高一数学竞赛选拔赛试题

高一数学竞赛选拔赛试题

一、选择题

1.化简

2

3

215215⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---得 （ ） A

215- B 2

1

5+ C 5 D 35 2．已知集合{

}{

}

2

2

1,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ） A ．{}1,A

B y y => B.{}2A

B y y =>

C.{}

21A B y y ⋃=-<< D. {}

21A B y y y ⋃=<>-或 3．当01x <<时，()lg x

f x x

=

，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<

4.设圆C 的方程为22

2220x y x y +---=，直线l 的方程为(1)10m x my +--= (m R ∈)，圆C 被直线l 截得的弦长等于 ( )

(A) 4

(B) 2 (D) 与m 有关 5.函数2

2()sin ()sin ()44

f x x x π

π

=+

--是 ( ) (A) 周期为π的偶函数 (B) 周期为π的奇函数

(C) 周期为2π的偶函数 (D) 周期为2π的奇函数 6.设函数()f x 的定义域为(,)(,)a a -∞+∞，()0f x ≥的解集为M ，()0f x <的解集

为N ，则下列结论正确的是（）

(A) R M C N = (B) R R C M C N =∅

(C) M

N R = (D) R R C M

C N R =

7.已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c =．

(1) 若a 与b 是异面直线，则c 至少与a 、b 中的一条相交； (2) 若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直； (3) 若a ∥b ，则必有a ∥c ；

(4) 若a b ⊥，a c ⊥，则必有M N ⊥． 其中正确的命题的个数是 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

8.函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对于任意的(0,1]x ∈恒有意义，则实数a 的取值范围是 ( )

(A) 0a >且1a ≠ (B) 1

2

a ≥且1a ≠ (C) 1

2

a >

且1a ≠ (D) 1a >

二、填空题 9．已知5

21-=

x ，则=+-+1532

3x x x 。

10．已知A 、B 是半径为5的圆O 上的两个定点，P 是圆O 上的一个动点，若AB=6，设PA+PB 的最大值为s ，最小值为t ，则t s +的值为 。

11．已知全集U={}R y R x y x ∈∈,),(，集合M={}

2),(=+y x y x ，集合N=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-=--111

)

,(x y y x ，则集合)(

N M C

U

⋂= 。

12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收

集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个。若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有 个学生。

13．代数式9)12(42

2+-++x x 的最小值为 。

14．设5cm cm cm 34⨯⨯长方体的一个表面展开图的周长为pcm ，则p 的最小值

是 。

15．定义在R 上的函数()f x 满足：11()()222f x f x ++-=，则127

()()()888

f f f ++

+=

16.已知函数2

2

cos 30

()0

x x x f x e

x π-⎧-<<=⎨>⎩，若(2)()2f f a +=，则实数a 组成的集合的元

素个数为 .

17.已知关于x 的方程222(2)0x px q +--=（,p q R ∈）无实根，则p q +的取值范围是 .

18.关于x 的不等式221x x a ++->的解集为A ，集合{}

13B x x =-≤≤，若A B ≠∅，

则实数a 的取值范围是 . 三．解答题

20. 圆O 的方程是2

2

2

(0)x y r r +=>，点P 是圆O 上一个动点，点Q 是P 关于点(0,2)A -的对称点，点P 绕圆心O 按逆时针方向旋转2

π

后所得的点为R ，求当点P 在圆O 上移动时，点Q 、R 之间距离的最大值和最小值．

21.设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意y R ∈都有()()y f x yf x =． 若对常数(0,1)m ∈，()0f m <，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性；

22.已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件：

[1] 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； [2] (1)1f =；

[3] 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立， 并且称()f x 为“友谊函数”，请解答下列各题： (1)若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值；