考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分

考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一讲求极限的各种方法

x

n n x →∞⎝

单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限

第二讲无穷小与函数的连续性

第三讲导数与微分法研究

xfξ

) (

第四讲微积分中存在性问题的证明方法

第五讲微积分中不等式的证明方法讨论

第六讲中值定理的其它应用

1x

-（

2

于是有斜渐近线：y = x .

例７ 求曲线()3

223

-+=x x x x f 的渐近线.

【解】 ()132233

→-+=x

x x x x x f )(∞→x 得1=k .再由（3）式

()23

223

-→--+=-x x x x kx x f )(∞→x 得

.2-=b 从而求得此曲线的斜渐近线方程为.2-=x y

又由()()()

133

-+=x x x x f 易见()∞=-→x f x 3lim ，

()∞=→x f x 1

lim 垂直渐近线方程为：1,

3=-x x ＝

第七讲泰勒公式及其应用

!n +!

n +!n ++5!4

3(1)!

n α-+Maclaurin

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

教学 目的

通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。

重 点 难 点 1不定积分的概念 2不定积分的计算 3定积分的计算 教 学 提 纲

1.不定积分 1.1不定积分的概念

原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。 1.2不定积分的计算

(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法 (4)分部积分法 2.定积分

(1)基本积分法；

(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 (3)利用函数的奇偶性化简定积分 (4)一类定积分问题

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

一、不定积分 1不定积分的概念

原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是

的一个原函数.

原函数的个数: 若 是

在区间 上的一个原函数, 则对 ，

都是

在区间 上的原函数；若 也是

在区间 上的原函数，则必有

.

可见，若

，则

的全体原函数所成集合为{

│

Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：

的带有任意常数项的原函数称为

的不定积分。记作⎰dx x f )(

一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰x

a

dt t f )(是的一个

原函数。

2不定积分的计算 (1)裂项积分法

例1：dx x x dx x x dx x x )1

21(1211122

2424⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23

3

。 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x

x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222

22222 例3：22

22

22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰

(2)第一换元积分法

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为

()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =

•=⎰⎰⎰C x +=2sin 2

1

例4：

()()()

2

3222arctan 111dx d x d x x C

x x x x

===++++⎰⎰⎰

例5：22

22111111111dx d d

x x x

x x x x ⎛⎫

=-=-= ⎪⎝⎭

++⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰

⎰

⎰

2211

12

11d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰12

22

111112d x x -⎡⎤

⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰

1

2

2

2

1112112C C

x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫

=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

例6： ⎰

⎰⎰+=====+=+=dt t t

x d x x dx x x x

x t 2

1arctan 21arctan 2)

1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2. (3)第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t a

x t b ax n

n -=

=+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或; 被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =; 被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰

【解】令sin ,,arcsin ,22x

x a t t t a x a a

ππ

=-

≤≤

=-≤≤则，且

22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而

22a x dx -⎰=()2

2

2

cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰

=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C

⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭

由图2.1知

22

sin cos x a x t t a a -=

=