抽象代数名词解释

1，抽象代数名词解释1-1映上的映射（30 ）当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或f 是1-1 映上的。

2，二元运算（50）设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。

3，二元多项式（329）设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。

4，子环（222）设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。

5，子域（334）设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。

如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。

6，子集合（3）设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。

7，子集族（6）设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j⊆S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。

8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，℘为G的所有包含S的子群的族，则称子群℘∈HH为S在G中生成的子群，记为〈S〉。

9，子集生成的理想（236）设R是个环，T⊆R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T ⊆I}得到的理想BII∈称之为R的由子集T生成的理想，记为（T）。

10.子群（75）设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。

10.么元（59）单位元，恒等元，中性元设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。

12．元素（1）集合里的各个对象叫做这个集合的元素。

13．元素的阶数（110）群G中元素的个数称为G的阶数。

14．无零因子环（217）如果环R不含非零的零因子，则称R为无零因子环。

15．不可约元（343）D的元素a不是单位也不是0且没有非平凡因子，则称a为不可约元或既约元。

16．不交的循环（90）循环（i1 i2‥i k）与（j1 j2‥j k）称之为不交的。

17．不变子群，正规子群（152）设G是个群，H是G的一个子群，如果H 在每个内直同构映射之下都不变，即对任意a∈G，对任意h∈H都有aha-1∈H，则说H是G的不变子群或正规子群。

18．不变子集（151）若f是集合A到A本身的一个映射，T是A的子集，且f（T）⊆T，则说T上f的一个不变子集。

19.内直和（272）19．内直积（群的）（193）20．分式域（310）21.分配律（209）22.分裂域（419）设F是个域，f（x）是F上的一个n次多项式，F的扩张域E称为是f（x）的分裂域。

21．分类（18）一个集合B，如果有以∆为标集的子集族｛Ti|i∈∆｝，对任意i∈∆,有Ti≠Φ,且(1)T i∩Tj=Φ,,只要i≠j,(2)B=∆∈iTi则说这是B的一个分类。

22．反序数（45）数码1，2。

……，n的每一个有确定次序的排列称为一个n排列,在一个n排列中，如果有较大的数排在较小的数之前，则说这两个数构成一个反序，该排列中出现的反序的个数称为是它的反序数。

23．双射（30）当映射f是单射又是满射时，称之为双射。

24．双侧理想或双边理想(234)25．中心（群的）（79）设G是个群，集合C＝｛a∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是G的一个群，此群称为群G 的中心。

26．中性元或单位元、恒等元、么元（59）设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元27．平凡子群（86）对任意群G而言，G本身是G的一个子群，单独一个恒等元e也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。

28．平凡因子（343）对于a∈D，所有单位及与a 相伴的元素均称为a的平凡因子。

29．平凡理想（247）对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R的平凡理想。

30．左单位元（69）31．左逆元（69）32．左、右消去律（68）设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。

33．左陪集（113）A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。

34．左理想（240）设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x ∈S恒有rx∈S,则说S是R 的一个左理想。

35．右理想（240）36．右关系（112）设H是群G的一个子群，H 在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈H，称～是H在G中确定的右关系。

37．可逆映射（35）设f：A→B，说f是可逆影射，如果有g：B→A使得g○f=i A f。

g=i B38.可逆变换（144）设（G，·）是个群。

将G到G的可逆映射称为G上.可逆变换。

38．主理想（236）如果T仅有元素（{a}）记为(a)，并称为是由a生成的主理想。

39．主理想整环（356）如果整环D的每个理想都是主理想，则说D是主理想整环。

40．公因子（350）设D是个整环，a1,…,a n∈D,如果c∈D,c整除a1,…,a n的每一个，则说c是元素a1,…,a n的一个公因子。

41．代数元（384）设域E是域F的扩张域，a∈E。

如果有F上非零多项式f(x)使(fa)=0，则说a是F上的一个代数元。

42．代数扩张（412）设E是域F的一个扩张域，如果任意a∈E都是F上代数元，则说E是F的一个代数扩张域或代数扩张。

43．代数扩张域（412）44．代数封闭的（418）域E称为是代数封闭的，如果E没有真的代数扩张，此时亦说E是个代数封闭域。

45．代数封闭域（418）46．四元数环（283）47．四元数除环（283）48．四元数群（87）49．对称群（87）集合S={1，2，…，n}上所有置换在映射合成之下构成群，称这个群为n次对称群，记为S n50．外直积（122）51．互素（350）当一个单位是a1,…,a n的一个最大公因子时，则说它们是互素的。

52．有1环（217）53．有单位元环（217）设（R，+，·）是个环，如果R的乘法有单位元e，则说R是个有单位元环，或称有1环。

54．有限扩张（402）设E是域F的扩张域，如果E在F上有基底，则说E是F的一个有限扩张。

55．有限域（416）域只含有限个元素时称为有限域。

56．交集（4，6）由任意集合A，B可决定一集合{x|x∈A同时x∈B}称为A和B的交集，记为A∩B。

57．交代群（88）58．交换群（72）群（G，·）的运算通常称为乘法。

当群的运算·满足交换律时，即称之为交换群或阿贝尔群。

59．交换律（58）设·是集合A上的一个运算，如果对任意a，b∈A都有a·b=b·a，则说运算·满足交换律。

60．并集（4，6）由任意集合A，B决定一个集合{x|x∈A或者x∈B}称为A和B的并集，记为A∪B。

61．多项式（312）设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n （其中n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。

62．多项式的和（314）63．多项式的乘积（314）64．多项式的根（318）设S是有1交换环，f(x) ∈S[x]，说元素r∈S是多项式f(x)的一个根。

如果f(r)=0，也可以说r满足多项式f(x)。

65．多项式的首系数（320）设D是个整环，多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…a r x r+…+a n x n，a i∈D中，a r≠0,且当j＞r时有a j=0，即degf=r，则说a r是f(x)的首系数。

66．自同态（270）67．自同构（270）68．自然同构（182）69．群的同态映射（160）设（G，·）是个群，（H，#）也是个群，那么G到H的映射f称为是G到H的同态映射，如果对任意a,b∈G 都有f(a 。

b)=f(a)#f(b)。

70．环的同态映射（252）设（R，+，·）和（S，#，⊙）都是环·R到S的映射Ψ称之为R到S的环的同态映射。

如果对任意的a,b∈R 恒有Ψ(a+b)= Ψ(a)# Ψ(b), Ψ(a·b)=Ψ(a) ⊙Ψ(b).特别地，当Ψ是满射时，称S是R的同态像，当Ψ是满射又是单射时，说Ψ是R到S的环同构映射。

71．同态像（168，257）设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合lmg(Ψ)={s∈S|有r∈R使s=Ψ(r)}为映射Ψ的像，称集合Ker(Ψ)={ r∈R|Ψ(r)=0}为映射Ψ的核。

72．同态核（164，257）见7173．群的同构映射（130）设（G，△）是个群，（H，·）也是个群，如果f：G→H是个双射，且对任意a,b∈G恒有f(a△b)=f(a) ·f(b),则说f是G到H的群同构映射。

74．环的同构映射（252）见7075．关系（12）设A 和B都是集合，任取笛卡儿积A×B的一个子集R我们都说确定了A和B的一个关系R。

对任意a∈A，b∈B，如果(a ，b) ∈R，则说 a 与b有R关系，记为a R b；如(a ，b) R ,则说a与b没有R关系.76．原像(38)对B的任意子集T，称A的子集{x∈A|f（x）∈T}为T在f之下的原像。

77．扩张次数（402）基底所含元素的个数（这里由E和F唯一确定的一个正整数）称为E在F上的扩张次数。

78．阶数（110）群G中元素的个数称为G的阶数。

79．体（282）80．克莱因四元群（143）81．克莱因四元数群（87）82．投影（28）设A，B是集合，规定，任意元素(a，b) ∈A×B对应a，这是笛卡儿积A×B到A的映射，记为P A，即P A(（a，b）)= a，对任意(a，b) ∈A×B，该映射称为A×B到A的投影。

83.完全集（20）设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集，简称完全集。