支持向量机的数学原理(1)
支持向量机(SVM)、支持向量机回归(SVR)：原理简述及其MATLAB实例
支持向量机（SVM）、支持向量机回归（SVR）：原理简述及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法2）关于KKT条件2、范数1）向量的范数2）矩阵的范数3）L0、L1与L2范数、核范数二、SVM概述1、简介2、SVM算法原理1）线性支持向量机2）非线性支持向量机二、SVR：SVM的改进、解决回归拟合问题三、多分类的SVM1. one-against-all2. one-against-one四、QP（二次规划）求解五、SVM的MATLAB实现：Libsvm1、Libsvm工具箱使用说明2、重要函数：3、示例支持向量机（SVM）：原理及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法首先来了解拉格朗日乘子法，为什么需要拉格朗日乘子法呢？记住，有需要拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。
那么带约束的优化问题很好说，就比如说下面这个：这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。
那么你可以想想，假设没有约束条件这个问题是怎么求解的呢？是不是直接 f 对各个 x 求导等于 0，解 x 就可以了，可以看到没有约束的话，求导为0，那么各个x均为0吧，这样f=0了，最小。
但是x都为0不满足约束条件呀，那么问题就来了。
有了约束不能直接求导，那么如果把约束去掉不就可以了吗？怎么去掉呢？这才需要拉格朗日方法。
既然是等式约束，那么我们把这个约束乘一个系数加到目标函数中去，这样就相当于既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。
现在这个优化目标函数就没有约束条件了吧，既然如此，求法就简单了，分别对x求导等于0，如下：把它在带到约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，可以求解，最终可以得到,这样再带回去求x就可以了。
那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法完美的解决了。
更高一层的，带有不等式的约束问题怎么办？那么就需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来解决这种问题了。
大数据十大经典算法SVM-讲解PPT
contents
目录
• 引言 • SVM基本原理 • SVM模型构建与优化 • SVM在大数据处理中的应用 • SVM算法实现与编程实践 • SVM算法性能评估与改进 • 总结与展望
01 引言
算法概述
SVM（Support Vector Machine，支持向量机）是一种监督学习模型，用于数据 分类和回归分析。
性能评估方法
01
准确率评估
通过计算模型在测试集上的准确率来评估SVM算法的性能，准确率越
高，说明模型分类效果越好。
02
混淆矩阵评估
通过构建混淆矩阵，可以计算出精确率、召回率、F1值等指标，更全面
地评估SVM算法的性能。
03
ROC曲线和AUC值评估
通过绘制ROC曲线并计算AUC值，可以评估SVM算法在不同阈值下的
核函数是SVM的重要组成部分 ，可将数据映射到更高维的空 间，使得原本线性不可分的数 据变得线性可分。常见的核函 数有线性核、多项式核、高斯 核等。
SVM的性能受参数影响较大， 如惩罚因子C、核函数参数等 。通过交叉验证、网格搜索等 方法可实现SVM参数的自动调 优，提高模型性能。
SVM在文本分类、图像识别、 生物信息学等领域有广泛应用 。通过具体案例，可深入了解 SVM的实际应用效果。
SVM算法实现步骤
模型选择
选择合适的SVM模型，如CSVM、ν-SVM或One-class SVM等。
模型训练
使用准备好的数据集对SVM模 型进行训练，得到支持向量和 决策边界。
数据准备
准备用于训练的数据集，包括 特征提取和标签分配。
参数设置
设置SVM模型的参数，如惩罚 系数C、核函数类型及其参数 等。
支持向量机原理SVMPPT课件
回归分析
除了分类问题，SVM也可以用于 回归分析，如预测股票价格、预 测天气等。通过训练模型，SVM
能够预测未知数据的输出值。
数据降维
SVM还可以用于数据降维，通过 找到数据的低维表示，降低数据
的复杂性，便于分析和理解。
02 支持向量机的基本原理
线性可分与不可分数据
线性可分数据
在二维空间中，如果存在一条直线， 使得该直线能够将两类样本完全分开 ，则称这些数据为线性可分数据。
支持向量机原理 svmppt课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的数学模型 • 支持向量机的优化问题 • 支持向量机的核函数 • 支持向量机的训练和预测 • 支持向量机的应用案例 • 总结与展望
01 引言
什么是支持向量机
定义
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习算法， 用于分类和回归分析。它通过找到一个超平面来分隔数据集，使得分隔后的两 类数据点到该平面的距离最远。
支持向量机的优势和局限性
01
对大规模数据集效 率较低
对于大规模数据集，支持向量机 可能需要较长时间进行训练和预 测。
02
核函数选择和参数 调整
核函数的选择和参数调整对支持 向量机的性能有很大影响，需要 仔细选择和调整。
03
对多分类问题处理 不够灵活
对于多分类问题，支持向量机通 常需要采用一对一或一对多的策 略进行处理，可能不够灵活。
图像识别
• 总结词：支持向量机用于图像识别，通过对图像特征的提取和分类，实现图像 的自动识别和分类。
• 详细描述：支持向量机在图像识别中发挥了重要作用，通过对图像特征的提取 和选择，将图像数据映射到高维空间，然后利用分类器将相似的图像归为同一 类别，不相似图像归为不同类别。
支持向量机及支持向量回归简介
3．支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。
它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。
它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。
SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。
作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。
所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。
因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。
由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。
特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间nR上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(),...n x x x φφφ。
如果221(,)((),()),{}k k k k k K x y a x y a lφφ∞==∈∑，那么取1()()k k k x a x φφ∞==∑即为所求的非线性嵌入映射。
由于核函数(,)K x y 的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。
因此，巧妙地避开了计算高维内积(),())x y φφ（所需付出的计算代价。
实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，并不去重构嵌入映射1()()k k k x a x φφ∞==∑。
所以寻找核函数(,)K x y （对称且非负）就是主要任务了。
满足以上条件的核函数很多，例如● 可以取为d-阶多项式：(,)(1)dK x y x y =+ ，其中y 为固定元素。
利用支持向量机进行数据分类
利用支持向量机进行数据分类近年来，机器学习在数据科学领域中被广泛运用，为各种问题提供了高效的解决方案。
其中，支持向量机（Support Vector Machine，SVM）作为一种基于统计学的分类方法，具有精度高、稳定性好等优点，被广泛应用于数据分类问题中。
本文将介绍支持向量机的原理及其在数据分类中的应用。
一、支持向量机原理支持向量机是一种监督学习方法，其基本思想是在高维空间中找到一个超平面作为决策边界，将不同类别的数据分开。
具体来说，就是将数据映射到高维空间，决策边界就是满足使不同类别的数据距离决策边界最近的样本点到其决策边界的距离最大的超平面。
支持向量机的目标是找到一个最优的决策边界，并且保证该决策边界具有最大的间隔边缘（Margin），即距离两侧数据最近的点所构造的超平面。
为了求出最优决策边界，需要定义一个适用于支持向量机的损失函数——Hinge Loss 函数，该函数表示“误分类点”与“正确分类点”之间的误差。
二、支持向量机的分类方法支持向量机的分类方法包括线性分类、非线性分类和多分类。
下面逐一作介绍：1. 线性分类线性分类是支持向量机最基本的分类方法，即数据样本在空间中分布是线性分布的问题。
此时的最优解就是在样本数据空间中找到一个超平面，使得两侧数据距离该超平面最短的点到该超平面的距离之和最大。
具体来说就是找到一个方程，使该方程能够将数据分成两类。
2. 非线性分类非线性分类在实际工程应用中更为常见，即数据样本在空间中分布是非线性的问题。
为了解决这种问题，支持向量机可以通过核方法将数据映射到高维空间，使得在高维空间中，数据样本是线性可分的。
核函数主要包括多项式核、高斯核、径向基核等。
3. 多分类支持向量机还可以实现多类别分类。
具体方法是将多个分类器训练为一个分类系统，使得不同分类器的预测结果综合起来能够得到最终的分类结果。
三、支持向量机的应用支持向量机广泛应用于数据挖掘、图像识别、自然语言处理等领域。
支持向量机
智能信息处理实验室
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2.1 引子
用向量空间模型简表示文档，比如
w2=(文本，5，统计学习，4，模型，0，……) w3=(文本，9，统计学习，4，模型，10，……) 这个向量表示在 w2 所代表的文本中，“文本”这个词出 现了 5 次(这个信息就叫做词频) ，“统计学习”这个词出 现了 4 次，而“模型”这个词出现了 0 次，依此类推w3。 把所有文档都要用到的词从向量中抽离出来，形成共用的 数据结构(也可以仍是向量的形式) ，这个数据结构就叫做 词典，或者特征项集合。比如
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维理论和结 构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型 的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy） 和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻 求最佳折衷，以期获得最好的推广能力（或称泛化能 力）.
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小样本
并不是说样本的绝对数量少（实际上，对任何算法来说， 更多的样本几乎总是能带来更好的效果），而是说与问题的复 杂度比起来，SVM 算法要求的样本数是相对比较少的.
Remp(w)是R(w)得估计，传统概率论中的定理只说明 了(在一定条件下)当样本趋于无穷多时Remp(w)将在概
率意义上趋近于R(w)。 经验风险泛化能力很差，原因。。。
智能信息处理实验室
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2.3.3 结构风险最小化（SRM）
根据统计学习理论中关于函数集的推广性的 界的结论，对于两类分类问题中的指示函数
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3.4.2 核函数
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3.4.2核函数
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svm超平面公式
svm超平面公式
SVM（支持向量机）是一种常用的机器学习算法，用于二分类和多分类问题。
它的核心思想是通过在特征空间中寻找一个超平面来划分不同类别的数据。
超平面公式是SVM算法的重要组成部分，用于描述超平面的数学表达式。
对于二维空间中的数据点，超平面可以表示为一条直线，而在三维空间中，超平面可以表示为一个平面。
一般来说，对于n维空间中的数据点，超平面可以表示为一个n-1维的子空间。
在SVM中，超平面的数学表达式可以写成：
w · x + b = 0
其中，w是超平面的法向量，x是一个数据点，b是超平面的偏置量。
w是用来确定超平面方向的重要参数，而b则用来确定超平面位置的参数。
更具体地说，对于一个数据点x，如果w · x + b > 0，则x属于超平面的一个一侧；如果w · x + b < 0，则x属于超平面的另一侧；如果w · x + b = 0，则x在超平面上。
在SVM中，我们的目标是找到一个超平面，使得不同类别的数据点能够被最大化地分开，同时保证超平面与最近的数据点之间的距离最大化。
这就是所谓的最大间隔超平面。
为了找到最大间隔超平面，SVM使用了一种优化算法，称为凸二次规划。
这个算法通过最小化一个目标函数来确定超平面的参数w和b。
目标函数的约束条件包括所有数据点被正确分类，并且最近的数据点到超平面的距离大于等于一个预先设定的阈值。
总的来说，SVM通过超平面公式来划分数据点，并且通过优化算法来确定超平面的参数。
这个公式可以帮助我们理解SVM的工作原理，并且为我们提供了一种有效的方法来解决分类问题。
SVM支持向量机原理
SVM⽀持向量机原理（⼀）SVM的简介⽀持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年⾸先提出的，它在解决⼩样本、⾮线性及⾼维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推⼴应⽤到函数拟合等其他机器学习问题中[10]。
⽀持向量机⽅法是建⽴在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最⼩原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能⼒（即⽆错误地识别任意样本的能⼒）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推⼴能⼒[14]（或称泛化能⼒）。
以上是经常被有关SVM 的学术⽂献引⽤的介绍，我来逐⼀分解并解释⼀下。
Vapnik是统计机器学习的⼤⽜，这想必都不⽤说，他出版的《Statistical Learning Theory》是⼀本完整阐述统计机器学习思想的名著。
在该书中详细的论证了统计机器学习之所以区别于传统机器学习的本质，就在于统计机器学习能够精确的给出学习效果，能够解答需要的样本数等等⼀系列问题。
与统计机器学习的精密思维相⽐，传统的机器学习基本上属于摸着⽯头过河，⽤传统的机器学习⽅法构造分类系统完全成了⼀种技巧，⼀个⼈做的结果可能很好，另⼀个⼈差不多的⽅法做出来却很差，缺乏指导和原则。
所谓VC维是对函数类的⼀种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC维越⾼，⼀个问题就越复杂。
正是因为SVM关注的是VC维，后⾯我们可以看到，SVM解决问题的时候，和样本的维数是⽆关的（甚⾄样本是上万维的都可以，这使得SVM很适合⽤来解决⽂本分类的问题，当然，有这样的能⼒也因为引⼊了核函数）。
结构风险最⼩听上去⽂绉绉，其实说的也⽆⾮是下⾯这回事。
机器学习本质上就是⼀种对问题真实模型的逼近（我们选择⼀个我们认为⽐较好的近似模型，这个近似模型就叫做⼀个假设），但毫⽆疑问，真实模型⼀定是不知道的（如果知道了，我们⼲吗还要机器学习？直接⽤真实模型解决问题不就可以了？对吧，哈哈）既然真实模型不知道，那么我们选择的假设与问题真实解之间究竟有多⼤差距，我们就没法得知。
机器学习导论 第4章 支持向量机
4.1 统计学习理论基础
学习过程的数学研究 F. Rosenblatt于1958，1962年把感知器作为一个学习 机器模型
统计学习理论的开始 Novikoff适定问题的正则化原则的发现 Tikhonov(1963)， Ivanov(1962)， Phillips(1962)
4.1 统计学习理论基础
机器学习 主要研究从采集样本出发得出目前尚不能通过原理分 析得到的规律，并利用这些规律对未来数据或无法观 测的数据进行预测。
模式识别 对表征事务或现象的各种形式(数值、文字及逻辑关系 等)信息进行处理和分析，以对事务或现象进行描述、 辨认、分类和解释的过程。
4.1 统计学习理论基础
第4章 支持向量机
本章学习目标
了解经验风险最小化和结构风险最小化的含义以及它们之间 的区别。
理解“支持向量”的概念以及最大化间隔的基本思想。 掌握支持向量机（SVM）的基本原理。 熟悉核函数的作用以及核方法的原理。 熟悉支持向量机（SVM）的特点及应用场合。
第4章 支持向量机
4.1 统计学习理论基础 4.2 支持向量机的基本原理和特点 4.3 线性SVM 4.4 基于核函数的非线性SVM 4.5 多分类SVM 4.6 支持向量机的训练
传统的机器学习理论基础——统计学
缺点：统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论 实际问题：样本有限（小样本）
统计学习理论
对小样本统计估计和预测学习的最佳理论
【注意】：这里所说的“小样本”是相对于无穷样本而言的，故 只要样本数不是无穷，都可称为小样本，更严格地说，应该称为 “有限样本”。
密度估计是统计学中的一个全能问题，即知道了密度就可以解决 各 种 问 题 。 一 般 地 ， 估 计 密 度 是 一 个 不 适 定 问 题 ( ill-posed problem)，需要大量观测才能较好地解决。
支持向量机在分类问题中的应用研究
支持向量机在分类问题中的应用研究一、引言支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种统计学习方法，已经广泛应用于分类、回归和模式识别等领域。
SVM 通过将数据点映射到高维空间，推导出一个超平面来实现不断优化分类效果的目的。
SVM的基本思想是将数据集转化为高维空间中的分布图，并在此空间中寻找最优划分超平面，以达到最佳分类效果。
本研究旨在分析和探讨支持向量机在分类问题中的应用研究。
二、SVM算法原理SVM是一种基于统计学习技术的非线性分类方法，也是一种最大化间隔的线性分类器。
它的核心思想是将数据映射到高维空间中，找到一个超平面将各个类别的点分开，以此达到最优分类效果。
SVM算法的主要思路是先将数据映射到高维空间中，然后找到能够有效划分数据的最优超平面。
SVM的优化目标是：找到一个中心超平面，使得本类样本点到超平面的距离最大，不同种类的样本点的距离最小。
在SVM中，支持向量即为离分隔超平面最近的数据点。
三、SVM算法的分类方法SVM算法有多种不同的分类方法，下面介绍两种常见的方法。
1. 线性核函数线性核函数是SVM算法的最基本形式，也是最简单的形式。
它的数学公式如下所示：$K(x_i, x_j) = x_i * x_j$其中x表示样本点，K为核函数。
线性核函数可以将数据映射到更高维度的空间，从而使数据点更容易划分。
在SVM中，使用线性核函数的分类方法非常简单，只需要找到一个超平面，使得样本点与超平面的距离之和最大。
这个过程被称为最大间隔分类。
2. 非线性核函数除了线性核函数外，SVM还可以使用一些非线性核函数，比如径向基核函数（Radial Basis Function，RBF）和多项式核函数等。
这些核函数通常通过将数据点映射到高维空间中来实现非线性分类效果。
径向基核函数的数学公式如下所示：$K(x_i, x_j) = e^{-\gamma\left\| x_i - x_j \right\|^2}$其中$\gamma$是径向基核函数的参数。
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*此处公式有问题，约束条件左边应除以一个||w||
即我们希望最大化超平面(w,b)关于训练数据集的几何间隔，约束条 件表示的是超平面(w,b)关于每个训练样本点的几何间隔至少是γ。 考虑到几何间隔和函数间隔的关系式，可将这个问题改写为：
间隔最大化
函数间隔的取值并不影响最优化问题的解。事实上，假设将w和b按比例改变为λw和 λb,这时函数间隔成为λ γ’。函数间隔的这一改变对上面最优化问题的不等式约束，对 目标函数的优化也没有影响，也就是说，它产生一个等价的最优化问题。这样，就 可以取γ’=1,将γ’=1代入前面的最优化问题，也即是将离超平面最近的点的距离定义 为1/||w||，由于最大化1/||w||和最小化1/2||w||2等价，于是得到下面的线性可分支 持向量机学习的最优化问题：
线性可分支持向量机
如何确定分类函数 中的两个参数w和b？ 寻找两条边界端或极端划分直线中间的 最大间隔（之所以要寻最大间隔是为了 能更好的划分不同类的点），从而确定 最终的最大间隔分类超平面和分类函数； 进而把寻求分类函数 的问 题转化为对w，b的最优化问题。
函数间隔
一般而言，一个点距离超平面的远近可以表示为分类预测的确信或准 确程度。 在超平面w*x+b=0确定的情况下，|w*x+b|能够相对的表示点x到距 离超平面的远近，而w*x+b的符号与类标记y的符号是否一致表示分 类是否正确，所以，可以用量y*(w*x+b)的正负性来判定或表示分类 的正确性和确信度。 于此，我们便引出了定义样本到分类间隔距离的函数间隔functional margin的概念。我们定义函数间隔functional margin 为：
*f(x)称为仿射函数，如果它满足f(x)=ax+b, a∈ Rn, b∈ Rn,x∈ Rn
凸二次规划问题求解
原始问题转换为
形式后，原问题成了一个凸二次规划问题。解此问题除了用解决QP 问题的常规方法之外，还可以通过求解对偶问题得到最优解，这就 是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一 者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推 广到非线性分类问题。 首先构建拉格朗日函数，通过给每一个约束条件加上一拉格朗 日乘值，即引入拉格朗日乘子，如此我们便可以通过拉格朗日函数 将约束条件融和到目标函数里去。
间隔最大化
支持向量机学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何 间隔最大的分离超平面，对线性可分的数据集而言，线性可分分离超 平面有无穷多个（等价于感知机），但是几何间隔最大的分离超平面 是唯一的。 间隔最大化的直观解释是：对训练数据集找到几何间隔最大的超平面 意味着以充分大的确信度对训练数据进行分类，也就是说，不仅将正 负实例分开，而且对最难分的实例点（离超平面最近的点）也有足够 大的确信度将它们分开，这样的超平面应该对未知的新实例有很好的 分类预测能力。
线性可分支持向量机
接着，我们可以令分类函数： 显然，如果 f(x)=0 ，那么 x 是位于超平 面上的点。我们不妨要求对于所有满 足 f(x)<0 的点，其对应的 y 等于 -1 ， 而 f(x)>0 则对应 y=1 的数据点。
当然，有些时候，或者说大部分时候 数据并不是线性可分的，这个时候满足 这样条件的超平面就根本不存在(不过关 于如何处理这样的问题我们后面会讲)， 这里先从最简单的情形开始推导，就假 设数据都是线性可分的，亦即这样的超 平面是存在的。
定义超平面(w，b)关于训练数据集T的函数间隔为超平面(w，b)关于 T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值，其中，x是特征，y是结果 标签，i表示第i个样本，有：
几何间隔
函数间隔虽然可以表示分类预测的正确性和确信度，但在选择分类超 平面时，只有函数间隔还远远不够，因为如果成比例的改变w和b，如 将他们改变为2w和2b，虽然此时超平面没有改变，但函数间隔的值 f(x)却变成了原来的2倍。其实，我们可以对法向量w加些约束条件， 使其表面上看起来规范化，如此，我们很快又将引出真正定义点到超 平面的距离--几何间隔的概念。 对于给定的训练数据集T和超平面（w,b），定义超平面关于样本点 (x,y)的几何间隔为：
间隔最大化
按照前面的分析，对一个数据点进行分类，当它的 间隔越大的时候， 分类的 可信度越大。对于一个包含 n 个点的数据集，我们可以很自 然地定义它的 间隔为所有这 n 个点的 间隔值中最小的那个。于是， 为了使得分类的可信度高，我们希望所选择的超平面能够最大化这 个间隔值。
间隔最大化
下面考虑如何求得一个几何间隔最大的分离超平面，即最大间隔分 离超平面，具体地，这个问题可以表示为下面的约束最优化问题：
再考察驻点是否是极值点
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
拉格朗日对偶性
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
对偶算法求解
xyz V
这类附有约束条件的极值问题称为条件极值 条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：
的限制下，求目标函数 y f ( x1 , x2 , , xn ) 的极值。
k ( x1 , x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
条件极值与拉格朗日乘数法
• 第一部分
线性可分支持向量机 与 硬间隔最大化
线性可分支持向量机
• 下面举个简单的例子，一个二维平面 (一个超平面，在二维空间中的例子就 是一条直线)，如下图所示，平面上有 两种不同的点，分别用两种不同的颜色 表示，一种为红颜色的点，另一种则为 蓝颜色的点，红颜色的线表示一个可行 的超平面。 • 从右图中我们可以看出，这条红颜色的 线把红颜色的点和蓝颜色的点分开来了。 而这条红颜色的线就是我们上面所说的 超平面，也就是说，这个所谓的超平面 的的确确便把这两种不同颜色的数据点 分隔开来，在超平面一边的数据点所对 应的 y 全是 -1 ，而在另一边全是 1 。
条件极值的一种求解方法是代入法.，将条件极值化为无条件极值。 V z xyz V 例如，在上述例子中，由条件 解出 xy 代入目标函数中，S 2( xz yz) xy 得到
1 1 S 2V ( ) xy 然后求这个函数的无条件极值。 y x
然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因为要从条件组
支持向量机（1）
线性支持向量机的求解
重庆大学
余俊良
什么是支持向量机
在右图中A图表示有两 类的数据集，图B,C,D 都提供了一个线性分 类器来对数据进行分 类？但是哪个效果好 一些？
什么是支持向量机
• 支持向量机（SVM）是90年代中期发展起来的 基于统计学习理论的一种机器学习方法，通过寻 求结构化风险最小来提高学习机泛化能力，实现 经验风险和置信范围的最小化，从而达到在统计 样本量较少的情况下，亦能获得良好统计规律的 目的。在深度学习出现之前，SVM一直霸占着机 器学习老大哥的位子。他的理论很优美，各种变 种改进版本也很多，比如latent-SVM, structural-SVM等。通俗来讲，它是一种二类分 类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最 大的线性分类器，即支持向量机的学习策略便是 间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题 的求解。支持向量机的学习算法是求解凸二次规 划的最优化算法。
什么是支持向量机
• 支持向量机学习方法包含构建由简至繁的模型：线性可分支持向量机、 线性支持向量机及非线性支持向量机。当训练数据线性可分时，通过 硬间隔最大化，学习一个线性的分类器，即线性可分支持向量机；当 训练数据近似可分时，通过软间隔最大化，也学习一个线性的分类器， 即线性支持向量机；当训练数据线性不可分时，通过使用核技巧及软 间隔最大化，学习非线性支持向量机。
条件极值与拉格朗日乘数法
例：要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、 高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面积为
S 2( xz yz) xy
依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：x > 0 , y > 0, z > 0, 而且还须满足条件
关于凸优化的一些简单概念
凸函数的上的值大于对应自变量处的函数值， 示意图如下：
常见的凸函数有：指数函数族；非负对数函数；仿射函数；二次函数；常 见的范数函数；
关于凸优化的一些简单概念
凸优化问题（OPT）的定义为：
即要求目标函数是凸函数，变量所属集合是凸集合的优化问题。或者目标 函数是凸函数，变量的约束函数是凸函数（不等式约束时），或者是仿射 函数（等式约束时）。
定义超平面(w，b)关于训练数据集T的几何间隔为超平面(w,b)关于T 中所有样本点(xi，yi)的几何间隔最小值， r = min ri (i=1,2,…n)
支持向量和间隔边界
在线性可分情况下，训练数据集的样本点与分离超平面距离最近的 样本点的实力称为支持向量，支持向量是使约束条件式 y(i)(wTx(i)+b)≥1, i=1,2,3……m中等号成立的的点。在决定分离超平 面时只有支持向量起作用，而其他实例点并不起作用
条件极值与拉格朗日乘数法
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的极 值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数
L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组
( x, y) 0
想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题