高中文科数学立体几何知识点总结

立体几何知识点整理（文科）

一．

直线和平面的三种位置关系：

1. 线面平行

l

符号表示：

2. 线面相交

符号表示：

3. 线在面内

符号表示：

二．平行关系：

1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。

m

l

m

l

l

//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

?

β

α

β

α

方法二：用面面平行实现。

m

l

m

l//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

=

?

β

γ

α

γ

β

α

方法三：用线面垂直实现。

若α

α⊥

⊥m

l,，则m

l//。

方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则m

l//。

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

α

α

α//

//

l

l

m

m

l

?

?

?

?

?

?

?

?

方法二：用面面平行实现。

α

β

β

α

//

//

l

l

?

?

?

?

?

方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，

⊥且α

?

l,则α

//

l。

3.面面平行：

方法一：用线线平行实现。

β

α

α

β

//

'

,'

,

'

//

'

//

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且相交

且相交

m

l

m

l

m

m

l

l

方法二：用线面平行实现。

β

α

β

α

α

//

,

//

//

?

?

?

?

?

?

?且相交

m

l

m

l

l

三．垂直关系： 1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

αα⊥????

?

???

?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,

方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥???

?

??

?⊥=?⊥l l m l m ,

2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥??

??

?⊥l l

方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥??

??

?⊥αα

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥?

?

⊥?⊥????

方法三：用向量方法：

若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三． 夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：

ab

c

b a 2cos 2

22-+=

θ

(计算结果可能是其补角)

方法二：向量法。转化为向量

的夹角

(计算结果可能是其补角)：

=

θcos (二) 线面角

(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥

α于O,连结AO ，

则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[??

当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围：]180,0[?? (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，

则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算121212

cos n n n n n n ?=?

步骤二：判断θ与12n n 的关系，可能相等或者互补。

四． 距离问题。

1．点面距。 方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。 步骤2：计算线段

PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

m

如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且

α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直

线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：公式法。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，

'

//m

m，则异面直线m和n之间的距离为：

θ

cos

2

2

2

2ab

b

a

c

d±

-

-

=

五．空间向量

(一)空间向量基本定理

若向量,

,

z

y

x、

、，使得z

y

x+

+

=。

(二) 三点共线，四点共面问题

1. A，B，C三点共线?

OA xOB yOC

=+，且1

x y

+=

当

2

1

=

=y

x时，A是线段BC的

A，B，C三点共线?λ

=

2. A，B，C，D四点共面?

OA xOB yOC zOD

=++，且1

x y z

++=

当

1

3

x y z

===时，A是△BCD的

A，B，C，D四点共面?y

x+

=

(三)空间向量的坐标运算

1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：

111

(,,)

A x y z，

222

(,,)

B x y z则：

AB= ;=

B

A

d

,

AB=

2. 若空间中的向量

111

(,,)

a x y z

=，)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

=

则a b

+=a b

-=

1

C

1

B

a b ?= cos a b =

六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体

1. 长方体的对角线相等且互相平分。

2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为αβγ、、，则222cos cos cos αβγ=++

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为αβγ、、，则222cos cos cos αβγ=++ 3.若长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)

(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积：=棱柱V =棱锥V (七) 球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

2. 设球半径为R ，小圆的半径为r ，小圆圆心为O 1，球心O 到小圆的距离为d ，则它们三者之间的数量关系是 。

3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式： 体积公式：

高考题典例

考点1 点到平面的距离

例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

解答过程（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分

别为1B C C C

，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D

⊥于F ，连结

AF

，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △

中，由等面积法可求得AF ，

又112AG AB ==

sin AG AFG AF ∴==∠．

所以二面角1A A D B

--的大小为．

（Ⅲ）1

A BD △

中，111A BD BD A D A B S ==∴△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11

BCC B ．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由1

1

A BCD C A BD V V --=，得11133

3BCD

A BD S S d

=△△

，

1A BD d ∴==

△．

∴点C 到平面1A BD ．

考点2 异面直线的距离

例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱

SC

的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求

A

B

C D

1

A

1

C

1

B

O F

CD 与SE 间的距离.

解答过程： 如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，

EF ∴为BCD ?的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的

距离.又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF

的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点，

2,2,62

1

,62====

=∴SC DF CD EF CD 3

3

222621312131=

????=????=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ?中，3222=+=CE SC SE

在Rt SCF ?中，30224422=++=+=

CF SC SF

又3,6=∴=?SEF S EF 由于h S V V SEF CEF S SEF C ??=

=?--31，即332331=??h ，解得3

3

2=h 故CD 与SE 间的距离为

3

3

2. 考点3 直线到平面的距离

例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一BD ∥平面11D GB ，

BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求

点O 平面11D GB 的距离,

1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,

又?11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1?中，2222

1

2111=??=??=

?AO O O S OG O . B

A

C

D

O

G

H 1

A 1

1D

1

B 1O

又3

6

2,23212111=

∴=??=??=

?OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于3

6

2. 解析二 BD ∥平面11D GB ，

BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.

设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则

，由于63222

1

,111111=??=

=?--D GB GBB D D GB B S V V 3

4222213111=????=

-GBB D V ,

,3

6

26

4=

=

∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于

3

6

2. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4 异面直线所成的角

例4如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转

得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，

BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又

AO

BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，

又CO ?平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，

CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．

在Rt COE △中，2CO BO ==，112

OE BO ==

，CE ∴ O

C

A

D

B

E

又12DE AO ==∴在Rt CDE △

中，tan CE CDE DE =

∴异面直线AO 与CD

所成角的大小为

小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：??

? ??2,

0π.

考点5 直线和平面所成的角

例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =

，BC =

SA SB ==

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解答过程：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥

底面

A

B ，得SO ⊥底面ABCD ．

因为SA SB =，所以AO BO =，

又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，

AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，

由AD BC ==

，SA =

AO =，

得 1SO =

，SD =． S A B △

的面积21112

2

S AB SA ?=- ?

连结DB ，得DAB △的面积21

sin13522

S AB AD =

= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=

，得12113

3

h S SO S =，解得h

= 设SD 与平面

SAB 所成角为α，则

sin h SD α=．

所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，

D

B

C

S

O

D

B

C

A

S

③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角

例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥ （II ）求二面角B AC P --的大小．

过程指引：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ α

β=，所以CO α⊥，

又因为CA CB =，所以OA OB =．

而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=， 从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，

所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ?平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ α

β=，

BO α?，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．

由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=， 不妨设2AC =

，则AO =3sin 30OH AO ==

． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠

=，所以B O A =，于是在Rt BOH △中

，

t a n 2

BO

BHO OH

∠=

==．故二面角B AC P --的大小为arctan 2． 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.

A

B

C

Q

α

β P A

B C

Q

α

β P

O H

考点7 利用空间向量求空间距离和角

例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；

（2）若点G 在BC 上，2

3BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，

垂足为

H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；

（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ． 过程指引：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==．

因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形．从而EN AD ∥，1FD CN ∥．

又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面． （2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，

tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23

132

BC BG

CF ==?=． 因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．

（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得E

H B F ⊥．于是EHM

∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠．

因为MBH CFB =∠∠，所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==

∠∠

21

BM

BC CF ===

+， tan EM MH θ==

C

A

H

M

D

E

F

1B

1A

1D

1C

C

A

H

M

D

E F 1B

1A

1D

1C

N