高一期中数学试题
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2023北京首师附高一(下)期中数学(试题含答案解析)
2023北京首都师大附中高一（下）期中数 学第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知向量(1,)m =a ，(1,1)=−b ，(3,0)=c ，若//()+a b c ，则m =A. 1−B. 12C. 2D. 2−2. 若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是A. sin(π)α+B. cos(π)α−C. πcos()2α+ D. πsin()2α− 3.下列选项使得函数π()sin(2)3f x x =−单调递减的是A. 11π7π[,]1212−− B. 7ππ[,]1212−− C. π5π[,]1212D. π11π[,]12124.在ABC △中，1AB =，AC =，π6C ∠=，则B ∠=A.π4B.π4或π2 C. 3πD.π4或3π45． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<）的图像如图所示，则函数()f x 的解析式为A ．π()2sin(2)3f x x =+B ．π()2sin(2)6f x x =+C ．π()2sin()6f x x =+D ．π()2sin()3f x x =+6.已知(π,π)α∈−，且πsin cos 7α=−，则α的值是A.19π14或23π14B. π7或π7− C. 5π14−或5π14D. 5π14−或9π14−7. 已知向量a ，b 是两个单位向量，则“,<>a b 为锐角”是“||−<a b 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8． 已知函数111()sin()f x A x ωϕ=+，222()sin()g x A x ωϕ=+，其图像如下图所示．为得到函数()g x 的图象，只需先将函数()f x 图像上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π6个单位 D. 向左平移π3个单位 9. 对于函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos x x x f x x x x⎧=⎨<⎩≥，给出下列四个命题：① 该函数的值域为[1,1]−； ② 当且仅当22x k π=π+（k ∈Z ）时，该函数取得最大值； ③ 该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④ 当且仅当3222k x k ππ+π<<π+（k ∈Z ）时，()0f x <. 上述命题中真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 410. 圆M 为ABC △的外接圆，4AB =，6AC =，N 为边BC 的中点，则AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第II 卷（共80分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）CA11. 5πtan3= . 12. 已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，面积是22cm ，则该扇形的周长是________cm ．13. 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且=c a +，⊥c b ，那么a 与b 的夹角为 . 14. 已知关于x 的方程2cos sin 20x x a −+=在π(0,]2内有解，那么实数a 的取值范围为 .15. ABC △中，90C ∠=，30B ∠=，BAC ∠的角平分线交BC 于点D .若(,)AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ= . 16. 声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.（1）若甲声波的数学模型为1()sin 200πf t t =，乙声波的数学模型为2()sin(200π)f t t ϕ=+（0ϕ＞），甲、乙声波合成后的数学模型为 12()()()f t f t f t =+.要使()0f t =恒成立，则ϕ的最小值为____________；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为()H t ，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由1S ，2S 两种不同的声波合成得到的，1S ，2S 的数学模型分别记为()f t 和()g t ，满足()()()H t f t g t =+.已知1S ，2S 两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.① πsin2y t =； ② sin 2πy t =； ③ sin 3πy t =； ④ 2sin 3πy t =.则1S ，2S 两种声波的数学模型分别是 .（填写序号）三、解答题（本大题共5小题，共50分。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,3,4A =，{}0,1,2B =，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}3,4D ．{}1,2 2．用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形3．已知()2i i z +=，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．15B ．13CD 4．已知平面向量()2,0a =r ，()1,1b =-r ，且2ma b a b -=+r r r r ，则m =（ ）A ．1-BCD ．05．下列说法正确的是（ ）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．四棱柱各面所在平面将空间分成27部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内一定存在直线与a 平行6．若平面向量m u r ，n r ，p u r 均是非零向量，则“()()m n p m n p ⋅=⋅u r r u r u r r u r ”是“向量m u r 与p u r 共线”的（ ） A ．充要条件B ．充分且不必要条件C ．必要且不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔顶A 在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ）A ．B ．50米C ．25米D ．50米 8．已知函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧+>-⎪=⎨---≤-⎪⎩，若函数()()22312y f x af x a =++-有6个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．3-B ．3C ．2e -D ．2e二、多选题9．对于ABC V ，有如下说法，其中正确的是（ ）A ．满足条件AB =1AC =，30B =o 的三角形共有两个B ．若sin cos A B =，则ABC V 是直角三角形C ．若222cos cos sin 2A B C ++<，则ABC V 为锐角三角形D ．若ABC V 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立10．已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线AB 长为2，E 为母线AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．圆台的高为2B ．圆台的侧面积为6πC ．圆台外接球的体积是32π3D ．在圆台的侧面上，从C 到E 的最短路径的长度为511．关于函数()sin cos 2f x x x =+（x ∈R ），如下结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是π2B ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．函数()f x 的值域是(]0,2D ．函数()f x 在π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．如图所示，长方形O A B C ''''的边长2O A ''=，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222a c ac b ++=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且4BD =，则4a c +的最小值为．14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，则P A 的最大值为．四、解答题15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心，且339cm AC AB BD ===，现有一箱这种的陀螺共重6300g （不包含箱子的质量），陀螺的密度为35g /cm 6（π取3）(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少2cm 的颜料？ 16．已知复数1z ，2z 是方程210z z -+=的解，复平面内表示1z 的点A 在第四象限，O 是原点．(1)点A 关于虚轴的对称点为点B ，求向量OB u u u r 对应的复数；(2)将复数2z 对应的向量OC u u u r 绕原点逆时针旋转2π得到向量OD u u u r ，OD u u u r 对应的复数为3z ，求223i z z +的值； 17．如图，在△ABC 中，已知2AC =，3AB =，60BAC ∠=︒，且0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r．(1)若AG AC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，求2λμ+的值(2)求cos AGC ∠．18．已知向量()cos ,1a x =-r，1,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r ． (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)已知ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()1f B =-，如图．（ⅰ）若33c a ==，求ABC V 的面积；（ⅱ）若30CAM ∠=o ，120BCM ∠=o ，CM ，求ACB ∠的值．19．若()(),f x g x 是定义在[],a b 上的增函数，其中[][),0,a b ⊆+∞，存在函数()()()2M x f x =，()()()2N x m g x =⋅，且函数()M x 图像上存在两点,A B ，()N x 图像上存在两点,C D ，其中,A C 两点横坐标相等，,B D 两点横坐标相等，且AB CD u u u r u u u r ∥，则称()f x 在[],a b 上可以对()g x 进行“m 型平行追逐”，即()f x 是()g x 在[],a b 上的“m 型平行追逐函数”. 已知()141x a f x =-+是定义在R 上的奇函数，()22x x g x b -=+⋅是定义在R 上的偶函数． (1)求满足()()83f xg x =的x 的值； (2)设函数()()()()()()22k x n f x g x g x =-+，若不等式()0k x <对任意的[)1,x ∞∈+恒成立，求实数n 的取值范围；(3)若函数()f x 是()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“m 型平行追逐函数”，求正数m 的取值范围．。
2023-2024学年山东省青岛市高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省青岛市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点为()1,2，z 是z 的共轭复数，则zz=（）A ．34i 55-+B ．34i 55--C ．34i55+D ．34i55-【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是（）A ．1B ．2C D【正确答案】B【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式，结合圆的周长公式即可求解.【详解】设圆锥的母线长为cm a ，因为圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，所以28π1π2a ⋅=，解得4a =.所以侧面展开扇形的弧长为12π44π2⨯⨯⨯=cm .设圆锥的底面半径为cm r ，则2π4πr =，解得2r =.所以这个圆锥的底面半径是2cm .故选：B.3．函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.4．已知球1O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球2O ，则球1O 与球2O 的表面积之比为（）A ．2：3B ．3：2CD【正确答案】A【分析】设正方体棱长为a ，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比.【详解】设正方体棱长为a ，因为球1O 与正方体的各条棱相切，所以球1O 的直径大小为正方体的面对角线长度，即半径2r =；正方体内接于球2O ，则球2O的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径2R a =；所以球1O 与球2O的表面积之比为2222232r R a ⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.5．在ABC 中，已知tan ,tan A B 是关于x的方程210x m ++=的两个实根，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】C【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得tan()A B +的值，可得A B +的值，从而求得C 的值．【详解】由()23410m m ∆=-+≥得：23m ≤-或2m ≥，故0m ≠，由题有tan tan tan tan 1A B A B m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，而()πC A B =-+，∴()()tan tan tan tan 1tan tan 11A B C A B A B m +=-+=-=-=--+又()0,πC ∈，∴2π3C =.故选：C.6．三棱台111ABC A B C -中，11:1:3AB A B =，则三棱锥1A ABC -、三棱锥11B A B C -、三棱锥111C A B C -的体积之比为（）A ．1:2:9B ．1:3:9C ．1:4:9D ．1:6:9【正确答案】B【分析】根据三角形相似可得出11119ABC A B C S S =△△，结合锥体体积公式可求得1111A ABC C AB CV V --，再利用台体体积公式可求得结果.【详解】在三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C ∽△△，11121119ABC A B C SAB S A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，因为点C 到平面111A B C 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，所以，111111119A ABC ABC C ABC A B C V S V S --==△△，设点C 到平面111A B C 的距离为h ，(11111111131333ABC A B C ABC A B C ABC A ABC V S S h S h V --=+=⋅= ，所以，()1111111111113193B A B C ABC A B C A ABC C A B C A ABC A ABC V V V V V V ------=--=--=，因此，111111::1:3:9A ABC B A B C C A B C V V V ---=，故选：B.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()sin sin 2sin B A A A B +-=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化简给定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.【详解】在ABC 中，由()()sin sin 2sin B A A A B +-=-得：sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin B A B A A A A B A B +-=-，整理得2sin cos 2cos sin A A A B =，则cos 0A =或sin sin A B =，当cos 0A =时，0πA <<，π2A =，ABC 是直角三角形，当sin sin A B =时，由正弦定理得a b =，因此ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形.故选：D8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为1V 、2V 、3V ，则它们之间一定满足（）A ．212223211V V V =+B ．222123V V V =+C ．()22212314V V V =+D ．222123111V V V =+【正确答案】D【分析】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，利用等面积法可得出AB BCBD AC⋅=，再利用锥体的体积公式计算可得出1V 、2V 、3V 所满足的关系式.【详解】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，如下图所示：以AC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为1V ，以AB 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为2V ，以BC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为3V ，则221π3V BC AB =⨯⨯，231π3V AB BC =⨯⨯，因为1122ABC S AB BC BD AC =⋅=⋅△，则AB BCBD AC⋅=，()22221111πππ333AB BC V BD AD CD BD AC AC⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯，所以，()2222244244224242191999ππππAB BC AC V AB BC AB BC AB BC AB BC +===+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯222311V V =+，故选：D.二、多选题9．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数i e 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．πi e 10-=D πi 33i+12【正确答案】BD【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.【详解】对于A ，i cos1i sin1e =+，而sin10,cos10>>，因此复数i e 对应的点(cos1,sin1)位于第一象限，A 错误；对于B ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，因此πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，πi e 1cos πi sin π12-=+-=-，C 错误；对于Dπi 3ππ11cosisin (i)(i)i1332222i 444e +++==+，πi 312=，D 正确.故选：BD10．有下列说法，其中正确的说法为（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．两个非零向量a 和b ，若a b a b -=+ ，则a 与b垂直C ．已知()2,1a =r ，则与a垂直的单位向量的坐标,55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭D ．已知向量()1,2a =-r ，(),1b t = ，若b 在a（e 为与向量a 同向的单位向量），则7t =【正确答案】BCD【分析】取0b = ，可判断A 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B 选项；设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，根据已知条件求出m的坐标，可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取0b = ，则//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，两个非零向量a 和b，若a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，整理可得0a b ⋅= ，故a 与b垂直，B 对；对于C 选项，设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，由题意可得201a m x y m ⋅=+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，与a垂直的单位向量的坐标55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭，C 对；对于D 选项，已知向量()1,2a =-r ，(),1b t =，则b 在a上的投影向量为cos ,b a b e ⋅= ，cos ,a b a b b a b b a b a⋅⋅=⋅=⋅=⋅，解得7t =，D 对.故选：BCD.11．已知空间中的平面α，直线l 、m 、n 以及点A 、B 、C 、D ，则以下四个命题中，不正确的命题是（）A ．在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形B ．若l α⊄，∈A l ，则A αÏC ．若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 和m 是异面直线D ．若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，∈A l ，B l ∈，则l ⊂α【正确答案】ABC【分析】直接判断四边形ABCD 的形状，可判断A 选项；利用空间中点、线、面的位置关系可判断BCD 选项.【详解】对于A 选项，在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形或空间四边形，A 错；对于B 选项，若l α⊄，∈A l ，则A αÏ或l A α=I ，B 错；对于C 选项，若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 、m 相交或异面，C 错；对于D 选项，若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，则A α∈，B α∈，又因为∈A l ，B l ∈，所以l ⊂α，D 对.故选：ABC.12．已知函数()()πsin 0,0,π2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．5π6ϕ=-B ．π3g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．()g x 的图象关于直线2π3x =对称D ．()g x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】ACD【分析】根据给定的图象依次求出,,A ϕω，得函数()f x 的解析式，结合图象变换求出函数()y g x =，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，2A =，(0)1f =-，则1sin 2ϕ=-，而ππ2ϕ-<<-，于是5π6ϕ=-，A 正确；函数()f x 的周期T 满足：5π635π46T T ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2π5π632π5π46ωω⎧>⎪⎪⎨⎪⋅<⎪⎩，解得91255ω<<，又5π()06f =，即有5ππ,Z 6k k ωϕ+=∈，而0ω>，于是61,N 5kk ω=+∈，因此111,5k ω==，115π()2sin()56f x x =-，5π()2sin(26g x x =-，ππ()2sin[2()335ππ]2sin(266g x x x +--=+=，显然函数π2sin(26y x =-不是奇函数，B 错误；因为2π2π5ππ(2sin(22sin 23362g =⨯-==，所以()g x 的图象关于直线2π3x =对称，C 正确；当2ππ3x <<时，π5π7π2266x <-<，而正弦函数sin y x =在π7π(,)26上单调递减，所以()g x 在区间2π(,π)3上单调递减，D 正确.故选：ACD 三、填空题13．已知向量,a b满足()a b b -⊥ ，且2,1a b == ，则a 与b 的夹角为_________．【正确答案】π3##60 【分析】利用向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.【详解】由()a b b -⊥ ，得()0a b b -⋅= ，解得21a b b ⋅=r r r =，设a 与b的夹角为θ，则11cos 212a b a b θ⋅==⨯r r r r =，因为0πθ≤≤，所以π3θ=.所以a 与b的夹角为π3.故答案为.π314．已知()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=________．【正确答案】5665【分析】根据给定条件，求出角π4α-与5π4β+的范围，再借助角的变换及差角的正弦公式计算作答.【详解】依题意，因π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π5π3π0,24442αβ-<-<<+<，而()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则π45π5sin(),cos()45413αβ-=-+=-，5ππ5ππ5ππsin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()444444αββαβαβα+=-+--=-+-++-1235456()()()13513565=--⨯+-⨯-=．故566515．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足3DO DM =，线段CO 上有点N 满足0()OC ON λλ=> ，设,AB a AD b == ，已知16MN a b μ=-，则λ=_________．【正确答案】3【分析】由MN AN AM =- ，根据,,D M B 三点共线，AM用基底,AB AD 表示，由OC ON λ= ，可得11()22AN AC λ=+ ，进而用,AB AD表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解.【详解】1113,,666DO DM DM DB AM AD AB AD =∴=-=- ，1566AM a b =+ ，11,2OC ON ON OC AC λλλ===，1111(()()2222AN AO OC AC a b λλ∴=+=+=++ ，1115()()2266MN AN AM a b a b λ=-=++-+ 11111()()32326a b a b μλλ=++-+=-，由平面向量基本定理，得1132111326μλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得312λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故3.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos B c B a b +=+，且4a b +=，则ABC 周长的取值范围为________，ABC 面积的最大值为_________．【正确答案】[)6,8【分析】根据已知条件及正弦定理边角化，利用两角和的正弦公式及辅助角公式，然后再利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的周长公式及三角形的面积公式即可求解.sin cos B c B a b +=+sin sin cos sin sin C B C B A B +=+,()sin sin cos sin sin C B C B B C B +=++,sin sin cos sin C B B C B =+,因为0πB <<，所以sin 0B ≠，cos 1C C =+cos 1C C -=，于是有π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，即π3C =.由余弦定理，得()2222cos c a b ab ab C =+--,即()()()22223344c a b ab a b a b =+-≥+-+=，解得2c ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以24,68c a b c ≤<≤++<，所以ABC 周长的取值范围为[)6,8.因为4a b +=，所以224422a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，11sin 4222ABC S ab C =≤⨯⨯=△所以当2a b ==时，ABC故[)6,8关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理边角化及基本不等式求最值即可.五、解答题17．已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解；（2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解；（3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解.【详解】（1）解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →，所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →（2）解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．（3）解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．18．已知复数12i ,1i z a z =-=-，其中a 是实数．(1)若212i z =-，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】(1)1；(2)1i -+.【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12z z ，再利用i 乘方的周期性求解作答.【详解】（1）复数1i z a =-，则2212i)(12i 2)(i a a z a -+=-==--，又a 是实数，因此21022a a ⎧-=⎨-=-⎩，解得1a =，所以实数a 的值是1.（2）复数12i ,1i z a z =-=-，R a ∈，则12i (i)(1i)(1)(1)i 11i 1i (1i)(1i)222z a a a a a a z -+-++--+----====+--+，因为12z z 是纯虚数，于是102102a a --⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，因此12i z z =，又1234i i,i 1,i i,i 1==-=-=，则*4342414N ,i i,i 1,i i,i 1n n n n n ---∈==-==，即有*4342414N ,i i i i 0n n n n n ---∈+++=，所以232022234211112222()()()505(i i i i )i i 1i z z z z z z z z ++++=+++++=-+ .19．已知函数())cos cos ,R f x x x x x =+∈．(1)当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值；(2)若2(,R 32f θθ=∈，求π3f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)32；(2)118.【分析】（1）化简函数π1()sin(262f x x =++，再利用正弦函数的性质求出最值作答.（2）将3(24f θ=代入求出π1sin(64θ+=，再利用二倍角的余弦求解作答.【详解】（1）依题意，21cos 2π1()cos cos sin 2sin(2)262x f x x x x x x +=++=++，当ππ[,64x ∈-时，]π2π2π[6,63x -+∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，πsin(216x +=，所以当π6x =时，max 13()122f x =+=.（2）因为2(3)2f θ=，则由（1）知，π13sin(624θ++=，即π1sin()64θ+=，所以2π5πππ1π13π()sin(2sin[(2)]cos 2()2sin ()363226226f θθθθθ+=+=+++=++=-+2312()24811=-⨯=.20．已知ABC的面积为2，且1AB AC ⋅=- ．(1)求角A 的大小及边BC 长的最小值；(2)设M 为BC的中点，且2AM =，求边BC 上的高．【正确答案】(1)23A π=，边BC【分析】（1）直接利用面积公式和向量的数量积定义，列方程组，消去bc ，可求出tan A ，从而可求出角A ，利用余弦定理结合基本不等式可求出BC 长的最小值，（2）由M 为BC 的中点，得1()2AM AB AC =+ ，两边平方化简可得225b c +=，再利用余弦定理可求出a ，然后由面积公式可求得结果【详解】（1）因为ABC1AB AC ⋅=- ，所以1sin 22cos 1bc A bc A ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为cos 0A ≠，所以tan A =因为(0,)A π∈，所以23A π=，由余弦定理得222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++≥，当且仅当b c =时取等号，由2cos 13bc π=-，得2bc =，所以26a ≥，所以a ，（2）因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+ ，所以222211()(2)44AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ，因为2AM =1AB AC ⋅=- ，所以2231(2)44b c =+-，得225b c +=，由余弦定理得，222222cos 527ab c bc A b c bc =+-=++=+=，所以a =设BC 边上的高为h因为ABC所以12ah =12=，得h =所以边BC 上的高为721．“方舱医院”原为人民子弟兵野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN 区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，π3AOB ∠=．记POB θ∠=．(1)当π4θ=时，求OM ON ⋅ ；(2)请写出病房区OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值．【正确答案】(1)1)-；(2)ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，π6θ=.【分析】（1）利用正弦定理求出,ON OM ，再利用数量积的定义求解作答.（2）利用正弦定理用θ表示出,ON OM ，再利用三角形面积公式、结合三角恒等变换求解作答.【详解】（1）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，π2ππ,,4312OPM POB OMP POM ∠=∠=∠=∠=，90OP =，πππππππsin sin()sin cos cos sin 12464646=-=-由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即90ππ2πsin sin sin 1243PM OM ==，于是)43ON PM ==-，2OM ==所以1||cos 3045(1350(1)||2OM ON OM B ON AO =∠=⋅= .（2）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，2ππ,,33OPM POB OMP POM θθ∠=∠=∠=∠=-，90OP =，由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即πsin sin()3PM OM θθ==-因此π),3PM OM θθ=-=，从而1π22sin 60)6023POM S S PM OM OMP θθ==⨯⋅∠=-⋅⋅)2π1sin cos sin sin cos sin 322θθθθθθθθ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11πsin 2cos 2)sin(2)226θθθ=+-=+-π03θ<<，显然ππ5π2666θ<+<，因此当ππ262θ+=，即π6θ=时，πsin(2)16θ+=，S 取得最大值，所以ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，当π6θ=时，S 取得最大值.22．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．(1)过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，1C 截下一个三棱锥111B A BC -，求正方体剩余部分的体积；(2)若M ，N 分别是棱AB ，BC 的中点，请画出过1D ，M ，N 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；(3)设正方体1111ABCD A B C D -外接球的球心为O ，求三棱锥11O A BC -的体积．【正确答案】(1)356a (2)见解析(3)3112a 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥111B A B C -的体积，再用正方体体积减去即可；（2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长；（3）根据（1）中三棱锥111B A B C -的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥11O A BC -的高，再利用棱锥的体积公式即可.【详解】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面111A B C ，则1BB 为三棱锥111B A B C -的高，111212A B C S a = ，1BB a =，则11111123111326B A BC B A BC V V a a a --==⨯⨯=，则正方体剩余部分的体积为3331566a a a -=.（2）画直线MN 交DA ，DC 延长线分别为点,E F ，再分别连接11,D E D F ，分别交11,AA CC 于点,G H ，顺次连接1,,,,D G M N H ，五边形1D GMNH 即为交线围成的多边形，易得12AM a =，45AME BMN ∠=∠= ，则AEM △为等腰直角三角形，则12AE a =，根据AEG △∽11A D G ，1111122a AG AE A G A D a ===，则121,33AG a AG ==，则22121333D G a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2213236a a MG a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1133D H =，136HN ，而22MN =，则五边形1D GMNH 的周长为1313222133622a a ⎫⨯++=+⎪⎪⎝⎭.（3）连接1B D ，易知1B D 的中点即为正方体外接球的球心O 点，且11112A B BC A C a ==，易得三棱锥111B A B C -为正三棱锥，而三棱锥111B A B C -的顶点1B 在底面上的投影即为等边三角形11A BC 的中心1O 点，且点1,O O 均在直线1B D 上，)1122132sin 6022A BC S a a =⨯⨯= 由（1）得111113111136A B A BC BC V S B O a -=⋅⋅= ，即231111326a B O a ⋅=，解得113B O a =，而1B D =，所以1B O所以1OO ==，则112311312O A BC V a -==.。
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．33．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =2x+1的定义域为（ ）A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 25．已知命题p ：∀x ＞0，√3−x ＞0，则命题p 的否定是（ ） A ．∀x ＞0，√3−x ≤0 B ．∃x ＞0，3﹣x ≤0 C ．∃x ＞0，√3−x ≤0D ．∀x ≤0，√3−x ≤06．已知函数f(x)=x +√x +1，其定义域为M ，值域为N ．则“x ∈M ”是“x ∈N ”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=12（|x ﹣a 2|+|x ﹣2a 2|﹣3a 2）．若∀x ∈R ，f （x ﹣a ）＜f （x ），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−16，16]B ．[0，16]C ．[−13，13]D ．(0，16)8．不等式x 2+2axy +4y 2≥0对于∀x ∈[2，3]，∀y ∈[2，9]恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[−2512，+∞） B ．[﹣5，+∞） C ．[−133，+∞) D ．[﹣1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为010．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为111．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．1212．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 ． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 ．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2． （1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a（a＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x名，调整后运营人员的人均投入调整为a（m﹣4x%）万元/人，服务人员的人均投入增加2x%．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m的最大值及此时运营人员的人数．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2，a∈R．（1）设a＞−12，解关于x不等式f（x）＜ax；（2）设a＞0，若当x∈[−12，+∞)时，f（x）的最小值为−94，求a的值．22．（12分）已知函数f(x)=√3x−2−34x+12．（1）判断f（x）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x−12，对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得(g(x1))2+2−m≥m√3x1−2−f(x2)成立，求m的取值范围．2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}解：因为A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 所以∁R A ＝{x |x ≥0}，则（∁R A ）∩B ＝{x |0≤x ＜1}． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．3解：∵函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝﹣1或2， 故选：C ．3．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =f(x 2−1)√x+1的定义域为（ ） A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]解：函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]， 则{−1≤x 2−1≤2x +1＞0，解得−1＜x ≤√3， 故所求函数的定义域为（﹣1，√3]． 故选：D ．4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 2解：当c ＝0时，A 显然错误；若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，即ab＞ba ，B 错误；若a ＞b 且1a＞1b，则1a−1b=b−a ab＞0，所以ab ＜0，即a ＞0＞b ，C 正确； a ＜b ＜0时，D 显然错误． 故选：C ．5．已知命题p：∀x＞0，√3−x＞0，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，√3−x≤0B．∃x＞0，3﹣x≤0C．∃x＞0，√3−x≤0D．∀x≤0，√3−x≤0解：根据题意，命题p：∀x＞0，√3−x＞0，即0＜x＜3，则命题p的否定为：∃x＞0，有x≥3，即3﹣x≤0．故选：B．6．已知函数f(x)=x+√x+1，其定义域为M，值域为N．则“x∈M”是“x∈N”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解：由题意知，x+1≥0，所以x≥﹣1，所以函数f（x）的定义域M＝[﹣1，+∞），因为函数y＝x和y=√x+1在定义域内均为增函数，所以f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1，即函数f（x）的值域N＝[﹣1，+∞），因此“x∈M”是“x∈N”的充要条件．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．若∀x∈R，f（x ﹣a）＜f（x），则实数a的取值范围为（）A．[−16，16]B．[0，16]C．[−13，13]D．(0，16)解：当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，∴当0≤x≤a2时，f(x)=12[−x+a2−(x−2a2)−3a2]=−x，当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2，当x＞2a2时，f（x）＝x﹣3a2，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣a）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，即f（x）的图像向右平移a个单位后的图象总在f（x）图象下方，结合（图二）可得a﹣3a2＞3a2，则0＜6a＜1，故a的取值范围为(0，16 )．故选：D．8．不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，则a的取值范围是（）A．[−2512，+∞）B．[﹣5，+∞）C．[−133，+∞)D．[﹣1，+∞）解：不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，即a≥−x2+4y22xy=−12（xy+4yx）对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，令t=xy，则t∈[29，32]，则a≥−12（t+4t）对于∀t∈[29，32]恒成立，由对勾函数的性质可知y＝t+4t在[29，32]上单调递减，所以当t=32时，y取最小值为256，所以−12（t+4t）的最大值为−2512，所以a≥−2512，即a的取值范围是[−2512，+∞）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为0 解：函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，对于A ，∵y ＝x 2﹣2x +1在（﹣∞，1]上单调递减，y ＝﹣x +1在（1，+∞）上单调递减， 且12﹣2×1+1＝0，﹣1+1＝0， ∴f （x ）在R 上单调递减，A 正确；对于B ，∵a 2﹣（a ﹣1）＝a 2﹣a +1＝（a −12）2+34＞0，∴a 2＞a ﹣1，f （a 2）＜f （a ﹣1），B 错误； 对于C ，若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a ﹣4＜3a ，解得a ＞﹣2，C 正确； 对于D ，f （x ）在区间[1，2]上单调递减，最大值为f （1）＝0，D 正确． 故选：ACD ．10．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为1解：(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ，由于0＜2√ab ≤a +b =1，所以1＜(√a +√b)2≤2，当且仅当a =b =12时，等号成立． 即√a +√b 的最大值为√2，没有最小值，故A 错误，B 正确；因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，且0＜ab ≤(a+b)24=14，当且仅当a =b =12时，等号成立． 所以12≤a 2+b 2＜1，即a 2+b 2的最小值为12，没有最大值，故C 正确，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．12解：任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞），设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，∵任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜﹣（x 1﹣x 2）， ∴f （x 1）+x 1＜f （x 2）+x 2， 设g （x ）＝f （x ）+x ＝ax 2﹣2x +4， 则g （x 1）＜g （x 2），∴函数g （x ）＝ax 2﹣2x +4在[﹣1，+∞）上单调递减， 当a ＝0时，g （x ）＝﹣2x +4在R 上单调递减，符合题意， 当a ≠0时，则a ＜0且1a ≤−1，解得﹣1≤a ≤0，观察各个选项，实数a 的值可以是﹣1，−12，0． 故选：ABC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0解：因为f （x ﹣1）为奇函数， ∴f （x ﹣1）＝﹣f （﹣x ﹣1）， 所以f （x ）关于（﹣1，0）对称， 因为f （3x ﹣2）为偶函数， ∴f （3x ﹣2）＝f （﹣3x ﹣2）， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称， 所以f （x ）周期为4， 所以f （﹣1）＝f （3）＝0， 因为f （x ）关于（﹣1，0）对称， 所以f （x ）+f （﹣2+x ）＝0，所以f （x ）+f （﹣2﹣x ）＝f （x ）+f （﹣2﹣x +4）＝0， 即f （x ）+f （2﹣x ）＝0，故得到f （x ）关于（1，0）和（3，0）对称． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ﹣3 ． 解：根据题意，函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （2）＝4﹣6+1＝﹣1，则f （f （2））＝f （﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 （0，+∞） ． 解：由3x ﹣1＞0，解得：x ＞13，故3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件可以是x ＞0． 故答案为：（0，+∞）． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 {x |x ＜0或23≤x ＜1} ．解：由11−x≥2x可得11−x−2x=3x−2x(1−x)≥0，即{(3x −2)(x −1)x ≤0x(x −1)≠0，解得x ＜0或23≤x ＜1． 故答案为：{x |x ＜0或23≤x ＜1}．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 （﹣∞，15−√56] ． 解：因为f （x +1）＝3f （x ），所以f （x ）＝3f （x ﹣1），即f （x ）右移1个单位，图象变为原来的3倍， 当x ∈（0，1]时，f(x)=x(x −1)∈[−14，0]，当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝（3x ﹣1）(x −2)∈[−34，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝9（x ﹣2）(x −3)∈[−94，0]； 令9（x ﹣2）（x ﹣3）＝﹣1，解得x 1=15+√56，x 2=15−√56， 所以要使对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1， 则m ≤15−√56，即m 的取值范围是（﹣∞，15−√56]． 故答案为：（﹣∞，15−√56]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意得A ={x|x−2x+1≤0}={x |﹣1＜x ≤2}， 当m ＝﹣2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜4}， 故A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜4}； （2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝∅时，2m +3≥m 2，解得﹣1≤m ≤3，当B ≠∅时，{2m +3＜m 2m 2≤22m +3≥−1，解得−√2≤m ＜−1，综上，m 的范围为[−√2，3]．18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域． 解：（1）∵f(x)=1−x 21+x 2的定义域为R ， 且f （﹣x ）=1−(−x)21+(−x)2=1−x 21+x 2=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数； （2）∵y =21+x 2∈（0，2]， ∴f （x ）=1−x 21+x 2=−1+21+x 2∈（﹣1，1]，∴f （x ）的值域为（﹣1，1]．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．解：若命题p 为真命题，则{Δ=4a 2−4(4a +5)＞0x 1+x 2=−2a ＞0x 1x 2=4a +5＞0，解得−54＜a ＜−1．（1）若命题￢p 为真命题，则实数a 满足a ≤−54或a ≥﹣1，即a 的取值范围是(−∞，−54]∪[−1，+∞)；（2）若q 是p 的充分条件，则（m ，7m +7）⊆(−54，−1)，可得{m ＜7m +7m ≥−547m +7≤−1，解得−76＜m ≤−87，即m 的取值范围是(−76，−87]．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a （a ＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x 名，调整后运营人员的人均投入调整为a （m ﹣4x %）万元/人，服务人员的人均投入增加2x %．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m 的最大值及此时运营人员的人数．解：（1）由题意可知，调整后的服务人员有（200﹣x ）人，人均投入为（1+2x %）a 万元/人， 从而（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾200a ，解得0⩽x ⩽150， 调整后服务人员最多有200人；（2）由题意，得（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾（m ﹣4x %）ax ，得(200x −1)(1+x50)⩾m −x25， 整理得m ⩽200x +3+x50， 因为200x+3+x 50⩾2√200x⋅x 50+3=7，当且仅当200x=x50，即x ＝100时等号成立，所以m ⩽7，则m 的最大值为7，此时运营人员有100人．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2，a ∈R ． （1）设a ＞−12，解关于x 不等式f （x ）＜ax ；（2）设a ＞0，若当x ∈[−12，+∞)时，f （x ）的最小值为−94，求a 的值． 解：（1）因为f （x ）＜ax ⇔ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2＜ax ⇔ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0， 当a ＝0时，原不等式等价于x ﹣2＜0，解得x ＜2；当a ≠0时，因为Δ＝（2a ﹣1）2+8a ＝4a 2+4a +1＝（2a +1）2， 因为a ＞−12，所以Δ＝（2a +1）2＞0，2a +1＞0，令ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＝0⇔（ax +1）（x ﹣2）＝0（a ≠0），解得x 1=−1a，x 2＝2，当−12＜a ＜0时，−1a＞2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，−1a＜0＜2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（−1a，2）； 综上所述，当a ＝0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）；当−12＜a ＜0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，f （x ）＜ax 的解集为：（−1a ，2）；（2）a ＞0，所以函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2的开口向上，对称轴为x =a−12a =12−12a ＜12，当12−12a ≤−12，即0＜a ≤12时，f （x ）min ＝f （−12）=3a−104=−94，解得a =13∈（0，12]，满足题意；当12−12a＞−12，即a ＞12时，f （x ）min ＝f （12−12a）=−a 2+6a+14a =−94，a 2﹣3a +1＝0， 解得a =3−√52＜12或a =3+√52＞12， 所以a =3+√52， 综上所述，a =13或a =3+√52． 22．（12分）已知函数f(x)=√3x −2−34x +12． （1）判断 f （x ）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x −12，对∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使得(g(x 1))2+2−m ≥m √3x 1−2−f(x 2)成立，求m 的取值范围．解：（1）f(x)=√3x −2−34x +12在[2，+∞） 上是单调递减， 证明：对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2，有f（x1）﹣f（x2）=(√3x1−2−34x1+12)−(√3x2−2−34x2+12)=12√1√2−34(x1−x2)=(x1−x2)(3√1√234 )，∵x2＞x1≥2，∴√3x1−2+√3x2−2＞4，3x1−2+3x2−2＜34，3x1−2+3x2−2−34＜0，由x1﹣x2＜0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间[2，+∞）上单调递减．（2）化简得∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−f(x2)成立，由（1）知（﹣f（x））min＝﹣f（2）＝﹣1，∴3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−1，∀x1∈[2，+∞），令√3x1−2=t≥2，∴t2+3﹣m（t+1）≥0，∴m≤t2+3t+1=t+1+4t+1−2，∴p(t)=t+1+4t+1−2在[2，+∞）单调递增，∴p(t)min=p(2)=7 3，∴m≤73，即m的取值范围是（﹣∞，73]．。
山东省青岛2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(无答案)
青岛2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.已知函数，集合，，若，则（）A.1B.0C.4D.5.“”是函数“在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知函整的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.x∃∈R3||20x x+->x∃∉R3||20x x+-≤x∃∈R3||20x x+-≤x∀∈R3||20x x+-≤x∀∉R3||20x x+-≤2313a⎛⎫= ⎪⎝⎭2315b⎛⎫= ⎪⎝⎭1349c⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ca b c<<c a b<<b c a<<b a c<<21()2xf xx-=21,1(),12x xf xx x+≤-⎧=⎨-<≤⎩{0,}A a=-{1,2,22}B a a=--A B⊆()f a=493a≤()f x=[2,)+∞()f x(4,28)-2()g x=(4,28)(6,3)(3,6)--⋃(3,6)(3,3)(2,3)--⋃7.已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，……，，则（ ）A. B. C.0D.28.定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ）A.在上单调递减 B.为偶函数C. D.在上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.10.定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）A.的值域为B.对任意，都有C.存在无理数，对任意，都有D.若，，则有11.已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A.B.不等式的解集为21()x x f x x++=()1y g x =-R ()f x ()g x ()11,x y ()88,x y ()()1818x x y y ++-++= 8-4-R ()f x (2)2f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()2()f x g x x-=()g x (0,)+∞()g x (4)(3)g g <-()f x (2,)+∞0a b <<c d >a c b d-<-a b c d<11a b>552332a b a b a b +<+1,Q()0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩()D x ()D x []0,1x ∈R ()()D x D x =-0t x ∈R ()0()D x t D x +=0a <1b >{|()}{|()}x D x a x D x b >=<20ax bx c ++>(2,3)-30b c +>20cx bx a -+<11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.的最小值是D.当时，若，的值域是，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________.13.已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.14.已知函数满足：对任意非零实数，均有，则在上的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.16.（15分）已知函数，.（1）若，且，求出的解析式；（2）解关于的不等式.17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）设，解不等式.18.（17分）萝卜快跑，作为全球领先的自动驾驶出行服务平台，是百度Apollo 的重要落地应用，它在无人驾驶领域扮演着先行者和创新者的角色，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为四段，分別为准备时间：人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统12334a cb +++42c =2()36f x ax bx =+[]12,x n n ∈[3,1]-21[2,4]n n -∈24()()n n f x xn Z -=∈y (1)(3)f f -<n =()1f x x =-2()g x x =,max{,},a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩y m =max{(),()}y f x g x =(0)x ≠m ()f x x (2)()(1)2f f x f x x=⋅+-()f x (0,)+∞()f x =A {}|321B x x =->A B ⋃{|1}C x a x a =-<<R C C B ⊆a 22()23f x x ax a =--R a ∈0a =2(3)()()g x g x f x --=()g x x ()0f x <2()4x af x x +=-[1,1]-a ()f x [1,1]-()|()|g x f x =(21)(1)g t g t ->-0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d v (]0,33.3v ∈计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段①准备②人的反应③系统反应④制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19.（17分）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）求函数的所有“保值”区间；（2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；（3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.k [1,2]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t 010d =1d 2d 2320v d k=d v ()d v 2k =[,]()a b a b <()y f x =[],a b ()y f x =[],a b [],a b [],a b 2()f x x =1()1g x x =-()221()(,0)a a x h x a a a x+-=∈≠R [],m n n m -a。
浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期中考试数学试卷含答案
高一数学 第1页 共4页 镇海中学2023学年第二学期期中考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i z =+，2i z =，其中i 为虚数单位，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）A． CD．3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4.若a b c ，，为空间中的不同直线，αβγ，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ） ①a c b c ⊥⊥，，则a b ；②a b αα⊥⊥，，则a b ；③αγβγ⊥⊥，，则αβ ； ④a a αβ⊥⊥，，则αβ .A ．0B ．1C ．2D ． 3 5．一个射击运动员打靶6:9，5，7，6，8，7下列结论不正确．．．的是（ ▲ ） A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为76．如图，正三棱柱'''ABC A B C −的所有边长都相等，P 为线段'BB 的中点，Q 为侧面''BB C C 内的一点（包括边界，异于点P ），过点A 、P 、Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不．可能．．是（ ▲ ） A ．五边形 B ．四边形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 7．已知球O 为棱长为1的正四面体ABCD 的外接球，若点P 是正四面体ABCD 的表面上的一点，Q 为球O 表面上的一点，则PQ 的最大值为（ ▲ ）ABCD．2高一数学 第2页 共4页 8. 三棱锥P ABC −中，2 4 2 3PA PB CP BA BC ABC π====∠=，，，，则三棱锥P ABC−的体积的最大值为（ ▲ ） A.1 B.2 C.6 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分． 9.已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ▲ ）A. 事件A 与B 可能为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则()0.48P AB = C. 若A 与B 互斥，则()0.8P A B = D. 若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M N E ，，分别为线段111 A A D C B D ，，中点，P Q ，分别为线段BE ，线段1CD 上的动点，则三棱锥M PQN −的体积（ ▲ ）A.与P 点位置有关B.与P 点位置无关C.与Q 点位置有关D.与Q 点位置无关 11.如图，三棱锥P ABC −中，ABC △的正三角形，PA ⊥底面2ABC PA Q =，，是线段BC 上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.点B 到平面PAQ 的距离的最大值为32B.三棱锥P ABC −的内切球半径为38C.PB 与AQ 所成角可能为4πD.AQ 与平面PBC 所成角的正切值的最大值为43非选择题部分(共92分)三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a b ，，则事件||1a b −≤“”的概率为__▲__.13.正方体1111ABCD A B C D −棱长为2N ，为线段AC 上一动点，M 为线段1DD 上一动点，则1A M MN +的最小值为__▲__.14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C 车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C 三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.高一数学 第3页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数z 满足方程()1i i a z b +=，其中i 为虚数单位，a b ∈R 、. （1）当12a b ==，时，求||z ；（2）若1z z ⋅=，求2b a +的最小值.16.（15分）正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E ，F 分别为11A D 和11C D 的中点． (1)证明：直线CF 平面BDE ;(2)求直线1AA 与平面BDE 所成角的正切值．17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.A 1高一数学 第4页 共4页 18.（17分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC △是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===， （1）证明：BC ⊥平面11ABB A ； （2）求点B 到面11ACC A 的距离;（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C −−的大小为6π，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB AC ，，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC(A) 或，其值为二面角B AO C −−的大小,点A 称为球面角的顶点，大圆弧 AB AC ，称为球面角的边. 不在同一大圆上的三点A B C ，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC △.这三条劣弧称为球面ABC △的边，A B C ，，三点称为球面ABC △的顶点；三个球面角A,B,C 称为球面ABC △的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A B C ，，. （1）球面ABC △的三条边长相等（称为等边球面三角形），若A=2π，求球面ABC △的内角和；（2）类比二面角，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，PM PN PQ ，，称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角 O ABC −. (i) 求球面ABC △的三个内角的余弦值; (ii) 求球面ABC △的面积.A镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.12图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然3过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，4⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。
2023-2024学年河北省承德市高一下册期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年河北省承德市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．2i-D ．2【正确答案】A【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由()1i 3i z +=-，则3i12i 1iz -==-+，所以z 的虚部为2-．故选：A ．2．下列说法中不正确的是（）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．单位向量是模为1的向量D ．方向相反的两个非零向量必不相等【正确答案】B【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A 正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；单位向量是模为1的向量，C 正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确；故选:B.3．在ABC 中，若3,4,5AB BC AC ===，则BC AC ⋅=（）A ．16-B ．16C ．9D ．0【正确答案】B【分析】根据题意得到AB BC ⊥，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．【详解】由3,4,5AB BC AC ===，则222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以()2216BC AC BC AB BC BC AB BC BC ⋅=⋅+=⋅+==．故选：B ．4．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3π3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A ．16B ．16C ．6+D ．6【正确答案】D【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6π3π3πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323=-⨯故选：D.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30a =，25b =，42A = ，则此三角形解的情况为（）A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解【正确答案】C【分析】利用正弦定理可得5sin 6B A =，由sin A 的取值范围可求得sin B 的范围，结合大边对大角可知B 为锐角的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 5sin sin 6b A B A a ==，sin 30sin sin 45A << ，1sin 22A ∴<<，则55sin 12612<<A ，5sin 11212B ∴<<<，a b > ，A B ∴>，B ∴只能为锐角的一个值，ABC ∴ 只有一个解.故选：C.6．已知ABC 的三边长分别为a ，3a +，6a +，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．45D ．38【正确答案】B【分析】设ABC 的最小内角为α，利用正弦定理得到6cos 2a aα+=，再利用余弦定理得到()15cos 26a a α+=+，进而即可求解．【详解】设ABC 的最小内角为α，由正弦定理得6sin sin2a a αα+=，整理得6cos 2a aα+=，又余弦定理得()()()222(3)(6)15cos 23626a a a a a a a α+++-+==+++，所以()615226a a a a ++=+，解得12a =，则3cos 4α=．故选：B ．7．已知点O 是ABC 所在平面内一点，若非零向量AO 与向量cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，则（）A ．OAB OAC ∠=∠B ．0OA OB OC ++= C ．OB OC=D ．0AO BC ⋅= 【正确答案】D【分析】计算得出0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ ，可得出0AO BC ⋅= ，即可得出结论.【详解】因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+=-+= ⎪⎝⎭，所以BC 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭垂直，因为AO 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，所以AO BC ⊥ ，则0AO BC ⋅= .故ABC 均无法判断，D 对.故选：D.8．将函数sin2y x x =+的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（）A ．3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,42π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到()π2sin 223f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的单调性求出函数()f x 的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【详解】由πsin22sin 23y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，则()()ππ2sin 22sin 2233f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由πππ2π222π232k x k ϕ-+≤-+≤+，k ∈Z ，得5ππππ,1212k x k k ϕϕ-+≤≤++∈Z ，又()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则π4ππ1235πππ12k k ϕϕ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，k ∈Z ，解得17ππ125ππ4k k ϕϕ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即5π17πππ,412k k k ϕ-≤≤-∈Z ，又π02ϕ<<，则当1k =时，π5π412ϕ≤≤，即ϕ的取值范围是π5π,412⎡⎤⎢⎣⎦．故选：C ．二、多选题9．若复数z 为纯虚数，则（）A ．z z +为实数B ．z z -为实数C ．2z 为实数D ．i z ⋅为实数【正确答案】ACD【分析】根据题意，设i(R z m m =∈且0)m ≠，得到i z m =-，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为z 为纯虚数，设i(R z m m =∈且0)m ≠，则i z m =-，由0z z +=，所以A 正确；由2i z z m -=，所以B 错误；由22z m =-为实数，所以C 正确；由i i i z m m =⋅=-⨯=为实数，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数()tan f x x =，则下列关于函数()f x 的图象与性质的叙述中，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．π4π55f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ABC【分析】根据正切函数的性质画出()tan f x x =图象，即可判断A 、B 、C 的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断D.【详解】函数()tan f x x =的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()f x 最小正周期为π、()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增、图象关于直线π2x =对称，故A ，B ，C 正确，又ππ4π4π4πππtan ,tan tan πtan tan 5555555f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π4π55f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：ABC.11．已知非零向量a ，b满足42a b -= ，则下列结论正确的是（）A ．若a ，b 共线，则||4||2a b +=B ．若a b ⊥ ，则22164a b +=C ．若22166a b += ，则44a b += D ．14a b ⋅≥-【正确答案】BD【分析】当a ，b 同向时即可判断A ；根据a b ⊥ ，有0a b ⋅= ，再对42a b -= 两边平方即可判断B ；根据()22224421612a b a b a b -++=+=，求解即可判断C ；对42a b -= 两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D ．【详解】对于A ，由22244816a b a a b b =-=-⋅+ ，()22244816a ba ab b =+=+⋅+，所以当a ，b同向时，88a b a b -⋅=-⋅ ，此时42a b +≠ ，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅= ，42a b -= ，两边平方得22164a b += ，故B 正确；对于C ，由()22224421612a b a b a b -++=+= ，所以2|4|8a b +=，即4a b += C错误；对于D ，由222448168816a b a a b b a b a b a b =-=-⋅+≥⋅-⋅≥-⋅，得14a b ⋅≥- ，故D 正确．故选：BD ．12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2(sin sin )(2sin sin )sin A B B C C +=+，且sin A >）A ．cos c a a C -=B ．a >cC ．c >aD ．π3C >【正确答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得2222()a b c b c a +-=-，结合余弦定理及锐角三角形知cos c a a C -=、0c aa->判断A 、B 、C 正误；再由正弦边角关系得sin sin 1cos C A C =+，应用倍角公式得tan23C >，注意π02C <<，即可得范围判断D 正误.【详解】由正弦边角关系知：2()(2)a b b c c +=+，则22222a ab b bc c ++=+，所以2222()a b c b c a +-=-，而222cos 02a b c C ab+-=>，则cos c a a C -=，A 正确；由上知：0c aa->，即c a >，B 错误，C 正确；由cos c a a C -=知：sin sin sin cos C A A C -=，则22sincos sin 22sin tan 1cos 22cos 2C C CC A C C===+，又π02C <<，故π024C <<，则ππ624C <<，即ππ32<<C ，D 正确.故选：ACD三、填空题13．计算：3i1i+=-___________.【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2++++===+-+-14．已知3a = ，向量b 在a 上的投影向量为23a - ，则⋅=a b __________.【正确答案】6-【分析】设向量,a b的夹角为θ，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．【详解】设向量,a b的夹角为θ，由b 在a方向上的投影向量为23a - ，则2cos 3a b a a θ⋅⋅=- ，即cos 23b a θ⋅=- ，所以()cos 326a b a b θ⋅=⋅=⨯-=-．故6-．15．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【正确答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径r ，设割出的圆半径为a ，圆心为C ，由r CO a =+求得a ，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r ，∴21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为a ，圆心为C ，∴2πsin 6aCO a==,33r CO DC a ==+=，故1a =，所以最大的圆周长为2π.故2π16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若O 为ABC 的重心，OB OC ⊥，34b c =，则cos A =__________．【正确答案】56【分析】根据πADB ADC ∠+∠=及余弦定理建立方程得出2225b c a +=，再由余弦定理求解即可．【详解】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB OC ⊥，所以12OD BD CD a ===，32AD a =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以22222291914444cos cos 0313*******a a c a ab ADB ADC a a a a +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，得2225b c a +=，又34b c =，则43b c =，故2222222112243555cos2255346b c b cb c a b cAbc bc c b+--+-⎛⎫⎛⎫===+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故56．四、解答题17．已知虚数z满足z=(1)求证：5izz+在复平面内对应的点在直线y x=上；(2)若z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，求k与z.【正确答案】(1)证明见解析(2)10k=，12iz=-±【分析】（1）由题设可得5i iz z zz+=+，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数iz a b=+代入方程求参数即可.【详解】（1）设iz a b=+(,R,0)a b b∈≠，由z=，则5zz=，所以5i i i(i)i()()iz z z a b a b a b a bz+=+=++-=+++，所以5izz+在复平面内对应的点为(,)a b a b++，在直线y x=上.（2）同（1）设复数i(,R,0)z a b a b b∈≠=+，因为z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，所以22(i)4(i)0a b a b k++++=，即22224(44)i0a b a k ab b-++++=，所以222240a b a k-++=且440ab b+=，得1a=-，因为225a b+=，所以2b=±，把1,2a b =-=±代入222240a b a k -++=得：10k =，所以10k =，12i z =-±.18．已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()(2)y f x f x =++的最值.【正确答案】（1）π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最小值-【分析】（1）由函数()f x 的图象，求得2A =，24T =，得到π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由()12f -=，求得3π4ϕ=，即可得到函数()f x 的解析式；（2）化简得到函数()(2)y f x f x =++π4x =-，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象，可得2A =，24T =，即2π8T ω==，所以π4ω=，可得π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()12f -=，即ππ(1)2π,42k k ϕ⨯-+=+∈Z ，可得3π2π,4k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以3π4ϕ=，所以函数()f x 的解析式为π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意，函数()(2)y f x f x =++π3ππ3π2sin 2sin (2)4444x x ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3ππ3π2sin 2cos 4444x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ44x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.因为4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,434x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ42x =，即2x =时，y 取最小值-；当ππ43x =-，即43x =-时，y本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()2,,cos ,cos m b c a n A B =-= ，且m n ⊥ .(1)求角A ；(2)若ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，判断ABC 的形状，并求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3(2)等边三角形，4【分析】（1）由m n ⊥ ，可得2cos cos cos c A a B b A =+，后由正弦定理结合()sin sin A B C +=即可得答案；（2）由（1），ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，可得b c +=后由余弦定理可得3bc =，解出b,c 即可得答案.【详解】（1）因为m n ⊥ ，所以()2cos cos 0b c A a B -+=，即2cos cos cos c A a B b A =+.由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，所以2sin cos sin C A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则1R =.由正弦定理，得2sin a R A =.因为ABC 的周长为b c +=由余弦定理，得22222cos ()33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，所以3bc =.则3b c b c bc ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以ABC 为等边三角形，ABC的面积11sin 322S bc A ==⨯.20．已知向量a ，b 满足||2a = ，(2)(2)12a b a b -⋅+=-，a b ⋅= ．(1)求向量a 与b 的夹角θ；(2)求||a ．【正确答案】(1)6π(2)2【分析】（1）由(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，||2a = ，解得||2b = ，再由向量的数量积，即可得出答案．（2）22||()a a = ，由向量的数量积，即可得出答案．【详解】（1）解：因为(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，所以22||4||12a b -=- ，因为||2a = ，所以244||12b -=- ，解得||2b = ．而a b ⋅=，所以cos ||||a b a b θ⋅== 又[0,]θπ∈，所以6πθ=．（2）解：因为||2a = ，||2b =，a b ⋅=所以()2222||||3||422344a a a b b -=-⨯=⋅+=-= ，所以||2a = ．21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲､乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m /min ，索道AB 长为1040m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==.(1)求山路AC 的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【正确答案】(1)1260m(2)当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短【分析】（1）利用123cos ,cos 135A C ==，可得sin ,sin CB ，后由正弦定理可得答案；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.由图，题意，余弦定理可得()22200377050DE t t =-+，即可得答案.【详解】（1）在ABC 中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()5312463sin sin πsin sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+=⨯+⨯=⎣⎦.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得()104063sin 1260m 4sin 655AB AC B C =⨯=⨯=.所以山路AC 的长为1260m ；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.此时，()10050m AD t =+，130m AE t =，所以由余弦定理得()()222212(10050)(130)21301005020037705013DE t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+23512500074003737t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短.22．已知圆O 的半径为2，圆O 与正ABC 的各边相切，动点Q 在圆O 上，点P 满足2AO AQ AP += .(1)求222PA PB PC ++ 的值；(2)若存在(),0,x y ∈+∞，使得CP xPA yPB =+ ，求x y +的最大值.【正确答案】(1)51(2)5【分析】（1）方法1，由题可得O 为正三角形ABC 中心，则0OA OB OC ++= ，||||||4OA OB OC === ，又由2AO AQ AP += ，可得||1OP = ，后注意到222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ++=+++++ 即可得答案；方法2，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则可得22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+-++⎣⎦θθ，化简后可得答案；（2）方法1，由CP xPA yPB =+ ，可得()()()111x y PO x OA y OB ++=-+- ，平方后结合（1）可得()215()1848150x y x y xy +-+-+=，后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案；方法2，由（1）结合CP xPA yPB =+ ，可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++，则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==.后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案.【详解】（1）方法1，由题意知120,0AOB BOC AOC OA OB OC ===++=∠∠∠，且||||||4OA OB OC === ，44cos1208OA OB OA OC OB OC ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯=- ，2,AO AQ AP AO AP AP AQ +=∴-=- ，PO QP P ∴=⇒ 为OQ 的中点.||2,||1OQ OP =∴= ，222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ∴++=+++++ ()222232PO PO OA PO OB PO OC OA OB OC =+⋅+⋅+⋅+++ ()222232PO OA OB OC PO OA OB OC =++++⋅++ 31616162051PO =++++⋅= ；方法2，如图，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()()0,4,2,2A B C ---.由2AO AQ AP += 得()2AO AO OQ AO OP ++=+ ，所以2OQ OP = .||2,||1OQ OP =∴= ，设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin ,PA =--θθ ()()cos ,2sin ,2cos ,2sin PB PC =---=--θθθθ.则22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ()223cos sin 4851θθ=++=；（2）方法1，,CP xPA yPB =+ ()()CO OP x PO OA y PO OB ∴+=+++ .0∵++=OA OB OC ，OP PO =- ，()()()111x y PO x OA y OB ∴++=-+- .两边平方得：()()222222(1)(1)(1)211x y x OA y OB x y OA OB OP ++=-+-+--⋅ ，由（1）得8OA OB ⋅=- ，则()215()1848150x y x y xy +-+-+=.()22215()1815484812()2x y x y x y xy x y +⎛⎫∴+-++=≤⨯=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取“=”号），整理得()2()65015x y x y x y +-++≤⇒≤+≤，即x y +的最大值为5；方法2，由（1）()()cos ,4sin ,cos ,2sin ,PA PB =--=----θθθθ ()cos ,2sin PC =--θθ，又CP xPA yPB =+ ，则()()()cos cos cos cos x y x y θθθθ-=-+-=--+，()()()2sin 4sin 2sin 42sin x y x y x y θθθθ+=-+--=--+.可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++.则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==，整理得()222616164()1()55525x y x y x y xy x y +⎛⎫+-++=≤=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时等号成立），整理得()2()650x y x y +-++≤，解得15x y ≤+≤.所以x y +的最大值为5.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册期中数学质量检测试题
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册期中数学质量检测试题一、单选题1．234i i i ++=（）A ．1B ．－1C ．iD ．i-【正确答案】D【分析】利用复数乘方的性质即可求得该式的值.【详解】234i i i 1i+1=i ++=---故选：D2．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法错误的是（）A ．若l α⊥，m α⊥，则//l mB ．若//l α，//αβ，则l //βC ．若//l α，l β⊂，m αβ= ，则//l mD ．若l 与m 异面，l ⊂α，l //β，m β⊂，//m α，则//αβ【正确答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系可判断ABC ；利用反证法可判断D.【详解】对于A ，根据垂直于同一平面的两条直线平行可知A 正确；对于B ，若//l α，//αβ，则l //β或l β⊂，故B 错误；对于C ，根据直线与平面平行的性质定理可知C 正确；对于D ，假设n αβ= ，因为l ⊂α，l //β，n αβ= ，所以//l n ，同理可得//m n ，所以//l m ，这与l 与m 异矛盾，故假设不成立，则//αβ，故D 正确.故选：B3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，BC 若1AC 与平面11BCC B则该长方体外接球的表面积为（）A ．27π2B ．27πC ．45π2D ．45π【正确答案】B【分析】根据直线与平面所成角的定义得111cos BC AC B AC ==Ð1AC ，设1CC x =，求出212x =，根据该长方体外接球的直径是1AC ，可求出2127AC ==，再根据球的表面积公式可求出结果.【详解】连1BC ，因为AB ⊥平面11BCC B ，所以1AC B ∠是1AC 与平面11BCC B 所成的角，所以111cos BC AC B AC ==Ð1AC =，设1CC x =，则22211BC BC CC =+，即2216BC x =+，又222211AC AB BC CC =++，所以2219966BC x =++，所以229(6)156x x +=+，即212x =，所以2118BC =，21918276AC ⨯==，因为该长方体外接球的直径是1AC ，所以半径22112744R AC ==，所以该外接球的表面积为2274π4π27π4R =⋅=.故选：B4．已知ABC 中，D 为BC 的中点，,P Q 分别为,AB AC 上的点，14AP AB = ，AQ xAC =，PQ 交AD 于点O ，若13AO AD =，则x 的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【正确答案】A【分析】设PO yOQ = ，用AB、AC 作为基底表示，再根据向量相等，列方程求解即可.【详解】设PO yOQ = ，则()AO AP y AQ AO -=-，则111()343AD AB y x AC AD -=-，则111()334y AD AB xy AC +=+，又D 为BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以1111111()()2332334y AB y AC AB xy AC +++=+，所以1111()2334111()233y y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1212y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12x =.故选：A5．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为（）ABCD【正确答案】B【分析】先求得圆柱的侧面积的表达式，进而求得其侧面积最大时圆柱的高.【详解】设该内接圆柱底面半径为r ，高为h ，又圆锥的底面半径为1，母线长为3，高为则22122r h -=，整理得2222h r =-，则该内接圆柱的侧面积()()212π42π142π2π2r r S rh r r +-⎡⎤==-≤=⎢⎥⎣⎦，（当且仅当12r =时等号成立）此时圆柱的高1222222h =-⨯=故选：B6．在平面直角坐标系中，(3,4)A ，(1,8)B ，(1,6)C -，则AB在AC 上的投影向量的坐标为（）A ．168,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．84,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．168,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．84,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据AB在AC 上的投影向量为||||AB AC AC AC AC ⋅⋅可求出结果.【详解】因为(3,4)A ，(1,8)B ，(1,6)C -，所以(2,4)AB =- ，(4,2)AC =-，所以AB在AC 上的投影为855||164AB AC AC ⋅=+，所以AB在AC 上的投影向量为||||AB AC AC AC AC ⋅⋅85168(,)555164=-+.故选：C7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（）A ．4542πB ．3026πC ．2540πD ．2441π【正确答案】C【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为33米，所以半球的体积为314π9486π23⨯⋅=（立方米），圆柱的体积为2π9131053π⋅⋅=（立方米），圆台的体积为22133π(9911)3⨯+⨯+1001π=（立方米），故该组合体的体积为486π1053π1001π++=2540π（立方米）.故选：C8．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，若不等式23S c ab λ<+恒成立，则λ的取值范围是（）A ．λ<B ．λ≤C ．λD ．λ≤【正确答案】A【分析】转化为23c abSλ+<恒成立，由余弦定理、三角形面积公式以及不等式知识，得23c ab S+104cos sin CC -≥，再令104cos 0sin C t C -=>，利用辅助角公式求出t 的最小值即可得解.【详解】若不等式23S c ab λ<+恒成立，即23c abSλ+<恒成立，23c ab S+222cos 31sin 2a b ab C ab ab C +-+=22cos 3104cos 1sin sin 2ab ab C ab CC ab C -+-≥=，当且仅当a b =时，等号成立，令104cos 0sin Ct C -=>，则10sin 4cos t C C =+)C ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=则由sin()1C ϕ+≤1≤，得284t ≥，又0t >，则t ≥，当且仅当sin()1C ϕ+=时，等号成立，则当且仅当a b =且sin()1C ϕ+=时，23c abS+取得最小值所以λ<故选：A二、多选题9．已知复数5iz 1i+=+，则下列说法正确的是（）A ．z 13=B ．z 的虚部为－2C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．z 的共轭复数为32i--【正确答案】BC【分析】根据复数的除法运算法则求出z ，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案.【详解】5i z 1i +=+(5i)(1i)(1i)(1i)+-=+-64i32i 2-==-，||z ==A 不正确；z 的虚部为－2，故B 正确；32i z =-在复平面内对应的点(3,2)-在第四象限，故C 正确；32i z =-的共轭复数为32i z =+，故D 错误.故选：BC10．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A ．若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos AB >恒成立B ．cos cos bC c B a +=恒成立C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形D ．若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC 为钝角三角形【正确答案】ABD【分析】利用三角函数诱导公式和正弦函数单调性求得sin ,cos A B 的大小关系判断选项A ；利用余弦定理求得cos cos ,b C c B a +的大小关系判断选项B ；利用正弦定理余弦定理求得ABC 的形状判断选项C ；利用正弦定理余弦定理求得ABC 的形状判断选项D.【详解】选项A ：若ABC 是锐角三角形，则ππ,0,,22A B A B ⎛⎫∈+> ⎪⎝⎭，则ππ022B A <-<<，则πsin sin 2B A ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即sin cos A B >.判断正确；选项B ：222222cos cos 22a b c a c b b C c B b cab ac +-+-+=⋅+⋅2222222222a b c a c b a a a a+-++-===.判断正确；选项C ：由222sin sin cos 1A B C ++<，可得222sin sin sin A B C +<，则222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，又()0,πC ∈，则π2C >.则ABC 为钝角三角形.判断错误；选项D ：若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则::2:3:4a b c =，则ABC 中C 为最大角，可令2,3,4(0)a k b k c k k ===>，则2222222249163cos 0222312a b c k k k C ab k k k +-+--==<⋅⋅又()0,πC ∈，则π2C >.则ABC 为钝角三角形.判断正确.故选：ABD11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，面ABCD 和面11CDD C 的中心分别为O ，1O ，M ，N ，分别为BC ，1CC 的中点，下列结论中正确的是（）A ．该正方体的内切球半径为1B ．直线1BD ⊥平面1ACB C ．直线11AO 与直线1D O 相交D ．平面AMN 截正方体所得的截面面积为92【正确答案】ABD【分析】A 显然正确；通过证明11BD B C ⊥和1BD ⊥AC 可证1BD ⊥平面1ACB ；根据异面直线的判定定理可得C 不正确；作出截面为梯形1AMND ，计算梯形的面积可得D 正确.【详解】对于A ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以该正方体的内切球半径为1，故A 正确；对于B ，连1BC ，BD ，因为11D C ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以111D C B C ⊥，又11B C BC ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BC D ，因为1BD ⊂平面11BC D ，所以11BD B C ⊥，同理可得1BD ⊥AC ，又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1ACB ，所以1BD ⊥平面1ACB .故B 正确；对于C ，因为11AO ⊂平面11A BCD ，1D ∈平面11A BCD ，111D A O ∉，O ∉平面11A BCD ，所以直线11AO 与直线1D O 是异面直线，故C 不正确；对于D ，连1ND ，1AD ，则1//MN BC ，11//BC AD ，所以1//MN AD ，则平面AMN 截正方体所得的截面是梯形1AMND ，设MN ，1BC ，1AD 的中点分别为,,E F G ，连,,EF EG FG ，则EF FG ⊥，1122EF =⨯⨯2=，2FG =，则FG =又12MN =⨯=，1AD =，所以梯形1AMND 的面积为122⨯=92，故D 正确.故选：ABD12．在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中(]0,1λ∈，(]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1A P BP +为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】BCD【分析】对于A ，当1λ=时，点P 在线段1CC （不含C 点）上，P 取两个特殊点计算可知A 不正确；对于B ，当1μ=时，可得点P 在线段11B C （不含1)B 上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可知B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点E ，11B C 的中点F ，可得点P 在线段EF （不含E 点）上，设(01)EP x x =<≤，根据勾股定理计算可得2x =，可判断C 正确；对于D ，当12μ=时，取1CC 的中点为M ，1BB 的中点为N ，可得点P 在线段NM 上（不含N ），当P 在点M 处时，可证1A B ⊥平面1AMB ，根据过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个，可判断D 正确.【详解】对于A ，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，得1BP BC BB μ-= ，得11CP BB CC μμ== ，因为(0,1]μ∈，所以点P 在线段1CC （不含C 点）上，当P 与1C 重合时，1111222A P BP AC BC +=+=+当P 为1CC 的中点时，1414125A P BP +++=1A P BP +不是定值，故A 不正确；对于B ，当1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，1BP BB BC λ-=，得111B P BC B C λλ== ，因为(0,1]λ∈，所以点P 在线段11B C （不含1)B 上，因为11//B C BC ，所以PBC 的面积为定值，又三棱锥1P A BC -的高也为定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点E ，11B C 的中点F ，则12BE BC = ，则1BP BC BB λμ=+ 112BC BB μ=+ 1BE BB μ=+ ，则1BP BE BB μ-= ，则1EP BB EF μμ==，则点P 在线段EF （不含E 点）上，设(01)EP x x =<≤，则2PF x =-，则22221BP BE EP x =+=+，2222113(2)A P A F PF x =+=+-，218A B =，若1A P BP ⊥，则22211A B BP A P =+，则22813(2)x x =+++-，则(2)0x x -=，所以2x =或0x =（舍），则点P 与F 点重合时，即当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥，故C 正确；对于D ，当12μ=时，取1CC 的中点为M ，1BB 的中点为N ，由1112BP BC BB BC BB λμλ=+=+ BC BN λ=+ ，得BP BN BC λ-= ，得NP BC NM λλ== ，因为(0,1]λ∈，则点P 在线段NM 上（不含N ），当P 在点M 处时，取AC 的中点G ，连1A G ，BG ，因为BG ⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，所以BG AM ⊥，在正方形11ACC A 中，1AM AG ^，又1BG AG G ⋂=，1,BG AG ⊂平面1A BG ，所以AM ⊥平面1A BG ，又1A B ⊂平面1A BG ，所以1AM A B ⊥，在正方形11ABB A 中，11A B AB ⊥，又1AM A AB = ，1,AM AB ⊂平面1AMB ，所以1A B ⊥平面1AMB ，因为过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个，故有且只有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD关键点点睛：本题属于动点轨迹问题，关键是得到动点P 的轨迹，利用1BP BC BB λμ=+ 以及λ或μ的取值，利用向量的线性运算可得点P 的轨迹.三、填空题13．正三棱锥-P ABC 中，3PA =，AB =PA 和平面ABC 所成的角的正弦值为___．【正确答案】3【分析】先作出直线PA 和平面ABC 所成的角，进而利用三角函数求得该角的正弦值.【详解】取正ABC 中心为O ，连接AO 并延长交BC 于D ，连接PD ，则D 为BC 中点，PO ⊥平面ABC ，则PAO ∠为直线PA 和平面ABC 所成的角，Rt PBD △中，3PB =，BD =BD PD ⊥，则PD =，Rt POD 中，PD =，1132OD =，OD PO ⊥，则PO ==则sin 3PO PAO PA ∠==.则直线PA 和平面ABC 所成的角的正弦值为3.14．在复平面内，复数z 满足z 2=，i 为虚数单位，则z 34i -+的最小值为______．【正确答案】3【分析】根据复数的几何意义可求出结果.【详解】因为z 2=，所以复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，又z 34i -+的几何意义是表示复数z 对应的点与点(3,4)-之间的距离，其最小值为原点到点(3,4)-5=减去圆的半径2，故z 34i -+的最小值为523-=.故答案为.315．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图，正方形ABCD 正方形EFGH 边长为1，则AB AE ⋅ 的值为______．【正确答案】4【分析】设AF x =，根据勾股定理求出2x =，然后求出cos EAF ∠，sin EAF ∠，cos GAB Ð，sin GAB ∠，根据两角和的余弦公式求出cos EAB ∠，最后利用平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】设AF x =，则BG x =，1AG x =+，在直角三角形AGB 中，222AG +BG AB =，即222(1)x x ++=，即260x x +-=，解得2x =或3x =-（舍），在直角三角形AFE 中，AE ===cos5AF EAF AE ==Ð，sin5EF EAF AE =Ð，在直角三角形AGB 中，cosAG GAB AB ==Ðsin BG GAB AB ==Ð所以cos cos()EAB EAF GAB =+行cos cos sin sin EAF GAB EAF GAB =-行行==所以|||cos AE AB AE AB EAB ⋅=⋅⋅ Ð65=4=.故答案为.416．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足222sin a b c C ++=．若A ，B ，C ，D 四点共圆，且点D 与点A 位于直线BC 的两侧．3AB =，3BD =，则AD =______．【正确答案】23【分析】根据余弦定理，结合不等式以及三角函数的有界性可得πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可得π3C =，进而由余弦定理即可求解.【详解】由2222cos a b c ab C +-=，与22223sin a b c ab C ++=相加可得()22π3sin cos 3sin cos 2sin 6a b ab C ab C ab C C ab C ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭=，由于222a b ab +≥，所以ππsin 1,sin 166C C ⎛⎫⎛⎫+≥⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,所以πππ2π,Z,2π,Z 623C k k C k k ++∈∴+∈==,由于()0,πC ∈,故π3C =，如图可知：π3ADB C ∠=∠=,3AB =，3BD =,在ABD △中，由余弦定理可得2222222133cos 3602223AD BD AB AD ADB AD AD AD DB AD+-+-∠=⇒⇒--=⋅=,解得23,AD =或3AD =-（舍去），故23四、解答题17．设1e ，2e 为平面内不共线的两个单位向量，122a e e =+ ，123b e e =- ，1256c e e =+ ．(1)以a ，b 为基底表示c ；(2)若21a b - c r 【正确答案】(1)3c a b=- 91【分析】（1）利用平面向量基本定理列方程组即可求得3c a b =- ；（2）利用向量数量积即可求得c r 的值.【详解】（1）设c a b λμ=+r r r ，又122a e e =+ ，123b e e =- ，1256c e e =+ ．则()()1212125632e e e e e e μλ++=+- ，则5263λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解之得31λμ=⎧⎨=-⎩，则3c a b =- （2）122a e e =+ ，123b e e =- ，则124a b e e -=+又由a b - ()221a b -= ，则()212421e e += ，22121216821e e e e ++⋅= ，又11e = ，21e = ，则1212e e ⋅= ，则c = 18．已知棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为棱1CC ，11A B 中点．(1)证明：1C N ∥平面1A BM ；(2)证明：1AB ⊥平面1A BM ．【正确答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得1C N ∥平面1A BM ；（2）利用线面垂直判定定理即可证得1AB ⊥平面1A BM ．【详解】（1）设11AB A B T = ，连接,NT MT又棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1CC ，11A B 中点．则111//,2NT BB NT BB =，11111//,2C M BB C M BB =，则11//,NT C M NT C M =，则四边形1NTMC 为平行四边形，则1//NC TM ，又1NC ⊄平面1A BM ，TM ⊂平面1A BM ，则1C N ∥平面1A BM ；（2）取BC 中点S ，连接1,AS B S ，则AS BC⊥又面ABC ⊥面11BB C C ，面ABC ⋂面11BB C C BC =，AS ⊂面ABC ，则AS ⊥面11BB C C ，又BM ⊂面11BB C C ，则AS BM⊥又正方形11BB C C 中，1C M CM =，则1()BB S CBM SAS ≅△△,则1BB S CBM ∠=∠，又11π+=2BB S BSB ∠∠，则1π+=2CBM BSB ∠∠，则1B S BM ⊥，又AS BM ⊥，1AS B S S = ，1AS B S ⊂，面1ASB ，则BM ⊥面1ASB ，又1AB ⊂面1ASB ，则1BM AB ⊥，又正方形11A ABB 中，11A B AB ⊥，1A B BM B = ，1A B BM ⊂,平面1A BM ，则1AB ⊥平面1A BM ．19．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．在下列三个条件：①sin ,m A ⎛= ⎝⎭，()2cos2,2cos n A A = ，且m n ∥；②)2222sin ac B b c a =+-；③222cos cos cos 1sin sin B C A B C +=+-中任选一个，回答下列问题．(1)求角A ；(2)若ABC S BC ==△ABC 内切圆的半径．【正确答案】(1)π3A =1【分析】（1）选①利用向量平行充要条件列出关于角A 的三角方程解之即可求得A 的值；选②利用三角形面积公式和余弦定理列出关于角A 的三角方程解之即可求得A 的值；选③利用正弦定理和余弦定理列出关于角A 的三角方程解之即可求得A 的值；（2）利用题给条件求得,b c 的值，进而利用面积等式求得ABC 内切圆的半径．【详解】（1）选①sin ,m A ⎛= ⎝⎭，()2cos2,2cos n A A = ，且m n ∥；则2sin cos 0A A A =，即sin 20A A =，则π2sin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ4π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则π2π3A +=，即π3A =；选②由)2222sin ac B b c a =+-，可得2sin cos bc A A =则tan A =，又()0,πA ∈，则π3A =；选③由222cos cos cos 1sin sin B C A B C +=+-，可得2221sin 1sin 1sin 1sin sin B C A B C -+-=-+-，即222sin sin sin sin sin A B C B C --=-，则222a b c bc --=-，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又()0,πA ∈，则π3A =（2）由ABC S BC ==△π3A =，可得122⨯=(222122b c bc =+-⨯，联立22812bc b c bc =⎧⎨+-=⎩，解之得24b c =⎧⎨=⎩，或42b c =⎧⎨=⎩，则ABC内切圆的半径111()(224)22ABC S a b c ==+++△20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，3BC AD =，//AD BC ，90BCD ∠= ，M 为线段PB上一点．(1)若13PM PB =，棱BC 上是否存在点E ，使得平面//AME 平面PCD ？并说明理由；(2)若2PA =，1AD =，1CD =，异面直线PA 与CD 成90 角，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【正确答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）当13EC BC =时，根据面面平行的判定定理可证平面//AME 平面PCD ；（2）在PA 上取点F ，且13PF PA =，连MF ，可得//MF AB ，又//ME PC ，可得EMF ∠（或其补角）是异面直线PC 与AB 所成的角，在EMF V 中，根据余弦定理可求出结果.【详解】（1）棱BC 上存在点E ，且13EC BC =时，平面//AME 平面PCD ，理由如下：连AE ，ME ，因为13PM PB =，13EC BC =，所以//ME PC ，因为ME ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//ME 平面PCD ，因为3BC AD =，13EC BC =，所以EC AD =，又//EC AD ，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以//AE CD ，因为AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AE 平面PCD ，又ME ⊂平面AME ，AE ⊂平面AME ，且ME AE E = ，所以平面//AME 平面PCD.（2）由（1）可知，//AE CD ，又90BCD ∠= ，所以AE AD ⊥，因为异面直线PA 与CD 成90 角，所以PA CD ⊥，因为PA AD ⊥，且AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥，在PA 上取点F ，且1233PF PA ==，因为13PM PB =，所以//MF AB ，又由（1）知，//ME PC ，所以EMF ∠（或其补角）是异面直线PC 与AB 所成的角，43AF =，1AE =，所以53EF ==，AB ==13MF AB ==23ME PC ====3=，在EMF V 中，222cos 2ME MF EF EMF ME NF +-=⋅Ð24525999+-=所以异面直线PC 与AB 21．已知点,C D 为线段AB 上的点，点P 为,A B 所在平面内任意一点，1AC =，35CD =，3DB =，∠=∠APC DPB ，设1ACP θ∠=，2BDP θ∠=．(1)求证：214sin 9sin PA PB θθ=，并求出PA PB的值；(2)若30CPD ∠= ，求PAB 的面积．【正确答案】(1)证明见解析，39PA PB =(2)550【分析】（1）在PAC △和PBD △中用正弦定理可得12sin 3sin PA PB θθ=，在PAD 、PBC 中用正弦定理可得214sin 9sin PA PB θθ=，由1221sin 4sin 3sin 9sin θθθθ=得到21sin 3sin 2θθ=，从而可得239PA PB =（2）由30CPD ∠= 得21210θθ=- ，代入21sin 3sin 2θθ=，求出1π2θ=，得PC AB ⊥，再根据12PC AB ⋅可求出结果.【详解】（1）在PAC △中，由正弦定理得1sin sin PA AC APC θ=Ð，得1sin sin AC PA APCθ=Ð，在PBD △中，由正弦定理得2sin sin PB BD DPB θ=Ð，得2sin sin BD PB DPB θ=Ð，因为1AC =，35CD =，3DB =，∠=∠APC DPB ，所以12sin sin PA AC PB BD θθ=12sin 3sin θθ=，在PAD 中，由正弦定理得2sin(π)sin PA AD APD θ=-Ð，得28sin 5sin PA APDθ=Ð，在PBC 中，由正弦定理得1sin(π)sin PB BC BPC θ=-Ð，得118sin 5sin PB BPCθ=Ð，因为∠=∠APC DPB ，所以APD BPC ∠=∠，sin sin APD BPC =行，所以218sin 518sin 5PA PB θθ=214sin 9sin θθ=，所以1221sin 4sin 3sin 9sin θθθθ=，所以22123sin 4sin θθ=，因为1θ和2θ都是三角形的内角，所以1sin 0θ>，2sin 0θ>，122sin θθ=，所以21sin sin θθ=，所以214sin 49sin 9PA PB θθ==⨯（2）若30CPD ∠= ，则12210θθ+= ，21210θθ=- ，所以11sin(210)sin θθ-=1112(sin 210cos cos210sin )θθθ-= ，所以11112(cos )22θθθ-+=，得1cos 0θ=，因为1(0,π)θ∈，所以1π2θ=，则PC AB ⊥，在直角三角形PCD 中，35tan30CD PC ===5，所以PAB的面积为113(13)225PC AB ⋅=++=22．已知矩形ABCD 中，2AB =，BC =，,M N 分别为,AD BC 中点，O 为对角线,AC BD 交点，如图1所示．现将OAB 和OCD 剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN 将AOD △，BOC 折叠，并使OA 与OB 重合，OC 与OD 重合，连接MN ，得到由平面OAM ，OBN ，ODM ，OCN 围成的无盖几何体，如图2所示．(1)求证：MN ⊥平面OAC ；(2)若P 为棱OC 上动点，求MP NP +的最小值；(3)求此多面体体积V 的最大值．【正确答案】(1)证明见解析(3)1【分析】（1）在图2中，取MN 的中点E ，连AE ，CE ，OE ，通过证明MN OA ⊥，MN OC ⊥，可证MN ⊥平面OAC ；（2）将侧面OCM 与OCN 展开在一个平面内，根据两点间线段最短可求出结果；（3）根据对称性得2M OCN V V -=，因为OCN 的面积为定值，所以当平面OMC ^平面ONC 时，三棱锥体积最大，由此计算可得结果.【详解】（1）在图2中，取MN 的中点E ，连AE ，CE ，OE ，因为AM AN =，E 为MN 的中点，所以MN AE ⊥，同理得MN CE ⊥，MN OE ⊥，因为AE OE E = ，,AE OE ⊂平面AOE ，所以MN ⊥平面AOE ，因为OA ⊂平面AOE ，所以MN OA ⊥，因为CE OE E = ，,CE OE ⊂平面COE ，所以MN ⊥平面COE ，因为OC ⊂平面COE ，所以MN OC ⊥，因为OA OC O = ，,OA OC ⊂平面OAC ，所以MN ⊥平面OAC .（2）将侧面OCM 与OCN 展开在一个平面内，如图：当点P 是MN 与OC 的交点时，MP NP +最小，在图1中，2AB =，BC =因为1OM ON ==，MC NC =⊥OM MC ，ON NC ⊥，2OC =，MN OC ⊥，所以60MOC NOC == 行，所以22MP NP ===，所以MP NP +=所以MP NP +（3）根据图形的对称性可知，2M OCN V V -=，因为OCN 的面积为111222ON NC ⋅=⨯=，为定值，所以当点M 到平面OCN 的距离最大值时，三棱锥体积最大，此时平面OMC ^平面ONC ，点M 到平面OCN 的距离等于点M 到OC所以此多面体体积V 的最大值为12132⨯=.。
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第 1 页 高一数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。 2．第Ⅰ卷共2页，12个小题，每小题5分；每小题只有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分共60分，每小题只有一个正确答案）
1. 若圆的一条直径的两个端点分别是(2，0)和(2，- 2)，则此圆的方程是( )． A. x2 + y2 - 4x + 2y + 4＝0 B. x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0 C. x2 + y2 - 4x + 2y - 4＝0 D. x2 + y2 + 4x + 2y + 4 = 0 2.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A 在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709为三等奖。 B 某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔5分钟抽一包产品,称其重量是否合格. C 某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取2人,14人,4人了解学校机构改革的意见。 D 用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验。 3.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个,则互斥但不对立的两个事件是（ ） A 至少一个白球与都是白球 B 至少一个白球与至少一个红球 C 恰有一个白球与恰有2个白球 D 至少有1个白球与都是红球
4. 已知直线mx + 4y - 2 = 0与2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足为(1，p)，则m - n
+ p的值是( )． A. 24 B. 20 C. 0 D. －4 5. 从分别写上数字1，2，3，„，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（ ）
A． B． C． D． 6. 若直线 ax + by + c = 0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是( )． A. a = b B.|a|=|b| C. a = b，且c = 0 D. c = 0，或c≠0且a = b 7. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是( )． 第 2 页
A. 2 B. 1 C.2 D. 22 8、已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443yx与圆C相切，则圆C的方程（ ） A．03222xyx B．0422xyx C．03222xyx D．0422xyx 9.已知x与y之间的几组统计数据如下表 x 2 3 4 5 6 y 6 11 14 16 18
根据上表数据所得线性回归方程为axy5.2ˆ，根此模型推算当7x时，yˆ的值为 A.20 B.20.5 C.21 D.21.5 10、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下，根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（ ） A 20 B 30 C 40 D 50
11.M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D、相切或相交 12.若实数x，y满足0288822yxyx，则22yx的最小值为（ ）
A．18 B．23 C．21636 D．224
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分） 13.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为 ． 第 3 页
14.．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少 ．
15.在空间直角坐标系中，点)3,2,1(P，过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为 ． 16.对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是 ．
三、解答题(本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（满分12分）ABC中，顶点)1,7(A,AB边上的中线CE所在直线方程为
052yx，AC边上的高BF所在直线方程为052yx． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的方程． 18、（满分12分） 已知一圆与y轴相切，圆心在直线03yx上，且被直线xy截得
的弦长为72，求该圆的方程. 19、（满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下 （不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm． （Ⅰ）求x，y的值； 第 4 页
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．
20．（满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
21、（满分12分）已知点)(0,5P及圆024124:22yxyxC，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为34，求直线l的一般式方程． 22、（满分14分）已知圆:C2)2()1(22yx，P点的坐标为)1,2(，过点P作圆C
的切线，切点为BA,． （1）求直线PBPA,的方程； （2）求过P点的圆的切线长； （3）求直线AB的方程． 第 5 页
高一数学参考答案 一、选择题 1-5 ADCBA 6-10 DCDBC 11-12 BC 二、填空题
13、032yx 14、 15、），，（021 16、 14.解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴， 则由题意知：0≤x，y≤24． 设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}， 事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}， 事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}． 则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件． ∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）． 甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x﹣y≤2， 乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y﹣x≤1， 在如图所示的平面直角坐标系下， 点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形， 事件A的可能结果由图中的阴影部分表示， 则S正方形=242=576．
=69.5，
∴由几何概率公式得P（A）==． ∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为． 故答案为：．
三、解答题 17、解：（1）由题意可知21BFk，
BF为边AC的高，2ACk，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
直线AC的方程为：)7(21xy， 整理，得0152yx，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 联立直线AC与CE的方程组，得 第 6 页
0520152yxyx，解之，得55yx
点C的坐标为)5,5(；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）设B点的坐标为),(nm， E为AB中点， )21,27(nmE， E在直线CE上， 0521272nm， 032nm，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 又B在直线BF上，052nm，
052032nmnm
313311nm )313,311(B，„„„„„„„„10分
131431153135
BCk， 直线BC的方程为)5(13145xy，
即051314yx．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 18、解：设圆心为),(ba，因为圆心在直线03yx上，所以03ba，所以ba3， 所以圆心为),3(bb. „„„„„„„„„„2分 因为圆与y轴相切，所以|3|br „„„„„„„„„„4分
圆心)3,(bb到直线0yx的距离为||22|3|bbbd „„„„„„„„„„6分 设弦长为l，因为222)2(rld，所以2229)7(2bb 所以12b，所以1b， „„„„„„„„„„8分
所以313rba ，或313rba „„„„„„„„„„10分 所求圆的方程是9)1()3(22yx，或9)1()3(22yx „„„„„12分