流体力学习题

405第十一章 流体力学习题11.2.1` 若被测容器A 内水的压强比大气压大很多时,可用图中的水银压强计.(1)此压强计的优点是什么?(2)如何读出压强?设123450,45,60,30h cm h cm h cm h cm ====.求容器内的压强是多少大气压.[解 答](1)这种压强计高度不太大,又能用来测较高压强.(2)图中在管内水银表面处的压强为0P ,自右向左各管内水平界面处的压强分别以123,,P P P 表示,容器A 内的压强以A P 表示,水银和水的密度分别以,ρρ'表示,则:101212323P P g h P P g h P P g h ρρρ=+'=-=+ 将以上三式代入34A P P g h ρ'=+可得:01342()() 2.43A P P g h h g h h atm ρρ'=+++-=11.2.2 A,B 两容器内的压强都很大,现欲测它们之间的压强差,可用图中装置.50h cm =,求AB 内的压强差是多少厘米水银柱高.这个压强计的优点是什么?[解 答]以,A B P P 分别表示容器A,B 内的压强,以,A B P P''分别表示左右管子中的水与水银界面处的压强,以,ρρ''分别表示水和水银的密度,则21()A AB BAB P P gh P P g h h P P g h ρρρ''=+''=++''=+ 由于两边压强很大,水和水银密度相差也很大,因此,可以近似地忽略管子中的水重,认为A,B 的压强差约为50cm 汞柱.11.2.3 游泳池长50m ,宽25m ,设各处水深相等且等于1.5m ,求游泳池各侧壁上的总压力.不考虑大气压.[解 答]先计算ABCD 壁的压力 21.51.521011.522z F gzbdz gbgb ρρρ===⎰再计算BCFE 壁的压力.21.51.522011.522z F gzadz gaga ρρρ===⎰x406四壁总的压力为:2261111.5 1.5 1.6510()22F F gb ga N ρρ+=+=⨯ 11.2.4 所谓流体内的真空度,指该流体内的压强与大气压的差数.水银真空计如图所示,设50h cm =,问容器B 内的真空度是多少2/N m ?[解 答]由图看出:0B P P gh ρ=+因此,容器内的真空度为:420 6.66410(/)B P P gh N m ρ-==⨯11.2.5 (1)海水的密度为31.03/g cm ρ=,求海平面以下300m 处的压强.(2)求海平面以上10km 高处的压强.参考§11.2例题1数据.[解 答](1)053621.01310 1.013109.83003.110(/)P P ghN m ρ=+=⨯+⨯⨯⨯=⨯ (2) 近似认为重力加速度为常量,大气温度也不随高度而变化. 则由§11.2例题1数据知00gp P Pe g ρ-=已知:533001.01310, 1.2/,1010P pa kg m y m ρ=⨯==⨯43.1810P pa ∴=⨯11.2.6 (1)盛有液体的容器以重力加速度自由下落,求液体内各点的压强; (2)若容器以竖直向上的加速度a 上升,求压强随深度的分布;(3)若容器以竖直向下的加速度a ()g <下落,求液内压强随深度的分布.[解 答]在流体内隔离出高为dy ,底面积为S 的圆盘形液块作为研究对象.设液块上下底处的压强分别为P dP +和P ,则液块上下底面所受的压力为()P dP S +和P S ,液块受重力mg .液块侧面受力矢量和为零.设液体随容器以加速度a 向上运动,以容器作为非惯性系.建立坐标系o y -,竖直向上为y 轴正方向。

则液块还受惯性力f ma *=-.液块相对容器处于静止状态.407由牛顿第二定律得:0000()0()0()()()()()()PyP y P S P dP S mg ma m SdyP P dP dyg dya dP g a dydP g a dyP P g a y y P P g a y y ρρρρρρρ-+--==∴-+--==-+=-+-=-+-=++-⎰⎰(1)a g =-,因此00.a g P P +==(2)容器以a 上升.0().P P g a h ρ=++其中0h y y =- (3)容器以a 下落时, 0().P P g a h ρ=+-h 同(2)中一样,是由流体自由表面向下计算的深度.11.2.7 河床的一部分为长度等于b 半径为a 的四分之一柱面,柱面的上沿深度为h ,求水作用于柱面的总压力的大小,方向和在柱面上的作用点.[解 答]过这一部柱面形河床的中心作一个剖面图.如图. 建立坐标系o xy -,在柱面上取一窄条,窄条的面积S abd θ=.作用于这条形面之上的压力为: 0000[()]sin [(sin )][(sin )]cos [(sin )]sin x y dF P g h y dSy a dF P g h a abd dF P g h a abd dF P g h a abd ρθρθθρθθθρθθθ=++=∴=++=++=++20012200020022201[(sin )]cos ()sin sin sin [()]2[(sin )]sin ()cos sin [()]4x y F P g h a ab d P gh abd g a bd aab P g h F P g h a ab d P gh abd g a bd aab P g h F ππππρθθθρθρθθρρθθθρθρθθπρ=++=++=++=++=-++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xθ408设总压力F 与水平方向夹角为α,则0110()4()2y xaP g h F tgtgaF P g h πραρ--++==++ 总压力F 垂直于圆柱面,过图示的圆心O,与水平方向夹角为α,由此就确定了其作用点.11.2.8 船的底舱处开一窗,可藉此观察鱼群,窗长为1m 半径为R=0.6m 的四分之一圆柱面,水面距离的上沿0.5h m =,求水作用于窗面上的总压力的大小,方向和作用点.[解 答]建立坐标系o xy -，水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向已知水下窗长1m =,半径5200.6,0.5, 1.01310/R m h m P N m ===⨯解法同上题.可得:40[()] 6.58410()2x RF R P g h N ρ=-++=-⨯(负号表示x F 与x 轴方向相反) 40[()] 6.64910()4y RF R P g h N πρ=-++=-⨯49.33210()F N ==⨯111.0154526y xF tgtg F α--'===水作用于窗的总压力过图示圆心O 且与水平夹角为4526'.设其作用点的坐标为(,)x y ,则该点必在窗长的中心,而且其坐标值为cos 0.6cos 45.440.421()sin 0.6sin 45.440.428()x R m y R m αα======11.2.9 一船质量为m ,由于某种原因,使船发生一初始下沉,然后沿竖直方向振动,设船在吃水线附近的截面积为S,海水比重为γ,证明船作简谐振动并求周期.不计阻力. [解 答]以地面为参照系,选水面上一点为坐标原点,如图建立坐标系.当船静止时,它在水中所受浮力的大小与其受力大小相等,故合力为零.当船发生一位移x 时,则其受合力为x x f s γ=- 式中负号表示0x >时,浮力大于重力,合力向上.0x <时,浮力小于重力,合力向下.因此,x f 为线性恢复力,故船作简谐振动.其动力学方程为:40922200022x d xm s dts m T γγωππω+=∴=== 11.2.10 根据新数据,布达拉宫的海拔高度为3756.5m ,试求该处的大气压强,并求为海平面大气压的几分之几.[解 答]取坐标轴oy 向上,原点在海平面.dp gdy ρ=-,负号表示压强随高度升高而减小.大气密度与大气压强成正比.00PP ρρ= (00P ρ为海平面参数) 00P P ρρ∴=00Pgdp dy P ρ=-000444000004100001.16100 1.16103756.55201.16103756.5[ 1.1610()]0.65510(/)64.7%Py P gyP y yg dp dy P P g Pny P P gP P eP e m P P P e P P e N m P e P ραρρρα--------⨯-⨯⨯-⨯⨯=-=-====⨯∴===⨯==⎰⎰布布11.4.1 容器内水的高度为H ,水自离开自由表面h 深的小孔流出.(1)求水到达地面的水平射程x ,(2)在水面以下多深的地方另开一孔可使水流的水平射程与前者相等?[解 答] (1)根据小孔流速的例题,知ν=流出后做平抛运动.自小孔落至容器底部地面所需时间为:410t =水平射程为:1/22()[2]H h x t gh gν-==⋅= (2)可另开一小孔,使两个射程相等.设在水面下h '深处另开一小孔时,二射程相等.则:22()()()0h H h h H h h Hh hH h ='∴-=-''-+-=解一元二次方程得:22()0h Hh hH h h H h''-+-='==- 因此,在水面下H h -深处另开一小孔时,二射程相等.11.4.2 参阅11.4.1题图,水的深度为H .(1)在多深的地方开孔,可使水流具有最大的水平射程;(2)最大的水平射程等于多少?[解 答](1)由前题已得出水平射程为:x =水平射程最大时,则有0dxdh= 而1/22[()][()(1)]2dx h H h H h h dh -=-⋅-+-=故 2H h =,即在深度2Hh =处开孔,可使水平射程最大. (2)将2Hh =代入水平射程表示式中得:max x H = 11.4.3 关于流动流体的吸力的研究,若在管中细颈处开一小孔,用细管接入容器A 中液内,流动液体不但不漏出,而且A 中液体可以被吸上去.为研究此原理,做如下计算:设左上方容器很大,流体流动时,液面无显著下降,液面与出液孔高度差为12.h S S 和表示管横截面,用ρ表示液体密度,液体为理想流体,试证:221021(1)0S P P gh S ρ-=-<411即1S 处有一真空度,因此可将A 内液体吸入.[解 答]以出液孔处为势能零点,选取过C 中液面和截面12,S S 各一点的流线,由题设条件可知,对此流线可用伯努力方程.流体在管中流动又满足连续性方程.因此; 200212P gh P ρρν+=+(C,A,B 流线) 2211021122P P ρνρν+=+ (A,B 水平流线) 1122S S νν=由此得:22121S S ννν==又12S S <22221021211()(1)02S P P gh S ρννρ-=-=-< 11.4.4 容器A 和B 中装有同种液体.可视为理想流体.水平管截面12C D S S =,容器A 的截面A D S S .求E 管中的液柱高度(ρρ液空气).[解 答]以管子D 处中心为势能零点,如图选取过点1,2,3的一条流线,由已知条件可知,对此流线可用伯努力方程:P E →=0=ABP41222021220311()22P g h h P P ρρνρν+-=+=+ 由连续性方程:2312C D C D S S S S νν==又 E 管中为静止流体,因ρρ液空气,故可近似认为E 管上部气体压强处处相等.因此由静液压强?得:023P P gh ρ=+由以上方程解得:23212222233212202121021023212()48()1()8()23()3()DC g h h S g h h S P P g h h g h h P g h h P P h h h gννννρρρρ=-===-=+---=---==-11.4.5 装置如图所示,出水口堵塞时,竖直管内和容器内的水面在同一高度,打开塞子后,水即流出,视水为理想流体,等截面的水平管直径比筒径小很多,求直管内的液面高度.[解 答]选水平管处势能为零,打开塞子后,当水流成稳定流动时,如图过1,2,3,4各点选取流线,由题中所给条件知用伯努力方程.22201223304111222P gh P P P ρρνρνρν+=+=+=+ 由连续性方程得:223344234234S S S S S S νννννν====∴==因此 230P P P ==设竖直管内液面高度分别为23,h h ,则应有P E →=413202303P P gh P P gh ρρ=+=+可见 230h h ==11.5.1 研究射流对挡壁的压力.射流流速为ν,流量为Q,流体密度等于ρ,求图中()()a b 两种情况下射流作用于挡壁的压力.[解 答]()a 根据动量定理()0,F Q F Q ρνννρν'=-'=∴=-F 为挡壁对射流的作用力.因此,射流作用于挡壁的压力为:F F Q ρν'=-=()b 如图建立坐标系o xy -.根据动量定理,沿y 方向:y y m F t ν=即sin sin sin y y y m F tQ t F t F Q ναρναρνα===射流沿y 方向作用于挡壁的压力为sin y F Q ρνα'=-因流体为理想流体,所以沿x 方向,射流对挡壁没有作用力.由上可知,射流作用于挡壁的压力大于等于sin Q ρνα,方向与挡壁垂直指向挡壁.xy()a。