2018版高中数学北师大版必修一学案：第一章 3.2 全集与补集 Word版含答案

3.2 全集与补集
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一 全集
思考 老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？
梳理 (1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的________集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素． (2)记法：全集通常记作________． 知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 梳理
类型一求补集
例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()
A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}
C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．
反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.
类型二补集性质的应用
命题角度1补集性质在集合运算中的应用
例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝v，(∁A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
U
跟踪训练2如图所示的V enn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
命题角度2补集性质在解题中的应用
例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x2＋2x－a＝0，②
x2＋2ax＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
类型三集合的综合运算
例4(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁
B)等于()
U
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．∅
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁
B)＝{4,9}，则B等于()
U
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()
A．Z∪∁U N B．N∩∁U N
C．∁U(∁U∅) D．∁U Q
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.
答案精析
问题导学
知识点一
思考老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．
梳理(1)子(2)U
知识点二
思考剩下不大于1的数，用集合表示为
{x∈R|x≤1}．
梳理所有不属于集合A∁U A
{x|x∈U，且x∉A}
题型探究
例1(1)C[∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.]
(2)解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．
(3)解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
跟踪训练1(1){3,4,5}
(2){x|－1<x<2}
(3){(x，y)|xy≤0}
例2解∵A＝{0,2,4,6}，
∁U A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁U B＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．
跟踪训练2{x|0≤x≤1或x＞2}
解析A∩B＝{x|1<x≤2}，
A∪B＝{x|x≥0}，
由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)
＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
例3解假设三个方程均无实根，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ1＝a 2
－4<0，Δ2＝4＋4a <0，
Δ3＝4a 2－8<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<a <2，a <－1，－2<a < 2.
解得－2<a <－1，
∴当a ≤－2或a ≥－1时， 三个方程至少有一个方程有实根， 即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．
跟踪训练3 解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝9－8a >0， 解得a <9
8
且a ≠0，
则集合A 中含有2个元素时， 实数a 的取值范围是{a |a <9
8
且a ≠0}．
在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是{a |a ≥9
8或a ＝0}，
所以满足题意的实数a 的取值范围是 {a |a ≥9
8
或a ＝0}．
例4 (1)A [∵∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}，
又∵B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}， A 中必有3，可以有1,2，一定没有4. ∴A ∩(∁U B )＝{3}．] (2){a |a ≥2}
解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.
跟踪训练4 (1)B [根据题意可以求得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn 图(如图所示)，可得B ＝{2,5,6,8}，故选B.]
(2)解如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，
B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，
∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．
当堂训练
1．C 2.D 3.C 4.A 5.B。