第四节 平面向量应用举例

一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主 要手段是向量的坐标运算．
两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是 一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的 结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量 的有关性质解题．
1、(2011· 天津高考)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， → ＋3PB →| ∠ADC＝90° ，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA 的最小值为________ 5 ．
【解析】 以 D 为原点，分别以 DA、 DC 所在直线为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝ a，DP＝ y.则 D(0,0)， A(2,0)， C(0， a)， B(1， a)， P(0， y)， → ＝ (2，－ y)，PB → ＝ (1， a－ y)， PA → ＋ 3PB → ＝ (5,3a－ 4y)， ∴PA → ＋ 3PB → |2＝ 25＋ (3a－ 4y)2， |PA 由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0≤y≤a. 3 → ＋ 3PB → |2 的最小值为 25. 因此当 y＝ a 时， |PA 4 → ＋ 3PB → |的最小值为 5. ∴ |PA
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 ＝____________________.
2．向量在物理中的应用
(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．
(2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用： W＝f·s. 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解 析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向 量的共线与垂直求解相关问题．
第四节 平面向量应用举例
1．向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a＝λb a∥b⇔______________ ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a· b＝ 0 a⊥b⇔______________ ⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用 a· b x1x2＋y1y2 ①cos〈a，b〉＝_________ 2 2 2， |a||b| ＝ x2 1＋y1 x2＋y2 → |＝ ②|AB|＝|AB
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向 量模转化为向量的数量积，二是把向量垂直转化为 数量积为0. 2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路
通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为
三角问题，然后利用三角函数基本公式求解．
1、已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． π (1)若 x＝ ，求向量 a，c 的夹角； 6 π 9π (2)当 x∈[ ， ]时，求函数 f(x)＝2a· b＋1 的最大值． 2 8
【思路点拨】
(2)由向量垂直得数量积为0，从而列方程求解．
向量在三角函数中的应用
(2012· 韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝ (cos β，sin β)，c＝ (－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； π (2)设 α＝ 且 a⊥ (b＋ c)，求 cos β 的值． 4
解：(1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 |b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1. ∴0≤|b＋c|2≤4， 即 0≤|b＋c|≤2. 当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2， 所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
(2012· 韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝ (cos β，sin β)，c＝ (－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； π (2)设 α＝ 且 a⊥ (b＋ c)，求 cos β 的值． 4
π 2 2 (2)若 α＝ ，则 a＝ ( ， )． 4 2 2 又由 b＝ (cos β， sin β)， c＝ (－ 1,0)，得 2 2 a· (b＋ c)＝ ( ， )· (cos β－ 1， sin β) 2 2 2 2 2 ＝ cos β＋ sin β－ . 2 2 2 ∵a⊥ (b＋ c)， ∴a· (b＋ c)＝ 0，即 cos β＋ sin β＝ 1， ∴sin β＝ 1－ cos β. 平方后化简得 cos β(cos β－ 1)＝ 0. 解得 cos β＝ 0 或 cos β＝ 1， 经检验 cos β＝ 0 或 cos β＝ 1 满足题设要求． 故 cos β 的值是 1 或 0.
过点(1,2)且与向量a＝(4,2)所在的直线平行的直线，其
斜率与a的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
2 1 【提示】 直线的斜率 k＝ ＝ ，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， 4 2 1 ∴直线方程为 y－ 2＝ (x－ 1)，即 x－ 2y＋ 3＝ 0. 2
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角 形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D
向量在物理中的应用
一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用 而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60° 角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为( A ) A．2 7 B．2 5 C．2 D．6
【解析】 如图所示，由已知得 F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2)． 2 2 F2 ＝ F ＋ F F2 3 1 2＋2F1· 2 ＝F2 ＝28. 1＋F2＋2|F1||F2|cos 60° ∴|F3|＝2 7.
→ |＝|AC → |， 又根据已知条件不能得到|AB 故△ABC一定是直角三角形．
A
C
B
【方法与规律】
对于此类问题，一般需要灵活运 用向量的运算法则、运算律，将已知 条件等价变形，从而得到结论． 特别地，有的问题还需要依据几何图 形选取适当的基底 ( 基底中的向量尽 量已知模或夹角)， 将题中涉及的向量 用基底表示，然后计算或证明．
2 5 2sin α＋sin 2α 5 ∴2sin αcos α＝－ .∴ ＝－ . 9 9 1＋tan α
向量在解析几在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴 →· → ＝0，AM → ＝－3MQ → ，当点 A 在 x 轴上移动 上，点 M 满足PA AM 2 时，求动点 M 的轨迹方程．
1．(1)物理学中的“功”可看作是向量的数量积 的原型． (2) 善于将平面向量与物理知识进行类比．例如， 向量加法的平行四边形法则可与物理中力、位移的
合成分解进行类比．
2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物 理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问 题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还 原为物理问题．
为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝
2EB.求证：AD⊥CE.
→· → ＝0. 【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证AD CE
如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC中， ∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的 一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
1→ → 2→ → → → 解： AD· CE＝ (AC＋ CB)· ( CA＋ AB) 2 3 1→ → 2→ → 1→ → 2 → ＝－ |AC| ＋ CB· CA＋ AB· AC＋ AB· CB 2 3 3 2 2→ 2 2→ 2 → |2＋ 1|CB → ||CA → |cos 90° ＝－ |AC ＋ |AC| cos 45° ＋ |AC | cos 45° 2 3 3 → |2＋ |AC → |2＝ 0， ＝－ |AC → ⊥CE → ，即 AD⊥CE. ∴AD
π 3π 5π 又∵α∈2， 2 ，∴α＝ . 4
→ → (2)由AC· BC＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 2 ∴sin α＋cos α＝ .① 3 2sin2α＋sin 2α 2sin2α＋2sin αcos α 又 ＝ ＝2sin αcos α. sin α 1＋tan α 1＋ cos α 4 由①式两边分别平方，得 1＋2sin αcos α＝ ， 9
1． 本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直，即证明 →· → ＝0.解题的关键是把AD → ，CE → 用基向量CA → ，CB → 表示出来， AD CE 然后利用向量的运算法则和性质解决问题．
2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问 题；把向量运算结果“翻译”成几何关系．
π 3 1 【解】 (1)当 x＝ 时， a＝ ( ， )，且 c＝ (－ 1,0)， 6 2 2 则 |a|＝ 1， |c|＝ 1， 3 1 ， · － 1， 0 a· c 2 2 3 ∴ cos 〈 a， c〉＝ ＝ ＝－ . |a|· | c| 2 1×1 5π ∵0≤〈 a， c〉 ≤π，∴〈 a， c〉＝ . 6
向量在三角函数中的应用
(2012· 韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； π (2)设 α＝ 且 a⊥(b＋c)，求 cos β 的值． 4
(1)把b＋c用坐标表示，再求|b＋c|2的表达式；
2、已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)， C(cos α，sin
π 3π α)，α∈2， 2 .
→ → (1)若|AC|＝|BC|，求角 α 的值； 2sin2α＋sin 2α → → (2)若AC· BC＝－1，求 的值． 1＋tan α
2、已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)， C(cos α，sin