【10份】2016高考数学(理)二轮复习：考前必做选择题填空题中的10大命题热点

【10份】2016高考数学（理）二轮复习考前必做选择题填空题中的10大命题热点目录[知识速览]1．运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[题组突破]1．(2015·天津高考)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝()A．{3}B．{2，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}详细分析：选B ∁U B ＝{2，5}，A ∩∁U B ＝{2，3，5}∩{2，5}＝{2，5}．2．(2015·四川高考)设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3} 详细分析：选A 如图，A ∪B ＝{x |－1<x <3}．3．(2015·湛江模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈R }和B ＝{x |－4＜x ＜4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个详细分析：选B 集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，而阴影部分所示集合为B ∩∁R A ，所以阴影部分集合中含有－3，－2，－1，0共4个元素．4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为______．详细分析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②，得a ≤－1.答案：(－∞，－1]解答集合运算问题的三点注意(1)根据集合中元素的性质化简集合．(2)在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．(3)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[知识速览]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．3．复合命题真假的判断方法命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定：口决记忆：p∨q，[题组突破]1．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0详细分析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∈/(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∈/(0，＋∞)，ln x0＝x0－1详细分析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.3．(2015·湖北七市联考)若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)详细分析：选B由命题p为真命题，命题q为假命题知：p∧q为假命题，綈p为假命题，綈q 为真命题；所以p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∨q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性(1)弄清构成命题的p 和q 的真假性． (2)弄清结构形式．(3)根据真值表判断构成新命题的真假性．[知识速览]1．充要条件与必要条件(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p ⇒q 等价于A ⊆B ，p ⇔q 等价于A ＝B .2．充分条件与必要条件的3种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q 且qp ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．[题组突破]1．(2015·湖南高考)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选C ∵A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．2．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件为( )A ．m ＞1且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0且n ＜0D ．m ＜0且n ＜0详细分析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，所以－m n ＞0，1n ＜0，即m＞0，n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0.3．以下有四种说法：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充要条件； ②“A ∩B ＝B ”是“B ＝∅”的必要不充分条件； ③“x ＝3”的必要不充分条件为“x 2－2x －3＝0”； ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”． 其中正确说法的序号是________．详细分析：如2＞－4，但22＜(－4)2，故①错；②正确；x ＝3可推出x 2－2x －3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，所以④也正确．答案：②③④4．设p ：12≤x ≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．详细分析：由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，则a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，即0≤a ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12 判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；綈p 是綈q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件.[知识速览]1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．三角形法则(1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；(2)在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 5．求向量数量积的三种方法(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模和夹角； (2)根据向量数量积的几何意义，利用向量投影的含义；(3)建立坐标系，写出向量的坐标，利用向量的坐标运算进行运算．[题组突破]1．(2015·北京模拟)在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则·＝( )A.－52B.32C.－4D.－2详细分析：选C 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．∴＝(2，－1)，＝(－1，2)，∴·＝－4. 2．(2015·杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k ，则λ＋k ＝( )A ．1＋ 2B ．2－ 2C ．2D ．2＋2详细分析：选A 根据向量的基本定理可得＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋22.所以k ＝1＋22，λ＝22，∴λ＋k ＝1＋ 2.故选A. 3．(2015·鄞州模拟)已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为( )A ．25 5 B ．2C ． 5D ．2 5详细分析：选C 由·＝0可知，⊥，所以||＝5，又因为·＝0，所以点B 、D 在以线段AC 为直径的圆上，当BD 为圆的直径时，||取得最大值 5.答案：12 －16向量的有关概念及运算的关注点(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量、基向量等基本概念． (2)牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用．(3)有关向量模长的计算有两种方法：一是转化为向量的数量积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解.[知识速览]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.(4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[题组突破]1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1 详细分析：选C a －103－i＝a －3－i 是纯虚数，则a ＝3. 2．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 详细分析：选B2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（i －1）2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限．3．(2015·西工大附中模拟)已知a1＋i ＝1－b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a －b i|＝( )A ．3B ．2C ．5 D. 5详细分析：选D 由a 1＋i ＝1－b i ，得a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－b i ，即a 2－a 2i ＝1－b i ，即a2＝1且－a2＝－b ，即a ＝2，b ＝1，则|2－i|＝ 5.复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[知识速览]利用循环结构表示算法要注意的3个问题 (1)要准确地选择表示累计的变量； (2)要注意在哪一步结束循环；(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．[题组突破]1．执行如图所示的程序框图，若a ＝1，b ＝2，则输出的结果是( ) A ．9 B ．11 C ．13 D ．15详细分析：选C 循环过程中a 的值依次为5，9，13，由于13＞12，因此输出a ＝13.1题图 2题图2．(2015·长沙雅礼中学模拟)如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个详细分析：选C 根据题意可知，当x ≤2时，y ＝x 2，令x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1，当2＜x ≤5时，y ＝2x －4，令2x －4＝x ，解得x ＝4，当x ＞5时，y ＝1x ∈⎝⎛⎭⎫0，15，方程1x ＝x 在给定范围内无解，故一共有三个解．3．(2015·福州模拟)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是( )A ．n ≥3B ．n ≥4C ．n ≥5D ．n ≥6详细分析：选B 第一次运行时，n ＝1，S ＝2；第二次运行时，n ＝2，S ＝6；第三次运行时，n ＝3，S ＝14；第四次运行时，n ＝4，S ＝30.4．(2015·四川模拟)如图所示，程序框图的功能是( )A ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 前10项和 B ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前10项和C ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 前11项和 D ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前11项和详细分析：选B 第一次循环前：S ＝0，n ＝2，k ＝1；第一次循环：S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次循环：S ＝12＋14，n ＝6，k ＝3；第三次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，k ＝4，由此可知程序框图的功能是求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前10项和．循环结构的两个注意点(1)注意区分计数变量和循环变量； (2)注意哪一步结束循环．[知识速览]两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程：实验、观察→联想、类推→猜测新的结论[题组突破]1．(2015·眉山模拟)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×ba (a 、b 为正整数)，则a ＋b ＝______．详细分析：观察前三式的特点可知，3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故其一般规律为n ＋n n 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89.答案：892．(2015·湖北七市联考)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)DEC 平分二面角A -CD -B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．详细分析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象的性质，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．[知识速览]1．不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 (1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (3)a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (4)a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．几类不等式的解法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含参数不等式要正确分类讨论． 3．确定含参二次不等式的四个分类标准标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式． 标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向． 标准三：判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解． 标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小．[题组突破]1．(2015·襄阳模拟)已知a ，b ，c 满足a ＜b ＜c 且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab <ac B ．c (a －b )>0 C ．ab 2<cb 2 D ．ac (2a －2c )＞0详细分析：选D 法一：因为a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，2a ＜2c 又因为ac ＜0所以ac (2a －2c )＞0.法二：根据题意可令a ＝－1，b ＝0，c ＝1，代入选项即可得答案．2．(2015·阜阳模拟)在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8详细分析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2，3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2，6)B ．(－1，4)C ．(1，4)D ．(－3，5)详细分析：选B 作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1，4)．不等式性质与解法的几点注意(1)准确记忆并熟练应用不等式性质是解决不等式问题的关键．(2)掌握几类不等式的解法特别是二次不等式的解法是求解其他类型不等式的基础．[知识速览]1．六个重要的不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )； (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)；(4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)； (6)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． 2．求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决． 3．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x ＞a )；(2)若a x ＋by＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)． [题组突破]1．(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4详细分析：选C ∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab，∴ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.2．(2015·陕西高考)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q详细分析：选C p ＝f ()ab ＝ln ab ＝12ln ab ；q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ，因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f ( ab )，所以q ＞p ＝r .3．(2015·威海二模)已知x ＞0，y ＞0且2x ＋y ＝2，则1x 2＋4y2的最小值为______．详细分析：1x 2＋4y 2＝⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝14⎣⎡8＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2＋16x 2y 2⎦⎤＋4⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ≥14⎣⎡⎦⎤8＋2·y x ·4xy ＋4·2 y x ·4x y ＝14(8＋8＋16)＝8，当且仅当“2x ＝y ”时，等号成立．答案：8利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键． (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.[知识速览]1．线性规划问题的有关概念线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． 2．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤 (1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值或者最小值． 3．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．4．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[题组突破]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5详细分析：选C 作出可行域(如图中阴影部分所示)，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6. 2．(2015·杭州模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0，若目标函数z ＝2x －y 仅在点(1，k )处取得最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)详细分析：选B 作出可行域如图所示：作直线l 0：2x －y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x －y ＝z ，当直线l 经过点C 时，z＝2x －y 取得最小值，因为目标函数z ＝2x －y 仅在点C (1，k )处取得最小值，所以直线kx －y ＝0的斜率大于直线2x －y ＝z 的斜率，即k ＞2，所以实数k 的取值范围是(2，＋∞)．3．(2015·四川高考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A ．252B ．492C ．12D ．14详细分析：选A 画出可行域如图，在△ABC 区域中结合图象可知当动点在线段BC 上时xy 取得最大，此时2x ＋y ＝10，xy ＝12(2x ·y )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点⎝⎛⎭⎫52，5落在线段BC 上，故最大值为252.4．已知O 是坐标原点，点A (1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|＋|的最小值是________．详细分析：由题意得，＋＝(x ＋1，y )，|＋|＝（x ＋1）2＋y 2可视为点(x ，y )到点(－1，0)的距离，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1，0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足到点(－1，0)的距离最小，因此|＋|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：322解决线性规划问题应关注三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．高频小题强化练(一)一、选择题1．(2015·宁波模拟)已知集合A ＝{x |y ＝2x }，B ＝{}y |y ＝x 2－4x ＋3，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥3或x ≤1} D ．{x |x ≥3或0≤x ≤1}详细分析：选B A ＝{x |y ＝2x }＝(－∞，＋∞)，B ＝{}y |y ＝x 2－4x ＋3＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)．2．若a 为实数，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于( )A. 2 B ．－ 2 C ．2 2 D ．－2 2详细分析：选B 由2＋a i1＋2i＝－2i 可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，∴a ＝－ 2.4．(2015·广州模拟)命题“若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0 B ．若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2 C ．若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2 D ．若x ≠2，则x 2－3x ＋2＝0详细分析：选C 命题“若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”．5．(2015·银川一中模拟)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选B 由题意必有y ＝kx ＋1与x ＋2y ＝0垂直，故k ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1⇒k ＝2. 6．(2015·哈尔滨模拟)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 详细分析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m ＞x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m ＞4，化简得(m ＋1)(m －4)＞0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．7．(2015·江西六校联考)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12详细分析：选D 第四次循环后，k ＝5，满足k ＞4，输出S ＝sin 5π6＝12.8．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15详细分析：选C 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.9．(2015·太原模拟)已知点M 是△ABC 的重心，若A ＝60°，·＝3，则||的最小值为( )A. 3B. 2C.263D ．2详细分析：选B 根据A ＝60°，·＝3，可得bc ＝6，所以||2＝19(＋)2＝19(||2＋2·＋||2)＝19(c 2＋6＋b 2)≥19(2bc ＋6)＝2，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故||的最小值为 2.10．(2015·朝阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1＋i ）x ，x ∉R ，则f (f (1－i))＝( )A ．2－iB ．1C ．3D ．3＋i详细分析：选C 因为f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，所以f (f (1－i))＝f (2)＝1＋2＝3. 11．(2015·天水模拟)在平面直角坐标平面上，＝(1，4)，＝(－3，1)，且与在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为( )A.43B.52C.25D.34详细分析：选C 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为m ＝(1，k )，由与在直线l 上的射影长度相等，得，即|1＋4k |＝|－3＋k |，解之得k ＝25或k＝－43(舍)．12．(2015·湖北七市联考)已知实数x 、y 、z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( )A.13B.23C.53D.2 详细分析：选B 设2x ＋y ＋z ＝t ，则y ＝t －2x －z ，由2x －y －2z －6＝0得y ＝2x －2z －6，所以有：t －2x －z ＝2x －2z －6，从而z ＝4x －t －6，y ＝2t －6x ＋6代入x 2＋y 2＋z 2≤4得：x 2＋(2t －6x ＋6)2＋(4x －t －6)2≤4，化简整理得：53x 2－(32t ＋120)x ＋5t 2＋36t ＋68≤0，所以Δ＝(32t ＋120)2－4×53(5t 2＋36t ＋68)≥0，即9t 2－12t ＋4≤0⇔(3t －2)2≤0；又∵t ∈R ，3t －2＝0⇒t ＝23.二、填空题13．(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝________． 详细分析：法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 答案：114．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．详细分析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：3 2答案：31116．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．详细分析：由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0高频小题强化练(二)一、选择题1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，3) B ．(－1，0) C ．(0，2) D ．(2，3) 详细分析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)． 由图可知A ∪B ＝(－1，3)．2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4详细分析：选D ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4.3．(2015·雅安诊断)设a ，b ∈R ，则“a ≥1且b ≥1”是“a ＋b ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A 若a ≥1且b ≥1，则a ＋b ≥2，故为充分条件；但a ＋b ≥2，不一定有a ≥1且b ≥1，比如a ＝3，b ＝0.5，故不是必要条件．4．(2015·淮南联考)命题p ：“存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1”，则命题p 的否定是( )A ．存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0＜1B ．存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1C ．任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ＜1D ．任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ≥1详细分析：选C 由于log 23＞log 22＝1，所以存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1，即p 是真命题；特称命题的否定是全称命题，否定结论，所以綈p ：“任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ＜1”．5．函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件详细分析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．6．(2015·威海二模)设单位向量e 1，e 2的夹角为120°，a ＝2e 1－e 2，则|a |＝( ) A ．3 B. 3 C ．7 D.7详细分析：选D a ＝2e 1－e 2⇒a 2＝|a |2＝(2e 1－e 2)2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos 120°＋1＝7，所以|a |＝7.7．(2015·甘肃河西三校联考)设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．1＜a ＜b详细分析：选C 若a ＞1，b ＞1，要使1＜b x ＜a x ，则1＜b ＜a . 8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋＝( )9．(2015·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8详细分析：选C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.10．(2015·延庆模拟)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 详细分析：选D 原不等式的解集等价于不等式2(x －1)2≤x ＋5且x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.11．(2015·广东高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6 D.315详细分析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，对应的平面区域如图所示，由z ＝3x ＋2y 得y＝－32x ＋z 2，平移直线y ＝－32x ＋z 2，则由图象可知当直线y ＝－32x ＋z2，经过点A 时直线y ＝－32x ＋z2的截距最小，此时z 最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝8，1＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝45，即A ⎝⎛⎭⎫1，45， 此时z ＝3×1＋2×45＝235.12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3详细分析：选B 法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1，2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．二、填空题13．(2015·淮南四校联考)已知实数m ，n 满足m ·n ＞0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为______．详细分析：由已知m ＜0，n ＜0，(－m )＋(－n )＝1，所以，⎝⎛⎭⎫－1m ＋⎝⎛⎭⎫－1n ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1m ＋⎝⎛⎭⎫－1n ·[(－m )＋(－n )]＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n ＝4，1m ＋1n ≤－4，即1m ＋1n的最大值为－4.答案：－414．(2015·石家庄二模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则复数z 1·z 2对应的点位于第______象限．详细分析：由已知＝(－2，－1)，＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．答案：四15．执行如图所示的程序框图，若输入的x ∈[0，2π]，则输出y 的取值范围是____________．详细分析：根据循环结构的条件，得知y 为sin x ，cos x 中的较大值．在同一个坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，可知y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－22，1 16．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝________．答案：2高频小题强化练(三)一、选择题1．已知集合M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，1) B ．(－1，1) C ．(1，3) D ．(－2，3) 详细分析：选B 借助数轴可得M ∩N ＝(－1，1)． 2．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 详细分析：选B 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4) 详细分析：选A 法一：设C (x ，y )，则＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.4．(2015·闵行模拟)如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a 2＜ab B ．－ab ＜－b 2 C ．1a ＜1b D ．b a ＞a b详细分析：选B 对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当，a ＝－2，b ＝－1，满足a ＜b ＜0，但此时A ，C ，D 均不正确，由排除法只能选B.事实上由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＜0，b ＜0⇒ab ＞b 2⇒ －ab ＜－b 2.5．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q详细分析：选B 容易判断当x ≤0时命题p 为假命题，分别作出函数y ＝x 3，y ＝1－x 2的图象(图略)，易知命题q 为真命题．根据真值表易判断綈p ∧q 为真命题．6．(2015·龙岩模拟)已知a ＞0，b ＞0且a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ．6 B ．12 C ．16 D ．22详细分析：选B 因为a ＞0，b ＞0且a ＋3b ＝ab ，所以23ab ≤ab ，ab ≥12当且仅当a ＝3b 时，ab 取最小值为12.7．执行如图所示程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158详细分析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.则输出M ＝158. 8．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5详细分析：选A 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3详细分析：选B 由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z ＝2x －3y 化为y ＝23x －z3，作出直线y ＝23x 并平移使之经过可行域，易知直线经过点C (3，4)时，z 取得最小值，故z min＝2×3－3×4＝－6.10．(2015·台州二模)设a ∈R ，则“a ＝－32”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A 若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a ＋1)y ＋4＝0垂直，所以a ＋2a (a ＋1)＝0，得a ＝0或a ＝－32，所以“a ＝－32”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．11．(2015·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1详细分析：选C 由框图知，第1次循环，S ＝0＋cos π2＝0，i ＝2；第2次循环，S ＝0＋cos π＝－1，i ＝3； 第3次循环，S ＝－1＋cos 3π2＝－1，i ＝4；第4次循环，S ＝－1＋cos 2π＝0，i ＝5； 第5次循环，S ＝0＋cos 52π＝0，i ＝6＞5.12．(2015·浙江五校联考)设x ∈R ，对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界．若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－5B ．－4C ．92D ．－92详细分析：选D －12a －2b ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝－⎝⎛⎭⎫52＋b 2a ＋2a b ，由基本不等式得b2a ＋2ab≥2b 2a ·2a b. ∴－12a －2b ≤－⎝⎛⎭⎫52＋2＝－92. 二、填空题13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．详细分析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有||·＋||·＝0，将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·＋S OCA ·＋S △OBA ·＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________．详细分析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O-BCD ·＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·＝0.答案：V O-BCD ·＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·＝015．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．详细分析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1，1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：416．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是______．详细分析：由新定义运算知，(2y )⊗x ＝（2y ）2－x 2（2y ）x ＝4y 2－x 22xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是 2.答案： 2。