2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲函数模型及其应用课时作业布置讲解理
高考数学复习知识点讲解教案第14讲 函数模型及其应用
A.当， 时，二氧化碳处于液态B.当， 时，二氧化碳处于气态C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态D.当， 时，二氧化碳处于超临界状态
[解析] 结合图象逐一验证：当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选D.
[解析] 由题意知，上午8时即 ，因此所求温度 .
7.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从地到达地，在 地停留后再以的速度返回地，则汽车与地的距离 关于时间 的函数表达式是_ ___________________________________.
[解析] 当时，；当时，；当 时，.故关于 的函数表达式为
变式题（1） 朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数， 为溶液的浓度（单位：），为液层厚度（单位：）．现保持， 不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的 变为( )
（1） 若 ，则此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
解：不满足条件.理由如下.当时，，因为函数在 上单调递增，函数在上单调递增，所以在 上单调递增，满足条件①．由，即 ，整理可得，因为 恒成立，所以不等式 无解，故不满足条件②．故 不满足条件．
（2） 若，要使奖金发放方案满足条件，求实数 的取值范围．
A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第14讲 导数的应用 第3课时(含解析)
第3课时导数与不等式例1[思路点拨] (1)对函数f(x)求导,根据切线方程及导数得出参数a,b;(2)构建函数F(x)=f(x)-g(x),只需证明F(x)≤0,对F(x)求导,分析求单调性与最大值.解:(1)∵f'(x)=+3(1-a)x2+b,∴f'(e)=+3(1-a)e2+b,且f(e)=1+(1-a)e3+b e,又曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=x,∴切点坐标为(e,1+e),∴解得a=b=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=ln x+x,g(x)=x e x-1,且f(x)的定义域为(0,+∞),令F(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-x e x+1,则F'(x)=+1-e x-x e x=-(x+1)e x=(x+1)-e x.令G(x)=-e x,可知G(x)在(0,+∞)上为减函数,且G=2->0,G(1)=1-e<0,∴存在x0∈,1,使得G(x0)=0,即-=0.当x∈(0,x0)时,G(x)>0,∴F'(x)>0,F(x)为增函数;当x∈(x0,+∞)时,G(x)<0,∴F'(x)<0,F(x)为减函数.∴F(x)≤F(x0)=ln x0+x0-x0+1,又∵-=0,∴=,即ln x0=-x0,∴F(x0)=0,即F(x)≤0,∴f(x)≤g(x).变式题解:(1)依题意得f'(x)=ln x+1-e x,又f(1)=1-e,f'(1)=1-e,故所求切线方程为y-1+e=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.(2)证明:依题意,要证f(x)<sin x,即证x ln x-e x+1<sin x,即证x ln x<e x+sin x-1.当0<x≤1时,e x+sin x-1>0,x ln x≤0,故x ln x<e x+sin x-1,即f(x)<sin x.当x>1时,令g(x)=e x+sin x-1-x ln x,故g'(x)=e x+cos x-ln x-1.令h(x)=g'(x)=e x+cos x-ln x-1,则h'(x)=e x--sin x,当x>1时,e x->e-1>1,所以h'(x)=e x--sin x>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.故h(x)>h(1)=e+cos 1-1>0,即g'(x)>0,所以g(x)>g(1)=e+sin 1-1>0,即x ln x<e x+sin x-1,即f(x)<sin x.综上所述,f(x)<sin x在(0,+∞)上恒成立.例2[思路点拨] (1)利用导数求得切线方程,将其和已知的切线方程对比,可得b=e;(2)将原不等式分离常数,得到a≥-在[e,e2]上有解,令h(x)=-,利用导数求得其最小值,进而得到a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f(x)=-ax+b,所以f'(x)=-a,所以f(e)=e-a e+b,f'(e)=-a.所以函数f(x)的图像在点(e,f(e))处的切线方程为y-(e-a e+b)=-a(x-e),即y=-ax+e+b.又已知函数f(x)的图像在点(e,f(e))处的切线方程为y=-ax+2e,所以实数b的值为e.(2)f(x)≤+e,即-ax+e≤+e,所以问题转化为a≥-在[e,e2]上有解.令h(x)=-,x∈[e,e2],则h'(x)=-==.令p(x)=ln x-2,所以当x∈[e,e2]时,有p'(x)=-=<0,所以函数p(x)在区间[e,e2]上单调递减,所以在区间[e,e2]上,p(x)<p(e)=ln e-2<0,所以h'(x)<0,即h(x)在区间[e,e2]上单调递减,所以h(x)≥h(e2)=-=-.所以实数a的取值范围为-,+∞.变式题解:f(x)≥x+(1-x)e x,即e x-ax2≥x+e x-x e x,即e x-ax-1≥0,x≥0.令h(x)=e x-ax-1(x≥0),则h'(x)=e x-a(x≥0).当a≤1时,由x≥0知h'(x)≥0,∴h(x)≥h(0)=0,原不等式恒成立.当a>1时,令h'(x)>0,得x>ln a;令h'(x)<0,得x<ln a.∴h(x)在(0,ln a)上单调递减,又∵h(0)=0,∴h(x)≥0不恒成立,∴a>1不合题意.综上,a的取值范围为(-∞,1].例3[思路点拨] 问题转化为f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,构建函数g(x)=f'(x),让其最大值小于或等于0即可.解:由已知得,f'(x)=ln x+-2(x-a)=ln x--2x+1+2a≤0恒成立.令g(x)=ln x--2x+1+2a,则g'(x)=+-2==(x>0).∴当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(1)=2a-2.∴由f'(x)≤0恒成立可得a≤1.即当f(x)在(0,+∞)上单调递减时,a的取值范围是(-∞,1].变式题解:∵函数y=ax2的图像恒在函数y=(x>1)图像的上方,∴ax2->0在(1,+∞)上恒成立,∴a>.设f(x)=,x>1,则f'(x)=<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)<f(1)=1,∴a≥1.【备选理由】例1、例2均为涉及不等式的证明及不等式恒成立求参数的问题,可作为对探究点二的补充.1[配合例2使用] [2017·凉山州模拟]已知函数f(x)=-(t+1)ln x,t∈R.(1)若t=1,求证:当x>1时,f(x)>0;(2)若t≥1,且f(x)>1在区间,e上恒成立,求t的取值范围.解:(1)证明:当t=1时,f(x)=x--2ln x,∴f'(x)=1+-==>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(1)=1-1-0=0,∴当x>1时,f(x)>0.(2)依题意知,在区间,e上f(x)min>1.f'(x)=t+-==,令f'(x)=0,解得x=1或x=≤1.若t≥e,当1<x≤e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当≤x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)min=f(1)=t-1>1,满足条件.若1<t<e,则当≤x<或1<x≤e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)min=min f,f(1),依题意即∴2<t<e.若t=1,则f'(x)≥0,函数f(x)在,e上单调递增,f(x)min=f<1,不满足条件.综上所述t>2.2[配合例2使用] [2017·广元三诊]已知函数f(x)=e x sin x-cos x,g(x)=x cos x-e x,其中e是自然对数的底数.(1)判断函数y=f(x)在0,内零点的个数,并说明理由;(2)若对任意的x1∈0,,总存在x2∈0,,使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立,试求实数m的取值范围.解:(1)函数y=f(x)在0,内的零点的个数为1.理由如下:因为f(x)=e x sin x-cos x,所以f'(x)=e x sin x+e x cos x+sin x.因为0<x<,所以f'(x)>0,所以函数f(x)在0,上单调递增.因为f(0)=-1<0,f=>0,所以根据函数零点存在性定理得函数y=f(x)在0,内的零点的个数为1.(2)因为不等式f(x1)+g(x2)≥m等价于f(x1)≥m-g(x2),所以对任意的x1∈0,,总存在x2∈0,,使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立等价于f(x1)min≥[m-g(x2)]min=m-g(x2)max.当x∈0,时,f'(x)=e x sin x+e x cos x+sin x>0,故f(x)在区间上单调递增,所以当x=0时,f(x)取得最小值-1.又g'(x)=cos x-x sin x-e x,由于在0,上,0≤cos x≤1,x sin x≥0,e x≥,所以g'(x)<0,故g(x)在区间0,上单调递减.因此,当x=0时,g(x)取得最大值-.所以-1≥m-(-),即m≤--1,所以实数m的取值范围是(-∞,-1-].。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第14讲 导数的应用 第3课时
第3课时导数与不等式课堂考点探究探究点一导数方法证明不等式1[2017·韶关二模]已知函数f (x )=ln x+(1-a )x 3+bx ,g (x )=x e x-b (a ,b ∈R,e 为自然对数的底数),且曲线y=f (x )在点(e,f (e))处的切线方程为y=+1x.(1)求实数a ,b 的值;(2)求证:f (x )≤g (x ).[总结反思](1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )=f (x )-g (x )>0(利用单调性),特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法),但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f (x 1)+g (x 1)<f (x 2)+g (x 2)对x 1<x 2恒成立,即等价于函数h (x )=f (x )+g (x )为增函数.式题已知函数f (x )=x ln x-e x+1.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)证明:f (x )<sin x 在(0,+∞)上恒成立.探究点二根据不等式确定参数范围2[2017·广州模拟]已知函数f (x )=-ax+b 的图像在点(e,f (e))处的切线方程为y=-ax+2e .(1)求实数b 的值;(2)若存在x∈[e,e2],满足f(x)≤+e,求实数a的取值范围.[总结反思](1)根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为相关函数,利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式(组),解不等式(组)即得参数范围.(2)注意分离参数、构造函数等方法的应用.式题[2017·宣城二模节选]已知f(x)=e x-ax2,若f(x)≥x+(1-x)·e x在x≥0时恒成立,求实数a的取值范围.探究点三可化为不等式问题的函数问题3[2017·马鞍山质检节选]已知函数f(x)=(x-1)ln x-(x-a)2(a∈R).若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围.[总结反思]已知函数在某个区间上单调、在定义域上存在单调递增(减)区间等问题的解决方法是根据函数导数与单调性的关系建立不等式(组),通过研究不等式(组)得出问题答案.式题若函数y=ax2的图像恒在函数y=(x>1)图像的上方,求a的取值范围.。
近年高考数学总复习第二章函数、导数及其应用14导数与函数的单调性课时作业文(2021年整理)
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用14 导数与函数的单调性课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用14 导数与函数的单调性课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用14 导数与函数的单调性课时作业文的全部内容。
课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．(2018·厦门质检）函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( ）A．（0,1）B．（0，1］C．（1，＋∞) D．（0，2）解析：由题意知，函数的定义域为（0，＋∞）,又由y′＝x－错误!≤0，解得0〈x≤1,所以函数的单调递减区间为（0，1]．答案：B2．函数f(x）的导函数f′(x）有下列信息：①f′（x）>0时，－1〈x<2；②f′（x)〈0时，x<－1或x〉2;③f′(x）＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x）的大致图象是( )解析：根据信息知，函数f（x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1）,(2,＋∞)上是减函数,故选C.答案:C3．若f(x)＝错误!，e〈a<b，则( )A．f(a）>f(b) B．f（a)＝f(b）C．f(a）〈f（b） D．f（a）f(b)〉1解析:f′(x)＝错误!，当x〉e时，f′（x)〈0，则f（x)在（e，＋∞）上为减函数，f(a)>f（b）．答案:A4．(2018·福建上杭一中检测）函数f（x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是( )A．a≤0 B．a<0C．a≥0 D．a>0解析：函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<（3x2)min。
近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标14导数与函数的单调性文新人教版(2021年
2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标14 导数与函数的单调性文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标14 导数与函数的单调性文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课堂达标（十四）导数与函数的单调性[A基础巩固练]1．（2018·九江模拟）函数f(x）＝（x－3)e x的单调递增区间是( ）A．（－∞，2）B．(0，3）C．（1,4）D．（2，＋∞）［解析]函数f（x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[（x－3)e x］′＝e x ＋（x－3)e x＝（x－2）·e x。
由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x)＞0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′（x)＝（x－2)e x＞0，解得x＞2。
[答案]D2．（高考课标全国卷Ⅱ)若函数f(x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是（)A．（－∞,－2］B．(－∞,－1]C．[2，＋∞) D．［1，＋∞）[解析］由于f′（x)＝k－错误!，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞）单调递增⇔f′(x)＝k－错误!≥0在（1,＋∞)上恒成立．由于k≥错误!，而0＜错误!＜1，所以k≥1.即k的取值范围为［1，＋∞）．［答案]D3．(2017·浙江)函数y＝f(x）的导函数y＝f′（x)的图象如图所示，则函数y＝f(x）的图象可能是（）[解析］原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D.［答案］D4．(2018·湖南省永州市三模)已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx－1在区间[0，1]上单调递减，m＝a＋b，则m的取值范围是（ )A。
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
[自 主 演 练] A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供 电， 为保证城市安全， 核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离 (km)的平方与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电 量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
(1)当 h＝1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好 的训练效果，求此时 h 的取值范围．
【解】 由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)． 设抛物线方程为 y＝a[x－(2＋h)2]＋4. (1)当 h＝1 时，最高点为(3,4)， 方程为 y＝a(x－3)2＋4.① 将点 A(2,3)代入①式得 a＝－1. 即所求抛物线的方程为 y＝－x2＋6x－5.
(2)将点 A(2,3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得 ah2＝－1. 由题意，方程 a[x－(2＋h)]2＋4＝0 在区间[5,6]内有一解． 1 令 f(x)＝a[x－(2＋h)] ＋4＝－ 2[x－(2＋h)]2＋4， h
2
1 2 f 5 ＝－ 3 － h ＋4≥0， 2 h 则 f6＝－ 124－h2＋4≤0. h 故达到比较好的训练效果时的 h
1 解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 2
答案：18
4． 某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过 100 km， 票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元) 与行驶千米数 x(km)之间的函数关系式是_________________________________．
2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性课件理
• 【例5】 (1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任 意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( B)
• A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
• C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
• (3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y＝x3在x＝0 处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
• (4)错误．对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，y′＝3ax2＋2bx ＋c.当Δ＝(2b)2－12ac<0，即b2－3ac<0时，y′＝0无实数根， 此时三次函数没有极值．
2．函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为( B )
(2)∵函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称， ∴y＝f(x)为奇函数．
令 g(x)＝xf(x)，则 g(x)＝xf(x)为偶函数，且 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0 在(－∞，0) 上恒成立，
∴g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． ∵c＝log319·flog319＝(－2)·f(－2)＝2f(2)， 0<logπ3<30.3<2，∴g(logπ3)<g(30.3)<g(2)，∴c>a>b，故选 C．
• 1．(1)函数f(x)的定义域为R，f(0)＝2，对任意的
x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是
()
A
• A．{x|x>0} B．{x|x<0}
2019届高考数学总复习 第二单元 函数 第14讲 函数模型及其应用课件
1
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2
1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异 在区间(0，＋∞)，尽管 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝ xn(n>0)都是___增__函__数__，但它们的增长速度不同，而且不在同 一“档次”上，随着 x 的增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会超过并远远___大__于___y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝ logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ，因而总存在一个 x0， 当 x>x0 时，就会有__lo_g_a_x_<_x_n<_a_x_(_a_>_1.)
答案：y＝a(1＋p%)x(x∈N*，且 x≤m)
8
5．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙， 要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为 x，矩形的面积为 S.
(1)S 关于 x 的函数关系为__________________； (2)当 x＝______时，S 有最大值______.
ห้องสมุดไป่ตู้答案：(1) S＝－2x2＋12x(0<x<6) (2) 3 , 18
建立适当的数学模型；
(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问
题的结论；
(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的
回答．
4
1．当 x>0 时，比较 y＝log5x，y＝5x，y＝x5 三个函数， 下列说法正确的是( )
(最新)2019届高考数学总复习 第二单元 函数 第14讲 函数模型及其应用检测
教育资源 教育1 第14讲 函数模型及其应用
1. 已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(B) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C. g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)． 2．今有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(C)
A. v＝log2t B. v＝log12t
C. v＝t2－12 D. v＝2t－2 作出散点图，观察可知应选C. 3．某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(D)
A.m11 B.m12
C.12m－1 D.11m－1 设该厂一月份产量为a，这一年中月平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，解得x＝11m－1. 4．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的
原子总数N约为1080. 则下列各数中与MN最接近的是(D) (参考数据：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
由题意知，lgMN＝lg33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 所以与MN最接近的是1093. 5．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不给予折扣； ②如一次购物超过200元不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为 582.6 元．
2019届高考理科数学一轮复习学案：第14讲 导数的应用 第4课时
第4课时导数与方程课堂考点探究探究点一求函数零点个数1[2017·江门一模]设函数f (x )=e x -ax ,a 是常数,讨论f (x )的零点的个数.[总结反思]根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想也是“数形结合”,即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图像,然后通过函数图像得出其与x 轴交点的个数,或者两个相关函数图像交点的个数,基本步骤是“先数后形”.式题已知函数f (x )=(a ≠0),h (x )=x-.当a=1时,研究函数φ(x )=f (x )-h (x )在(0,+∞)上零点的个数.探究点二根据零点个数确定参数2设函数f (x )=x 2-a ln x ,g (x )=(a-2)x.(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数F (x )=f (x )-g (x )有两个零点x 1,x 2,求满足条件的最小正整数a 的值.[总结反思]根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数图像与x 轴的交点个数,或者两个相关函数图像的交点个数确定参数满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.式题[2017·许昌二模]已知函数f (x )=(a ∈R)的图像与直线x-2y=0相切,当函数g (x )=f [f (x )]-t 恰有一个零点时,求实数t 的取值范围.探究点三函数零点性质的研究3[2017·海南中学月考]已知函数f (x )=ln x-mx (m ∈R)有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1·x 2>e 2.[总结反思](1)研究函数零点问题,要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助,得出函数零点的可能情况.(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究,要抓住函数在不同零点处函数值均为零,建立不同零点之间的关系,把多元问题转化为一元问题,再使用一元函数的方法进行研究.式题[2016·天津卷改编]设函数f (x )=(x-1)3-ax-b ,x ∈R,其中a ,b ∈R .(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )存在极值点x 0,且f (x 1)=f (x 0),其中x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3.探究点四可化为函数零点的函数问题4已知函数g (x )=2x 3-3x 2+1,若过点A (m ,-4)恰有两条直线与曲线y=g (x )相切,求实数m 的值.[总结反思]曲线的切线条数、直线与曲线的交点个数等问题均可转化为关于某个未知数的方程解的个数问题,通过确定方程解的个数确定原问题的答案.式题[2017·湖北六校联合体二模]已知a∈R,若f(x)=e x在区间(0,1)上有且只有一个极值点,则a的取值范围是()A.a<0B.a>0C.a≤1D.a≥0。
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……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… 1 第14讲 函数模型及其应用 1．(2015年北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，图X2141描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
图X2141 A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油 D．某城市机动车最高限速80 km/h. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( ) A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图X2142记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
图X2142 A．3.50分 B．3.75分 C．4.00分 D．4.25分 4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 5．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A．10 B．11 C．13 D．21 6．(2016年四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 7．(2017年北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图X2143，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3. ……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… 2 ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________． ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．
图X2143 8．个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额．每次收入不超过4000元的，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为： (1)每次收入不超过4000元的，应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4000元以上的，应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．
9．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
10．(2015年上海)如图X2144，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米．现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离
为f(t)(单位：千米)．甲的路线是OQ，速度为5千米/时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/时．乙到达Q地后原地等待．设t＝t1时，乙到达P地，t＝t2时，乙到达Q地． (1)求t1与f(t1)的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超过3，说明理由．
图X2144 ……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
3 第14讲 函数模型及其应用 1．D 解析：“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，A中乙车消耗1 L汽油最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误；C中甲车以80 km/h的速度行驶1 h，甲车每消耗1 L汽油行驶的里程是10 km，行驶80 km，消耗8 L汽油，C错误；D中某城市机动车最高限速80 km/h. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．故选D. 2．C 解析：设在A地销售x辆汽车，则在B地销售(16－x)辆汽车，∴总利润y＝4.1x
－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2122＋0.1×2124＋32.∵x∈[0,16]，且x∈N，∴当x＝10或11时，总利润ymax＝43(万元)．
3．B 解析：由题中图象知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c
的图象上，∴ 9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5. 解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2. ∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2t－1542＋1316.
∵t>0，∴当t＝154＝3.75时，p取最大值．故t＝3.75分为最佳加工时间．故选B. 4．D 解析：设进货价为a元，由题意，知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108.故选D. 5．A 解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设
备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋xx＋x＝
x＋100x＋1.5.由基本不等式，得y＝x＋100x＋1.5≥2 x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故选A. 6．B 解析：设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>200130.两边取常用对数，得nlg 1.12>lg200130.∴
n>lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8.∴n≥4.故选B.
7．Q1 p2 解析：作图可得A1B1中点纵坐标比A2B2，A3B3中点纵坐标大，所以第一位选Q1；pi为AiBi中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2.
8．2800 解析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得280＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2800元，因为2800<4000，所以满足题意．而代入到第二个计算公式中，得到280＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)，此时每次收入额为2500元，因为2500<4000，所以不满足题意，舍去． 9．解：(1)设旅行团人数为x，由题，得0飞机票价格为y元，
则y＝ 9000＜x≤30，900－x－，30＜x≤75， ……………………………………………………………最新教学推荐………………………………………………… 4 即y＝ 9000＜x≤30，1200－10x30＜x≤75. (2)设旅行社获利S元， 则S＝ 900x－15 0000＜x≤30，x－10x－15 00030＜x≤75，
即S＝ 900x－15 0000＜x≤30，－x－2＋21 00030＜x≤75. 因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增， 故当x＝30时，S取最大值12 000元， 又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x＝60时，取得最大值21 000. 故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
10．解：(1)t1＝OPv乙＝38，设此时甲运动到点R，
则OR＝v甲t1＝158千米． 所以f(t1)＝PR＝OP2＋OR2－2OP·OR·cos O＝32＋1582－2×3×158×35＝3418(千米)． (2)当38≤t≤78时，乙在PQ上的N点，设甲在M点， 所以NQ＝OP＋PQ－8t＝7－8t，MQ＝OQ－OM＝5－5t. 所以f(t)＝MN＝NQ2＋MQ2－2NQ·MQcos Q
＝－8t2＋－5t2－－8t－5t45 ＝25t2－42t＋18. 当78所以f(t)＝M′Q＝OQ－OM′＝5－5t.
所以f(t)＝ 25t2－42t＋18，38≤t≤78，5－5t，78所以当38≤t≤1时，f(t)∈0，3418，故f(t)的最大值不超过3.