高中文科数学立体几何知识点总结
(完整word版)高中数学立体几何知识点总结,推荐文档
高中数学之立体几何平面的基天性质公义 1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内 .公义 2假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线 .公义 3经过不在同向来线上的三个点，有且只有一个平面.依据上边的公义，可得以下推论.推论 1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2经过两条订交直线，有且只有一个平面.推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间线面的地点关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线订交—有且只有一个公共点异面 ( 既不平行，又不订交 )直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外 )订交—有且只有一公共点(3)平面与平面订交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点异面直线的判断证明两条直线是异面直线往常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线” .线面平行与垂直的判断(1)两直线平行的判断①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 .那②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，么这条直线和交线平行，即若 a∥α ,a β，α∩β =b, 则 a∥b. ③平行于同向来线的两直线平行，即若 a∥b,b ∥ c, 则 a∥ c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α， b⊥α，则 a∥b⑤两平行平面与同一个平面订交，那么两条交线平行，即若α∥β , α∩γ , β∩γ =b, 则 a∥ b⑥假如一条直线和两个订交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β =b,a ∥α ,a ∥β，则 a∥b.(2)两直线垂直的判断1.定义：若两直线成 90°角，则这两直线相互垂直 .2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a ⊥b, 则 a⊥ c3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的随意一条直线. 即若 a⊥α ,bα，a⊥b.4.假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即若a∥α ,b ⊥α , 则 a⊥b.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β , β⊥γ，γ⊥α , 且α∩β =a, β∩γ =b, γ∩α =c，则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a.(3) 直线与平面平行的判断①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 . 即若 aα,bα，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，此中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β ,lα，则l∥β.④假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行 . 即若α⊥β ,l ⊥β， lα，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若 A α， B α， A、B 在α同侧，且 A、B 到α等距，则 AB∥α .⑥两个平行平面外的一条直线与此中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β ,aα，aβ，a∥α，则α∥β.⑦假如一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若 a⊥α ,bα，b⊥ a，则b∥α.⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面 ( 或在这个平面内 ) ，即若 a∥b,a ∥α ,b ∥α ( 或 bα)(4)直线与平面垂直的判断①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 .②假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 . 即若 m α， n α， m∩n=B,l ⊥m,l ⊥n, 则 l ⊥α .③假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 l ∥a,a ⊥α , 则 l ⊥α .④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β ,l ⊥β，则 l ⊥α .⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a ∩β =α， lβ，l⊥ a,则l⊥α .⑥假如两个订交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ , β⊥γ , 且 a∩β =α , 则 a⊥γ .(5)两平面平行的判断①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β .②假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若 a,bα，a∩ b=P,a∥β ,b∥β ,则α∥β .③垂直于同向来线的两平面平行. 即若α⊥ a, β⊥ a, 则α∥β .④平行于同一平面的两平面平行. 即若α∥β , β∥γ , 则α∥γ .⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条订交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β .(6) 两平面垂直的判断①定义：两个平面订交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角α－ a－β =90° α⊥β .②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即若 l ⊥β ,lα，则α⊥β.. 即若α∥β，③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个α⊥γ，则β⊥γ .直线在平面内的判断(1)利用公义 1：向来线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面相互垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β ,A ∈α， AB⊥β，则 AB α.(3)过一点和一条已知直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若 A∈ a,a ⊥b，A∈α ,b ⊥α，则 a α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若 P α， P∈β，β∥α， P∈a,a ∥α，则 a β .(5)假如一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α ,A ∈α， A∈b,b ∥a, 则 bα .存在性和独一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直订交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个 .射影及相关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点 .(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影 .和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线 .(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的会合叫做这个平面图形在该平面上的射影 .当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影还是一个图形.(4)射影的相关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短 .空间中的各样角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且方向同样，则这两个角相等 .推论若两条订交直线和另两条订交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角( 或直角 ) 相等.异面直线所成的角(1)定义： a、b 是两条异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥a,b ′∥ b, 则 a′和 b′所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 .(2)取值范围： 0°＜θ≤ 90°.(3)求解方法①依据定义，经过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小 .直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 .(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角 .(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角 .(2)取值范围 0°≤θ≤ 90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ .②解含θ的三角形，求出其大小.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分红两个部分，每一部分都叫做半平面 .(2)二面角条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面构成 .若两个平面订交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来胸怀，往常以为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤ 180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 .②二面角的平面角拥有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即 AB⊥平面 PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上随意一点 ( 异于角的极点 ) 作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边 ( 或其反向延伸线 ) 上 .(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面 PCD⊥β .③找 ( 或作 ) 二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(4)求二面角大小的常有方法①先找 ( 或作 ) 出二面角的平面角θ，再经过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα此中 S 为二面角一个面内平面图形的面积， S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小 .③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.空间的各样距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 .(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到 ( 或作出 ) 表示距离的线段；②抓住线段 ( 所求距离 ) 所在三角形解之 .2)利用两平面相互垂直的性质 . 即假如已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 .3)体积法其步骤是：①在平面内选用适合三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S；③由V=1S·h，求出h 即3为所求 . 这类方法的长处是不用作出垂线即可求点面距离 . 难点在于怎样结构适合的三棱锥以便于计算 .4)转变法将点到平面的距离转变为 ( 平行 ) 直线与平面的距离来求 .直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离 .(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证 ( 或连或作 ) 某线段为距离，而后经过解三角形计算之.②将线面距离转变为点面距离，而后运用解三角形或体积法求解之.③作协助垂直平面，把求线面距离转变为求点线距离.空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法（角度等于45 或许 135）4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
高三立体几何知识点归纳总结
高三立体几何知识点归纳总结高三学生在学习数学时，立体几何是一个非常重要的内容。
掌握立体几何的知识点对于解决与空间有关的问题和应用数学都非常有帮助。
下面将对高三立体几何的知识点进行归纳总结。
1. 点、线、面、体的概念和性质- 点是几何学中最基本的图形，没有长度、面积和体积。
点用字母标记，如A、B、C等。
- 线是由无数个点按一定顺序排列而成，线没有厚度和宽度，只有长度。
线用两个点表示，如AB、CD等。
- 面是由无数个点组成的，有了宽度和长度，可以看得到的实物。
面用大写字母表示，如P、Q、R等。
- 体是由无数个面拼接在一起形成的，有了高度。
体用大括号表示，如{ABCD}、{EFGH}等。
2. 空间中的位置关系- 两条线平行，即两条线在同一个平面中，没有交点。
- 两条线相交，即两条线在同一个平面中，有一个公共点。
- 两个平面平行，即两个平面之间没有交点。
- 两个平面相交，即两个平面之间有一条直线作为交线。
3. 立体图形的表示与性质- 点、线、面、体都可以用二维图形来表示，如平面图和立体图。
- 平面图是在一个平面上画出物体的图形，只能看到一个物体的某一部分。
- 立体图是在一个空间中画出物体的图形，可以看到一个物体的不同部分。
4. 空间直线与平面的关系- 直线在平面上，直线与平面相交于一点。
- 直线与平面垂直，直线垂直于平面，直线上的一点到平面的距离为0。
- 直线与平面平行，直线与平面没有交点。
5. 球体与圆锥、圆台、棱锥、棱台的性质- 球体是由无数个半径相等的点组成，半径是球体最重要的性质。
- 圆锥是一种由顶点和底面圆所围成的几何体。
- 圆台是一种由底面圆、顶面圆和侧面所围成的几何体。
- 棱锥是一种由棱、顶点和底面所围成的几何体。
- 棱台是一种由棱、底面、顶面和侧面所围成的几何体。
6. 空间向量与直线、平面的关系- 空间向量是用来表示直线、平面的工具。
- 线向量是用于表示直线的方向和位置。
- 平面向量是用于表示平面的方向和位置。
高中立体几何知识点概括
高中立体几何知识点概括高中立体几何知识点总结1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.2：若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.3：过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.4：过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ5：如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 .6：经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面.7：经过两条相交直线,有且仅有一个平面.8：经过两条平行线,有且仅有一个平面.9：平行于同一直线的两条直线互相平行10：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.11：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行12：垂直于同一直线的两个平面平行13：两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面14：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行15：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面高中立体几何解题技巧1：锻炼空间想象力：首先是学会画立体图，要画得准，还要能将不同角度的同一个几何体画出，脑子里面能想出立体图。
2：熟记立体图形各种定理和推论：只有掌握好这些立体图形各种定理和推论，才能真正学好立体图形。
3：多做题：一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。
但是不建议题海战术，要注重做题的效率以及效果，做题之后加强反思，这样高中数学水平才能长进。
高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何学问点归纳总结一、立体几何学问点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的构造特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的构造特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（理解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos1αβγ++=，222sin sin sin2αβγ++=；③（理解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面绽开图：正n 棱柱的侧面绽开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高中数学中的立体几何知识点总结
高中数学中的立体几何知识点总结立体几何是高中数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的物体形状、大小以及它们之间的相互关系。
本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，帮助同学们梳理和复习相关内容。
一、点、线、面的关系1. 点：点是空间中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置坐标。
2. 线：两个点确定一条线段，线段有长度，可以延伸成直线。
3. 面：三个或三个以上的点确定一个面，面有面积，可以延伸成平面。
二、多面体1. 三棱锥：底面为三角形，侧面为三角形的四面体。
2. 四棱锥：底面为四边形，侧面为三角形的五面体。
3. 五棱锥：底面为五边形，侧面为三角形的六面体。
4. 正棱锥：底面为正多边形，侧面为等边三角形的多面体。
5. 正方体：六个面都是正方形的多面体。
6. 正四面体：四个面都是正三角形的多面体。
7. 正六面体：六个面都是正方形的多面体。
三、平面图形与立体图形1. 投影：图形在投影面上的图象。
2. 平行投影：平行于投影面的投影方式，不改变图形的形状和面积。
3. 斜投影：不平行于投影面的投影方式，改变图形的形状和面积。
4. 立体图形的展开图：将立体图形展开成平面图，便于计算和分析。
5. 空间几何体的视图：主视图、俯视图和侧视图，用来描述一个立体图形。
四、平行与垂直1. 平行关系：两条直线在同一个平面上，且永远不相交。
2. 垂直关系：两条直线在同一个平面上，且相交成直角。
五、角与平面的关系1. 角：由两条射线共同确定的图形，可以是平面角或空间角。
2. 平面角：两个相交的平面所夹的角，范围为0到180度。
3. 相对角：两个相交直线上相对的两个角。
六、面积与体积1. 面积：平面图形所占的面积，常见的有三角形、四边形、圆形的计算公式。
2. 体积：三维物体所占的空间大小，常见的有长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体的计算公式。
七、相交与相切1. 相交：两个或多个图形交叠在一起。
2. 相切：两个或多个图形只有一个点是共同的。
高中数学《立体几何》知识点总结大全
6月24日立体几何知识点总结大全二、空间几何体的表面积与体积1．旋转体的表面积2．柱体、锥体、台体的体积公式3．球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为_______，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为________四、直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面平行的性质定理3．平面与平面平行的判定定理4．平面与平面平行的性质定理1．平行问题的转化关系2．常用结论（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．（8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．五、直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：2．直线与平面垂直的判定定理在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线.3．直线与平面垂直的性质定理4．平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：5．平面与平面垂直的判定定理6．平面与平面垂直的性质定理αβ⊥2．常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．。
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结立体几何是高中数学中的一个重要部分，研究空间内各种几何体的性质和相互关系。
通过学习立体几何，我们可以更好地理解空间中的物体，掌握计算其体积、表面积等相关量的方法。
本文将对高中数学中常见的立体几何知识点进行总结。
1. 空间几何体的分类根据形状和性质，空间几何体可以分为以下几类：- 球体：具有最大体积的几何体，表面由无数个点组成；- 柱体：底面为一多边形，侧面由若干条平行于底面的直线段组成；- 圆锥体：底面为一个封闭曲线，侧面由若干条从曲线上一点到达封闭曲线的线段组成；- 圆台体：底面为一个封闭曲线，侧面由若干条从曲线上一点到达另一平行封闭曲线的线段组成；- 正多面体：所有面都是相等的规则多边形；- 其他几何体：如长方体、正方体、棱柱、棱锥等。
2. 球体的性质- 球心：球体内部到球面上任意一点的线段的中点，球心到球面上所有点的线段长度相等；- 半径：球心到球面上任意一点的线段长度；- 直径：通过球心的一条直线，其两个端点在球面上；- 圆面积：S=4πr²；- 球体积：V=4/3πr³，其中r为半径。
3. 柱体的性质- 高：柱体两个底面中心的连线的长度；- 底面积：柱体底面的面积；- 侧面积：柱体侧面的面积；- 柱体体积：V=Sh，其中S为底面积，h为高。
4. 圆锥体的性质- 高：锥体顶点到底面上的一点的线段的长度；- 母线：从锥体顶点到底面上的一点的线段；- 侧面积：圆锥体侧面的面积；- 底面积：圆锥体的底面积；- 圆锥体体积：V=1/3Sh，其中S为底面积，h为高。
5. 圆台体的性质- 高：台体顶点到底面上的一点的线段的长度；- 母线：通过台体顶点与两个底面上一点的线段；- 侧面积：圆台体的侧面积；- 顶面积：圆台体的顶面积；- 底面积：圆台体的底面积；- 圆台体体积：V=1/3Sh，其中S为底面积，h为高。
6. 正多面体的性质- 顶点数：多面体的顶点个数；- 棱数：多面体的棱数；- 面数：多面体的面数；- 类型：正多面体分为五种类别，包括四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结
空间几何体结构：空间几何体是抽象出来的物体占用空间部分的形状和大小。
常见的空间几何体包括柱、锥、台、球等。
柱体：柱体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
根据底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
柱体的几何特征包括两底面是对应边平行的全等多边形，侧面、对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
锥体：锥体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
根据底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
锥体的几何特征包括侧面、对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
向量：向量是既有大小又有方向的量，向量的运算包括加法、减法和数乘。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量的减法可以通过相反向量来实现，数乘向量则是一个实数和一个向量的乘积，其结果是一个新的向量。
线面关系：线面关系主要包括线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等。
这些关系可以通过定义、性质、判定等方法来理解和证明。
展开图、表面积和体积的计算公式：对于某些立体几何体，如圆柱、圆锥、圆台等，我们需要掌握它们的展开图、表面积和体积的计算公式，以便进行相关的计算和应用。
以上就是高中数学立体几何的主要知识点，需要结合具体的题目和图形进行理解和掌握。
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1 / 11 γm
β
α
l
lαβ
立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行
αl
符号表示： 2. 线面相交
αAl符号表示： 3. 线在面内
αl符号表示： 二． 平行关系：
1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。
mlmll////
方法二：用面面平行实现。 mlml////
方法三：用线面垂直实现。 若ml,，则ml//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。
////llmml
方法二：用面面平行实现。
////ll
方法三：用平面法向量实现。 若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。
3. 面面平行： 方法一：用线线平行实现。
//',','//'//
且相交且相交mlmlmmll
方法二：用线面平行实现。 //,////且相交mlml
mlα
nαl
m'l'lαβm
mβ
α
l
lm
2 / 11
三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。
l
ABACAABACABlACl,
方法二：用面面垂直实现。 llmlm,
2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。
ll
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。
mlml
方法二：三垂线定理及其逆定理。 POlOAlPAl
方法三：用向量方法： 若向量l和向量m的数量积为0，则ml。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0( (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
abcba2cos222 (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：
ACABACABcos
(二) 线面角 (1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。
AO
θ
Pα (2)范围：]90,0[
AB
C
α
l
lβαm
lβα
mα
l
θcba
AB
Cθ
nAOθ
P
α
lAOPα 3 / 11
当0时，l或//l 当90时，l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
nml
P
(2)范围：]180,0[ (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 θAOPαβ 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 θn1n2 步骤一：计算121212cosnnnnnn 步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。 四． 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 OAP 步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
nm
如图，m和n为两条异面直线，n且//m
，则异面直线m和n之间的距离可转化为直
线m与平面之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 4 / 11
dc
b
am'DCBAmn 如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，
'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：
cos2222abbacd
五． 空间向量 (一) 空间向量基本定理
若向量cba,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、、，使得czbyaxp。
(二) 三点共线，四点共面问题 1. A，B，C三点共线 OAxOByOC，且1xy
当21yx时，A是线段BC的 A，B，C三点共线ACAB 2. A，B，C，D四点共面 OAxOByOCzOD，且1xyz
当13xyz时，A是△BCD的 A，B，C，D四点共面ADyACxAB (三)空间向量的坐标运算 1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：
111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz 则：
AB ;BAd,AB
2. 若空间中的向量111(,,)axyz，),,(222zyxb 则ab ab
A B C D
1A
1C 1B 5 / 11
ab cosab
六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体 1. 长方体的对角线相等且互相平分。 2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则222coscoscos++
βγαα
β
γ
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则222coscoscos++ 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 (四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体) (五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积：棱柱V 棱锥V (七) 球 1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。 2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。 3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4.球的表面积公式： 体积公式：
高考题典例 考点1 点到平面的距离 6 / 11
例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，
AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为1BCCC，
的中点， 1BOBD⊥， 1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥， 1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD． 1AFAD⊥， AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB， 210sin4455AGAFGAF∠．
所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV，得111333BCDABDSSd△△， 1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．
考点2 异面直线的距离 例2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求
A B C D
1A
1C 1B O
F