2019-2020年高考备考：河南中考数学真题(第22题)类比拓展探究题分类汇编-附答案精品

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2019-2020年备考

类比、拓展探究题

17年）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E 分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN ，位置关系是PM⊥PN ；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【分析】（1）利用三角形的中位线得出

PM=CE，

PN=BD，

进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法

得出

PM=BD，

PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即

可得出结论；

（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，

PN=BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，

PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN=∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCA，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM=PN，PM⊥PN，

（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，

PN=BD，

PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC

=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC

=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大=AM+AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，

∴

AM=2，

在Rt△ABC中，AB=AC=10，

AN=5，

∴MN

最大

=2

+5

=7，

∴S

△PMN最大

=PM2

=

×MN2

=×（

7）2

=．

16年）（1）发现

如图1，点A为线段BC外一动点，

且BC=a，AB=b.

填空：当点A位于__________________时，

线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.

（用含

a ，

b 的式子表示）

（2）应用

点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1. 如图2所示，分别以AB ，AC 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ， 连接CD ，BE.

①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值. （3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标

.

【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4.（3）AM 的最大值是3+22，点P 的坐标为（2-2，2）

.

（3）如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。易得△APN

是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，

∴AM=NB=AB+AN=3+22;过点P 作PE⊥x 轴于点E ，PE=AE=2,又A （2，0）∴P （2-2，2）

考点：三角形综合题.

15年）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点

D ，

E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按

顺时针方向旋转，记旋转角为α

（1）问题发现

①当α＝0°时，

=BD

AE

；②当α＝180°时，=

BD

AE . （2）拓展探究

试判断：当0°≤α<360°时，BD

AE 的大小有无变化？请

仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．

22．(1)①

2

5

;………………1分 ②

2

5

.......2分 （2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分） (3)

在图1中,∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE //AB ．∴

CB

CD

CA CE =,∠EDC ＝∠B ＝90°． 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴

CB

CD

CA CE =仍然成立．…………………………4分 又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α， ∴△ACE ∽△BCD ．∴

BC

AC

BD AE =

.……………6分 在Rt △ABC 中，AC ＝54842222=+=+BC AB .

∴

.25854==BC AC ∴.2

5

=BD AE …………………8分