20092013年北京高考真题--程序框图试题汇编
北京高考真题汇编
2011-2013北京市高考真题分类汇总（文科）第一篇 70分选择填空分类1.集合（2011）1．已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么=P C U ( )A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2012）1.已知集合{|320}A x R x =∈+>，{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B = ( )A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞（2013）1.已知集合{}1,0,1A =-，{}|1B x x =-≤{}|11B x x =-≤＜,则A B =( ) A ．{}0 B ．{}-1,0 C ．{}0,1 D ．{}-1,0,12.复数（2011）2．复数212i i-=+（ ）A ．iB ．-iC ．4355i -- D ．4355i -+ （2012）2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(1,3)-D ．(3,1)-(2013)4.在复平面内，复数()2i i -对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.三视图（2011）5．某四棱锥的三视图如图所示， 该四棱锥的表面积是（ ） A ．32 B ．16+162C ．48D ．16+322（2012）4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16（2013）10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.俯视图侧（左）视图正（主）视图221114.程序框图（2011）6．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 （2012）4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．2B ．4C ．8D ．16 （2013）6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．11B ．23C ．321D ．610987正(主)视图423侧(左)视图4俯视图2011 2012 2013开始i=0,S=1i=i+1i ≥2输出S 结束2121S S S +==5.解三角形（2011） 9．在ABC ∆中.若b=5，4B π∠=，sinA=13，则a=_________. （2012）11.在ABC ∆中，若3a =，3b =，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.(2013) 5.在ABC ∆中，3a =，5b =,1sin 3A =,则sinB =( )A ．15B ．59C ．53D ．16.数列（2011） 12．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=4，则公比q=________；a 1+a 2+…+a n = __________. （2012) 10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =____________， n S =________.(2012) 6.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥（C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a >（2013) 11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q=___;前n 项n S =____.7.向量（2011）11．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=___________.（2012）13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为_______；DE DC ⋅的最大值为_______。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (理科) word解析版
2013北京高考理科数学试题及解析第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
第一部分一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1 B.23 C.1321 D.610987答案 C解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程y ＝±bax ，y ＝±2x .7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C解析 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．∴直线l 的方程为y ＝1.∴所求面积S ＝4－⎠⎛2－2x 24 d x ＝4－⎪⎪x 3122－2＝83.8．设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )．A .⎝⎛⎭⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎫－∞，－53答案 C 解析作不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有m<1－2m.若可行域存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则可行域内含有直线y ＝12x －1上的点，只需边界点(－m,1－2m)在y＝12x －1上方，且(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m<1－2m ，1－2m>－12m －1，m<－12m －1.得m<－23.第二部分二、填空题9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 答案 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1.10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.11. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种类共有4A 44＝96.13. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.14. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案 255解析 取B 1C 1中点E 1，连接E 1E ，D 1E 1，过P 作PH ⊥D 1E 1，连接C 1H .∴EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PH ∥EE 1，∴PH ⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴P 到C 1C 的距离为C 1H .当点P 在线段D 1E 上运动时，最小值为C 1到线段D 1E 1的距离．在Rt △D 1C 1E 1中，边D 1E 1上的高h ＝2×15＝255.三、解答题15．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去． 故c 的值为5.16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在3月1日到3月13日这13天中，5日，8日这两天空气重度污染．∴此人到达当日空气重度污染的概率P ＝213.(2)依题意X ＝0,1,2P (X ＝0)＝513，P (X ＝1)＝413，P (X ＝2)＝413.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－12132×513＋⎝⎛⎭⎫1－12132×413＋⎝⎛⎭⎫2－12132×413＝116169. (3)由图知，从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大．17. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求证二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC . (2)解在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0)∴cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625.(3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.18．设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解 由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，x >0.∴k ＝y ′|x ＝1＝1－ln 112＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)证明 要证明，除切点(1,0)外，曲线C 在直线l 下方．只要证明，对∀x >0且x ≠1时，x －1>ln xx.设f (x )＝x (x －1)－ln x ，x >0，则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x因此f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增． ∴f (x )>f (1)＝0，即x (x －1)>ln x故当x >0且x ≠1时，x －1>ln xx成立．因此原命题成立．19．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形． 因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2因为M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．20．已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n}为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为 1.(1)解d1＝1，d2＝1，d3＝3，d4＝2.(2)证明充分性：若{a n}为公差为d的等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d.于是A n＝a n＝a1＋(n－1)d，B n＝a n＋1＝a1＋nd.因此d n＝A n－B n＝－d(n＝1,2,3，…)．必要性：因为d n＝－d≤0，∴A n＝B n＋d n≤B n∵a n≤A n，a n＋1≥B n∴a n≤a n＋1，于是A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d.故数列{a n}是公差为d的等差数列．(3)证明1°首先{a n}中的项不能是0，否则d1＝a1－0＝2，矛盾．2°{a n}中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n}中有超过2的项，设a k是第一个大于2的项．{a n}中一定存在项为1，否则与d1＝1矛盾；当n≥k时，a n≥2，否则与d k＝1矛盾；因此存在最大的i在2到k－1之间，使得a i＝1，此时d i＝A i－B i＝2－B i≤2－2＝0，矛盾．综上{a n}中没有超过2的项．所以由1°，2°知，{a n}中的项只能为1或2.∵对任意n≥1，a n≤2＝a，∴A n＝2，故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对任意正整数n，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}中有无穷多项为1.。
2009年北京高考数学文科试卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）1．设集合21{2},{1}2A x xB x x =-<<=…，则A B = （ ） A.{12}x x -<… B ．1{1}2x x -剟C ．{2}x x <D ．{12}x x剟【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过求解不等式从而得到集合，再对两个不同的集合比较大小. 【参考答案】A 【试题解析】∵21{2},{1}{11}2A x xB x x x x =-<<==-剟?,∴{12}A B x x =-< …，故选A.2．已知向量(1,0),(0,1),(),,k k ===+∈=-R a b c a b d a b ，如果c d ，那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】给出目标向量之间的关系，再根据系数判断目标向量是否同向. 【参考答案】D 【试题解析】∵(1,0),(0,1)==a b ,若1k =，则=（1,1）c a b =+，-=（1,-1）d a b =，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c d ，-=（-1,1）d a b =+，即c d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.3.若4(1+2)=+2(,)a b a b 为有理数，则a b += （ ） A ．33 B ． 29 C ．23D ．19【测量目标】二项式定理.【考查范围】通过系数来考查对二项式展开式的掌握. 【参考答案】B【试题解析】 ∵4(12)+=1421282417122++++=+， ∴17122+2a b +=.故选B..k s.5.u.c4．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【测量目标】对数函数图像的平移变化.【考查方式】要求从基本函数变化到目标函数. 【参考答案】C 【试题解析】 A ．lg(3)+1lg10(+3)y x x =+=，B ．lg(3)+1lg10(3)y x x =-=-，C ．(3)lg(+3)1lg10x y x +=-=， D ．(3)lg(3)1lg 10x y x -=--=.故应选C.5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A ．8B ．24C ．48D ．120 【测量目标】考查排列组合以及分布计算原理知识. 【考查方式】给出案例求解答案. 【参考答案】C 【试题解析】2和4排在末位时，共有12A 2=种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有34A 43224=⨯⨯=种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448⨯=（个）.故选C. 6．“π6α=”是“1cos 22α=”的 ( )A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数及简易逻辑的概念.【考查方式】先求出三角函数特殊值再来考查简易逻辑. 【参考答案】A 【试题解析】 当π6α=时，π1cos 2cos ,32α==反之，当1cos 22α=时，有ππ22ππ()36k k k αα=+⇒=+∈Z ，或ππ22ππ()36k k k αα=-⇒=-∈Z ，故应选A.7．若正四棱柱的底面边长为1111ABCD A BC D -，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ( )A ．33B ． 1C ．2D ．3【测量目标】直线到面的距离计算.【考查方式】通过考查线到面的距离进一步考查对几何体性质的掌握. 【参考答案】D 【试题解析】依题意，160B AB ∠= ，1tan603B B == ，故选D.8．设D 是正123P P P △及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P △的中心，若集合0{,,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈=…，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域 【测量目标】平面几何的基础知识.【考查方式】通过对题目的理解来考察几何体的知识. 【参考答案】D 【试题解析】大光明() ()如图，,,,,,A B C D E F 为各边,,,,,A B C D E F 三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，02(1,3)i P A P A PA i ==…,即点P 可以是点A .第Ⅱ卷（110分）注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三总分1516 17 18 19 20 分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填写在题中横线上. 9．若4sin ,tan 0,cos =5θθθ=->则 . 【测量目标】三角函数的运算.【考查方式】给出正弦和正切求出余弦.【参考答案】35-【试题解析】由已知，θ在第三象限，∴2243cos 1sin1()55θθ=--=---=-，∴应填35-.10．若数列{}n a 满足：*111,2()n n a a a n +==∈N ，则5a = ；前8项的和8s =.（用数字作答）【测量目标】数列的递推和数列的求和.【考查方式】给出数列的递推公式，从而求前n 项和. 【参考答案】255 【试题解析】12132451,22,24,8,16,a a a a a a a ======= 易知882125521S -==-，∴应填255.11．若实数,x y 满足204,5x y x x +-⎧⎪⎨⎪⎩………则S x y =+的最大值为 . (T2)【测量目标】线性规划的基础知识.【考查方式】给出三条直线方程，求目标曲线的最大值和最小值. 【参考答案】9 【试题解析】如图，当459s x y =+=+=,4,5x y ==时，459s x y =+=+=为最大值.故应填9.12．已知函数3,1(),,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩…若()2f x =，则x = . 【测量目标】指数函数的基本运算.【考查方式】已知分段函数表达式，给出函数值求解对应函数.【参考答案】23log【试题解析】.w.w.由31log 2,32xx x ⎧⇒=⎨=⎩ (1)2x x >⎧⎨-=⎩无解，故应填3log 2. 13．椭圆22+192x y =的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 .【测量目标】椭圆基本要素之间的基本关系.【考查方式】给出椭圆的标准方程，考查椭圆长短轴之间的关系. 【参考答案】2,120° 【试题解析】 ∵229,2a b ==，∴227c a b =-=，∴1227F F =，又OE AO ⊥，1124,26,PF PF PF a =+==，∴26PF =，又由余弦定理，得2221224(27)1cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ∠=，故应填2,120 .14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【测量目标】集合间的关系.【考查方式】给出定义，利用已知定义解题. 【参考答案】6 【试题解析】什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个. 故应填6.15．（本小题共12分）已知函数()2sin(π)cos f x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间ππ[,]62-上的最大值和最小值. 【测量目标】考查学生的运算能力.【考查方式】通过考查特殊角的三角函数值，诱导公式，三角函数在闭区间上的最值的基本知识，来考查学生的运算能力. 【试题解析】（Ⅰ）∵()2sin(π)cos 2sin cos sin 2f x x x x x x =-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （步骤1）（Ⅱ）由πππ2π623x x -⇒-剟剟，∴3sin 212x -剟，∴()f x 在区间ππ[,]62-上的最大值为1，最小值为32-. （步骤2）16．（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.【测量目标】几何体的证明与二面角的计算.【考查方式】给出条件证明面与面的关系以及线与面的夹角. 【试题解析】【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面. （步骤1）（Ⅱ）设AC BD O = ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴AEO ∠为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴1,2OE PD OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ABCD ⊥底面 （步骤2）∴(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),A a B a a C a D P h OE AO ⊥.在AOE Rt △中，1222OE PD AB AO ===， ∴45AOE ∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. （步骤3） 【解法2】，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==则(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵2cos ,2EA EO AEO EA EO∠==(,,0),(0,0,),(,,0),AC a a DP h DB a a =-==，∴0,0AC DP AC DB ∙=∙=，∴,,AC DP AC DB ⊥⊥∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面. （步骤1）（Ⅱ）当2PD AB =,且E 为PB 的中点时，2(002),(,,),222a a aP a E ，，，设，连接OE ，AC BD O = ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴为AEO ∠与平面PDB 所的角，∵22(,,),(0,0,),2222a a a a EA EO =--=- ，∴45AEO ∠=， （步骤2） 即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. （步骤3）17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min . （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.【测量目标】考查独立事件的概率.【考查方式】通过生活中的实例来考查数学中的概率. 【试题解析】 （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为1114()(1)(1)33327P A =-⨯-⨯=. （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学生在上学路上遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.则由题意，得40216381P=（）=()B ， 13222142412321224C ,C 33813381P P ==（）=()()（）=()()B B . 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B 的概率为.0128()())9P B P B PP =++（（）=B B 18．（本小题共14分）设函数2()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【测量目标】曲线的切线方程以及导数的应用.【考查范围】利用点在直线上求系数以及考查函数分类讨论的单调区间.【试题解析】（Ⅰ）()0()(,)0(,+)f x x a f x a x a '<⇒=--∞+∞>∈∞∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴(2)04,(2)824f a f b '==⎧⎧⇒⎨⎨'==⎩⎩（Ⅱ）∵2()3()(0),f x x a a '=-≠,当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()0f x x a '<⇒=±，当(,)x a ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x a a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,+)x a ∈∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ∴此时x a =是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点.19．（本小题共14分）已知双曲线00,21x m y m ==+，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3，右准线方程为33x =. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.【测量目标】双曲线的基础知识【考查方式】给出基本要素求标准方程，再根据标准方程确定与目标直线之间的关系.【试题解析】（Ⅰ）由题意，得，解2333a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,3a c ==， (步骤1) ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=. （步骤2） （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴00,2x m y m ==, （步骤3）∵点00(,)M x y 在圆225x y +=上，∴22(2)5m m +=， 1m ∴=±. （步骤4） 20．（本小题共13分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n p =+∈>*N . 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m …成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ；（Ⅱ）若，1,12p q ==-求数列{}m b 的前2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m =+∈*N ？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【测量目标】数列的基本性质.【考查方式】给出限制条件，分别求出所问的问题.【试题解析】 （Ⅰ）由题意，得111120,3,23233n a n n n =--解得厖. ∴11323n -…成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （步骤1） （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由21n a n =-，得12m n +…. （步骤2） 根据m b 的定义可知 当21=()m m k b k k =-∈*N 时，；当2m k =时，=1(*)m b k k +∈N .∴1221321242()()m m m b b b b b b b b b -++=+++++=2(123)[24(1)]2m m m m +++++++++=+ （步骤3）. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式121,333p q =-<-…pn q m +…及0p >得m q n p-…. 3+132m q m m p-<+…，即2(31)p q p m p q ---<--…对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p q m p +--…）， 这与上述结论矛盾！ （步骤4） 当310p -=，即13p =时，得21033q q --<--…，解得2133q -<-…. ∴ 存在p 和q ，使得32()m b m m =+∈*N ；p 和q 的取值范围分别是121,333p q =-<-…. （步骤5）。
高考数学真题汇编14 程序框图与二项式定理 (解析版)
程序框图与计算原理1.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 【答案】C【解析】第一步：1=s ；第二步：31⨯=s ；第三步：531⨯⨯=s ，结束，输出s ，即13515s =⨯⨯=。
2．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B -10C 0D -2【答案】A ．【解析】可以列表如图，循环次数初始 1 2 3 s 1 1 0 －3 k1234易知结果为－3.故选A.3.执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 【答案】C【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【答案】C【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C.5.执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】B【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数【答案】C【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C.7.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 3 （B ）4 （C ） 5 （D ）8【答案】B 【解析】x1 2 4 8y12348. 6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 （A ）240种 （B ）360种 （C ）480种 （D ）720种 【答案】C【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有12055=A 种，所以不同的演讲次序有4801204=⨯种，选C.9.5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270 【答案】A【解析】二项式的展开式的通项为k k k x C T )3(51-=+，令3=k ，则33354270)3(x x C T -=-=，所以3x 的系数为270-，选A.10. 7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、42 【答案】A【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==，所以2x 的系数为21，选Ａ.11.下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A. q=N M B q=M N C q=N M N + D.q=M M N+5.【答案】D.【解析】根据第一个条件框易知M 是及格的人数，N 是不及格的人数，而空白处是要填写及格率的计算公式，所以NM Mq +=.故选D.12.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是:(A) 4 (B)32(C)23(D) -1 【答案】D【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3s i s i s i ===-=== 3,4;4,5;1,6,2s i s i s i =====-=，故选D【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。
2013年北京市高考数学试卷(文科)(含解析版)
绝密★本科目考试启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1 4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．16．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞28．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=；准线方程为．10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．11．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n 项和S n=．12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．13．（5分）函数f（x）=的值域为．14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．（14分）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．2013年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断；3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5L：简易逻辑．【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=2；准线方程为x=﹣1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线的性质可知，知=1，可知抛物线的标准方程和准线方程．【解答】解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），∴=1，p=2，抛物线的方程为y2=4x，∴其标准方程为：x=﹣1，故答案为：2，x=﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5Q：立体几何．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n项和S n=2n+1﹣2．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=a2（1+q2）=20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②两个式子相除，可得到==2即等比数列的公比q=2，将q=2带入①中可求出a2=4则a1===2∴数列{a n}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n===2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13．（5分）函数f（x）=的值域为（﹣∞，2）．【考点】34：函数的值域；4L：对数函数的值域与最值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．【解答】解：当x≥1时，f（x）=；当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点评】本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；（Ⅱ）通过，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为==∴T==，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x）=，，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．【点评】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=；（Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了一组数据的方差和标准差，训练了学生的读图能力，是基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD①．现证CD⊥平面PAD，可得CD ⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．【解答】解：（I）f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，∴f′（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b，联立，解得，故a=0，b=1．（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．令f′（x）=0，得x=0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f（x）﹣0+f′（x）1所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）=1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y=f（x）与直线x=b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）=f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）=1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）=f（x2）=b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【考点】IR：两点间的距离公式；K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=，从而A、C的坐标为（，），根据两点间的距离公式即可得出AC的长；（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明若OA=OC，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，从而解得，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y=，将y=代入椭圆方程得x=±，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC=2．（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC，设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，故，x2=（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题．20．（14分）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；（Ⅱ）依题意，可知a n=a1q n﹣1（a1＞0，q＞1），由d k=a k﹣a k+1⇒d k﹣1=a k﹣1﹣a k（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜d n﹣1，可用反证法证明a1，a2，…，a n﹣1是单调递增数列；再证明a m为数列{a n}中的最小项，从而可求得是a k=d k+a m，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1﹣B1=2，同理可求d2=3，d3=6；（Ⅱ）由a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{a n}的通项为：a n=a1q n﹣1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n﹣1时，d k=A k﹣B k=a k﹣a k+1，进而当k=2，3，…n﹣1时，===q为定值．∴d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为B i≤B i+1，d＞0，=B i+1+d i+1≥B i+d i+d＞B i+d i=A i，所以A i+1=max{A i，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i≥a i．又因为A i+1从而a1，a2，…，a n﹣1为递增数列．因为A i=a i（i=1，2，…n﹣1），又因为B1=A1﹣d1=a1﹣d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n﹣1，因此a n=B1．所以B1=B2=…=B n﹣1=a n．所以a i=A i=B i+d i=a n+d i，﹣a i=d i+1﹣d i=d，因此对i=1，2，…，n﹣2都有a i+1即a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。
2009年北京高考数学真题及答案(理科)
2009北京高考数学真题（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、本大题每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 A ．33B ．1C ．2D ．3 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若5(12)2(,a b a b +++为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．6488．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题15__程序框图最新模拟_理
【备战 2013 年】历届高考数学真题汇编专题15程序框图最新模拟理1、（ 2012 滨州二模）阅读右图所示的程序框图，若输入a＝ 6，b＝ 1，则输出的结果是（ A） 1（B）2（C）3（D）42、（ 2012 德州二模）某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25kg按0.5 元 /kg 收费，超过25kg 的部分按0.8 元 /kg 收费，计算收费的程序框图如右图所示，则①②处应填A．y0.8 x y0.5xB．y0.5 x y0.8xC．y0.8 x7.5y0.5xD．y0.8 x12.5y0.8x3、（ 2012 德州一模）右图的程序框图输出结果i =() A． 3 B．4C ． 5 D．64、（ 2012 济南 3 月模拟）如果执行右面的程序框图，那么输出的S=.5、（ 2012 济南三模）已知实数x [0,8] ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于 54 的概率为（）A ．1B ．1C ．3D ．44245答案： A解析：第一次运行：x 2x 1， n ＝ 2第二次为 x 2( 2x 1) 1 4x 3， n ＝ 3 第三次为 x2(4 x3) 18x 7 ，n ＝ 4输出 8x 7 ，又 8x7 55 ，解得 x 6，所以输出的 x 不小于 54 的概率为86 2 1，选 A.88 46、（ 2012 临沂 3 月模拟）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ A） 3（B）4（C）5（D）67、（ 2012 临沂二模）执行如图的程序框图，如果输入p 8 ，则输出的S（ A）63（ B）127（ C）127（ D）255 646412812882012青岛二模）执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为31，则图中判断框内①处、（应填A．3B．4C．5D．610、（ 2012开始青岛 3 月模拟）运行如右图所示的程序框图, 则输出 S 的值为n1,S 1n n1S Sn 1 n结束A. 3B.2C.4D.811、（ 2012 日照 5 月模拟）右图所示的是根据输入的x 值计算y的值的程序框图，若x 依次取数列n 216(n N ) 中的项，则所得y 值的最小值为n（A）4（ B） 8（C）16（ D)32答案： Cn N *,n 216n168 ，（当 n ＝ 4 时，“＝”成立），即 x ≥ 8，nn所以， y ≥ 16，选 C 。
2013年高考数学总复习 11-1算法与框图 新人教B版
11-1算法与框图基础巩固强化1.(2011·北京西城区一模)阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)[答案] B[解析] 若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意；当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]，故选B. 2．(文)如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S *(n ＋1)B ．S ＝S *x n ＋1C ．S ＝S *nD ．S ＝S *x n[答案] D[解析] 由循环结构的特点知图中空白的处理框中表示前10个数的连乘积，故选D. (理)右图是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x －的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x n nC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n[答案] A[解析] n ＝n ＋1控制循环，n ＝10时，跳出循环，w ＝s n，即w ＝s10，据题意w ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，即x －，∴处理框中应是求x 1，x 2，…，x 10的和S ，故应填S ＝S ＋x n .3．(2011·天津文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )A ．0.5B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 输入x ＝－4，∵|－4|>3，∴x ＝|－4－3|＝7. ∵7>3，∴x ＝|7－3|＝4.∵4>3，∴x ＝|4－3|＝1.∵1<3，∴y ＝2x＝21＝2.4．(2012·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图输出的S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15[答案] C[解析] 执行程序框图可得，i ＝1，S ＝－1；i ＝2，S ＝3；i ＝3，S ＝－6；i ＝4，S ＝10；i ＝5，程序结束，输出的S ＝10，故选C.5．(文)(2012·长春调研)如图所示，程序框图的功能是( )A ．求数列{1n}的前10项和(n ∈N *)B ．求数列{12n }的前10项和(n ∈N *)C ．求数列{1n}的前11项和(n ∈N *)D ．求数列{12n }的前11项和(n ∈N *)[答案] B[解析] 依题意得，第一次运行，S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次运行，S ＝12＋14，n ＝6，k＝3……第九次运行，S ＝12＋14＋…＋118，n ＝20，k ＝10；第十次运行，S ＝12＋14＋…＋118＋120，n ＝22，k ＝11.此时结束循环，故程序框图的功能是计算数列{12n}的前10项和，选B.(理)(2012·山西四校联考)执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围是( )A.78<p ≤1516 B ．p >1516C.78≤p <1516D.34＜p ≤78[答案] D[解析] 依题意得，数列{12n }的前2项和小于p ，前3项和不小于p .又数列{12n }的前2、3项和分别等于12＋14＝34、12＋14＋18＝78，因此p 的取值范围是34<p ≤78，选D.6．(文)(2012·石家庄质检)如图是计算1＋13＋15＋…＋129的一个程序框图，则图中①处应填写的语句是( )A ．i ≤15B ．i >15C ．i >16D ．i ≤16[答案] B[解析] ∵s ＝0，n ＝1，i ＝1，∴s ＝0＋11＝1，n ＝1＋2＝3，i ＝1＋1＝2；∵s ＝1，n ＝3，∴s ＝1＋13，n ＝3＋2＝5，i ＝2＋1＝3；∵s ＝1＋13，n ＝5，∴s ＝1＋13＋15，n ＝5＋2＝7，i ＝3＋1＝4；∵s ＝1＋13＋15，n ＝7，∴s ＝1＋13＋15＋17，n ＝7＋2＝9，i ＝4＋1＝5；….故当S ＝1＋13＋15＋…＋129时，i ＝16，故图中①处应填写的语句是“i >15”．(理)(2012·温州适应性测试)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12012的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤1005B ．i >1005C ．i ≤1006D ．i >1006[答案] C[解析] 依题意得，12＋14＋16＋…＋12012可视为数列{12n }的前1006项的和，因此结合程序框图可知，判断框内应填入的条件是i ≤1006，选C.7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．[答案] x <2，y ＝log 2x[解析] 根据分段函数解析式及程序框图知，当满足x <2时，执行y ＝2－x ，故判断框中条件为x <2，不满足条件x <2，即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②中为y ＝log 2x .8．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为________．[答案] －54[解析] 当x ＝4时，y ＝1，不满足|y －x |<1，故重新赋值x ＝1，此时y ＝－12，仍不满足|y －x |<1，再赋值x ＝－12，此时y ＝－54，∵|(－54)－(－12)|＝34<1成立，∴跳出循环，输出y 的值－54后结束．9．(2012·广东理，13)执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．[答案] 8[解析] 程序运行过程如下：开始→n ＝8，i ＝2，k ＝1，S ＝1，作判断i <n 成立，执行循环体，S ＝11×(1×2)＝2，i＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2，再判断i <n 仍成立，再执行循环体，S ＝12×(2×4)＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3，此时，i <n 仍然成立，第三次执行循环体，S ＝13×(4×6)＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4，此时不满足i <n ，跳出循环，输出S 的值8后结束．10．(2012·福建理，12)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________．[答案] －3[解析]本题考查了程序框图的应用．依据循环控制条件k<4是否满足得到循环过程如下：开始，k＝1，S＝1，(1)1<4，S＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；(2)2<4，S＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；(3)3<4，S＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；(4)k＝4时不满足k<4，输出S＝－3.[点评] 对于程序框图要看清楚属于哪种循环，是直到型循环，还是当型循环，还要注意跳出循环时各变量的最新状态.能力拓展提升11.(文)如图是一个算法的程序框图，该算法运行后输出的结果是( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋13＋15＋…＋119C.12＋14＋16＋…＋120D.12＋122＋123＋…＋1210 [答案] C[解析] i ＝1>10不成立，S ＝12，n ＝4，i ＝2；i ＝2>10不成立，S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3；i ＝3>10不成立，S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4；…i ＝10>10不成立，S ＝12＋14＋16＋…＋120，n＝22，i ＝11，i ＝11>10成立，输出S .(理)如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A ．2014B ．－1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：k ＝0<2014→S ＝11－2＝－1，k ＝1<2014→S ＝11－－＝12，k ＝2<2014→S ＝11－12＝2，k ＝3，故S 的值依次循环取值－1，12，2，周期为3，因为2014＝671×3＋1，故最后输出结果为S ＝－1.[点评] 遇到这种数值较大，循环次数较多的情形，可将数值变小，∵2014能被3整除，故可取k <6，k <3来检验输出结果．你能指出条件改为k <32014时输出的结果吗？12．(文)(2012· 陕西文，5)下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．q ＝N MB ．q ＝M NC ．q ＝N M ＋ND ．q ＝MM ＋N[答案] D[解析] 本题考查了循环结构的程序框图在实际问题中的应用．由框图知M 为及格人数，N 为不及格人数，所以及格率q ＝MM ＋N.[点评] 对于在空白框中填写判断条件或处理计算语句，一定要结合实际的背景要求，同时要养成再检验一遍的习惯．(理)(2012·陕西理，10)下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P＝N1000B．P＝4N1000C．P＝M1000D．P＝4M1000[答案] D[解析]∵x i，y i是0～1之间的随机数，∴点(x i，y i)构成区域为以O，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)为顶点的正方形OABC，当x2i＋y2i≤1时，点(x i，y i)落在以原点为圆心，1为半径的圆内及圆上位于第一象限的部分，M统计落入圆内的点，N统计落入圆外的点，即图中阴影部分，故NM＝1－π4π4，∴π＝4MM＋N，∵M＋N＝1000，∴π＝4M 1000，∵P是π的估计值，∴赋值语句应为P＝4M1000，故选D.13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．[答案] 5[解析]第1次循环：k＝3，a＝43，b＝34，a>b不成立；第2次循环：k＝4，a＝44，b＝44，a>b仍不成立；第3次循环：k＝5，a＝45，b＝54.此时，满足条件a>b，循环终止，因此，输出的k的值是5.14．(2012·浙江理，12)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．[答案]1120[解析] 这是一个循环结构程序框图，控制循环的条件i >5，由于i 初值为1，故需循环5次．开始→T ＝1，i ＝1，T ＝11＝1，i ＝1＋1＝2，此时i >5不成立，第二次执行循环体，T＝12，i ＝2＋1＝3，i >5仍不成立，第三次执行循环体，T ＝123＝16，i ＝3＋1＝4，i >5仍不成立，第四次执行循环体T ＝164＝124，i ＝4＋1＝5，i >5仍不成立，第五次执行循环体，T ＝1245＝1120，i ＝5＋1＝6，i >5成立，跳出循环，输出T 的值1120后结束．15．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________．[答案]138[解析] 运行过程为：x ＝1，y ＝1，z ＝2→x ＝1，y ＝2，z ＝3→x ＝2，y ＝3，z ＝5→x＝3，y ＝5，z ＝8→x ＝5，y ＝8，z ＝13→x ＝8，y ＝13，z ＝21→输出y x ＝138.1．(2011·课标全国文，5)执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A．120 B．720C．1440 D．5040[答案] B[解析]该框图的功能是计算1×2×3×…×N的值，因为N＝6，所以输出p的值为1×2×3×4×5×6＝720.2．(2011·泰安市一模)如图所示的程序框图，运行后输出的结果为( )A．2 B．4 C．8 D．16[答案] D[解析]第一次运行时：b＝2，a＝2；第二次运行时：b＝4，a＝3；第三次运行时：b ＝16，a＝4，运行终止，输出b的值为16.3．(2011·陕西文，7)如下框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11[答案] B[解析] ∵x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5，∴x 1＋x 22＝6＋92＝7.5≠p ，∴输出的p ＝x 2＋x 32＝9＋x 32＝8.5，∴x 3＝8.4．(2011·山东济宁一模)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝|sin x |[答案] C[解析] 该框图的功能是筛选出既是奇函数又存在零点的函数．选项A 、D 中的函数为偶函数，不合题意；对于选项B ，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0不存在零点，也不符合题意．故选C.5.某程序框图如图所示，若输出S ＝57，则判断框内为( ) A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6? D ．k >7? [答案] A[解析] 由程序框图知，初始值S ＝1，k ＝1，循环过程为：k ＝2，S ＝2×1＋2＝4； k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11； k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26； k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57.因为输出S＝57，所以k＝5时循环结束，故判断框内应填“k>4？”．6．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1、a2、…、a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V.那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A．A>0，V＝S－T B．A<0，V＝S－TC．A>0，V＝S＋T D．A<0，V＝S＋T[答案] C[解析]月总收入S应当为本月的各项收入之和，故需满足A>0，月净盈利应当为月总收入减去本月的各项支出之和；因为T<0，故V＝S＋T.7．阅读下图所示程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于( )A．2 B．3C．4 D．5[答案] C[解析]开始→i＝1 a＝2 S＝2 i＝2 第1次循环结束，对S>11作出判断，不成立，开始第二次循环→a＝23S＝2＋23i＝3 第2次循环结束，再对S>11作出判断，仍不成立，开始第三次循环→a＝3·23S＝2＋23＋3·23i＝4 第3次循环结束，此时S＝34>11成立，输出i的值4后结束，∴i＝4.8．(2011·福建质量检查)有编号为1、2、…、1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是( )[答案] B[解析]选项A、C中的程序框图输出的结果中含有0，故排除A、C；选项D中的程序框图不能输出7，排除D，应选B.9．(2012·安徽理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．3 B．4 C．5 D．8[答案] B[解析]本题主要考查了程序框图中的循环结构、赋值语句等．由x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→结束(输出y＝4)．[点评] 对循环次数较少的问题可以依次写出，对循环次数较多的应考虑是否具有周期性．10．(2012·山东理，6)执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] B[解析]程序运行过程依次为：a＝4，P＝0，Q＝1，n＝0，此时满足P≤Q→P＝0＋40＝1，Q＝2×1＋1＝3，n＝0＋1＝1，仍满足P≤Q→P＝1＋41＝5，Q＝2×3＋1＝7，n＝2，P≤Q仍然成立→P＝5＋42＝21，Q＝2×7＋1＝15，n＝3，此时P≤Q不成立，跳出循环，输出n的值3后结束．11．(2012·新课标全国，6)如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1、a2、…、a N，输出A、B，则( )A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B.A＋B2为a1，a2，…，a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数[分析] 这是一个循环结构程序框图，有三个判断条件，通过赋值语句x＝a k，依次将a i(i＝1,2，…，N)的值赋给x后，第一个判断条件“x>A”，满足时A取x的值，因此循环结束后，A是a1，a2，…，a N中的最大值；第二个判断条件“x<B”满足时B取x的值，因此循环结束后B取a1，a2，…，a N中的最小值；第三个判断条件“k≥N”，控制循环的结束，即当k＝N时循环结束，让x能取遍a1，a2，…，a N中的每一个值．[答案] C[解析]随着k的取值不同，x可以取遍实数a1，a2，…，a N，依次与A、B比较，A始终取较大的那个数，B始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A、B分别是这N个数中的最大数与最小数，故选C.[点评] 在读取循环结构的框图时，要注意每一次循环之后变量的变化，并能通过循环中止的条件确定好循环次数，避免在判断时，出现多一次循环与少一次循环的错误．。
2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版12程序框图
【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】12：程序框图一、选择题1 ．（2013北京西城高三二模数学理科）如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯”之值,则判断框内可以填入（ ） A ．10k ≤ B ．16k ≤ C ．22k ≤ D ．34k ≤【答案】C第一次循环，满足条件，2,3S k ==;第二次循环，满足条件，23,5S k =⨯=;第三次循环，满足条件，235,9S k =⨯⨯=;第四次循环，满足条件，2359,17S k =⨯⨯⨯=;第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出。
所以条件应满足1733k <<，即当22k ≤，满足，所以选C.2 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）执行如图所示的程序框图.若输出的结果是16,则判断框内的条件是（ ）A ．6n >?B ．7n ≥?C ．8n >?D ．9n >?【答案】C第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。
第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。
第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。
第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。
所以判断框内的条件是8n >，选C.3．（2013北京顺义二模数学理科）执行如图所示的程序框图,输出的s 值为（ ）A ．10-B ．3-C ．4D ．5【答案】A第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。
第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。
第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。
第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。
此时不满足条件，输出10s =-，选A.4．（2013北京东城高三二模数学理科）阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D若输入x 的值为25-时，则14x =-=，循环11x ==，此时不满足条件，输出3114x =⨯+=，选D.二、填空题5．（2013北京昌平二模数学理科）执行如图所示的程序框图,若①是6i <时,输出的S 值为_________;若①是2013i <时,输出的S 值为_________.【答案】5；2013若①是6i <时。
2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，文1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-≤<，则A B =I （ ） （A ）{0} （B ）{}10-，（C ）{}01， （D ）{}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-I ＝，故选B ． （2）【2013年北京，文2，5分】设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）（A ）ac bc > （B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >【答案】D 【解析】：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D ．（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）（A ）1y x = （B ）x y e -= （C ）21y x =-+（D ）lg y x =【答案】C【解析】A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0)+∞，上是增函数，故选C ． （4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【解析】()i 2i 12i -=+，其在复平面上的对应点为()1,2，该点位于第一象限，故选A ．（5）【2013年北京，文5，5分】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ）（A ）15 （B ）59（C ）5 （D ）1【答案】B【解析】根据正弦定理，sin sin a b A B =，则515sin sin 339b B A a ==⋅=，故选B ． （6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线221yx m-=的离心率大于2的充分必要条件是（ ）（A ）12m > （B ）1m ≥ （C ）1m > （D ）2m >【答案】C【解析】该双曲线离心率1me +=，由已知1>2m +，故1m >，故选C ．（8）【2013年北京，文8，5分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ．建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,0D ，10,()0D a ,，1()0C a a ,,，,(0)0C a ,，0(,)B a a ,，1()B a a a ,,，(),0,0A a ，1,()0A a a ,，221,,333P a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则PB =u u u r，PD a =u u u r ，1PD ==u u u u r，11PC PA a ==，PC PA ==，1PB u u u r ，故共有4个不同取值，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 【答案】2；1-【解析】根据抛物线定义12p =，∴2p =，又准线方程为12px =-=-．（10）【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ． 【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式133133V =⨯⨯⨯=，故该棱锥的体积为3．（11）【2013年北京，文11，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ． 【答案】2；122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（12）【2013年北京，文12，5分】设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．【解析】区域D 表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知()1,0到D 的距离最小值为()1,0到直线2x -y =0（13）【2013年北京，文13，5分】函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为_______．【答案】()2-∞，【解析】当1x ≥时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当1x <时，1022x <<，即022x <<；故()f x 的值域为()2-∞，． （14）【2013年北京，文14，5分】向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r （12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 ． 【答案】3【解析】AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()2,1AB =u u u r ，()1,2AC =u u u r ．设()P x y ，，则()1,1AP x y =-+u u u r．∴1212x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得233233x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,∵12λ≤≤，01μ≤≤，可得629023x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩，如图．可得()13,0A ，()14,2B ，()16,3C ，21214325A B (-)+==，两直线距离2521d ==+，∴11·3S A B d ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期及最大值；（2）若(,)2παπ∈，且2()f α=，求α的值．解：（1）21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+1cos2sin 2cos42x x x =+11sin 4cos422x x =+2sin(4)4x π=+所以，最小正周期242T ππ==，当()4242x k k Z πππ+=+∈，即()216k x k Z ππ=+∈时，max 2()2f x =． （2）因为22()sin(4)4f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<， 所以5442ππα+=，即916πα=．（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613．（2）解法一：根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413．解法二：此人停留的两天共有13种选择，分别是：()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，()5,6，()6,7，()7,8，()8,9，()9,10，()10,11，()11,12，()12,13，()13,14，其中只有一天重度污染的为()4,5，()5,6，()7,8，()8,9，共4种，所以概率为2413P =． （3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，文17，14分】如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）PA ⊥底面ABCD ； （2）//BE 平面PAD ；（3）平面BEF ⊥平面PCD ． 解：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ∴⊥底面ABCD ．（2）因为//AB CD ，2CD AB =，E 为CD 的中点，所以//AB DE ，且AB DE =．所以ABED 为平行四边形．所以//BE AD ．又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ．（3）因为AB AD ⊥，而且ABED 为平行四边形，所以BE CD ⊥，AD CD ⊥．由（1）知PA ⊥底面ABCD ，空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日1日037798615812116021740160220143572586100150200250所以PA CD ⊥．所以CD ⊥平面PAD ．所以CD PD ⊥．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以//PD EF ．所以CD EF ⊥．所以CD ⊥平面BEF ．所以平面BEF ⊥平面PCD ．（18）【2013年北京，文18，13分】已知函数2()sin cos f x x x x x =++．（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围． 解：（1）因为曲线()y f x =在点()()a f a ，处与直线y b =相切，所以()()2cos 0f a a a '=+=，()b f a =．解得0a =，()01b f ==．（2）解法一：令()0f x '=，得0x =．()f x 与()f x '的情况如下：所以函数()f x ()01=是()f x 的最小值． 当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；当1b >时，()()222421421f b f b b b b b b -=≥-->-->，()01f b =<，所以存在()12,0x b ∈-，()20,2x b ∈，使得()()12f x f x b ==．由于函数()f x 在区间()0-∞，和(0)+∞，上 均单调，所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1)+∞，．解法二：因为2cos 0x +>，所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增；当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减． 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞．（19）【2013年北京，文19，14分】直线()0y kx m m =+≠，W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形． 解：（1）因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设1,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =AC =（2）解法一：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC OB ⊥，所以0k ≠．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=．设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+．所以AC 的中点为224,1414kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠，所以直线OB 的斜率为14k-．因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 解法二：因为四边形OABC 为菱形，所以OA OC =，设()1OA OC r r ==>，则A ，C 两点为圆222x y r +=与椭圆2214x y +=的交点，联立方程2222214x y r x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得224(1)3r x -=，所以A ，C 两点的横坐标相等或 互为相反数．因为点B 在W 上，若A ，C 两点的横坐标相等，点B 应为椭圆的左顶点或右顶点．不合题意．若A ，C 两点的横坐标互为相反数，点B 应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意． 所以四边形OABC 不可能为菱形（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列1a ，2a ，L L ，n a ．对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，L L ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列；（3）设1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列．解：（1）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-=． （2）因为1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，所以11n n a a q -=．所以当1,2,3,,1k n =-L 时，1k k k k k d A B a a +=-=-，所以当2,3,,1k n =-L 时，11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===--，所以1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列． （3）解法一：若1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，则1210n d d d -<<<<L ， 1a ，2a ，L L ，1n a -应是递增数列，证明如下：设k a 是第一个使得1k k a a -≤的项，则1k k A A -=，1k k B B -≤，所以111k k k k k k d A B A B d ---=-≥-=，与已知矛盾．所以，1a ，2a ，L L ，1n a -是递增数列．再证明n a 数列{}n a 中最小项，否则k n a a <（2,3,,1k n =-L ），则 显然1k ≠，否则11111110d A B a B a a =-=-≤-=，与10d >矛盾；因而2k ≥，此时考虑11110k k k k k d A B a a ----=-=-<，矛盾，因此n a 是数列{}n a 中最小项．综上，()2,3,,1k k k k n d A B a a k n =-=-=-L ，k k n a d a ∴=+，也即1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列． 解法二：设d 为121n d d d -⋯，，，公差．对12i n ≤≤-，1i i B B +≤Q ，0d >，111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=．又因为11{}i i i A max A a ++=，，所以11i i i i a A A a ++=>≥．从而121n a a a -⋯，，，是递增数列． 因此1,2()1i i A a i n ==⋯-，，．又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<<⋯<．因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋯==．所以i i i i n i a A B d a d ==+=+．因此对1,22i n =⋯-，，都有11i i i i a a d d d ++-=-=，即121n a a a -⋯，，，是等差数列．。
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2009-2013年北京高考真题--程序框图汇编 高考真题分类汇编-学生卷 题号 一 总分 得分 △注意事项： 1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为： 2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
一 、选择题（本大题共3小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2011年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为 A ．2B ．3C ．4D ．5 2.（2012年北京高考真题数学(文)） 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 姓名：_______
___班级：__________考号：__________ ●-
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---密-
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---------封-
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--线-
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-
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--
-
-内
-
-
--
-
-
--
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-
请---
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-
-
-
-
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-
--不
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-
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-
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-
-
要-
-
-
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------答-
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------题-
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S=S ∙2k k=k+1k=0, S=1<3是否输出S 结束
开始
3.（2013年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框
图，输出的S值为（）
A．1 B．2 3
C．13
21
D．
610
987
2009-2013年北京高考真题--程序框图汇编答案解析
一、选择题
1.C
2.C
3.C。