⑵()f x 在],[b a 上连续

⇒

⇐

()f x 在],[b a 上可积。 ⑶若)(x f 在],[b a 上可积⇒()()x a x f t dt Φ=⎰在],[b a 上连续；

若)(x f 在],[b a 上连续⇒()()x a

x f t dt Φ=

⎰

在],[b a 上可导，且()()F x f x '=。

⒌分段函数在分点处的连续性：左连续且右连续。 ⒍间断点及其分类

⑴第一类间断点和第二类间断点。

⑵初等函数的间断点往往产生于定义域之外的点处。

三、导数与微分

⒈求导运算 ⑴导数的定义。 ⑵求导基本公式。

⑶运用求导四则运算法则：2

(),

(),()u u v uv u v u v uv u v uv v v

''

-'''''''±=±=+=。特别地，2

1(),()v Cu Cu v v '

'''==-。

⑷复合函数求导法则：[(())](())()f x f x x ϕϕϕ'''=。

⑸反函数求导法则：1dx dy dy dx =

，22223

()d y

d x

dx dy dy dx

=-。

⑹隐函数求导两种方法（一阶导数、二阶导数）。对数求导法或换底求导法：

)ln ()()(ln u

v u u v u e dx d u dx d v

u v v '+'==（适用于幂指函数）

。 ⑺参变量函数求导法则：⎩⎨⎧==)

()(t y y t x x ：()()dy y t dx x t '='，22()1

()()()d y y t dx x t x t ''=''。 ⑻不定积分的导数：(())()f x dx f x '=⎰

。 ⑼变限函数求导：()()

(

())(())()(())()b x a x f t dt f b x b x f a x a x '''=-⎰

。

特别地，当被积函数中含有变量x 时，通常运用拆分或换元方法，先将被积函数变换为

不再含有变量x 后，方可求导。

⑽高阶导数。掌握高阶导数运算法则和常见函数的高阶导数公式，并会将函数变形。

⑾分段函数在分点0x x =处的求导方法： ①00(),,

(),x x x f x a x x ϕ≠⎧=⎨

=⎩

：利用导数定义。

②00(),(),

()(),()x x x f x x x x ϕψ<≤⎧=⎨

≥>⎩

：利用单侧导数。

注意：分点0x x =处的可导性一定要单独讨论。不可简单地认为

00(),,()0,

x x x f x x x ϕ'≠⎧'=⎨

=⎩ 或

00(),(),()(),().x x x f x x x x ϕψ'<≤⎧'=⎨'≥>⎩ ⑿微分

①微分的概念。如果()y A x o x ∆=∆+∆（0→∆x ），微分dy A x =∆， 其中(),A f x x dx '=∆=，⇒dx x f dy )('=。

②对于一元函数而言，可导⇔可微。

③微分法则：dv du v u d ±=±)(；vdu udv uv d +=)(；2

)(v

udv

vdu v u

d -=

。 ④微分形式不变性：)(u f y =：du u f dy )('=（不论u 是自变量还是函数均成立）。 ⒉导函数的奇偶性和周期性 ⑴如果()f x 为奇函数（偶函数），则()f x '为偶函数（奇函数）。 ⑵如果()f x 是以T 为周期的函数，则()f x '仍是以T 为周期的函数。

⒊单调性与极值

⑴利用导数的符号判断单调性。

⑵了解极值的必要条件。进而知驻点和不可导点为可能的极值点，需进一步判断。 ⑶会利用极值的两个充分条件求极值。 ⒋凹凸性与拐点