矩阵知识点归纳

矩阵知识要点

有关矩阵的乘法 1． 矩阵A=⎢⎣⎡c

a

⎥⎦⎤d b 与→a =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 相乘 =→

a A ⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d

b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥

⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax =→

)(a A λ⎢⎣⎡c

a

⎥⎦⎤d b ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λ= ⎢⎣

⎡c a ⎥⎦

⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y d x c y b x a λλλλ=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++dy cx by ax λλλλ=→a A λ →

→→

→

+=+b

A a A b a A )( →

→→

→

+=+b A a A b a A 2121)(λλλλ

复合变换

→

→=a AB a B A )()( --若向量a 先经过矩阵A 再经过矩阵

变换后⇔→

a BA

)()(BC A C AB = --BA AB ≠（矩阵相乘没有交换律） l

k l

k

A

A A +=--若AC=A

B 但 B

C ≠（没有消去律）

kl l k A A =)(--若A AE A E ==22 2E 为单位矩阵

逆矩阵

已知矩阵A=⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b 求逆矩阵1

-A ,若==A A det c a d

b

=0≠-bc ad 则

A 有逆矩阵1

-A = ⎢

⎣⎡c -d 1A ⎥⎦

⎤

a b - , 21

E AA =- ⎢⎣⎡01 ⎥⎦

⎤

10 为单位矩阵

⎢⎣⎡00 ⎥⎦

⎤

00 为零矩阵 →0 用逆矩阵求二元一次方程组

已知⎩⎨

⎧=+=+f dy cx e by ax A=⎢⎣⎡c a

⎥⎦

⎤

d b 为二元一次方程组的系数矩阵,这二元一次方程组可写成⎢⎣⎡c a

⎥⎦⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡f e , 1

-A

⎥⎦⎤⎢⎣⎡f e =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x . 已知⎩⎨

⎧=+=+0

dy cx by ax ,（其中d c b a ,,,是不全为0的常数） 则

此二元一次方程组有非0解的充要条件是c a d

b

=0

矩阵的转置

设 A=(aij)m ×n ，将矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置 矩阵，记为 A T 或 A'． 转置满足以下运算规则： (AT)T=A ； (A+B)T=AT+BT ；

(kA)T=kA T(k 为任意常数)； (AB)T=BTA T ．

子式和余子式

在线性代数中，一个矩阵A 的余子式（又称余因式）是指将A 的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。相应的方阵有时被称为余子阵。

将方阵A 的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式，后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。

不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别。在数值上，二者的区别在于，余子式(M 32)只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式(A 32)则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。

对矩阵

要计算代数余子式C 23。首先计算余子式M 23，

也就是原矩阵去掉第2

行和第3列后的子矩阵的行列式：

即

23