3数值计算方法上机实习题要点

上海电力学院数值计算上机报告

课程：现代数值计算

题目：数值计算方法上机实习题报告

院系：自动化工程学院

专业年级：电机与电器

学生姓名：黄丽学号：ys**********

指导教师：***

2013年12月20日

数值计算方法上机实习题

1．设⎰+=1

05dx x x I n

n ， （1） 由递推公式n

I I n n 151+

-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； （2） 粗糙估计20I ，用n

I I n n 51511+-=-，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 程序：

（1）由递推公式n

I I n n 151+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； I(0) =0.1820；I(1)= 0.0900；I(2)= 0.0500；I(3)= 0.0833；I(4)= -0.1667；

I=0.182;

for n=1:20

I=(-5)*I+1/n;

end

故计算结果20I = -3.0666e+10

(2)粗糙估计20I ，用n I I n n 51511+-

=-，计算0I ； 0095.05

6 0079.010********

≈<<≈⎰⎰dx x I dx x I=0.008;

for n=20:-1:1

I=(-1/5)*I+1/(5*n);

end

I

0I = 0.1823

（3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

假设n S 的真值为*n S ，误差为n ε，即

n n n S S -=*ε。对于真值也有n S S n n 151**=-+。综合2个递推等式，有15--=n n εε，即意味着只要n 足够大，按照这种每计算一步误差增长5倍的方式，所得的结果总是不可信的，因此整个算法是数值不稳定的。而第二种方式的误差会以每计算一步缩小到1/5的方式进行，这样的计算结果和实际是很相近的。

2．求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。

（1） 在[0，1]上用二分法；

（2） 取初值00=x ，并用迭代10

21

x k e x -=+； （3） 加速迭代的结果； （4） 取初值00=x ，并用牛顿迭代法；

（5） 分析绝对误差。

（1）在[0，1]上用二分法；

程序： a=0;b=1.0;i=0;

while abs(b-a)>5*1e-4

c=(b+a)/2;

if exp(c)+10*c-2>0

b=c;

else a=c;

end

i=i+1;

end

c

方程的近似根为：x*=（a+b ）/2 = 0.0906 。步长为i =11 。

（2）取初值00=x ，并用迭代10

21x k e x -=+； 程序: x=0;y=0.1;i=0;

while abs(y-x)>5*1e-4

y=x;

x=(2-exp(x))/10;

i=i+1;

end

方程的近似根为：x=0.0905 。步长为i=4 。

（3）加速迭代的结果；

程序：x=0;xx=1;i=0;

while abs(xx-x)>5*1e-4

y=exp(x)+10*x-2;

z=exp(y)+10*y-2;

xx=x;

x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);

i=i+1;

end

x

方程的近似根为：x= 0.0995。步长为i=3 。

（4）取初值00=x ，并用牛顿迭代法；

程序：x=0;y=0.1;i=0;

while abs(y-x)>5*1e-4

y=x;

x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x) + 10);%diff(exp(x)+10*x-2)=exp(x) + 10

i=i+1;

end

x

i

方程的近似根为：x= 0.0905。步长为i=2 。

（6） 分析绝对误差。

solve('exp(x)+10*x-2=0')

方程的精确解为x= 0.0905。

3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：

（注：增速减少，用何种模型）

解：（1）设y=f(x)具有指数形式

x

b ae y =（a>0,b<0）。对此式两边取对数，得x b a y 1

ln ln +=。 记A=lna ，B=b

x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];

for i=1:15

X(i)=1/x(i);

end

y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76];

for i=1:15

Y(i)=log(y(i));

end

polyfit(X,Y,1)

经计算ans = -1.1107 2.4578。

故方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-====+-=1107.14578.2ln 4578.211107.1ln b B a A a x y 故原方程的系数为

故原方程为：x e y 1107

.16791.11-=

（2）计算均方差：

x=[2:16]; y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76];

f(x)=11.6791*exp( -1.1107./x);

c=0;

for i=1:15

a=y(i);

b=x(i);

c=c+(a-f(b))^2;

end

averge=c/15

结果：averge =0.0594

4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛----------------=410100141010014101101410010141001014A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=625250b ，b x =A 分析下列迭代法的收敛性，并求42110-+≤-k k x x 的近似解及相应的迭代次数。

（1） JACOBI 迭代；

以文件名math4a.m 保存。

function math4a

A=[4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4];

b=[0 5 -2 5 -2 6];

x0=[0 0 0 0 0 0];

imax=100;

tol=10^-4;

tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol);

for j=1:size(tx,1)

fprintf('%d %f %f %f %f %f %f\n',j,tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3),tx(j,4