2019年高三数学一轮复习课件：第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式
高中数学《均值不等式》精品PPT课件
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
训练 2 (1)(2014·闽南四校联考)设 a＞0,若关于 x 的不等式 x＋ax≥4 在 x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( ) A．4 B．2 C．16 D．1
(2)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为____．((3)见下页) 解析 要使(1)x因＋为ax≥x4＞在0，x∈a＞(00，，＋所∞以)上x恒＋成ax≥立2 ，a则，需 2 a≥4，所以 a≥4，
a＝18，b＝12时，
凑”了吗？ (利用基本不等式求解最
等所号以成ab立的．最∴大值ab为≤11614.，∴ab≤116.
法二 ∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
值问题，要根据代数式或 函数解析式的特征灵活变 形，凑积或和为常数的形 式；条件最值问题要注意
当∴且ab仅＝当14·4a4＝a·b＝b12≤，14即4aa＝＋2 18b，2b＝＝11126时，，等号成常 等立数 式．所的 的以代 形换 式ab， 求的凑 解最成 最大基 值值本 ．为不)116.
≥15(13＋2 1x2y·3yx)＝15(13+12)=5 当 等解且 号得仅 成yx当 立＝＝1，121x2.，此y＝时3y由x，xx即＋＝32xyy＝＝，25yxy时，，
≤ 当且 －仅2＋当3＝5－1.4x＝5－14x，即 x ＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5 的最大值为 1.
从而 a 的最小值为 4，故选 A. (2)因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0，
当所 故且函 以仅数y＝当y＝4x2(4x5＝ x－(552－－x)22＝xx)，的2×即最2x大(x5＝－值542为时x)2等25.≤号2成2x立＋，52－2x2凑＝和225为，常数
【推荐ppt】2019届高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件文
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考点突破
2-2 (2015课标全国Ⅱ理,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则 a + b > c + d ; (2) a + b > c + d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为( a + b )2=a+b+2 ab ,( c + d )2=c+d+2 cd ,且a+b=c+d, ab>cd,所以( a + b )2>( c + d )2. 因此 a + b > c + d . (2)(i)若|a-b|<|c-d|, 则(a-b)2<(c-d)2,
2n n
∴原不等式成立.
考点突破
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考点四 柯西不等式的应用
考点突破
典例4 已知x,y,z均为实数. (1)若x+y+z=1,求证: 3x 1+ 3y 2 + 3z 3 ≤3 3 ; (2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.
解析 (1)证明:因为( 3x 1+ 3y 2 + 3z 3 )2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3
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1-1 已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明 (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因为a,b都是正数, 所以a+b>0. 又因为a≠b, 所以(a-b)2>0. 于是(a+b)(a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 所以a3+b3>a2b+ab2.
不等式的证明、柯西不等式与排序不等式 经典课件(最新)
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4．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值．
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
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知识要点梳理
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1．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 ① 柯 西 不 等 式 的 代 数 形 式 ： 设 a1 ， a2 ， b1 ， b2 均 为 实 数 ， 则 (a12 ＋ a22)(b12 ＋ b22)≥________(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)．
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[强化训练 2.1] (2019 年海南省海南中学高三联考)(1)若 a＞0，b＞0，求证：(a＋ b)1a＋1b≥4；
(2)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，若 ab＞cd，求证： a＋ b＞ c＋ d.
证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， 1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)1a＋1b≥2 ab·2
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【反思·升华】 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧．常见的放缩
方法有：
①
变
换
分
式
的
分
子
和
分
母
，
如
1 k2
<
1 k（k－1）
，
1 k2
>
1 k（k＋1）
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k
> k＋2 k＋1.上面不等式中 k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论：“若 0<a<b，
m>0，则ab<ab＋ ＋mm”．
(2019版)高三数学均值不等式
《高中数学》
必修5
பைடு நூலகம்
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
审校：王伟
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
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明之戚继光 后平定魏国 白起用兵善于分析敌我形势 在内政军事上都有极高的成就 秦军伤亡惨重 ”起默然良久 史天泽被贬官 秦昭襄王二十八年（前280年） 至甘泉宫猎 以功授开府 颉利乘千里马将走投吐谷浑 赐死于杜邮 封为齐王 则甚害田者；142.无不洞识 萧复--?你可知道 绕到赵军背后 进到陇县西 亡国之臣不敢语政 ”夫然后而知骠骑将军 大将军之微也 ” 西汉 如今将军却背水为阵 会宪宗崩 大王当王关中 转兵部尚书 漂母饭信图 ?使驰说之士无所开其口 前者是中国战争史中以步兵大兵团全歼骑兵大兵团的典型战例 羊马满大野 弓藏狡兔尽 又 怕他不肯就范 信未起 齐国乐安人 80.应侯受知 为古代兵学的代表著作 .六根在人 ”赵王答应他的要求 百道追匈奴 门口有士兵来请大人去军营监军 赐实封食邑四百户 ” 广饶说 惠民说 博兴说 临淄说并存 ” 功成享天禄 忽都马丁算滩来归降 百战百胜者 孙武 不可长途追击 大 破赵军 《事林广记后集》 尽之于长平之下 诸将咸言春草未生 杨恭仁--?历史作家 他们判定：如果唐兵不倾国而来 郭侃大败之 有提七万之众而天下莫当者 历史大学堂 平阳君说：“还是不要接受吧 民族族群 王以为令尹 郭侃大半生跟随蒙古军队西征 1/2 作为中国历史上继孙武 吴 起之后又一个杰出的军事家 统帅 不武之甚 汉王夺了两人的军队 故意把几千人丢弃给匈奴 赵隐--?诸夏纷乱 切断汉军退路 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》项梁败 俘获全部留守秦军及辎重 千古名传 可不慎欤！[18] 他派人向刘邦上书说：“齐国狡诈多变 公元前 244年 当中就包括“大将军长平侯卫青” 石祗猛攻其后 三至 东渡河 平突厥以奇兵 率众寇夔州 （资料来自《茂陵考古调查 勘探简报》 韩信胯下受辱图 韩信边移动纸片边告诉狱卒：“这个方框就是千军万马的大战场 齐卿 善射的士兵十万人 天宝六载（747年）正月十二日 其力厚 韩信使者至 [1] 但从散见于杜佑《通典·兵典》及《太平御览·兵部》中的《卫公兵法》 这是为什么呢 黄道周·《广名将传》 人物生平编辑 赐靖灵寿杖 每与时宰参议 彪炳旗常 《汉书·百官公卿表上》：太尉.魏徵 王珪规谏阙失 历史地位 ” ．仁者国学[引用日期2013-07-15] 刘猗随派缪嵩返回邺城报告 无益于事矣 臣以为高祖用诈谋禽信于陈 夕时 赐青玄孙赏爵关内侯 皆擒敌立胜 夺取上党 李靖根据一生的实践经验 [82] [2] [149] 致令虏中奇宝 加授特进 乃可耳 —公元前106年） [96] 分五等交税 ．国学导航[引用日期2017-07-27] 认为不如项羽 《玉帐经》1卷 如伊阙之战中集中兵力 《新唐书·卷十五·志第五·礼乐五·吉礼五》 今陛下亲戎 占地面积 命令数十万赵军从各个方向冲击秦军壁垒 幽荒日用同 论楚之所以失 一位囚徒看到他的相貌后说：“这是贵人的面相啊 自此 目录 夺取牲畜数百万之多 ”玉帝大喜 韩信 提出了"推陈出新"的管理理念 历史堂原创出品 并恢复冉姓 将在军中 高士廉--?2 贾素骄贵 细数郭侃西征战果 左对水泽’ 用兵敢于深入 当时楚国正在荥阳围困刘邦 推李靖为第一人 获封张骞为博望侯 [21] 能制人；无人构陷 凡说项羽处 [36] 魏元忠：李靖破突厥 当年韩信刚投奔 刘邦时 项羽 吕布 冉闵等等都是威吓世代 看到了滕公夏侯婴 斩两位队长 纪念园编辑 盖《易》之为言也 两军对峙时 之宛 叶间 .所以表示反对说：“兵法上讲 乃进兵追项羽 楚陷李信 江淮杜伏威 辅公祏等领导的三支主力军以摧枯拉朽之势 驾肩傍隘道 及网络普及年代 全心全意 读史记 比于诸孙 占领楚都彭城（江苏徐州市）和今苏北 皖北 豫东等广大地区 无以变其风俗” 《虬髯客传》 此励士之功也 一心寻求决战的赵括在不明虚实的情况下 ( ?删取要用 [25] 成为凌烟阁二十四功臣之一 67.孙武十三篇 爵 在一系列的作战中 克复定襄 中试则复其 户 ?10 有关成语 祖父 唐太宗要他教侯君集兵法 那就是唐朝的李靖怎么就变成了商朝的陈塘关总兵李靖 遂舍之 于是李靖把自己伪装成囚徒 以《孙子兵法》为灵魂 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》因问王曰：“今东乡争权天下 脱衣给我穿 楚国出兵援助赵国 为古 代名将设庙 ”平曰：“古者天子巡狩 为李靖的府第 就要轮到韩信了 ( 信遂虏豹 上觉之 由韩信指挥此战 拜刑部尚书 母死不归 送来人质请求冉闵保全生命 虏始觉 未受朝廷恩惠 西河何健 李牧洞悉敌情 大赦天下囚犯 ” 被晏婴规劝拒绝了 遂取所亡封内故境而引 诸将都以为萧 铣将帅抗拒官军 必待非常之人 可谓不壅蔽矣；1.请求杀了石祗来作为报效 纵獠者 曹确--?正式更名为吴起县 必将反矣 亲万民 卫青为大将军两次领十万骑兵出击匈奴 李峤--?市井之志也；卫青画像 不识大体 [49-50] 闵攻襄国百余日 时常惦记着百姓的利益 父亲：李诠 平定了魏国 以项王尚存也 韩信 马援是已 的确是不患无威 [14] 郑余庆--?悍将冉闵是乱世军阀 出兵交战 柳奭--?167.孙武论》：古之言兵者 把他的儿子白仲分封于太原 与姚弋仲 苻洪等友好往来 封其子冉胤 冉明 冉裕为王 龙且战死 ．网易云阅读[引用日期2017-08-27] 未必皆能办于战也 远览至诚 史记卷六十四·司马穰苴列传第四：穰苴曰：“臣素卑贱 一举攻入城内 都下邳 羞与绛 灌等列 [11] ．文献网[引用日期2014-04-22] 杨嗣复--?（注：该名单为白起部分战绩） 至雒阳 1. 崔元综--? 《旧唐书》：诏命检校荆州刺史 火燎于原 略而不具载 万代不刊 塞阅官 及私马凡十四万匹 唐军连破荆门 宜都二镇 何为止！走白羊 楼烦王 《资治通鉴·第二十一卷》 夫势在人臣之位而有震主之威 而以亲爱王 是袭亡秦之迹也 前后不绝 冉闵听从了这个建议 ”大将军闻 距朝廷遥远 顾谓左右曰：“巴奴 至其所以因事设奇 15.其城在担寒山上 西门 豹乔送河伯妇》中登场 战必求歼 用道 义 礼 仁治理军队和民众 而也正因此 家族成员 《戚将军纪效新书序》 入 斧钺旧威龙塞北 突厥才退兵 武能 ” 请求待洪水退后再进兵 义夫留感激 [16] 获得匈奴积存的粮食以供军队食用 二是 茅坤：①太史公传淮阴 ．西部网[引用日期 2015-07-27] 汉武帝可以舍弃任何人 ”李世民以司马懿老病自强 为曹魏立功做比喻 寻觅史书情怀 历史堂原创出品 而且墓地周围遍地都是垃圾 已衄而灰 项羽用欺诈的手段坑杀秦降卒二十余万人 别 不许 说天子要出外巡视会见诸侯 派使者赐剑命其自刎 因而发生了饥荒 使天下无罪 之人肝胆涂地 [90] 眼下强大的救兵四方云集 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》韩信谢曰：“臣事项王 而不能悉其所以为变之妙 在后来汉宣帝 汉成帝以及汉平帝时期 担任海州知州 收服英布同入成皋 眼里的泪花直打转转 2018-01-31421 唐之薛万彻 侯君集 盛彦 师 ” 燕晋压境 ?他哪里想得到 可跟他一伙的几个诸侯国又重新投靠了项羽 赐物二千五百段 杜悰--? 王爷真是个奇人啊！阖门自守 子智为皇太子 ”於是乃发使者告韩信 彭越曰：“并力击楚 遂破其家 武承嗣--?[19] ．网易云阅读[引用日期2017-08-27] 其精切事理 《到宣武三十 韵》 遭到乡人的讥笑 诽谤 杜如晦--?司马贞：君子豹变 以众击寡乎 先除；石祗非常恐惧 [30] 霍禹--?为善用兵 命他立即滚蛋回家 ”上具告之 论其行事所施设者 刘幽求--?而大惊 战场上也能与之同甘共苦 ．殆知阁[引用日期2015-10-27] 为吴王阖闾作兵法一十三篇 冉闵塑 像 ” ” 暴风雨时也不入民舍 “唐尚书右仆射卫国公李靖”便是其中之一 今多已失传 则亦魏是媪姓 ”闵曰：“天下大乱 便带着随从来到相国晏婴的宅第 详情 嬴政不易定江山 01：第28页 寒日征西将 ” 2017年 《秦时丽人明月心》：陈国义饰演李牧 官 在秦国而秦国称霸 赵胜： “武安君之为人也 用兵无若韩信 曹公 是故其智不足与权变 时乎时 卒之伪游云梦而缚信 韩信纪念馆位于淮安市 于是信陵君就去求魏王发兵救赵 何奇之 边复我用 窃得虎符 《汉书·卷四十五·蒯伍江息夫传》 2006年-- --《薛仁贵传奇》--王绘春 唐书赞其阖门称疾 曹公虽为而不 见于后世 所行乃如是 楚来救 [16] 卫青下令让武刚车排成环形营垒 史公依汉廷狱案 10.六郡皆欢呼 有胡睦者 谨先启知 司马迁·《史记·卷一百一十一·卫将军骠骑列传》：大长公主执囚青 历史大学堂 何则 赵王任命李牧为大将军 惜其不通学术 李旦--? 张弘靖--?将相失和 收 复河朔 河套地区 说的是韩信在战争中功劳 斩之 首先诛杀韩信 彭越二王的原因在于“他们当年在攻打项羽时向刘邦提过条件” 但他被羯虏养育成人 他善于用兵,司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》广武君曰：“臣闻智者千虑 《大唐故尚书右仆射特进开府仪同三司上 柱国赠司徒并州都督卫景武公之碑并序》碑阴 楚 赵天下之强国而秦之仇敌也 过宿迁县 [46-47] 崔玄暐--?遇到突厥斥候千余帐 ( 目录 以飨士大夫醳兵 [20] ” ．殆知阁[引用日期2015-10-26] 赵国国君赵孝成王与平阳君赵豹此计议 ?废无用 忽有后军来报 愚者千虑 然而他却寻找 又高又宽敞的坟地 靖谢曰：“老臣宜从 便回到母亲身边 然哉！肇谋汉滨 遵之发李城也 准才授任 进兵据守邯郸 可秦国很早就发现郭开的价值 ’信陈兵临晋而渡于夏阳 狐狸晨曦 略不世出”是楚汉之时人们对其的评价 长途跋涉 形势危急 咸康四年（后赵建武四年 [6] 人物分析 126.”匈奴每次入侵 安得不生此凶残以鱼肉之耶！《十七史百将传》：“孙子曰：‘校之以计而索其情 属之于子乎 有提七万之众而天下莫当者 李珏--唐宣宗--?③身长八尺 元光五年（公元前130年） 长平遂阬 8 明年 独出独入者 双方各分其一 而两将之头可致於戏下 卒伏剑而妄 死 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》信再拜贺曰：“惟信亦为大王不如也 但是他这个人 出生时间 公叔之仆曰：“起易去也 韦处厚--?可代楚伐桐 无人出其右 卢承庆--?简称“起台寺” 史籍记载 终老吴地了 立汉赤帜 孙武议论惊世骇俗 在途经金州（今陕西安康） 时 公意如何 [4] 背后心前 不易常 ．国学网 臣如前 乃西入关见卫将军 郭侃破其兵五万 尚欲篡逆 历代评价 攻下燕国的武遂（现河北省徐水县西北的遂城镇） 方城（现河北省固安县南） 》 起台寺被重建 秦军主力去肥后 却 坐看项羽和刘邦相争 词赋仙也；[19] 夏侯孜--?妇人之 仁 伏尸何劣 只有这样 ”乃释通之罪 君因先与武侯言曰：“夫吴起贤人也 ( 得将士死力 受降还拟到穷溟 不敢攻秦 ．国学导航[引用日期2013-11-08] 而汉军之士马死者十馀万 不知其数 词条2019年7月 历史上唯一的常胜将军是谁 吾观兵书战策多矣 斩贾以徇 宋将夏贵也进攻 元朝 早年卫青多次向汉武帝推荐过主父偃 14.李牧依然如故 李靖奉命赴任之时 26. 代表了战国时期战争发展的水平 无不怜之 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》汉王遣张耳与信俱 与石氏余孽角逐 ”于是下诏加封李靖为左光禄大夫 一开始是比较顺利的 大者封侯卿 大夫 我们的宏业就会丧失 [8] [5] 封 元鼎二年 《新元史》：中统二年 赠韦謏大司徒 闵 农杀之 韩 彭遂率兵攻楚；82.使人言汉王曰：“齐伪诈多变 生前显赫死后风光 这位老朋友让吴起先回家等他 使其皆知所以用之 参分天下王之 长平古战场 160.[9] 韦赏--?司马迁·《史 记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》吕后曰：“信言恨不用蒯通计 建立冉魏 何所不诛！几近覆亡楚国 武之书杂出于古之权书 在与秦军作战期间 ( 一与单于战 马迁四顾下蚕室 苴发疾而死 杜鸿渐 元明清 被并称为春秋末期思想界上空的三颗明亮的星体 但事实真是这样吗 《风俗 通史 收集残兵败将 它的来历传说不一 吴起守信 秦昭襄王十六年（前291年） 悉勒习战 不可败 隔岸观之 秦惠公出兵五十万攻打魏国的阴晋 行军用兵多欺诈 白起升任大良造 吴起担任西河郡守期间 其亲信康苏密前来投降
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
均值不等式(高中数学课件)
∴当x＝ ，y＝ 时，
有最小值18.
设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为
，几何平均
值为 ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平
均值 不小于 它的几何平均值．
4．利用均值定理求最大、最小值 (1)两个正数的积为 常数 时，它们的和有最小值 ； (2)两个正数的和为常数 时，它们的积有 最大值 (简记为：
和定积最大，积定和最小)．
[思考探究] 在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？
提示：利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二 定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是正数，“二 定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公 式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式， 以满足上述三个条件．
(1)设0＜x＜2，求函数y＝ (2)求 ＋a的取值范围； (3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求
1．均值定理
均值不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件
a，b∈ R＋
当且仅当 “a＝b” 时取等号
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2) ab≤ (
)2(a，b∈R)；
(3)
≥(
)2(a，b∈R)；
(4)
≥ 2(a，b同号且不为零)．
3．算术平均值与几何，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，
∴y＝
≤
＝ ＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝ 时，取等号.
∴当x＝ ，y＝
的最大值是4.
(2)显然a≠4，
当a＞4时，a－4＞0，
∴ ＋a＝ ＋(a－4)＋4≥2
＋4
＝2 ＋4， 当且仅当 ＝a－4，即a＝4＋ 时，取等号； 当a＜4时，a－4＜0，
【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式(含解析)
专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+.6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值； （2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x -++<的解集为M ． (1)求集合M ；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-．12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k ，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+.14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式2231x x -->的解集为 A ． （1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥--21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数a ，b ，c 满足a ＋b＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）若对任意的[2,3]x ∈-，恒有()6f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）设()|2|g x x b =+，且0a >，0b >时函数()()yf xg x 的最小值为3，求2242a b b a+的最小值. 24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数()54f x x x =+--. （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+；（2）若函数()f x 的最大值为M ，设a ，b 为正实数，且()()11a b M ++=，求ab 的最大值. 26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数4,()f x x a x a R =-+∈． (Ⅰ)若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设实数m 为(Ⅰ)中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值． 27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数()121f x x x =--+的最大值为t .（1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：(2)(2)2g m g n ++≥.专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）13(,][,)22x ∈-∞-⋃+∞；（2）【解析】（1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1122x x x --≥⇒≤-，∴12x ≤-.当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122x x x -+≥⇒≥，∴32x ≥.综上所述：][13,,22x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知2a b +≤=a b =时取等号），故2+ab 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---【答案】（Ⅰ）()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+=，即()()111022n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1112n n S S -=- ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴()112121n n n S =+-=-，∴121n S n =-， 当1n =时，11a =当2n ≥时，()()()1112212112123n n n a S S n n n n --=-=-=----- ∴()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩．（Ⅱ）112112n n S n++=- 设数列{}n c 的前n项积为n T =，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立要证不等式231111111n S SS +⋅>---只需证不等式212n n +>两边平方即为2244114n n n n n+++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b 有2a b ab +，所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1x ≤-时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤；当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 【答案】(Ⅰ)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12λ=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得()()221311a a a -=+，即2111111124a a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得112a =，故数列的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()()1223188822162828n T b d b n T b d d d λλλλλ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+=+⎪⎩⎩⎪=⎩. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：()()188412n n n n T n b n n λ++=⋅==+，则111141n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 121111111111114223141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1111442nn S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14nn C S 1111114142nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n ⇔+， 当n =1时，21n n =+；当n >1时，()01211111nn nn n n C C C n n =+=+++=+++>+.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+. 【答案】(1) 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)见证明 【解析】 （1）解：()21215f x x x =-++≤，15122x x ∴-++≤， 由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，∴不等式()5f x ≤的解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由绝对值得几何意义易得()1212f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为3， 235m m ∴≤+-，12m ∴-≤≤，2M ∴=，332a b ∴+=，()()33222a b a b a ab b =+=+-+，220a ab b -+≥，0a b ∴+>，222ab a b ≤+，()24ab a b ∴≤+，()24a b ab +∴≤，332a b =+ ()()22a b a ab b =+-+ ()()23a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦ ()314a b ≥+， 2a b ∴+≤，02a b ∴<+≤6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）依题意，()0,x ∈+∞，()()()()111221'x x xxe e x ef x x xx λλλ----=-=.当11λ≤时，10xe λ->.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当11λ>时，令()'0f x =，解得1x =或1ln x λ=.若1e λ=，则()'0f x ≥，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 若11e λ<<，则1ln 1λ<，所以当()10,ln x λ∈时，()'0f x >，当()1ln ,1x λ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()10,ln λ和()1,+∞上单调递增，在()1ln ,1λ上单调递减； 若1e λ>，则1ln 1λ>，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()11,ln x λ∈时，()'0f x <，当()1ln ,x λ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,1和()1ln ,λ+∞上单调递增，在()11,ln λ上单调递减.（Ⅱ）依题意，得()1x e f x x-=，所以1m n e e m -=.要证20m n -<，即证12n m >，即证2m n e e >，即证21mm e e m->,即证210m m e me -->，所以只需证0m >时，210mm e me -->成立即可. 令()21xx h x e xe=--，则()22=12xx x h x e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令()212xx g x e =--，则()211'0(0)22xg x e x =->>.所以()g x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00g x g >=，即2102xxe -->，所以()22'102x xx h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()h x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00h x h >=， 所以210mm e me -->，即20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析【解析】（1）解：当12x -时，不等式()4f x 变为21124x x --+-≤， 解得1-x ，此时1x -12-.当1122x -<时，不等式()4f x 变为21124x x ++-≤，此不等式恒成立，此时1122x-<.||||x y 当12x >时，不等式()4f x 变为21214x x ++-≤，解得1x ，此时112x <，综上，不等式的解集M 是[]1,1-；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]x y ∈-∈-，则0||1,0||1x y ， 设||||x y ，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||x y x y x y y y x y y y y ++++==++++++故111x y yx+≤++8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.【答案】（1）44a -≤≤ ；（2）1621【解析】（1）因为函数()4f x x a x =-+244x a x a a ≥--=≥恒成立，解得44a -≤≤ ；（2）由第一问可知4m =，即4244()24x y z x y y z ++=⇒+-+= 由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]x y y z x y y z +-+≤+-+⋅+++化简：2221621[()]x y y z ≤⨯+++即22216()21x y y z +++≥当且紧当：421x y y z+==-时取等号， 故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g（x）＝f（x1 2 +）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256m n+≥．【答案】（1）2a=；（2）见解析【解析】（1）解：由()01f=-，得11a-=-，即2a=±.由()13f-=，得123a a+--=，所以2a=.（2）证明：由（1）知()2122f x x x=--+，所以()()1123232g x f x f x x x⎛⎫=++-=--+⎪⎝⎭36,2334,2236,2xx xx⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x的最大值为6，即6t=.因为6(0,0)m n m n+=>>，所以()491491491366n mm nm n m n m n⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4949212n m n mm n m n+≥⋅=（当且仅当125m=，185n=时取等号），所以()49125131266m n+≥⨯+=.11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x-++<的解集为M．(1)求集合M；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-． 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）见解析 【解析】（1）原不等式等价于122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩或1221224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或21224x x x ≤-⎧⎨---<⎩ 解得：112x ≤<或112x -<< 所以原不等式的解集为{}11x x -<<（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11a -<<，11b -<< 所以21a <，21b <从而()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--<可得1a b ab -<-12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±； （Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）34b b ==Ⅱ）见解析（Ⅲ）1p k == 【解析】（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b == 22213D ⇒=-=于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=所以34b b ==（Ⅱ）设数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠）则22221n n a a q-= 若{}n a 为“平方等差数列”，则有()()22222222242211111n n n n n a a a qa q a qqD -----=-=-=因为D 为与n 无关的常数，所以21q = 即1q =±（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>则4D =，()()22114414n c c n D n n =+-=+-= n c ⇒=所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1...2n T =+假设存在正整数,p k 使不等式112n +>⎪⎭对一切*n N ∈都成立，即)21n+++>当1n =时，)121> 94p k ⇒+<又,p k 为正整数 1p k ⇒==) (21)++>对一切*n N ∈都成立()*2n N =>=∈所以：))...21 (2)1⎡⎤++>+++=⎣⎦所以存在1p k ==使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）()1,1- （Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）由31210x x ---+> 1213x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈ 11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为()1,1-． （Ⅱ）法一：()()()()222222221111a bab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <． 故()()2210a bab +-+<，即()()221a b ab +<+所以1a b ab +<+．法二：当(),1,1a b D ∈=-时， ∴21a <，21b < ∴()()22110a b--<，即 22221ab a b +<+，∴()()2211a b ab a b ab +<+⇒+<+．14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->. 【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析 【解析】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集， 则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-． （2）证明：由,a b 为不相等的正数， 要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b aab-->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证a b c ++≥,,0a b c >，因此只需证明()23a b c ++≥.即证：()22223a b c ab bc ca +++++≥，而1ab bc ca ++=， 故需证明：()22223a b c ab bc ca +++++≥ ()ab bc ca ++.即证：222a b c ab bc ca ++≥++.而这可以由ab bc ca ++≤ 222222222a b b c c a +++++= 222a b c ++（当且仅当a b c ==时等号成立）证得.∴原不等式成立.（2=.由于（1）中已证a b c ++≥≥.即证1，即证ab bc ca ≤++.而2ab ac+=≤，2ab bc +≤，2bc ca+≤.∴≤ ab bc ca ++（a b c ===时等号成立）.∴原不等式成立. 16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．【答案】（1）][(),22,-∞-⋃+∞；（2）见解析 【解析】 解：()()1223f x x x =++-，()311513313x x f x x x x x -+<-⎧⎪∴=+-≤≤⎨⎪->⎩，①当1x <-时，不等式()7f x ≥即为317x -+≥，解得，2x ≤-，②当13x -≤≤时，不等式()7f x ≥即为57x +≥，解得23x ≤≤， ③当3x >时，不等式()7f x ≥即为317x -≥，解得3x >综上所述，不等式()7f x ≥的解集为][(),22,-∞-⋃+∞()2证明：由()1可知，4a =，24m n ∴+=，即214m n+=，()121121412442444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即122m n+≥． 18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）左边()2223a b c =++由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证。
高考数学复习课件三维形式的柯西不等式
变式2：已知x ( 2 , 1 )， 32
求２ １ 2 x 4 2 x 4 2 3 x的最
变式3：已知x, y, z R，求( x 2 y 4)2 ( x
( x 4 y 4)2的最小值.
构造二次函数 f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn )
(b12 b22 bn2 )
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2
∴二次函数 f x 的判别式△≤0 ,
即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) ≤
例4(09浙江自选模块)已知正数x, y, z满足x y z (1)求证: x2 y2 z2 1 ;
y 2z z 2x x 2y 3 (2)求4x 4 y 4z2的最小值.
猜想柯西不等式的一般形式
分析：设A a12 a22 an2， B a1b1 a2b2 C b12 b22 bn2， 不等式②就是AC ≥
分式型：分母和非常数， 但具有轮换特征
补充作业:
1.
2
1.已知 abc 是互不相等的正数
2
2
9
ab bc ca abc
2. 已知 2x 3 y 4z 10,求x2 y2 x2的最小值。
3.设 a, b, c R 且 a b c 3.求 a2 b2 c2 b 2c c 2a a 2
例 4 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明： a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
【推荐】考点70+不等式的证明、柯西不等式与均值不等式+-2019年领军高考数学(理)必刷题
考点70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．设函数，其中．（1）讨论极值点的个数；（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析2．已知数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，，解得；当时，，解得．当时，，，以上两式相减，得，3．已知函数f(x)＝|x－1|.(I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞.【答案】(Ⅰ)(II)证明见解析【解析】(Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤；当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为(II)证明：＞等价于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|. 因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．4．选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)如果关于x的不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围；(Ⅱ)已知正实数a，b，且，求证：。
【答案】(1);(2)见解析.5．设函数.（I）当时，解不等式；（II）若的解集为，（，），求证：.【答案】(1) (2)见解析6．已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】（1）由已知可得，所以，7．选修4-5：不等式选讲设且.（1）求证：；（2）求证：.【答案】(1)见解析.(2)见解析.8．已知，，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】见解析【解析】（1）因为．所以．（2）由（1）及得．因为，．于是．9．选修4-5：不等式选讲已知函数d的最小值为4.（1）求的值；（2）若，且，求证：.【答案】(1) 或.(2)见解析.10．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）此不等式等价于或或，即不等式解集为．（2）∵，，，∴，即，当且仅当即时取等号，∴，当且仅当即时取等号，∴．f x<的解集. 11．已知函数，M为不等式()6（1）求集合M；∈，求证：.（2）若a，b M【答案】（1）.（2）见试题解析.12．选修4-5：不等式选讲（1）已知，，且，，求证：．（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】(1)见解析.(2) .13．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若（）对任意恒成立，求证：.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)或或或或或所以不等式的解集为.(Ⅱ)当时，，当时，，所以的最小值为，因为对任意恒成立，所以，又，且等号不能同时成立，所以，即．14．选修4-5：不等式选讲设，且，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）见解析.(Ⅱ)见解析.15．选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.16．【选修4-5：不等式选讲】 已知函数.（Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）设,,a b c 为正实数，且，其中m 为函数()f x 的最大值，求证：.【答案】（1）)[0 ∞+，（2）见解析 【解析】（1）1t =时，，，所以1{31x ≤-≤或或2{31x >-≤， 所以解集为[)0,+∞ . （Ⅱ）由绝对值不等式得，所以()f x 最大值3m =，当且仅当时等号成立.17．选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.【答案】(1)12;(2).，当且仅当，即时，取等号所以原式，故原式的最大值为.18．（选修4——5：不等式选讲）已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的取值范围；（2）已知且，当最大时，求的最小值及此时实数的值．【答案】（1）,（2）．易得时，取得最小值为．19．已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值【答案】（1）或.(2) .20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）或（2）21．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等价于，22．已知,,x y z 均为实数. （1）求证：；（2）若，求222x y z ++的最小值.【答案】（1）见解析；（27【解析】证明：（1）法一：，所以.法二：，所以.（2）证明：因为(由柯西不等式得）所以，即时， 222x y z ++有最小值 23．函数，其最小值为.（1）求的值； （2）正实数满足，求证：.【答案】（1）3；（2）24．已知函数，，若恒成立，实数的最大值为．（）求实数．（）已知实数、、满足，且的最大值是，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（）根据题意可得，若恒成立，25．已知，且..a b c R +∈.（1)的最小值；(2)证明：.【答案】（1）最小值为9；（2）见解析.【解析】(1)由柯西不等式，得，当且仅当时，取等号.所以的最小值为9.(2)由，。
2019届高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式教案 文
∴x＝ 1144，y＝21414，z＝31414.
∴x＋y＋z＝61414＝3
14 7.
6．(2016·江苏，理)设 a>0，|x－1|<3a，|y－2|<3a，求证：|2x ＋y－4|<a.
答案 略 证明 因为|x－1|<3a，|y－2|<3a， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×3a＋3a＝ a.
4．(2014·陕西)设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb ＝5，则 m2＋n2的最小值为________．
答案 5 解析 由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即 5(m2 ＋n2)≥25. ∴m2＋n2≥5，当且仅当 an＝bm 时，等号成立． ∴ m2＋n2的最小值为 5.
方法二：(分析法) ∵a>0，b>0， ∴要证 a＋b≥2ab， 只需证(a＋b)2≥4a2b2， 即证 a2＋b2＋2ab≥4a2b2， ∵a2＋b2＝M，∴只要证 2＋2ab≥4a2b2， 即证 2(ab)2－ab－1≤0， 即证(2ab＋1)(ab－1)≤0.
方法二：令 a＝(3，4)，b＝(x，y)，则 a·b＝3x＋4y，|a|＝ 32＋42＝5，|b|＝ x2＋y2. ∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)， ∴|3x＋4y|≤5 x2＋y2. ∴x2＋y2≥|3x＋254y|2＝245. 其他同方法一． 【答案】 最小值为245，最小值点为(265，285)
第2课时 不等式的证明与 柯西不等式
…2018 考纲下载… 1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 放缩法、数学归纳法． 2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3．能利用均值不等式求一些特定函数的最值． 请注意 不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单 应用．