松统计学第三章习题
统计学第三章课后作业参考答案
统计学第三章课后作业参考答案1、统计整理在统计研究中的地位如何？答：统计整理在统计研究中的地位：统计整理实现了从个别单位标志值向说明总体数量特征的指标过度，是人们对社会经济现象从感性认识上升到理性认识的过度阶段，为统计分析提供基础，因而，它在统计研究中起了承前启后的作用。
2、什么是统计分组？为会么说统计分组的关键在于分组标志的选择？答：1）统计分组是根据统计研究任务的要求和现象总体的内在特点，把统计总体按照某一标志划分为若干性质不同而又有联系的几个部分。
2）因为分组标志作为现象总体划分为各处不同性质的给的标准或根据，选择得正确与否，关系到能否正确地反映总体的性质特征、实现统计研究的目的的任务。
分组标志一经选取定，必然突出了现象总体在此标志下的性质差异，而掩盖了总体在其它标志下差异。
缺乏科学根据的分组不但无法显示现象的根本特征，甚至会把不同性质的事物混淆在一起，歪曲了社会经济的实际情况。
所以统计分组的关键在于分组的标志选取择。
3、统计分组可以进行哪些分类？答：统计分组可以进行以下分类1）按其任务和作用的不同分为：类型分组、结构分组、分析分组2）按分组标志的多少分为：简单分组、复合分组3）按分组标志性质分为：品质分组、变量分组5单项式分组和组距式分组分别在什么条件下运用？答：单项式分组运用条件：变量值变动范围小的离散变量可采取单项式分组组距式分组运用条件：变量值变动很大、变量值的项数又多的离散变量和连续变量可采取组距式分组8、什么是统计分布？它包括哪两个要素？答：1）在分组的基础上把总体的所有单位按组归并排列，形成总体中各个单位在各组分布，称为统计分布，是统计整理结果的重要表现形式。
2）统计分布的要素：一、是总体按某一标志分的组，二、是各组所占有的单位数——次数10、频数和频率在分配数列中的作用如何？答：频数和频率的大小表示相应的标志值对总体的作用程度，即频数或频率越大则该组标志值对全体标志水平所起作用越大，反之，频数或频率越小则该组标志值对全体标志水平所起作用越小11、社会经济现象次数分布有哪些主要类型？分布特征?答：1) 社会经济现象次数分布有以下四种主要类型：钟型、U 型 、J 型、洛伦茨分布 2)分布特征如下：钟型分布：正态分布，两头小，中间大U 型分布：两头大，中间小J 型分布：次数随变量值增大而增多；倒J 型分布：次数随变量值增大而减少 洛伦茨分布：各组标志比重随着各组单位数比重（频率）增加而增加；17、有27个工人看管机器台数如下：5 4 2 4 3 4 3 4 4 2 4 3 4 3 26 4 4 2 2 3 4 5 3 2 4 3 试编制分配数列18、某车间同工种40名工人完成个人生产定额百分数如下 ：97 88 123 115 119 158 112 146 117 108 105 110 107 137 120 136 125 127 142 118 103 87115 114 117 124 129 138 100 103 92 95 113 126 107 108 105 119 127 104根据上述资料，试编制分配数列错例:下面解法几个地方错?19、1993年某出口创汇大户出口实绩（万美元）列举如下：1011 1052 865 721 2032 1218 1046 721 546 623 2495 1015 1113 1104 1084 707 878 678 2564 620 575 943 828 2035 2375 4342 751 505 798 728 1103 1285 2856 3200 518第九章时间序列分析一、单项选择题二、多项选择题三、判断题四、填空题1、时间序列 指标数值2、总量指标时间数列 相对指标时间数列 平均指标时间数列 总量指标时间数列3、简单 na a ∑=间断 连续 间隔相等 间隔不等4、逐期 累计 报告期水平–基期水平 逐期 累计5、环比 定基基期水平报告期水平环比 定基 环比6、水平法 累计法 水平 nx x ∏=或nna a x 0= 累计 032a a x x x x n∑=++++7、26 26 8、79、）－（y y ˆ∑ = 0）－（y y ˆ∑2为最小 10、季节比率 1200% 400％ 五、简答题（略） 六、计算题1、4月份平均库存 = 3053008370122505320⨯+⨯+⨯+⨯= 302（辆）2、第一季度平均人数917301024927217270302751026424258++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（人）3、第一季度平均库存额142434405408240012221-+++=-+++=n a a a a n = 410（万元） 同理，第二季度平均库存额1424184384262434-+++= 430（万元）上半年平均库存额1724184384264344054082400-++++++= 420（万元）或 2430410+= 420（万元）4、年平均增加的人数 =516291678172617931656++++= 1696.4（万人）5、某酿酒厂成品库1998年的平均库存量12111232121222---+++++++++=n n n n f f f f a a f a a f a a a=121124084122233533012330326+++⨯+++⨯++⨯+=124620= 385（箱）6、列计算表如下：该柴油机厂全年的平均计划完成程度指标为.346004.47747==∑∑b bc c = 138.0% 7、列计算表如下：该企业第一季度生产工人数占全部职工人数比重232003100320023000225602356249622250++++++==b a c = 77.2% 8、①填写表中空格：②第一季度平均职工人数 =3= 268. 33（人）③第一季度工业总产值 = + + = 83.475（万元） 第一季度平均每月工业总产值 =3475.83=27.825（万元） ④第一季度劳动生产率 =33.268834750=3110.91（元/人）第一季度平均月劳动生产率 =33.26891.3110=1036.97（元/人）或 =33.268278250=1036.97（元/人）9、煤产量动态指标计算表：第①、②与③的要求，计算结果直接在表中； ④平均增长量=552.2=（万吨） ⑤水平法计算的平均发展速度=554065.120.672.8== 107.06% 平均增长速度= 107.06%-100%=7.06% 10、以1991年为基期的总平均发展速度为 62306.105.103.1⨯⨯= 104.16% 11、每年应递增：535.2=118.64%以后3年中平均每年应递增：355.135.2=114.88% 12、计算并填入表中空缺数字如下：（阴影部分为原数据）平均增长量为：3266.39÷6 = 544.40（万台） 平均发展速度为：66556.3= 124.12% 平均增长速度为：124.12%-1=%13、设在80亿元的基础上，按8 %的速度递增，n 年后可达200亿元，即n80200= 108% → n 1 → n = 08.1log 5.2log按8 %的速度递增，约经过年该市的国民收入额可达到200亿元。
统计学第三章习题答案
第三章 数据分布特征的描述一、单选题1. A2. Ｃ3. Ｃ4.Ｂ5. A6. Ｂ7. Ｃ8. Ｄ9. A 10. Ｃ 11. Ｄ 12.Ｄ 13. A 14.C 15. Ｂ 16. Ｄ 17.Ｃ 18.Ｂ 19. B 20. C 21. A 22. A 23. B 24. C 25. D 26. C 27. B 28. D 29. C 30．D 31. B 32. A 33．B 34. C 35. D 36. A 37. B 38. D 39. C 40. C 41. B 42. D 43. D 44. D 45. B 46. D 47. C 48. B 49. D 50. A 51. D 52. B 53. B 54. A 55. C 56. A 57. A 58. B二、多选题1. ABC2. ACE3. CDE4. ADE5. ABCDE6. A B C7. A B E8. A B9. C E 10．ABC 11．AD 12．ABCDE 13．ABCDE 14．CD 15．AE 16．ABCDE三、判断题1.（ × ）2.（ √ ）3.（ × ）4.（ √ ）5.（ × ）6.（ × ）7.（ √ ）8.（ × ）四、名词解释（略） 五、计算题1．解：设单价用x 表示，销售额用m 表示，则商品平均销售价格：)/(45.182********千克元==∑∑=xm x2．解：按单利计算的平均年利率：%2.45%2%3%4%5%7=++++=x按复利计算的平均年利率：10419.11%)21%)(31%)(41%)(51%)(71(5-=-+++++=x =4.19%3．解：甲资料计算如下：)/(61.811267216700人元甲==∑∑=f xf x )/(29.17126749.7834007)(2人元甲==∑-∑=ffx x σ%10.2161.81129.171===甲甲甲x V σσ乙资料计算如下：)/(832人元乙=∑⋅∑=ffx x )/(95.18534576)(2人元乙==∑⋅-∑=ffx x σ %35.2283295.185===乙乙乙x V σσ 由以上计算可得：⑴ 由于甲乙x x >，所以乙单位的平均工资高于甲单位的平均工资； ⑵ 由于乙σV >甲σV ，所以甲单位的平均工资更具有代表性。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考解答
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列． 解： （1） P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 0)} =
⎛ 50 ⎞⎛ 30 ⎞⎛ 20 ⎜ ⎜ i ⎟ ⎟⎜ ⎜ j⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 5 − i − 且 P{ X = i, Y = j} = ⎛100 ⎞ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
故 (X, Y ) 的联合分布列为
⎞ ⎟ j⎟ ⎠ , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ，
i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4． 设随机变量 Xi ,
Xi P
−1 0 1 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0， 即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1 0.0024 0.024 0.09
2 0.054 0.135
3 0.054 0.0675 0 0 0
4 0.0081 0.02025 0 0 0 0
5 0.00243 0 0 0 0 0
《统计学概论》第三章课后练习题答案
《统计学概论》第三章课后练习题答案《统计学概论》第三章课后练习题答案一、思考题1．什么是统计整理，统计整理的对象是什么？P612．什么是统计分组，它可以分为哪几种形式？P633．简述编制变量数列的一般步骤。
P70-754．统计表分为哪几种？P785．什么是统计分布，它包括哪两个要素？P686．单项式分组和组距公式分组分别在什么情况下运用？P667．如何正确选择分组标志？P658．为什么要进行统计分组?其主要作用是什么?P63（2009．01）二、判断题1．统计整理只能对统计调查所得到的原始资料进行加工整理。
（×）P61【解析】统计整理分为两情况：一种是对原始资料进行整理，另一种是对次级资料即已加工过的现成资料进行在整理。
2．对一个既定总体而言，合理的分组标志只有一个。
（×）P67【解析】复合分组就是对同一总体选择两个或两个以上标志进行的分组。
3．在异距数列中，计算次数密度主要是为了消除组距因素对次数分布的影响。
（√）P74 4．组中值是指各组上限和下限之中点数值，故在任何情况下它都能代表各组的一般水平。
（×）P72【解析】当组内标志值分布均匀时，组中值能代表各组的一般水平（平均水平），当组内标志值分布不均匀时，组中值不能代表各组的一般水平（平均水平）。
5．在变量数列中，组数等于全距除以组距。
（×）（2010．01）P71【解析】变量数列的分组可分为等距分组和异距分组，只有在等距分组的情况下，组数等于全距除以组距。
6．统计分组的关键问题是确定组数和组距。
（×）（2009．10）P65【解析】统计分组的关键问题是选择恰当的分组标志。
7．按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差别。
（×）P66【解析】按数量标志分组的目的，并不是单纯确定各组在数量上的差别，而是要通过数量上的变化来区分各组的不同类型和性质。
8．连续型变量可以作单项式分组或组距式分组，而离散型变量只能作组距式分组。
统计学原理第三章习题答案
第三章统计资料整理一.判断题部分1:对统计资料进行分组得目得就就是为了区分各组单位之间质得不同。
（X ）2:统讣分组得关键问题就是确定组距与组数。
（x ）3：组中值就是根据各组上限与下限计算得平均值，所以它代表了每一组得平均分配次数。
（x ）3：分配数列得实质就是把总体单位总量按照总体所分得组进行分配"（V ）4:次数分配数列中得次数,也称为频数。
频数得大小反映了它所对应得标志值在总体中所起得作用程度。
（V ）5:某企业职工按文化程度分组形成得分配数列就是一个单项式分配数列。
（x ）6:连续型变量与离散型变量在进行组距式分组时，均可采用相邻组组距重叠得方法确定组限。
（V ）7:对资料进行组距式分组,就是假定变量值在各组内部得分布就是均匀得, 所以这种分组会使资料得真实性受到损害。
（V ）&任何一个分布都必须满足:各组得频率大于零，各组得频数总与等于1或100%。
（ x ）9:按数量标志分组形成得分配数列与按品质标志分组形成得分配数列，都可称为次数分布。
（V ）10：按数量标志分组得目得，就就是要区分各组在数量上得差异。
（X ）11:统计分组以后，掩盖了务组内部各单位得差异，而突出了各组之间单位得差异。
（V ） 12:分组以后，各组得频数越大，则组得标志值对于全体标志水平所起得作用也越大;而各组得频率越大,则组得标志值对全体标志水平所起得作用越小。
（X ）二•单项选择题部分1：统计整理得关键在（B ）0A、对调査资料进行审核B、对调査资料进行统计分组C、对调査资料进行汇总D、编制统计表2:在组距分组时，对于连续型变量，相邻两组得组限（A ）<>A、必须就是重叠得B、必须就是间断得C、可以就是重叠得，也可以就是间断得D、必须取整数3：下列分组中属于按品质标志分组得就是（B ）。
A、学生按考试分数分组B、产品按品种分组C、企业按计划完成程度分组D、家庭按年收入分组4:有一个学生考试成绩为7 0分,在统计分组中，这个变量值应归入（B ）。
《统计学概论》第三章课后练习题答案
《统计学概论》第三章课后练习题答案一、思考题1．什么是统计整理，统计整理的对象是什么？P612．什么是统计分组，它可以分为哪几种形式？P633．简述编制变量数列的一般步骤。
P70-754．统计表分为哪几种？P785．什么是统计分布，它包括哪两个要素？P686．单项式分组和组距公式分组分别在什么情况下运用？P667．如何正确选择分组标志？P658．为什么要进行统计分组?其主要作用是什么?P63（2009．01）二、判断题1．统计整理只能对统计调查所得到的原始资料进行加工整理。
（×）P61【解析】统计整理分为两情况：一种是对原始资料进行整理，另一种是对次级资料即已加工过的现成资料进行在整理。
2．对一个既定总体而言，合理的分组标志只有一个。
（×）P67【解析】复合分组就是对同一总体选择两个或两个以上标志进行的分组。
3．在异距数列中，计算次数密度主要是为了消除组距因素对次数分布的影响。
（√）P74 4．组中值是指各组上限和下限之中点数值，故在任何情况下它都能代表各组的一般水平。
（×）P72【解析】当组内标志值分布均匀时，组中值能代表各组的一般水平（平均水平），当组内标志值分布不均匀时，组中值不能代表各组的一般水平（平均水平）。
5．在变量数列中，组数等于全距除以组距。
（×）（2010．01）P71【解析】变量数列的分组可分为等距分组和异距分组，只有在等距分组的情况下，组数等于全距除以组距。
6．统计分组的关键问题是确定组数和组距。
（×）（2009．10）P65【解析】统计分组的关键问题是选择恰当的分组标志。
7．按数量标志分组的目的，就是要区分各组在数量上的差别。
（×）P66【解析】按数量标志分组的目的，并不是单纯确定各组在数量上的差别，而是要通过数量上的变化来区分各组的不同类型和性质。
8．连续型变量可以作单项式分组或组距式分组，而离散型变量只能作组距式分组。
统计学第三章练习题(附答案)
一.单项选择题1.比较两组数据的离散程度最合适的统计量是（ D ）。
A.极差B.平均差C.标准差D.离散系数2.如果峰度系数k>3，表明该组数据是（A ）。
A.尖峰分布B.扁平分布C.左偏分布D.右偏分布3.某大学经济管理学院有1200名学生，法学院有800名学生，医学院有320名学生，理学院有200名学生。
上面的描述中，众数是（ B ）。
A.1200B.经济管理学院C.200D.理学院4.某班共有25名学生，期末统计学课程的考试分数分别为：68,73,66,76,86,74,61,89,65,90,69,67,76,62,81,63,68,81,70,73,60,87,75,6 4,56，该班考试分数下四分位数和上四分位数分别是（A）。
A.64.5和78.5B.67.5和71.5C.64.5和71.5D.64.5和67.55.对于右偏分布，平均数、中位数和众数之间的关系是（A ）。
A.平均数>中位数>众数B.中位数>平均数>众数C.众数>中位数>平均数D.众数>平均数>中位数实用文档6.某班学生的统计学平均成绩是70分，最高分是96分，最低分是62分，根据这些信息，可以计算的测度离散程度的指标是（B ）。
A.方差B.极差C.标准差D.变异系数7.在离散程度的测度中，最容易受极端值影响的是（A ）。
实用文档A.极差B.方差C.标准差D.平均差8.在比较两组数据的离散程度时，不能直接比较它们的标准差，因为两组数据的（ D ）。
A.标准差不同B.方差不同C.数据个数不同D.计量单位不同9.总量指标按其反应的内容不同，可分为（C ）。
A.总体指标和个体指标B.时期指标和时点指标C.总体单位总量指标和总体标识总量指标D.总体单位总量指标和标识单位指标10.反映同一总体在不同时间上的数量对比关系的是（ C ）。
A.计划完成成都相对指标B.比较相对指标C.动态相对指标D.比例相对指标11.2003年全国男性人口数为66556万人，2002年全国金融、保险业增加值为5948.9亿元，2003年全社会固定资产投资总额为55566.61亿元，2003年全国城乡居民人民币储蓄存款余额103617.7亿元。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.3、3.4(部分)参考答案
0 −z
x
y
z
0
x
p(
x,
y)
=
⎧3x, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 0 < y < x, 其他.
试求 Z = X − Y 的密度函数．
解：方法一：分布函数法
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z < 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 当 0 ≤ z < 1 时， FZ (z) =
0
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
ez, e−z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
方法二：增补变量法
（1）函数 z = x + y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 2
18
可得
⎪⎨⎧z
=
x
+ 2
y
,
⎪⎩v = y,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2z v,
z
x
dx 3xdy +
0
0
1
x
dx 3xdy =
z
x−z
z 3x 2 dx +
0
1
3xzdx =
x3
z
+
3
x2z 1
=
3
z
−
1
z3，
z
02 z2 2
当 z ≥ 1 时，FZ (z) = 1，
y
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X − Y 为连续随机变量，
统计学第三章习题答案
7、 茎叶图类似于横置的直方图，与直方图相比，茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给
出每一个原始数值，即保留了原始数据的信息。而直方图虽然能很好地显示数据的分布，
但不能保留原始的数值。在应用方面，直方图通常适用于大批量数据，茎叶图通常适用
1
第三章
于小批量数据。
8、 统计图一般由下面几个部分构成：（1）标题，即图的名称，简明扼要说明资料的中心内 容，必要时注明时间和地点，一般写在图的正下方位置，同时将图形的编号写在标题的
中间有一个“空洞”，样本或总体中的每一部分数据用环中的一段表示。饼图只能显示
一个总体和样本各部分所占的比例，而环形图则可以同时绘制多个总体或样本的数据系
列，每一个总体或样本的数据系列为一个环。因此环形图可显示多个总体或样本各部分
所占的相应比例，从而有利于进行比较研究。
6、 直方图与条形图是不同的，首先，条形图是用条形的长度（横置时）表示各类别频数的
应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。一般情况下，一组数据所分的组数 K 不应少
于 5 组且不多于 15 组，即 5＜ K＜15。在实际分组时，也可以借助经验公式来确定组数 K，
K 1 lgn lg 2
其中 n 为数据的个数，对结果四舍五入取整数即为组数。
第 3 步：确定各组的组距。在组距分组中，一个组的最小值称为下限（low limit）；一个组
100
——
接收 99 109 89 119 79 129 69 139
其他
频率 11 9 8 7 6 4 2 2 1
累积 % 22.00% 40.00% 56.00% 70.00% 82.00% 90.00% 94.00% 98.00% 100.00%
（3）
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.2-3.3(部分)参考答案
习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X 当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y 并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y 故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p b aY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211，因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z z x z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−， 当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，z dy z p zZ ==∫01)(，当1 ≤ z < 2时，z dy z p z Z −==∫−21)(11，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0,21,2,10,)(其他z z z z z p Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当0 < z < 1时，z zy z y Z dy z p −−−−=−==∫e 1)e (e )(0，当z ≥ 1时，zz z z z yzz yZ dy z p −+−−−−−−−=+−=−==∫e )1(e ee )e (e)(111，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)(z z z z p z z Z10．设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X /Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)； （2）X ~ Exp (λ1)，Y ~ Exp (λ2)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx=，即直线簇z x y =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0， 当z > 0时，)e 1(e)(e)e (e)(111011zz x zx zx yz x yZ z z dx dx dy dx z F −−−∞+−∞+−−=−==−⋅==∫∫∫∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=′=−−.0,0;0,e 1e 1)()(11z z z z F z p z z Z Z（2）作曲线簇z yx =，即直线簇z xy =，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫∫∞+−−∞+∞+−−∞+∞+−−⋅=−⋅⋅=⋅=0101021212121ee)e(eee)(dx dx dy dx z F zx xzx yxzx yxZ λλλλλλλλλλ2110)(2110)(12121eeλλλλλλλλλλλ+=+−==+∞+−∞++−∫z z zdx xzxz，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X /Y 为连续随机变量，zz故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=′=.0,0;0,)()()(22121z z z z F z p Z Z λλλλ方法二：增补变量法（1）函数z = x / y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧==,,/y v y x z 有反函数⎩⎨⎧==,,v y zv x 且v z v y y x x J vz vz==′′′′=10， 则∫+∞∞−⋅=dv v v zv p z p Z ||),()(，作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z z v z vZ z z v vdv z p 1111010e 1e 11e 11e )1(e )(−−−−−−−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+−=⋅=∫，故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−.0,0;0,e 1e 1)(11z z z z p z z Z（2）作曲线簇x / y = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，+∞+−∞+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−=⋅⋅=∫)(22121210212121e )(1e e )(v z v zv Z z z v vdv z p λλλλλλλλλλλλ 22121)(λλλλ+=z ， 故Z = X /Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)()(22121z z z z p Z λλλλ 11．设X 1 , X 2 , X 3为相互独立的随机变量，且都服从(0, 1)上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之和的概率．解：设A i 分别表示X i 大于其他两者之和，i = 1, 2, 3，显然A 1 , A 2 , A 3两两互不相容，且P (A 1) = P (A 2) = P (A 3)， 则P (A 1∪A 2∪A 3) = P (A 1) + P (A 2) + P (A 3) = 3P (A 3) = 3P {X 3 > X 1 + X 2} 因X 1 , X 2 , X 3相互独立且都服从(0, 1)上的均匀分布，则由几何概型知61121131}{213=××=+>X X X P ， 故21}{3)(213321=+>=X X X P A A A P U U ． 12．设随机变量X 1与X 2相互独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p1试求Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的分布． 解：分布函数法，二维随机变量(X 1, X 2) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0;10,10,4),(212121其他x x x x x x p 因Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2} = | X 1 − X 2 |，作曲线簇 | x 1 − x 2 | = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，∫∫∫∫+−−=⋅−=−=−−111221311221112211)2(41221421)(11zzz x zzx Z dx x z zx x x x dx dx x x dx z F323823244232414123244142444212123141z z z z z z z z x z zx x z +−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}为连续随机变量， 故Z = max {X 1, X 2} − min {X 1, X 2}的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+−=′=.,0;10,34438)()(3其他z z z z F z p Z Z13．设某一个设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为λ 的指数分布．当3个元件都正常工作时，设备才正常工作．试求设备正常工作时间T 的概率分布． 解：设T i 表示“第i 个元件正常工作”，有T i 服从指数分布Exp (λ)，分布函数为3,2,1.0,0,0,e 1)(=⎩⎨⎧≤>−=−i t t t F t i λ，则设备正常工作时间T = min {T 1, T 2, T 3}，分布函数为F (t ) = P {T = min {T 1, T 2, T 3} ≤ t } = 1 − P {min {T 1, T 2, T 3} > t } = 1 − P {T 1 > t }P {T 2 > t }P {T 3 > t }= 1 − [1 − F 1 (t )][1 − F 2 (t )][1 − F 3 (t )]当t ≤ 0时，F (t ) = 0，当t > 0时，F (t ) = 1 − (e − λ t )3 = 1 − e − 3λ t ，故设备正常工作时间T 服从参数为3λ 的指数分布Exp (3λ)，密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 3)()(3t t t F t p t λλ14．设二维随机变量(X , Y ) 在矩形G = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布，试求边长分别为X 和Y的矩形面积Z 的密度函数．解：二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,20,21),(其他y x y x p 方法一：分布函数法矩形面积Z = XY ，作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，1当0 < z < 2时，∫∫∫∫∫∫+=+=20020102212121)(z z z z Z dx x z dx dy dx dy dx z F x z)ln 2(ln 22ln 222z z z x z z z −+=+=， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = XY 为连续随机变量， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,20),ln 2(ln 21)()(其它z z z F z p Z Z 方法二：增补变量法矩形面积Z = XY ，函数z = xy 对任意固定的y ≠ 0关于x 严格单调增加，增补变量v = y ， 可得⎩⎨⎧==,,y v xy z 有反函数⎪⎩⎪⎨⎧==,,v y v z x 且v vzv y y x x J vz vz1112=−=′′′′=， 则∫+∞∞−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dv vv v z p z p Z 1,)(， 作曲线族xy = z ，得z 的分段点为0, 2， 当z ≤ 0或z ≥ 2时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 2时，)ln 2(ln 212ln 210ln 2121)(1212z z v dy v z p z zZ −=−===∫， 故矩形面积Z = XY 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,20),ln 2(ln 21)(其它z z z p Zz。
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第三章、综合指标一、单项选择题1、总量指标按其反映的内容不同可以分为（）。
A、时期指标和时点指标B、数量指标和质量指标C、总体单位总量和总体标志总量D、实物指标和价值指标2、现有一数列：3，9，27，81，243，729，2187，反映其平均水平时最好用 ( )。
A、算术平均数B、调和平均数C、中位数D、几何平均数3、总量指标按其反映的时间状况不同可以分为( )。
A、实物指标和价值指标B、时期指标和时点指标C、总体单位总量和标志总量D、数量指标和质量指标4、下面属于总量指标的是（）。
A、出勤率B、合格率C、工资总额D、计划完成百分数5、全国的粮食产量与人口数之比是（）。
A、总量指标B、相对指标C、平均指标D、数量指标6、某年级全部学生中，男生占60%，女生占40%，这种指标属于( )。
A、比较相对数B、强度相对数C、结构相对数D、动态相对数7、某企业的总产值计划比去年提高4%，实际执行结果提高5%，则总产值计划完成程度为（）。
A、5%-4%B、5%/4%C、105%/104%×100%D、104%/105%-100%8、下列指标中，属于时点指标的是（）。
A、商品销售额B、商品购进额C、商品库存额D、商品流通费用额9、逐年减少的耕地面积和逐年增加的棉花产量，上述二指标( )。
A、均为时点指标B、均为时期指标C、前者是时点指标，后者是时期指标D、前者是时期指标，后者是时点指标10、相对指标数值的表现形式有（）。
A、有名数B、实物单位和货币单位C、无名数D、无名数和有名数11、计算计划完成情况相对数时，分子和分母( )。
A、只能是绝对数B、只能是相对数C、可以是绝对数，也可以是相对数或平均数D、只能是平均数12、下列相对数中，用有名数形式表现的有( )。
A、结构相对数B、比较相对数C、强度相对数D、动态相对数13、下列相对数中，属于不同时期对比的指标有( )。
A、结构相对数B、比较相对数C、强度相对数D、动态相对数14、某市某年零售商业网密度=11790000人/10019个=108人/个该指标是( )。
A、总量指标B、强度相对数正指标C、强度相对数逆指标D、无法判别15、算术平均数的基本公式是（）。
A、总体部分总量与总体单位总数之比B、总体标志总量与另一总体总量之比C、总体标志总量与总体单位总数之比D、总体标志总量与权数系数总量之比16、在变量数列中，若标志值较小的组，而相对数大时，计算出来的平均数（）。
A、接近标志值较大的一组B、接近标志值较小的一组C、不受权数影响D、仅受标志值影响17、假定标志值所对应的权数都缩小1/10，则算术平均数（）。
A、不变B、无法判断C、缩小1/10D、扩大10倍18、第一批产品废品率为1%，第二批产品废品率为1.5%，第三批产品废品率为2%，第一批产品数量占总数的25%，第二批产品数量占总数的30%，则平均废品率为（）。
A、1.5%B、1.6%C、4.5%D、4%19、去年电大学员男生平均年龄24岁，女生平均年龄23岁。
今年电大学员男、女生平均年龄不变，但男生人数增长2%，女生人数增长10%，则今年电大学员的总平均年龄比去年（）。
A、不变B、提高C、降低D、不能做结论20、各变量值与平均数离差之和（）。
A、等于各变量之和的平均数B、等于零C、等于最小值D、等于最大值21、各变量值与平均数的离差平方之和（）。
A、等于各变量之和的平均数B、等于零C、等于最小值D、等于最大值22、若单项式数列的所有标志值都减少一倍，而权数都增加一倍，则其算术平均数（）。
A、增加一倍B、不变C、减少一倍D、无法判断23、不受极端变量值影响的平均数是（）。
A、算术平均数B、调和平均数C、几何平均数D、众数24、加权算术平均数等于简单算术平均数的条件是（）。
A、各变量值不相同B、各变量值相同C、各组次数不相同D、各组次数相同25、标志变异指标数值的大小与平均数代表性在大小存在着（）。
A、正比关系B、反比关系C、恒等关系D、导数关系26、用标准差比较两个总体的平均数代表性大小时，要求这两个总体的平均数（）。
A、相差不大B、相等C、相差很大D、不等27、两个总体的平均数不等，但标准差相等，则（）。
A、平均数小代表性大B、平均数大代表性大C、平均数小代表性好D、平均数大代表性小28、比较两个不同单位的资料，甲的标准差小于乙的标准差，则（）。
A、两个单位的平均数代表性相同B、甲单位的平均数代表性大于乙单位C、乙单位平均数代表性大于甲单位D、不能确定哪个单位平均数代表性大29、按计划产量应比上期增长20%，实际少完成5%，则同上期计划比较产量实际增长了（）。
A、14%B、40%C、15%D、25%30、如果分配数列把频数换成频率，那么方差（）。
A、不变B、增大C、减少D、无法预期其变化二、多项选择题1、时点指标的特点有（）。
A、可以连续计数B、只能间断计数C、数值可以直接相加D、数值不能直接相加E、数值的大小与时期的长短无直接关系2、总量指标计量单位的主要形式有（）。
A、实物单位B、劳动单位C、价值单位D、总体单位E、衡量单位3、生猪存栏数是属于（）。
A、总量指标B、相对指标C、时期指标D、数量指标E、时点指标4、下列相对数中，分子和分母可以互换的指标有（）。
A、结构相对数B、比较相对数C、强度相对数D、动态相对数E、计划完成相对数5、下列相对数中，可以属于不同总体数值对比的指标有（）。
A、结构相对数B、比较相对数C、比例相对数D、强度相对数E、动态相对数6、下列相对数中，属于同一时期数值对比的指标有（）。
A、结构相对数B、比较相对数C、比例相对数D、强度相对数E、计划完成相对数7、下列相对数中，分子和分母属于同一总体的有（）。
A、结构相对数B、比例相对数C、强度相对数D、动态相对数E、计划完成相对数8、下列指标属于强度相对数的有（）。
A、每人平均国民收入B、出生率C、每人平均年龄D、每个职工平均工资E、每人平均国民生产总值9、下列情况的统计调查属于一次性调查的有（）。
A、商品购进额B、商品库存量C、储蓄额D、土地面积E、森林资源量10、下列情况的统计调查属于经常性调查的有（）。
A、工业总产值B、某县人口数C、工资额D、收购金额E、在校生人数11、平均数的种类有（）。
A、算术平均数B、中位数C、众数D、调和平均数E、几何平均数12、加权算术平均数的大小（）。
A、受各组次数多少的影响B、受各组标志值大小的影响C、受各组标志值和次数的共同影响D、不受各组标志值大小的影响E、与各组次数多少无关13、受极端变量值影响的平均数有（）。
A、算术平均数B、中位数C、众数D、调和平均数E、几何平均数14、平均指标应用时需注意的原则是（）。
A、同质性B、用组平均数补充说明总平均数C、用分配数列补充说明平均数D、把平均数和典型事例结合起来E、把平均数和变异指标结合起来15、标志变异指标可以（）。
A、衡量平均数代表性的大小B、反映社会经济活动过程的均衡性C、表明生产过程中的节奏性D、说明变量的离中趋势E、测定集中趋势指标的代表性16、下列标志变异指标中，用无名数表示的有（）。
A、全距B、平均差C、标准差D、平均差系数E、标准差系数17、比较两个单位的资料发现，甲的标准差大于乙的标准差，甲的平均数小于乙的平均数，由此可推断（）。
A、乙单位的平均数代表性大于甲单位B、甲单位的平均数代表性大于乙单位C、甲单位的工作均衡性好于乙单位D、乙单位的工作均衡性好于甲单位E、甲单位的标准差系数比乙单位大18、有计量单位的标志变异指标有（）。
A、全距B、平均差C、标准差D、平均差系数E、标准差系数19.几何平均数适合（）。
A.等差数列B.等比数列C.标志总量等于各标志值之积D.具有极大极小值的数列E.标志总量等于各标志值之和20.众数是（）。
A.总体中出现次数最多的变量值B.位置平均数C.不受极端值的影响D.处于数列中点位置的那个标志值E.适用于总体次数多，有明显集中趋势的情况三、判断题1、人均国民收入是个平均指标。
（）2、人均钢产量是强度相对数。
（）3、强度相对数分子、分母可以互换。
（）4、时点指标可以采用经常性调查。
（）5、强度相对数分子、分母来自不同的总体。
（）6、同一总体内的结构相对数之和等于1。
（）7、总量指标数值的大小随总体范围变化而增减。
（）8、计划完成相对数的数值表现形式是无名数。
（）9、比较相对数的数值表现形式是有名数。
（）10、平均数反映了总体分布集中趋势。
（）11、加权算术平均数选择权数时，应使各组的标志值和权数的乘积等于各组的标志总量。
12、权数对于算术平均数的影响作用，决定于作为权数的各组单位数占总体单位数的比重大小。
（）13、众数不受极端值的影响。
（）14、标志变异指标说明变量的离中趋势。
（）15、当标志值较小而次数较大时，平均数就接近标志值较大的一方。
（）16、当各组次数相等时，加权算术平均数等于简单算术平均数。
（）四、填空题1、总量指标按其反映的内容不同可分为和，按其反映的时间不同可分为和。
2、总量指标的计量单位一般有、和三种形式。
3、相对指标的数值有两种表现形式：一是，二是。
4、强度相对指标的数值大小，如果与现象的发展程度或密度成正比，则称为，反之称为。
5、结构相对数是同一总体的与之比，各部分所占比重之和必须等于。
6、整个变量数列是以为中心左右波动，反映了总体分布的集中趋势。
7、社会经济统计中的平均指标有，，，，和五种。
8、加权算术平均数不但受的影响，而且也受的影响。
9、平均指标说明了分配数列中变量的趋势，标志变异指标说明了变量的趋势。
10、标志变异指标是衡量的尺度。
11、标志变异指标数值的大小和平均数的大小成关系。
五、简答题1、什么是时期指标和时点指标？各有哪些特点？2、常用的相对指标有几种？3、计算和运用相对指标应注意哪些问题？4、计算相对指标具有什么重要意义？5、平均数与强度相对数有什么异同？6、什么是标志变异指标？意义如何？有什么作用？六、计算题1、某企业劳动生产率计划１９９３年比１９９２年提高５％，实际提高８.5％，计划完成程度是多少？2、某企业计划规定，单位产品成本本年比上年降低5%。
实践结果，比上年降低6%。
试求单位产品成本计划完成程度？3、某企业工人的日产量及人数资料如下表所示：要求：用中位数和众数计算工人平均日产量。
4、某企业2004年实现总利润250万元，2005年计划比2004年利润提高15％，实际提高了18％。
试确定：（1）2005年企业实际利润是多少？（2）2005年企业利润的计划完成程度是多少？有否完成计划？（3）2005年企业利润实际比计划提高或降低的百分点是多少？5、1999年某月甲、乙两市场某商品价格、销售量和销售额资料如下：试分别计算该商品在两个市场上的平均价格。