山东省枣庄市第九中学2014-2015学年高三上学期期末考试数学(文)试题
山东省平度市第九中学2015届高三第一学段学分认定考试理科数学试题 Word版含答案
平度市第九中学2014-2015学年度第一学段学分认定高三（理）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知集合(){}{}2lg 4,3,0=xA x y xB y y x A B ==-==⋂＞时，A.{}02x x ＜＜B.{}2x x 1＜＜C.{}12x x ≤≤D.∅2．设非空集合P Q ， 满足P Q P =，则 （ ）A ．P x Q x ∈∈∀有,B ．P x Q x ∉∉∀有,C ．Px Q x ∈∉∃00,使得D ．Qx P x ∉∈∃00,使得3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S , 则2a =（ ） A. 4 B ．2 C ．1D ． -24．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于 A ．31-B ．32-C ．32D ．315.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ）①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②():1()f x p f x -=-；:()q y f x =是奇函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=．④:p AB A =；AC B C q U U ⊆:．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．为得到函数)32sin(π+=x y 的导函数．．．图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移6πB ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移3πC ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移125πD ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移65π7. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A ．625 B ．38 C ． 311 D ． 48.函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为 ( )9．已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是A.1(0,]2B. 1[,3]2C.(0,3]D. [3,)+∞10.已知定义在R 上的函数()()()()311,11y f x f x f x x f x x =+=--≤=满足当＜时，，则函数()()x x f x g 6log -=的零点个数为（ ）A.4B.5C.6D.7第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知1(2)xa e x d x =+⎰(e 为自然对数的底数),函数l n ,0()2,0x x xf x x ->⎧=⎨≤⎩,则21()(log )6f a f +=__________.12．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________ ．13．若关于x 的不等式a x x ≥+++42的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知直线ex y =与函数x e x f =)(的图象相切，则切点坐标为 .15.定义方程()()f x f x '=的实数根o x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题2(函 数)
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 为使f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－12，0)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 要有f (2x ＋1)有意义，应有0<2x ＋1<1， ∴－12<x <0，故选B.2．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)·f (1)＝(e 0－2)·(e －1)<0，∴选C.3．(文)(2014·枣庄市期中)函数y ＝16－3x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] 要使函数有意义，应有16－3x ≥0，∴3x ≤16， 又3x >0，∴0<3x ≤16，∴0≤16－3x <16，∴0≤y <4，故选C.(理)(2014·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝tan x[答案] C[解析] ∵x ≥0，ln x ∈R,2x >0，tan x ∈R ，∴选C.4．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 0.34，则( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．c <a <b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log 0.34<log 0.31＝0，∴c <a <b . (理)(2014·北京朝阳区期中)若0<m <1，则( ) A ．log m (1＋m )>log m (1－m ) B ．log m (1＋m )>0 C ．1－m >(1＋m )2 D ．(1－m )13>(1－m )12[答案] D[解析] ∵0<m <1，∴1<m ＋1<2,0<1－m <1，∴y ＝log m x 为减函数，y ＝(1－m )x 为减函数，∴log m (1＋m )<log m 1<log m (1－m )，A 、B 错；(1＋m )2>1>1－m ，C 错；(1－m )13>(1－m )12，故正确答案为D.5．(2014·山东省菏泽市期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] ∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3，∵f (x )周期为5， ∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.6．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0，则f [f (116)]＝( )A ．9B ．－19C.19D ．－9[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0∴f (116)＝log 4116＝－2，f [f (116)]＝f (－2)＝3－2＝19，故选C.(理)(2014·江西临川十中期中)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，则f (－4)等于( )A ．2 B.12 C ．32 D.132[答案] D[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，∴f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝2－5＝132.7．(文)(2014·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝e x －e －x 2D ．y ＝x 3＋1[答案] B[解析] y ＝x 3＋1是非奇非偶函数；y ＝e x －e －x2为奇函数；y ＝cos2x 在(1,2)内不是单调增函数，故选B.(理)(2014·广东梅县东山中学期中)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是单调递增的是( )A ．y ＝2|x ＋1|B ．y ＝x 2＋2|x |＋3C ．y ＝cos xD ．y ＝log 0.5|x |[答案] B[解析] y ＝2|x ＋1|是非奇非偶函数；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调增函数，y ＝log 0.5|x |在(0，＋∞)上单调递减，故选B.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013[答案] B[解析] ∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B.9．(文)(2014·枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[答案] D[解析] 由图象知，张大爷散步时，离家的距离y 随散步行走时间x 的变化规律是，先均速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(理)(2014·泸州市一诊)函数f (x )＝(1－1x2)sin x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 首先y ＝1－1x 2为偶函数，y ＝sin x 为奇函数，从而f (x )为奇函数，故排除C 、D ；其次，当x ＝0时，f (x )无意义，故排除B ，选A.10．(2014·安徽程集中学期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[32，3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－2a ≤0，∴32≤a <3，故选C. 11．(文)(2014·银川九中一模)如果不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y＝f (－x )的大致图象是( )[答案] C[解析] 由于不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，∴a <0，且－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选C.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x 2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C. 12.(2014·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关 [答案] B[解析] 设直线OM 、ON 与正六边形的另一个交点分别为M ′、N ′，由于正六边形关于点O 成中心对称，∴OM ′＝OM ，ON ′＝ON ，从而△OM ′N ′与△OMN 成中心对称，设直线l 交y 轴于T ，直线M ′N ′交y 轴于T ′，则|OT |＝|OT ′|，且S △OM ′N ′＝S △OMN ，即当t <0时，有S ＝f (t )＝f (－t )，∴S ＝f (t )为偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·营口三中期中)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)，∵0<log 232<1，14．(文)(2014·河南省实验中学期中)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．[答案] x ＝log 23[解析] 令2x ＝t ，则t >0，∴原方程化为t 2－2t －3＝0，∴t ＝3. 即2x ＝3，∴x ＝log 23.(理)(2014·长安一中质检)方程33x－1＋13＝3x －1的实数解为________． [答案] x ＝log 34[解析] 令3x ＝t ，则t >0，∴原方程化为3t －1＋13＝t3，∴t ＝4，即3x ＝4，∴x ＝log 34.15．(2014·北京海淀期中)已知a ＝log 25,2b ＝3，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． [答案] a >b >c[解析] 因为，a ＝log 25>log 24＝2，c ＝log 32<log 33＝1，由2b ＝3得，b ＝log 23,1＝log 22<log 23<log 24＝2，所以a >b >c .16．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ， x ≥0，x 2－2x ， x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：可知函数f (x )在整个定义域上是单调递减的， 由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. (理)(2014·湖南省五市十校联考)下列命题： ①函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；②点A (1,1)，B (2,7)在直线3x －y ＝0两侧；③数列{a n }为递减的等差数列，a 1＋a 5＝0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n ＝4时，S n 取得最大值；④定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2b 1b 2＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点(1，13)处的切线方程是6x －3y －5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{a n }为递减等差数列，∴d <0，∵a 1＋a 5＝0，∴a 1>0，a 5<0，且a 3＝0，∴当n ＝2或3时，S n 取得最大值，故③错；由新定义知f (x )＝13x 3＋x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2，故f (x )在(1，13)处的切线方程为y －13＝2(x －1)，即6x －3y －5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2ax 2＋4x －3－a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f (x )在R 上有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x 2＋4x －4 ＝2(x 2＋2x )－4＝2(x ＋1)2－6.因为x ∈[－1,1]，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2>0，a ≠0，∴a <－2或－1<a <0或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．(理)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围；(3)设函数g (x )＝bx ＋5－2b ，b ∈R .当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求b 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的图象与x 轴无交点，∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[－1,1]上单调递减，欲使f (x )在[－1,1]上存在零点，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0. (3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )值域的子集即可．∵函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b >0时，g (x )在[1,4]上的值域为[5－b,2b ＋5]，只需⎩⎪⎨⎪⎧5－b ≤－1，2b ＋5≥3，∴b ≥6；当b ＝0时，g (x )＝5不合题意，当b <0时，g (x )在[1,4]上的值域为[2b ＋5,5－b ]，只需⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋5≤－1，5－b ≥3，∴b ≤－3.综上知b 的取值范围是b ≥6或b ≤－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)已知二次函数f (x )满足条件：①在x ＝1处导数为0；②图象过点P (0，－3)；③在点P 处的切线与直线2x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求在点Q (2，f (2))处的切线方程．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (0)＝－3，f ′(0)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c ＝－3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，f ′(x )＝2x －2，∴切点Q (2，－3)，在Q 点处切线斜率k ＝f ′(2)＝2， 因此切线方程为y ＋3＝2(x －2)，即2x －y －7＝0.(理)(2014·河南淇县一中模拟)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)证明当m ≤2时，f (x )>0. [解析] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需要证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，所以ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)>0， 综上，当m ≤2时，f (x )>0.19．(本小题满分12分)(文)(2014·枣庄市期中)已知函数f (x )＝a －22x －1(a ∈R )．(1)用单调函数的定义探索函数f (x )的单调性； (2)求实数a 使函数f (x )为奇函数．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．任取非零实数x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，0)上单调递增． 同理可证，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)解法一：对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝a －22x －1＋a －22－x －1＝2a －22x －1－2·2x1－2x ＝2a ＋2·2x －22x －1＝2a ＋2.若函数f (x )为奇函数，则有2a ＋2＝0，解得a ＝－1， 此时f (－x )＝－f (x )． 所以a ＝－1为所求．解法二：若函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，即a －22－1－1＝－(a －221－1)．解得a ＝－1.当a ＝－1时，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝－1－22x －1－1－22－x －1＝－2－22x －1－2·2x1－2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 所以a ＝－1为所求．(理)(2014·泉州实验中学期中)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)已知f (x )是减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，定义域为R ， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知，1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，∴判别式Δ＝4＋12k <0，∴k <－13.20．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)函数f (x )＝2ax －x 2＋ln x ，a 为常数． (1)当a ＝12时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x －x 2＋ln x ，则f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－2x ＋1x ＝－(2x ＋1)(x －1)x .由f ′(x )>0，得0<x <1；由f ′(x )<0，得x >1； ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝0. (2)∵f ′(x )＝2a －2x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，则f ′(x )≥0，或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立． ∴2a －2x ＋1x ≥0，或2a －2x ＋1x ≤0在区间[1,2]上恒成立．即2a ≥2x －1x ，或2a ≤2x －1x 在区间[1,2]上恒成立．设h (x )＝2x －1x ，∵h ′(x )＝2＋1x 2>0，∴h (x )＝2x －1x 在区间[1,2]上为增函数．∴h (x )max ＝h (2)＝72，h (x )min ＝h (1)＝1，∴只需2a ≥72，或2a ≤1，∴a ≥74，或a ≤12.(理)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．[解析] (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)∵OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，∴(32x 2＋1)＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x，∵f (x )＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝3x 2＋1x 在(0，＋∞)上恒正，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(理)(2014·河北冀州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2(a ＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)对任意m ∈(0,2]，关于x 的不等式f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1. 由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3x 2＋2bx ＋c ， ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1,2)， ∴f ′(x )＜0的解是1＜x ＜2.所以方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，12＋4b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－92，c ＝6.∴f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋1.(2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3， 要使f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，应有12m 3－m ln m －mt ＋3>f (x )min ，∴12m 3－m ln m －mt ＋3>3， mt <12m 3－m ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立，即t <12m 2－ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立．设h (m )＝12m 2－ln m ，m ∈(0,2]，则t ＜h (m )min ，h ′(m )＝m －1m ＝m 2－1m ＝(m －1)(m ＋1)m，令h ′(m )＝0得m ＝1或m ＝－1， 由m ∈(0,2]，列表如下：∴当m ＝1时，h (m )min ＝h (m )极小值＝12，∴t <12.22．(本小题满分14分)(文)(2013·泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2013年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2013年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2013年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2013年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ [解析] (1)设比例系数为k (k ≠0)．由题意知，3－x ＝kt ＋1.又t ＝0时，x ＝1.∴3－1＝k 0＋1.∴k ＝2，∴x 与t 的关系是x ＝3－2t ＋1(t ≥0)．(2)依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3＋32x x ·150%＋t2x)元/件．于是，y ＝x ·(3＋32x x ·150%＋t2x )－(3＋32x )－t ，化简得，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)．因此，工厂2013年的年利润y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)万元．(3)由(2)知，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)＝50－(32t ＋1＋t ＋12)≤50－232t ＋1·t ＋12＝42(当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立)．所以，当2013年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元． (理)(2014·安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p .(以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，…，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．[分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f (x )＝x (x －q )2－p 为其模拟函数；(2)由题中条件：f (0)＝4，f (2)＝6，得方程组，求出p ，q 即可得到f (x )的解析式；(3)确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该海鲜产品在哪几个月份内价格下跌．[解析] (1)根据题意，应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)∵f (0)＝4，f (2)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，(2－q )2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0得，1<x <3，又∵x ∈[0,5]，∴f (x )在(0,1)，(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌．。
2014-2015年山东省枣庄市滕州一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．22．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．753．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜75．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．968．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×201010．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．13．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．2【解答】解：由a1=2，a n+1=1﹣，得，数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3．且Π3=a1a2a3=﹣1，2013=3×671，所以Π2013=（﹣1）671=﹣1故选：B．2．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=1053．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1）∵﹣3＞﹣5，∴m﹣3＞m﹣5，对于（2）∵5＞3，∴5﹣m＞3﹣m，对于（3）当m﹣0时，不成立，对于（4）当m=﹣1时，不成立，故正确的个数为2个，故选：B．4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选：C．5．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．【解答】解：由于实数a＞b＞0，故a2＞b2＞0，故A正确．由于实数a＞b＞0，可得，故B正确．由于实数a＞b＞0，可得，故C正确．由于实数a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴2﹣a＜2﹣b，即，故D 不正确，故选：D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．96【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=，S4=20，∴S4=4×+d=20，解得公差d=3，∴S6=6a1+d=6×+15×3=48，故选：C．8．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°∴AB=700米故选：C．9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×2010【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2009﹣a2008=4016，∴a2009=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2009﹣a2008）=0+2+4+…+4016==2008×2009．故选：B．10．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a【解答】解：由题意，去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a+10%a，即a（1+0.1）=1.1a 第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a（1+0.1）2=1.12a依此类推，第五年是a（1+0.1）5=1.15a∴五年总产值为：1.1a+1.12a+…+1.15a==11（1.15﹣1）a故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=2．【解答】解：在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，q3==8，∴q=2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：213．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈故答案为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＜0解得﹣1＜x＜3，∴A={x|﹣1＜x＜3}由x2+x﹣6＞0解得x＜﹣3或x＞2，∴B={x|x＜﹣3或x＞2}∴∴A∩B=（2，3）（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集是x2+ax+b=0，设x2+ax+b=0的两个实数根为x1、x2，则有，根据韦达定理，得：，解得，∴a+b=1．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．【解答】解：（Ⅰ）由S=bcsinA，得12=×48×sinA，△ABC∴sinA=，∵A为锐角，∴A=60°；（Ⅱ）∵b+c=14，cosA=，bc=48，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=196﹣144=52，解得：a=2．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+2【解答】解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d由题意得：解得：a 1=1，d=2∴a n=2n﹣1（2）依题，数列{}是首项为2，公比为4的等比数列（3）由a1=1，d=2，a n=2n﹣1得S n=n219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故，∵A∈（0，π）∴A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；（2）当n＞1时，由na n=2S n①，得（n﹣1）a n=2S n﹣1②，+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1），化简得na n+1=（n+1）a n，①﹣②得na n+1∴（n＞1）．∴a2=2，，…，，以上（n﹣1）个式子相乘得（n＞1），又a1=1，∴；（3）∵，∴=．。
2014-2015年山东省枣庄九中高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年山东省枣庄九中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分）1．（3分）数列，﹣，，﹣…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n•B．a n=（﹣1）n+1•C．a n=（﹣1）n•D．a n=（﹣1）n+1•2．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．4B．2C．1D．﹣23．（3分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．254．（3分）在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9B．1C．2D．35．（3分）已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）A．B．＜x＜5C．2＜x＜D．＜x＜5 6．（3分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．（3分）下列函数最小值为4的是（）A．B．C．y=3x+4•3﹣x D．y=lgx+4log x108．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b2+c2﹣bc=3，cosB=，a=，则边c的值为（）A．B．C．D．9．（3分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11B．19C．20D．2110．（3分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）二、填空题（每题4分）11．（4分）在△ABC中，A=60°，B=45°，b=2，则a=．12．（4分）不等式x2﹣3|x|≤0的解集．13．（4分）已知△ABC中，A=60°，最大边和最小边是方程x2﹣9x+8=0的两个实数根，那么BC边长是．14．（4分）已知a1=1，a n+1=a n+，则a2014=．15．（4分）设a＞0，b＞0，满足ab=a+b+8，则ab的取值范围．16．（4分）定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，公积为3，则这个数列的前n项和S n的计算公式为：．三、解答题（共46分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣m（m﹣1）＞0（m∈R）18．（8分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．19．（10分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=n•（a n+1），求数列{b n}的前n项和为T n．21．（10分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足为常数，则称该数列为“优”数列．（1）判断a n=4n﹣2是否为“优”数列？并说明理由；（2）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a n}为“优”数列，试求出该数列的通项公式；（3）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a n}为“优”数列，正整数k，h满足k+h=2013，求的最小值．2014-2015学年山东省枣庄九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．（3分）数列，﹣，，﹣…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n•B．a n=（﹣1）n+1•C．a n=（﹣1）n•D．a n=（﹣1）n+1•【解答】解：由数列，﹣，，﹣…，可知a n的分子为奇数2n﹣1，分母为2n，其符号为（﹣1）n+1．因此此数列的一个通项公式是a n=．故选：D．2．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．4B．2C．1D．﹣2【解答】解：∵S n=2a n﹣2，∴当n=1时，S1=2a1﹣2=a1，解得a1=2，当n=2，则S2=2a2﹣2，即a1+a2=2a2﹣2，则a2=a1+2=2+2=4，故选：A．3．（3分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选：B．4．（3分）在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9B．1C．2D．3【解答】解：a3a5a7a9a11=a75=243∴a7=3∴=a7=3故选：D．5．（3分）已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）A．B．＜x＜5C．2＜x＜D．＜x＜5【解答】解：因为三角形为锐角三角形，所以三角形的三个内角都为锐角，则设3对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；设x对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，即x2＜13，解得0＜x＜，所以x的取值范围是＜x＜．故选：A．6．（3分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a=2bcosC=2b×=∴a2=a2+b2﹣c2∴b2=c2因为b，c为三角形的边长∴b=c∴△ABC是等腰三角形．故选：C．7．（3分）下列函数最小值为4的是（）A．B．C．y=3x+4•3﹣x D．y=lgx+4log x10【解答】解：对于A：当x＜0时，A显然不满足条件．对于B：当sinx＜0时，B 显然不满足条件．对于D：当lgx＜0时，D显然不满足条件．∵3x＞0，∴3x+4•3﹣x≥2 =4，故只有C 满足条件，故选：C．8．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b2+c2﹣bc=3，cosB=，a=，则边c的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=，∴b2+c2﹣bc=3=a2，则b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又A为三角形的内角，∴A=45°，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，由正弦定理，得，即，∴c=，故选：A．9．（3分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11B．19C．20D．21【解答】解：由+1＜0可得＜0又∵数列的前n项和S n有最大值，∴可得数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得S n＞0的n的最大值n=19，故选：B．10．（3分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．二、填空题（每题4分）11．（4分）在△ABC中，A=60°，B=45°，b=2，则a=2．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，B=45°，b=2，∴由正弦定理得：=，即a===2．故答案为：212．（4分）不等式x2﹣3|x|≤0的解集[﹣3，3] ．【解答】解：x2﹣3|x|≤0，即|x|（|x|﹣3）≤0，解得0≤|x|≤3，﹣3≤x≤3，不等式x2﹣3|x|≤0的解集为[﹣3，3]．故答案为[﹣3，3]．13．（4分）已知△ABC中，A=60°，最大边和最小边是方程x2﹣9x+8=0的两个实数根，那么BC边长是．【解答】解：设最大边和最小边分别为x，y，则由题意可得x+y=9，且xy=8，求得x=8，y=1．由于BC为角A对的边，不是最大边和最小边，利用余弦定理可得BC2=x2+y2﹣2xy•cosA=64+1﹣16×=57，故BC=，故答案为：．14．（4分）已知a1=1，a n+1=a n+，则a2014=．=a n+，【解答】解：∵a n+1∴，则．．．…．累加得：，又a1=1，∴．∴．故答案为：．15．（4分）设a＞0，b＞0，满足ab=a+b+8，则ab的取值范围[16，+∞）．【解答】解：∵正数a，b，∴a+b≥2，∵ab=a+b+8，∴ab﹣2﹣8≥0∴≥4，或≤﹣2（空集）∴ab≥16．故答案为：[16，+∞）．16．（4分）定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，公积为3，则这个数列的前n项和S n的计算公式为：．【解答】解：由题意得，a n a n+1=3（n∈N+），且a1=1，∴a2=3，a3=1，a4=3，a5=1，a6=3，…∴a n=，当n是偶数时，数列的奇数项数和为，偶数项数和为，则数列的前n项和S n=2n，当n是奇数时，数列的奇数项数和是，偶数项数是，则数列的前n项和，∴．故答案为：．三、解答题（共46分）17．（8分）解关于x的不等式x2+x﹣m（m﹣1）＞0（m∈R）【解答】解：∵关于x的不等式x2+x﹣m（m﹣1）＞0（m∈R），∴（x﹣m）[x﹣（1﹣m）]＞0．（*）当m=1﹣m时，即m=时，化为，∴．此时不等式的解集为{x|}；当m＞1﹣m时，即m＞时，此时不等式的解集为{x|x＞m或x＜1﹣m}；当m＜1﹣m时，即m＜时，此时不等式的解集为{x|x＞1﹣m或x＜m}．综上可得：当m=时，不等式的解集为{x|}；当m＞时，不等式的解集为{x|x＞m或x＜1﹣m}；当m＜时，不等式的解集为{x|x＞1﹣m或x＜m}．18．（8分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．【解答】解：（Ⅰ）∵b=2a•sinB，∴由正弦定理知：sinB=2sinAsinB，∵∠B是三角形内角，∴sinB＞0，∴sinA=，∴∠A=60°或120°，，∵∠A是锐角，∴∠A=60°．（Ⅱ）∵a=7，△ABC的面积为10，∴10=bcsin60°，∴bc=40；由余弦定理得72=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2=89．19．（10分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=n•（a n+1），求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】（1）证明：n=1时，2a1=S1+1，∴a1=1．由题意得2a n=S n+n，2a n+1=S n+1+（n+1），﹣2a n=a n+1+1，即a n+1=2a n+1．两式相减得2a n+1于是a n+1=2（a n+1），+1又a1+1=2．∴数列{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，即a n=2n﹣1；（2）解：由（1）知，b n=n•2n，∴T n=1•2+2•22+…+n•2n①，2T n=1•22+2•23+…+n•2n+1②，①﹣②，得﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．21．（10分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足为常数，则称该数列为“优”数列．（1）判断a n=4n﹣2是否为“优”数列？并说明理由；（2）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a n}为“优”数列，试求出该数列的通项公式；（3）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a n}为“优”数列，正整数k，h满足k+h=2013，求的最小值．【解答】解：（1）由a n=4n﹣2，得a1=2，d=4，∴==，∴a n=4n﹣2是“优”数列；（2）设等差数列{a n}，公差为d，则由=k，首项为1，可得2n+n2d﹣nd=4kn+4n2dk﹣2nkd，化简得d（4k﹣1）n+（2k﹣1）（2﹣d）=0①，由于①对任意正整数n均成立，∴，∴d=2，k=，∴a n=2n﹣1；（3）由（2）知a n=2n﹣1，正整数k，h满足k+h=2013，∴==（k+h）（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当k=2h=1342时，的最小值为．。
三角函数的图像和性质
2015浙江省高考冲刺备考小题综合训练（8） 三角函数的图像和性质
1.（山西省2015届高三年级第三次四校（忻州一中康杰中学长治二中临汾一中）联考数学（文）试题 ）
已知函数)2||,0)(2cos()(xxf的部分图象如图所示，则
)6(xfy取得最小值时x的集合为
A.Zkkxx,6 B.Zkkxx,3 C.Zkkxx,62 D.Zkkxx,32 2.（河南省柘城县高级中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题 ）
已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数 ()cosgxx的图象，只要将()yfx的图象 ( )
A．向左平移8个单位长度 B．向右平移8个单位长度
C．向左平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度 3.（湖北省七市（州）2015届高三下学期3月教科研协作体联考数学（文）试题A卷 ） 已知函数),0,0)(sin()(AxAxf的部分图象如图所示，为了得到xxg2sin3)(的图像，只需将，)(xf的图像
1 712
3 x
o
y A．向左平移32个单位长度 B．向右平移32个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 4.（湖南省长望浏宁四县市2015届高三下学期3月模拟考试数学（文）试题 ）
将函数sin23yx的图象向右平移12个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为 A. cosyx B. cosyx C. 5sin12yx D. sinyx 5.（浙江省宁波市2015届高三上学期期末考试数学（文）试题 ）
函数sin6fxx（0）的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为
2014-2015年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，=，∵a=，S△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．。
2014-2015年山东省枣庄市滕州二中新校高一(上)数学期末试卷及答案PDF
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2014-2015 学年山东省枣庄市滕州二中新校高一（上）期 末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的． ） 1． （5.00 分）设集合 A={a，b，c}，B={0，1}，则从 A 到 B 的映射共有（ A．6 个 B．8 个 C．7 个 D．5 个 【解答】解：∵集合 A={a，b，c}，B={0，1}，关于 A 到 B 的映射设为 f ∴f（a）=0 或 1；两种可能； f（b）=0 或 1； f（c）=0 或 1； ∴从 A 到 B 的映射共有：2×2×2=8， 故选：B． ）
7． （5.00 分）函数 y=
A． （0，1） B． （0，1] C． （0，+∞） D．[0，+∞） 8． （5.00 分）已知 a=log23+log2 小关系是（ ） ，b=log29﹣log2 ，c=log32，则 a，b，c 的大
A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c 9． （5.00 分）函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ） （其中 A＞0，|ω|＜ 示，为得到 g（x）=sin3x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）的图象如图所 ）
（Ⅰ）求证 ⊥ ； （Ⅱ）若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 = +（t2+3） ， =﹣k +t 满足 ⊥ ， 试求此时 的最小值． （﹣
21． （12.00 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时，f（x）=log x+1） ． （1）求 f（x）的解析式； （2）若 f（a﹣1）＜﹣1，求实数 a 的取值范围．
2014-2015学年山东省枣庄市滕州三中高二(上)期末数学试卷(文科)
2014-2015学年山东省枣庄市滕州三中高二（上）期末数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.下列四个命题：①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞0，c＜0，则＞其中正确命题的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：①∵a＞|b|，∴a2＞b2，故正确；②∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，因此a-c＞b-d不正确；③取a=2，b=1，c=-2，d=-3，满足a＞b，c＞d，但是ac=-4＜bd=-3，故不正确；④∵a＞b＞0，c＜0，∴＞＞，-c＞0，∴＞，∴＞，故正确．综上可知：只有①④正确．故选：B．①由a＞|b|，利用不等式的性质可得a2＞b2；②由a＞b，c＞d，利用不等式的性质可得a+c＞b+d，即可判断a-c＞b-d是否正确；③取a=2，b=1，c=-2，d=-3，满足a＞b，c＞d，即可判断出；④由a＞b＞0，c＜0，利用不等式的性质可得＞＞，-c＞0，于是＞，因此＞．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．y关于x的线性回归方程x+必过点（）A.（2，2）B.（1.5，2）C.（1，2）D.（1.5，4）【答案】D【解析】解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故选D．要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）．3.椭圆的焦距等于（）A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】解：∵椭圆∴a=2，b=∴c==1，2c=2故选B由椭圆方程可求a，b，然后由c=可求c，进而可求焦距本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属于基础试题4.下列求导运算正确的是（）A.（）′=B.（）′=C.（x2cosx）′=-2xsinxD.（log2x）′=【答案】D【解析】解：A．（）′=-，∴A错误．B．（）′，∴B错误．C．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．根据常见函数的导数公式分别进行判断即可．本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．5.抛物线y2=2px（p＞0）上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线方程为（）A.y2=8xB.y2=xC.y2=3xD.y2=x【答案】A【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0），∴其准线方程为：x=-，∴由题意知，3+=5，∴p=4，∴抛物线方程为y2=8x．故选A．利用抛物线的定义，将点M到焦点的距离转化为它到准线的距离即可求得抛物线的方程．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，考查转化思想，属于基础题．6.下列说法正确的是（）A.函数的极大值大于函数的极小值B.若f′（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值【答案】D【解析】解：A．函数的极大值不一定大于函数的极小值，因此不正确；B．若f′（x0）=0，则x0为函数f（x）取得极值的必要非充分条件，因此不正确；C．函数的最值不一定是极值，可能是函数的区间端点取得的极值，因此不正确；D．根据闭区间上连续函数的性质可知：在闭区间上的连续函数一定存在最值，正确．故选：D．A．函数的极大值不一定大于函数的极小值；B．若f′（x0）=0，则x0为函数f（x）取得极值的必要非充分条件；C．函数的最值不一定是极值，可能是函数的区间端点的函数值；D．根据闭区间上连续函数的性质即可得出．本题考查了函数极值与最值的关系、闭区间上连续函数的性质，属于基础题．7.设x，y满足，则z=x+y（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．8.已知双曲线方程为-y2=1，则过点（2，0）且与该双曲线只有一个公共点的直线有（）条．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵双曲线方程为-y2=1，∴点（2，0）是双曲线的右顶点，∴直线x=2与该双曲线只有一个公共点，∵双曲线方程为-y2=1，∴双曲线的渐近线方程为，∴过点（2，0），斜率k=的两条直线与该双曲线只有一个公共点，∴过点（2，0）且与该双曲线只有一个公共点的直线有3条．故选C．由点（2，0）是双曲线的右焦点，利用双曲线的性质能求出与该双曲线只有一个公共点的直线的条数．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．9.已知P（x，y）为函数y=xsinx+cosx上的任意一点，f（x）为该函数在点P处切线的斜率，则f（x）的部分图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵y=xsinx+cosx∴y′=（xsinx）′+（cosx）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx∵f（x）为该函数在点P处切线的斜率∴f（x）=xcosx∵f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）∴函数y=f（x）是奇函数，图象关于原点对称再根据当0＜x＜时，x与cosx均为正值可得：0＜x＜时，f（x）＞0，因此符合题意的图象只有B故选Bf（x）为该函数在点P处切线的斜率，结合导数的几何意义，得到f（x）=（xsinx+cosx）′=xcosx．再讨论函数f（x）的奇偶性，得到函数为奇函数，图象关于原点对称，最后通过验证当0＜x＜时，f（x）的符号，可得正确选项．本题以含有三角函数表达式的函数为载体，考查了导数的几何意义、函数奇偶性与图象间的联系等知识点，属于基础题．10.已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆=1（a＞b＞0）的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==-，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e∈（0，]故选：B由垂径定理，结合算出直线l到圆x2+y2=4的圆心的距离d满足d2≤，结合点到直线的距离公式建立关于k的不等式，算出k2．由直线l经过椭圆的上顶点B 和左焦点F，可得c=-，从而得到a2=4+，利用离心率的公式建立e关于k的关系式，即可求出椭圆离心率e的取值范围．本题给出椭圆的上顶点和左焦点都在直线l上，在l被圆截得弦长范围的情况下求椭圆的离心率，着重考查了点到直线的距离公式、椭圆的标准方程与简单几何性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.函数f（x）=2x2-lnx的单调递减区间是______ ．【答案】，【解析】解：由f（x）=2x2-lnx，得：f′（x）=（2x2-lnx）′=．因为函数f（x）=2x2-lnx的定义域为（0，+∞），由f′（x）＜0，得：＜，即（2x+1）（2x-1）＜0，解得：0＜x＜．所以函数f（x）=2x2-lnx的单调递减区间是，．求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．12.函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）= ______ ．【答案】2【解析】解：∵y=-x+8，∴y′=-1，即f′（5）=-1，又∵f（5）=-5+8=3，∴f（5）+f′（5）=3-1=2，故答案为2．本题已知在该点的切线方程，可求得该点的函数值及其导数．本题较为简单，只需掌握切线方程与导数的关系即可．13.已知向量=（a-2，-2），=（-2，b-2），（a＞0，b＞0），则ab的最小值是______ ．【答案】16【解析】解：由已知可得（a-2）（b-2）-4=0，即2（a+b）-ab=0，∴4-ab≤0，解得≥4或≤0（舍去），∴ab≥16．∴ab的最小值为16．故答案为16利用向量平行的充要条件列出方程得到a，b的关系；利用基本不等式得到关于ab的不等式，解不等式求出ab的范围．本题考查向量共线的充要条件、利用基本不等式求最值：注意条件是一正、二定、三相等．14.已知函数f（x）=lnx-ax有零点，则a的取值范围是______ ．【答案】∞，【解析】解：y=f（x）有零点，即f（x）=lnx-ax=0有解，a=，令g（x）=，g′（x）=（）′=，解g′（x）=0得x=e．则g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，当x=e时，g（x）的最大值为g（e）=，所以a≤，∴a的取值范围是∞，．故答案为：∞，．令y=0，进行变形lnx=ax，即a=令g（x）=，利用导数的方法，研究其单调性及最大值，从而求出实数a的取值范围本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了数形结合的思想，是一道中档题．15.对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1=0，s、t是互不相等的正整数，则有（s-1）a t-（t-1）a s=O”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是：“ ______ ”．【答案】若{b n}是等比数列，b1=1，s、t是互不相等的正整数，则有【解析】解：等差数列中的b n和a m可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的（s-1）a t可以类比等比数列中的a t s-1，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．等差数列中的“a1=0”可以类比等比数列中的“b1=1”．故故答案为：若{b n}是等比数列，b1=1，s、t是互不相等的正整数，则有．仔细分析题干中给出的不等式的结论“若{a n}是等差数列，且a1=0，s、t是互不相等的正整数，则（s-1）a t-（t-1）a s=0”的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：成立．本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知c＞0，用分析法证明：+＜．【答案】证明：要证原不等式成立，只需证明＜，即证2c+2＜4c，即证＜c，而c＞0，故只需证明c2-1＜c2而此式成立，故原不等式得证．【解析】利用分析法“执果索因”即可，注意语言表达的格式“要证…，需证…，只需证…，而…显然成立，故原结论成立”．本题考查分析法证明不等式，掌握分析法的特点“执果索因”是关键，考查推理能力，属于中档题．17.已知p：≥1，q：x2-2ax+a2-1≤0，（其中a∈R，为常数）若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：∵p：≥1∴p为真，，∴可得x的取值范围：3＜x≤9，记集合A=（3，9]∵q：x2-2ax+a2-1≤0，（其中a∈R，为常数）∴q为真，x2-2ax+a2-1≤0∴可得x的取值范围：{x-（a-1）}•{x-（a+1）}≤0可得a-1≤x≤a+1记集合B=[a-1，a+1]∵￢p是￢q的充分而不必要条件，得B⊂A，＞∴∴实数a的取值范围：4＜a≤8【解析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断判断充要条件的方法是：①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系18.用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【答案】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，高为由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）整理，得y=-2x3+2.2x2+1.6x，（4分）∴y'=-6x2+4.4x+1.6（6分）令y'=0，有-6x2+4.4x+1.6=0，即15x2-11x-4=0，解得x1=1，（不合题意，舍去）．（8分）从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使y'=0．由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2．答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．（12分）【解析】先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．19.已知函数f（x）=2ax-x2-3lnx，其中a∈R，为常数（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最大值．【答案】解：（1）∵f（x）=2ax-x2-3lnx，∴x＞0，′，∵f（x）在x∈[1，+∞）上是减函数，∴f'（x）≤0对x∈[1，+∞）恒成立，即，又x＞0，∴-3x2+2ax-3≤0恒成立，即恒成立，6≥2a，∴a≤3，即实数a的取值范围是（-∞，3]．（2）∵x=3是f（x）的极值点，∴f'（3）=0，即，解得a=5，此时′，当x∈[1，3]时，f'（x）≥0，原函数递增，当x∈[3，5]时，f'（x）≤0，原函数递减；∴f（x）最大值为．【解析】（1）由题意知f'（x）≤0对x∈[1，+∞）恒成立，即，由此利用均值定理能求出实数a的取值范围．（2）依题意f'（3）=0，从而解得a=5，由此利用导数性质能求出f（x）的最大值．本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20.已知离心率为的椭圆C，其长轴的端点A1，A2恰好是双曲线-y2=1的左右焦点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试判断乘积“k1•k2”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；（3）当k1=，在椭圆C上求点Q，使该点到直线PA2的距离最大．【答案】解：（1）双曲线-y2=1的左右焦点为（±2，0），即A1，A2的坐标分别为（-2，0），（2，0）．∴设椭圆：（a＞b＞0），则a=2，∵离心率为，∴c=，从而b2=a2-c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）设P（x0，y0）则，即=∴k1•k2=•==-，∴k1•k2的值与点P的位置无关，恒为-；（3）由（2）知当k1=时，k2=-，故直线PA2的方程为y=-（x-2），即x+2y-2=0，设与PA2平行的椭圆C的切线方程为x+2y+m=0，与椭圆C联立得消去x得8y2+4my+m2-4=0…（*）由△=（4m）2-4•8•（m2-4）=0，解得或（舍去），代入（*）可解得切点坐标，即为所求的点Q．【解析】（1）先利用椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线-y2=1的左右焦点求出顶点A1，A2的坐标，再利用离心率为，即可求椭圆C1的标准方程；（2）直接利用两点坐标求出k1•k2的值即可判断k1•k2的值是否与点P的位置有关；（3）求出与PA2平行的椭圆C的切线方程为x+2y+m=0，与椭圆C联立，利用△=0，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查直线上两点的斜率公式、考查学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．21.已知函数f（x）=x3+2x-sinx，（x∈R）（1）证明：函数f（x）是R上的单调递增函数；（2）解关于x的不等式f（ax2-x）+f（1-ax）＜0，其中a∈R．【答案】解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+2-cosx，∵3x2≥0，2-cosx＞0，∴f′（x）＞0，故函数f（x）是R上的单调递增函数．（2）∵f（-x）=-x3-2x+sinx=-（x3+2x-sinx）=-f（x），∴f（x）为奇函数，则不等式等价为f（ax2-x）＜-f（1-ax）=f（ax-1），则ax2-x＜ax-1，整理得ax2-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，若a=0，则不等式等价为x-1＞0，解得x＞1．若a＜0，则不等式等价为a（x-）（x-1）＜0，即（x-）（x-1）＞0，此时不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞），若a＞0，不等式等价为（x-）（x-1）＜0，若a=1，则不等式的解集为∅．若0＜a＜1，不等式的解集为（1，），若a＞1，不等式的解集为（，1）．【解析】（1）求函数导数，利用导数即可证明函数f（x）是R上的单调递增函数；（2）判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化即可解不等式．本题主要考查不等式的求解以及函数单调性的判断和证明，利用导数以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．。
山东省滨州市2014—2015学年九年级上期末考试数学试题及答案
山东省滨州市2014—2015学年度第一学期期末考试九年级数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，并将其字母标号填写在答题栏内）1.某反比例函数的图象过点（1，-4），则此反比例函数解析式为（ ） A ．xy 4=B ． xy 41=C ． xy 4-= D ． xy 41-= 2.一元二次方程x 2＋px －6＝0的一个根为2，则p 的值为（ ） A ．－1B ．-2C ． 1D ．23.用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（ ）．4.下列四个图形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）5.如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，OB=4，则AB 的长为（ ） A ．32 B ． 4 C ． 6 D ．346.从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取一张，下列事件中，必然事件是（ ） A ．标号小于6 B.标号大于6 C ． 标号是奇数 D ． 标号是37.如图，△ABO 缩小后变为△''A B O ,其中A 、B 的对应点分别为'A 、'B ，点A 、B 、'A 、'B 均在图中格点上，若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在''A B 上的对应点'P 的坐标为（ ）A ．(2m，n ) B ．(m ，n )C ．(m ，2n)D ．(2m ，2n )8.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）9.如果点A (-3，y 1)，B (-2，y 2)，C (1，y 3)都在反比例函数kyx=(k >0)的图象上，那么，y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．132yy y << B ．213y y y << C ．123y y y << D ．321y y y <<10.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ，若∠DAB ＝70°，则∠BOC ＝（ ） A. 70° B. 130° C. 140° D. 160° 11.如图所示，给出下列条件：①∠B =∠ACD ；②∠ADC =∠ACB ；③BCAB CD AC =；④AC 2=AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y =bx +b 2-4ac 与反比例函数y =xcb a ++在同一坐标系内的图象大致为( )第Ⅰ卷答案栏第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：13.已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．14.已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15.如图所示,将△ABC 绕点A 按逆时针旋转30°后,得到△ADC ′,则∠ABD 的度数是 .16.已知抛物线m x x y +-=822的顶点在x 轴上，则m= ．17.如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）18. 对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则201520152211B A B A B A +++ 的值是三、解答题：（本大题共7个小题，解答时请写出必要的演推过程） 19.(1)解方程：x 2＋2x －3＝0(2)已知反比例函数xmy -=5，当x ＝2时y ＝3． ①求m 的值；②当3≤x≤6时，求函数值y 的取值范围．20. 方程22(6)x m x m -++＝0有两个相等的实数根，且满足12x x +＝12x x ，试求m 的值。
山东省枣庄市第九中学2015届高三第一学期10月月考数学(理)试题
山东省枣庄市第九中学2015届高三第一学期10月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a ba b +=成立的是（ ） A ．2a b = B ．//a b C ．13a b =- D ．a b ⊥2．下列命题的说法错误的是A ．命题“若错误！未找到引用源。
则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则错误！未找到引用源。
”.B ．“1=x ”是“错误！未找到引用源。
”的充分不必要条件.C ．对于命题错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
D ．若q p ∧错误！未找到引用源。
为假命题，则q p ,错误！未找到引用源。
均为假命题.3．已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．40C ．45D ．354．在ABC ∆中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38C ．34或38D ．35．函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为6．已知向量()()()4,3,0,1,2,1===c b a ，若λ为实数，()b a λ+∥c ，则λ= A ．2B ．1C ．21 D ．417． 已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 A ．65π=x B ．34π=x C ．3π=x D ．3π-=x8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．240B ．200C ．5803D ．56039．设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和。
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山东省枣庄市第九中学2014-2015学年高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝A ．－1213B ．－513C ．513D ．12132．与椭圆1121622=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A ．1322=-y xB ．1322=-y xC ．1834322=-y xD ．1834322=-x y3．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为（1）；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为（2）。
则完成（1）、（2）这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A ．分层抽样法，简单随机抽样法B ．分层抽样法，系统抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法4．已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为3π的直线，则点F 到直线l 的距离等于A ．1BC ．2D ．5．函数2()2log 3x f x x =+-在区间(1,2)内的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是AB ．C ．12D 7．运行如图所示的流程图，则输出的结果n a 是A ．1B ．1-C ．4-D ．5-8．函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+----在区间1(,2)2上的图象大致为ABCD9．在锐角ABC ∆中，三个内角,,A B C 满足：2sin ()cos()B C A B +=-，则角A 与角B 的大小关系是A ．23A B π+=B ．A B <C ．A B =D ．A B >10．如图，已知,B C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB y AC =+，则xy 的取值范围是A ．1(0,]4B ．11[,]164C ．13[,]1616D ．31[,]164 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上11．若i 为虚数单位，则复数31ii+=- ． 12．在[3,3]-上随机取一个数x ，则(1)(2)0x x +-≤的概率为 ．13．满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x 的变量,x y 使得230x y a ++≥恒成立，则实数a 的最小值为 ．14．已知点P 是双曲线2219y x -=上的一点，12,F F 是双曲线的左右焦点，且12120PF PF <>=︒，，则1=PF PF +15．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9=2S ，,*p q N ∈，且18p q +=，则p q S S ⋅的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知正项等比数列{}n a 满足：3454,24a aa =+=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图.已知样本中产品净重在[70,75)克的个数是8个。
（Ⅰ）求样本容量；（Ⅱ）若从净重在[60,70)克的产品中任意抽取2个，求抽出的2个产品恰好是净重在[65,70)的产品的概率。
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA =，4PC =．（Ⅰ）若点E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ；（Ⅱ）若点F 在线段PA 上，且FA PA λ=，当三棱锥B AFD -的体积为43时，求实数λ的值. 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),(23,1)m x x n x x p ===，且cos 0x ≠. （Ⅰ）若//m p ，求m n ⋅的值；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2B bC a c=-+，且()f x m n =⋅，求函数()f A 的值域.20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元.设该公司一个月内生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x -万元，且每万件国家给予补助2ln 12e x e x x--万元. （e 为自然对数的底数，e 是一个常数.）（Ⅰ）写出月利润()f x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式；（Ⅱ）当月生产量在[1,2]e 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）.（注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）. 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知椭圆Q 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =，过椭圆Q 右焦点且垂直于x 轴的一条直线交椭圆于,E F 两点，=1EF .（Ⅰ）求椭圆Q 的方程；（Ⅱ）已知两点(C D ，设,,A B M 是椭圆Q 上的三点，满足3455OM OA OB =+，点N 为线段AB 的中点，求NC ND +的值.山东省枣庄市第九中学2014-2015学年高三上学期期末考试数学试题（文）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的9．22sin ()cos()sin cos cos sin sin B C A B A A B A B +=-⇒=+,锐角ABC ∆中:cos ,cos ,sin ,sin A B A B 均为(0,1)2sin cos cos sin sin sin sin sin sin A A B A B A B A B a b A B =+>⇒>⇒>⇒> 10．析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，5[,]36ππθ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由AH xAB y AC =+0(1cos )(1cos )sin sin cos x y x y θθθθθ=--+-⎧⇒⎨-=--⎩1cos 21cos 2x y θθ-⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=⋅，由5[,]36ππθ∈，知xy ∈11[,]164，选B ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上14．双曲线的视角问题，应用余弦定理得：21221cos b PF PF θ-=⋅,结合定义一。
15．11()()4p q p q pqS S a a a a ⋅=⋅+⋅+ 22112221122229111()[()]421()[()()]42221118()()=()()422422p q p q p q p q p q p q a a a a a a a a p q a a a a a a a p q a a +≤⋅+++⋅++≤⋅+++++=⋅+⋅+ 又9194=29S a a ⇒+=代入上式得：4p q S S ⋅≤.【法二——特殊值法：猜测p q =取最值】 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）【解】（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则由3454,24a a a =+=得213411424a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩ ,由于0,0n a q >>解得1=12a q ⎧⎨=⎩，所以=n a 1112n n a q --⋅=. ……………6分 （Ⅱ）由=n a 1112n n a q --⋅=.得()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⋅=⋅+⋅=1112112121n n n n n n a b n n n111111111[()()()](1)212231212(1)n n S n n n n =-+-++-=-=+++2(1)n nS n ∴=+ ……………13分17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）【解】（I ）设样本容量为N ，由频率分布直方图可知:(0.010.0220.050.06)51x +⨯+++⨯=,解得0.04x =因为85x N=，解得40N = ……………6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知:净重在[60,65)克的产品有0.01540=2⨯⨯个；净重在[65,70)克的产品有0.02540=4⨯⨯个；所以净重在[60,70)克的产品有6个。
设净重在[60,65)克的2个产品编号为,a b ；净重在[65,70)克的4个产品编号为,,,c d e f ，则从净重在[60,70)克的产品中任意抽取2个的所有基本事件有15种：(,),(,),(,),(,)a c a d a e a f ,(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ,(,)a b ,(,),(,),(,),(,)c d c e c f d e ,(,),(,)d f e f ；其中事件A “抽出的2个产品恰好是净重在[65,70)的产品”包含6个基本事件：(,),(,),(,),(,)c d c e c f d e ,(,),(,)d f e f ；所以由古典概型知62()==155P A …………13分 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）【解】方法一：几何法 （Ⅰ）如图，连接AC ，设ACBD Q =，又点E 是PC 的中点，则在PAC ∆中，中位线EQ //PA ，又EQ ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE 。