2014年全国数学建模大赛A题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：25001113

所属学校（请填写完整的全名）：云南大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 林博文

2. 张竞文

3. 方春晖

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李海燕

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化

摘 要 嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和玉兔号月球车。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km ，远月点100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

针对问题一，我们首先对嫦娥三号着陆准备轨道进行分析，给出着陆准备轨道的具体参数，包括轨道半长轴、轨道偏心率、着陆准备轨迹圆锥曲线方程、陆准备轨道的倾角、生交点黄道经度、和历元平近点角；然后利用万有引力定律与牛顿第二定律，求得着陆准备轨迹的圆锥曲线方程，根据能力守恒定律求出得出近月点速度为/s ，远月点速度为/s ，方向均与着陆准备轨道相切。先以近月点、着陆点和月球形心三点构成的平面为基准做二维分析，通过卫星软着陆的过程由着陆点位置对近月点位置进行逆推，得出结论：近月点投影的位置约为西经20度，北纬30度，与着陆点地面距离为，着陆准备轨道近日点幅角为31度32分，远月点投影位置为东经160度，南纬30度。最后，我们以月球形心为中心，正东方为x 轴，正北方为y 轴建立三维坐标系，得出近月点投影的轨迹方程：112.44sin 2

cos sin 351.19cos 2sin sin 312.44cos 51.19sin -2sin 2222=++++）（）（）（θαθαα 远月点投影坐标即为近月点坐标的相反数。。

针对问题二，我们先将嫦娥三号整个着陆过程分为几个阶段，分别计算其最优控制策略；利用动力学方程将嫦娥三号运动过程的参数系统化，将燃料消耗量作为控制策略优劣性的评判标准，通过遗传算法查找最优解,得到结论：在最优控制策略控制下，在距地面至处，燃料消耗为，飞行时间t=473.135s ；在距地面至处，燃料消耗为，飞行时间t=98.368s ；在距地面至处，燃料消耗J 为，飞行时间t=13.529s ；在距地面至处，燃料消耗J 为，飞行时间t=7.838s 。各阶段的卫星距月球形心距离和横向速度变化情况如图5-8所示。最后汇总各个阶段的计算结果，给出嫦娥三号运动过程参数的变化曲线示意图，得出在最优控制策略下嫦娥三号共消耗燃料990.409kg ，着陆用时597.795s 。

针对问题三，我们考虑卫星水平位移所消耗的燃料导致的误差、数据量级差异导致运算过程中产生的误差、卫星悬停过程以及持续的时间长短导致燃料消耗的变化产生的误差及月球自身运动引起的着陆点的误差，然后采用控制变量的方式对逐个因素计算其针对问题二中给出的结果所产生的误差，并通过计算其误差率来反映各个因素对于着陆轨道和控制策略的敏感程度，最终得出结论为嫦娥三号在悬停过程的持续时间对燃料优化的影响最大，敏感性最强，其误差率为

2.304%，在实际规划中需尽量减少悬停时间。

关键词：天体力学工程优化遗传算法误差分析敏感性分析一．问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二．问题分析

1.问题一：

计算远、近月点的位置以及卫星相对速度，首先我们以月球为参考系，考虑着陆准备轨道的轨迹方程，对远近月点做一个初步的分析；其次利用天体力学和牛顿定律的相关物理知识计算得出远、近月点相对速度；对近月点位置的判断，我们从已知出发，通过着陆轨道对近月点位置进行逆向推理，先考虑二维情况下的特殊情况，再向三维情况下的一般情况进行推广，最后给出近月点位置的方程，远月点位置可通过近月点得出。

2.问题二：

确定嫦娥三号着陆轨道的轨迹，首先要给出卫星在整个着陆过程中的最优控制策略；我们将整个着陆过程分为曲线运动和竖直运动两个阶段，以卫星燃料消耗的多少作为单纯的优劣性评判标准，通过卫星的动力学方程，以及各个阶段的状态特征求出优化参量和约束条件，利用遗传算法查找最优解，并返回问题一对问题一得出的结论做误差分析。

3.问题三：