2.1.2《指数函数及其性质(1)》(导学案)
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
2.1.2指数函数及其性质 教学设计
2.1.2指数函数及其性质教学设计临漳县第一中学高一数学组郭敬敏一、教学任务分析本课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（人教版）指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能:(1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是0＜a＜1,a＞1的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重点：指数函数的概念性质难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质三、教学基本流程四、课堂教学实录问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂次以后,得到的细胞个数与有怎样的关系.问题2.有一根长度为1的尺子,第一次截去尺子的一半,第二次再截去剩余尺子的一半,…,截去次后尺子剩余的长度与有怎样的关系.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =与函数 (1/2)x y =的区别 从指数函数的实际背景引入课题 构建指数函数的概念 画指数函数的图像探索指数函数的性质 课堂小结与作业3.观察函数2xy =,y=(1/2)x 与y=ax 的相同特点. 建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系?[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4个细胞,分裂三次得到8所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为2xy =.[生2]:第一次剩下绳子的1/2,第二次剩下绳子的1/4,第三次剩下绳子的1/8,那么剪了x 次以后剩下的绳长为1/2x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为(1/2)x y =.（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2x y =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数2x y =,(1/2)xy =在形式上与函数y=x2有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下2x y =,(1/2)x y =与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a = (a ＞0，a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R.概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定a ＞0，a≠1?(引导学生从定义域为R的角度考虑).（先把a=0，a ＜0，a=1显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若a=0,则当x=0时, 00x a =没有意义.⑵若a ＜0,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:. ⑶若a=1,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.所以,我们规定指数函数的底a ＞0，a≠1.概念解析2:[师]:我们知道形如x y a =（a ＞0，a≠1）的函数称为指数函数. 通过观察我们发现：⑴x a 前没有系数，或者说系数为1.即1*x a ；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：a ＞0，a≠1.那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题2）问题1.⑴10x y =，⑵110x y +=，⑶101x y =+，⑷2*10x y = ⑸10x y -=，⑹(10)x y a =+ (a>－10且a ≠－9），⑺10y x =，⑻xy x = [生1]:（答）⑴(6)为指数函数.⑵⑶⑷⑸⑺⑻不是.[生2]:我不同意，(5)应该是指数函数，因为10x y -==(1/10)x. [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数.所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质.[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质.根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线. [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，(1/2)x y =和3x y =，(1/3)x y =的函数图象.（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，(1/2)x y =，3x y =，(1/3)x y =的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生1]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方.[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生1]:没有.随着自变量x 的取值函数的图象与 轴无限靠近.[师]:即函数的值域是：(0，+∞).那么还有没有别的性质？[生2]:函数(1/2)x y =、(1/3)x y =是减函数，函数2x y =、3xy =是增函数. [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此必须说明是在哪个范围内.那么上述的结论可以归纳为：[生2]:当0＜a ＜1时，函数x y a =在R 上是减函数，当a ＞1时，函数xy a =在R 上是增函数.[师]:很好，请坐！（提问［生3］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生3]:当自变量取值为０时，所对的函数值为1.一般地指数函数xy a=当自变量取０时，函数值恒等于1.[师]:也就是说指数函数恒过点(0，1)，和底a的取值没有关系.那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x之间有什么关系？1/2[生3]:由图象可以发现：当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜f(x)＜1；若x＜0，则1<f(x).当a＞1时，若x＞0，则f(x)＞1；若x＜0，则0＜f(x)＜1.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]:函数2xy=与(1/2)xy=的图象关于y轴对称,函数3xy=y=与(1/3)x 的图象关于y轴对称,所以是偶函数.[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论,函数x=的图象关于y轴对称.y a-=与xy a[师]: 很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习：[师]:.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题1.已知函数(32)xy a =-为指数函数，求a 的取值范围.（屏幕上给出问题）[生]:由于3a-2作为指数函数的底因此必须满足：回顾小结：1.y=ax(a＞0，a≠1)，x∈R要能根据概念判断一个函数是否为指数函数.2.指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）.3.利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象.五、教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
2.1.2指数函数及其性质 优秀教学设计
【课题】：指数函数及其性质（特色班）
【教学目标】：
（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；
（2）能借助计算机或计算器画指数函数的图象；
（3）能由指数函数的图象探索并理解指数函数的性质；
（4）培养学生多角度地思考，进一步发展合情推理.
【教学重点】：指数函数的概念和性质.
【教学难点】：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
1999 年底，我国人口约为 13 亿 经过 1 年（即 2000 年），人口数为：
13 + 13×1% = 13（1+1%）（亿） 经过 2 年（即 2001 年），人口数为： 13（1+1%）+ 13（1+1%）1% = 13（1+1%）2 经过 2 年（即 2001 年），人口数为： 13（1+1%）2+ 13（1+1%）21% = 13（1+1%）3（亿）
问题，发展 思维，培养 能力.
解：1°在 a > 0 的条件下，x 可以取任意实数，所以函数的定义域 为 R； 2°∵ 若 a = 0，当 x > 0 时 ax 恒为 0,当 x ≤0 是,ax 无意义. a < 0 时,如 a = －2,x = －0.5 则 ax= (－2)－0.5 无意义; a = 1 时,ax 恒为 1,没有研究的价值.
……
∴ 经过 x 年，人口数为： y 13(1 1%) x 13 1.01x （亿）
当 x =20 年时， y 13 1.01x 16 （ 亿）
∴ 经过 20 年后，我国人口最多为 16 亿。
例 4．设 f (x) 4 x (k 1) 2 x 2 ，在（0，+∞）上恒取正值，
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
2.1.2《指数函数及其性质》 第四课时导学案
1 / 1 《指数函数及其性质的应用》 第四课时 班级：___________姓名：___________小组：_______________ 【学习目标】 1. 会求出给定指数型函数的定义域和值域 2. 会利用函数单调性求解复合函数单调性的问题 3. 会解决指数型复合函数的综合问题 【学习重点】 求解指数型函数的定义域、值域和单调性问题 【学习难点】 指数型复合函数的性质及应用 【导学流程】 一、相关链接（请同学们回忆一下前面学习的知识） 函数值域常用的求解方法：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法等等. 二、基础感知（滴水穿石，不懈的努力你就能处于宇宙的巅峰） 题型一、求解指数型函数的定义域、值域 例题1：求下列函数的定义域、值域:
(1) 412xy； (2) 1241xxy； 解：(1)由041x得定义域为4|xRxx且，值域为10|yyy且； (2)令)0(2ttx，则221)1(12124tttyxx，其定义域为Rxx|，值域为0|yy．
变式训练1、 求函数32221xxy的定义域和值域.
知识点 复合函数的定义 如果y是u的函数，u又是x的函数，即()yfu，()ugx，那么y关于x的 函数(())yfgx叫做函数()yfu（外函数）和()ugx（内函数）的复合函数，其中u是中
间变量，自变量为x函数值为y。 例如：函数212xy 是由2uy和21ux 复合而成立。 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())yfgx中x的取值范围。 ⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()gx的值域。 ⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数。 题型二、求解指数型复合函数的单调性
例题2：求函数xxy2221的单调区间，并证明．
解：设xxu22, 则uy21,对任意的121xx，有21uu， 又∵uy21是减函数，则12yy，∴xxy2221在),1[是减函数． 对任意的121xx，有21uu，又∵uy21是减函数．∴21yy ∴xxy2221在1,是增函数． 综上所述，函数函数xxy2221在1,上单调递增，在,1上单调递减． 三、深入学习（请同学们将以上学习的知识更上一层楼，完成以下习题） 1. 函数12xy的定义域是（ ） A、0-， B、0-， C、，0 D、，0
指数函数及其性质(导学案)
5.求函数 y 4x 2x1 1(x R) 的值域.
x t 2 (t 0), 解：运用换元法，令
得到关于t的二次函数，答案为 (1, )
2014-11-13
6.若函数 求a的取值范围.
ax2 1( x 0) f ( x) 2 ax (a 1)e ( x 0)
y ax
( a 1)
y a x (0 a 1)
y
1 0
x
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
2014-11-13
图象自左至右逐渐下降
探究3 指数函数的性质
0<a<1
y ax
y
a>1
y
y ax
( a 1)
图象
1
0
x
1 0
x
定义 域 值域
R （0，+∞）
2014-11-13
（1）过定点（0，1），即x=0 性质 时， y=1 R上是 （2）在R上是增函 （2）在 减函数 数
2014-11-13
3.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取
值范围是( A ).
A.m≤-1
C.m≥1
B.-1≤m＜0
D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.
0 1
0.5
1
1.5
2
0.7 0.3 0.2 0.5 1 5 5
1 y 2
x
2.1.2指数函数及其性质(第一课时)
莘县一中 袁 迪
学习目标:
1、了解指数函数模型的实际背景 2、理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质
3、会利用指数函数的单调性比较大小
一、情景引入
情景1、把一张厚度为1毫米的纸对折1次，2次，3次的厚 度分别是多少？对折30次呢？
2
2
223ຫໍສະໝຸດ 230那么，假设厚度为1，对折x次后，厚度y如何表示？
q x = ( ) 3
1x
6
h x =
x 3
5
4
g x =
(2 )
-2
1x
3
fx = 2 x
2
1
-4
2
4
y
y
y
1 y 2
x
1 y 3
x
x
y 3
x
y 2
x
ya
( a 1)
ya
x
( 0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
16
0
1
14
1
3
2
9
3
27 1/27
…
… …
y3
…
x
1/27 1/9 27 9
1/3 3
12 10
1 y 3
…
1
1/3 1/9
g x =
(3 )
1x
8
6
fx =
x 3
4
2
-10
-5
5
10
q x = ( ) 3
1x
6
h x =
x 3
5
4
g x =
2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 教案新部编本(人教A版必修1)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2．1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握指数函数的概念、图象和性质；(2)能借助计算机或计算器画指数函数的图象；(3)能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质．2．过程与方法(1)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等；(2)通过探讨指数函数的底数a＞0，且a≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人．3．情感、态度与价值观(1)通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识；(2)在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段．●重点难点重点：指数函数的概念、图象和性质．难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底数的关系．重难点的突破：以函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象为切入点，分组协作，导出y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图象间的关系，并由此总结y ＝a x (a >0，a ≠1)的相关性质．教师利用多媒体课件，先演示当a 变化时，图象变化的动画过程，重现指数函数的特征与性质；接着演示当a 是固定的常数，从左到右发展，图象变化的动画过程，从而得出是增函数或减函数的性质．借助几何画板，较好的完成指数函数图象和性质的教学，突出重点的同时化解难点.细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个， (1)细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.1．变量x与y间存在怎样的关系？【提示】y＝2x，x∈N*.2．上述对应关系是函数关系吗？为什么？【提示】是．符合函数的定义．3．如果x∈R，等式y＝2x表示y是x的函数吗？如果是，其解析式有何特征？【提示】当x∈R时，y＝2x表示y是x的函数．特征：等式右边是指数形式，底数为常数，指数是变量．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.1．你能用描点法在同一坐标内画出y ＝3x及y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象吗？ 【提示】2．函数y ＝3x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象有何对称关系？公共点是什么？ 【提示】 两个函数的图象关于y 轴对称，公共点(0,1)．3．你能结合上述图象分析一下两函数各自的性质吗？(如定义域、值域、单调性、奇偶性)．【提示】函数y ＝3x 的性质：定义域R ，值域(0，＋∞)，增函数，不具有奇偶性．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的性质：定义域R ，值域(0，＋∞)，减函数，不具有奇偶性．4．结合上述函数的单调性分析指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的单调性与哪个量有关？【提示】 底数a 的取值．当a >1时，函数y ＝a x 在R 上为增函数，当0<a<1时，函数y＝a x在R上为减函数．指数函数的图象和性质(1)下列函数：①y ＝2×3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－4)x .其中，指数函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)若指数函数f (x )的图象经过点(2,4)，则f (3)＝________.【思路探究】 选项――→对照形如y ＝a x (a >0且a ≠1)――→符合答案【自主解答】 (1)根据指数函数的定义知只有③符合．其中④、⑤的底数不符合要求，不是指数函数；②中y ＝3x ＋1指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；①中y ＝2×3x 中系数为2而非1，不是指数函数．(2)设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图象经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f(3)＝23＝8.【答案】(1)A(2)81．判断一个函数是指数函数的方法只需判定其解析式是否符合y＝a x(a>0，且a≠1)这一结构形式，其具备的特点为；2．求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，其中指数函数的概念是解决这类问题的关键．若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．【解析】 y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎨⎧4－3a >04－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1(1)如图2－1－1是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()图2－1－1A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝a x－1－3的图象恒过定点坐标是()A．(1，－3) B．(1，－2)C．(2，－3) D．(2，－2) 【思路探究】(1)作直线x＝1，其与函数的交点纵坐标即为底数的值．(2)令x－1＝0→求y的值→点(x，y)为所求【自主解答】(1)法一在①②中底数小于1且大于零，在y 轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b<a，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越靠近y轴，故有d<c.故选B.法二作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c.故选B.(2)令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2，∴函数y＝a x－1－3恒过定点(1，－2)．【答案】(1)B(2)B1．求形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)恒过定点的问题，一般思路为：令f(x)＝0→求出x→得坐标(x，1)2．直线x＝1与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象交点的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．若函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有()A．a>1且b<1B．0<a<1且b≤1C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0【解析】由指数函数图象的特征可知0<a<1时，函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B，C.又函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0即b≤0，故选项D正确．【答案】 D求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2.【思路探究】【自主解答】 (1)由x －4≠0，得x ≠4，∴定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．∵1x －4≠0，∴21x －4≠1，∴y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由x －2≥0，得x ≥2.∴定义域为{x |x ≥2}． 当x ≥2时，x －2≥0，又0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}．1．本题在求值域时，易忽略指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的值域为(0，＋∞)．2．函数y＝a f(x)的定义域、值域的求法(1)函数y＝a f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)函数y＝a f(x)的值域的求法如下：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞) 【解析】因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2,1)，所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，所以f(x)＝3x－2.由2≤x≤4得0≤x－2≤2，因为函数y＝3x在区间[0,2]上是增函数．所以30≤3x－2≤32，即1≤3x－2≤9，所以函数f(x)的值域是[1,9]．【答案】 C对指数函数的定义理解不透而出错函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，求实数a.【错解】∵函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，∴a2－4a＋4＝1，∴a＝1或a＝3.【错因分析】上述求解过程中，因忽视验证y＝a x中“a>0且a≠1”而出错．【防范措施】 1.准确理解指数函数的定义是求解此类问题的关键．2．在利用系数为1解出a 的值后，验证底数是否满足“a >0且a ≠1”．【正解】 ∵函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，∴由指数函数的定义得⎩⎨⎧a 2－4a ＋4＝1a >0且a ≠1，∴⎩⎨⎧a ＝1或a ＝3a >0且a ≠1，∴a ＝3.1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y ＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.1．下列函数中是指数函数的是()A．y＝5x＋1B．y＝x4C．y＝3－x D．y＝2·3x【解析】形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.【答案】 C2．函数y＝2－x的图象是图中的()【解析】 y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 【答案】 B3．y ＝a x －1(a >0且a ≠1)一定过点________．【解析】 当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝1，∴图象一定过点(1,1)．【答案】 (1,1)4．已知函数y ＝(a －1)x 是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x <0时y >1 ∴0<a －1<1即1<a <2【答案】 (1,2)一、选择题1．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( )A ．(－1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)【解析】 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，∴函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)．【答案】 B2．若函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，则f (3)＝( )A ．8B ．4 C.18 D.14【解析】 由题意可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 【答案】 C图2－1－23．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图2－1－2，则()A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1【解析】由图象可知b>1,0<a<1，选C.【答案】 C4．函数y＝a x＋2(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是()A．(0,1) B．(2,1)C．(－2,0) D．(－2,1)【解析】令x＋2＝0得x＝－2，此时y＝1，∴函数经过的定点坐标是(－2,1)．【答案】 D5．(2014·日照高一检测)函数y＝a x－a(a>0，a≠1)的图象可能是()【解析】 当a >1时，y ＝a x 是增函数，－a <－1，则函数y ＝a x －a 的图象与y 轴的交点在x 轴下方，故选项A 不正确；y ＝a x －a 的图象与x 轴的交点是(1,0)，故选项B 不正确；当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，y ＝a x －a 的图象与x 轴的交点是(1,0)，故选项C 正确；若0<a <1，则－1<－a <0，y ＝a x －a 的图象与y 轴的交点在x 轴上方，故选项D 不正确．【答案】 C二、填空题6．指数函数y ＝f (x )的图象经过(π，e)，则f (－π)＝________.【解析】 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (π)＝e ，即a π＝e ，∴f (－π)＝a －π＝1a π＝1e .【答案】 1e7．函数y ＝(k ＋2)a x ＋2－b (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝________，b ＝________.【解析】 由题意可知⎩⎨⎧ k ＋2＝12－b ＝0，∴k ＝－1，b ＝2.【答案】 －1 28.图2－1－3如图2－1－3所示是指数函数的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为________．【解析】 由规律可知，C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 依次增大．【答案】 15，310，43， 2三、解答题9．(2014·无锡高一检测)求函数f (x )＝3－x －1的定义域、值域．【解】 因为f (x )＝3－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，所以函数f (x )＝3－x －1的定义域为R.由x ∈R 得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>－1，所以函数f (x )＝3－x －1的值域为(－1，＋∞)．10．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)，且f (1)＝3.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)求f (0)＋f (1)＋f (2)的值． 【解】 (1)∵f (1)＝3，∴a ＋a －1＝3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 12＋a －12>0， ∴a 12＋a －12＝ (a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝ 5.(2)∵f (0)＝a 0＋a 0＝2，f (2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝12.11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图2－1－4(1)所示，求a ，b 的值；(2)若f (x )的图象如图2－1－4(2)所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．(1) (2)图2－1－4【解】 (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎨⎧ a 2＋b ＝0a 0＋b ＝－2， 解得a ＝3，b ＝－3.(2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)，又f (0)＝1＋b <0， ∴b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由图(1)可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x 1)|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.。
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高一数学必修I第一章集合导学案 编制人： 审核人： 班级： 小组： 姓名： 等级：
2.1.2《指数函数及其性质（1）》导学案
【学习目标】
1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，
2．根据图像探索并概括指数函数的性质.
3、让学生感受指数函数的图象美。
【重点】指数函数的概念，增强数形结合的思想。
【难点】指数函数的性质
【使用方法与学法指导】
1、先精读一遍教材P54—P58内容，用红笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，并回答问题，时间不
超过15分钟；
2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑；
3、预习后，A层同学结合探究案进行探究、尝试应用，B层同学力争完成探究点的研究，C层同学力争完
成预习案。
预 习 案
一、预习自学
1．阅读课本P54,填空:
定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为
思考:为什么要规定0a,且1a呢?
2.填表后画出函数xy2的图象
x
2 1
0
1 2
x
y2
3.填表后画出函数xy)21(的图象
x
2 1
0
1 2
x
y)21(
二、我的疑惑
探 究 案
探究点一：
1．函数2(33)xyaaa是指数函数,求a的值
2．学习课本P56例6
3. （用列表描点法）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象
(1)3xy (2)3xy
高一数学必修I第一章集合导学案 编制人： 审核人： 班级： 小组： 姓名： 等级：
4．以函数2xy与1()2xy的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：
定义域为 ，值域为 ；当0x时，1y，即图象过定点 ；
探究点二：指数函数的性质：
请进一步归纳总结出指数函数(0,1)xyaaa的图象和性质：
图
象
0〈a<1 a>1
定义域
值域
性
质
总结（1）函数xy2和xy)21(，3xy和3xy的图象的关系
（2）底数对图象的影响
探究点三：课堂互动，合作研讨：
1．指出下列函数哪些是指数函数:
(1)4yx (2)4xy (3) (4)xy
(4)xyx (5) 22yx (6)xy
2．已知指数函数()xfxa的图象经过点(-1,3),
(1)求a的值. (2)求(1),(3)ff的值.
探究点四：探究应用，自我提高
1．已知函数23()(0,1)xfxaaa且.
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.