4 无零因子环的特征

§4 无零因子环的特征
提问
（1） 00m a ma a a a ≠⇒=++
+≠个
在环里成立吗？
在整数环里，这是成立的.但我们将看到，在有的环里，这是不成立的.
例1 设F 是模p （p 是素数）的剩余类环，则F 是一个域.
证 只需证明F 的所有非零元作成一个乘群*.F 因F 的乘法适合结合律，而*
F 是一个有限集，故由有限群的另一定义知，要证明*F 是一个乘群，只需证明：Ⅰ.*F 对于乘法来说是闭的； 'Ⅲ.消去律成立.
Ⅰ.设[][]*,a b F ∈，则[][][][]0,0a b ≠≠，从而p ∣/a ，p ∣/b .于是p ∣/ab ，从而[][][][]0.a b ab =≠因此[][]*.a b F ∈
'Ⅲ.设[][][]*,,a x x F '∈，且
[][][][].a x a x '=
由[][][]*,,a x x F '∈得p ∣/a ，p ∣/x ，p ∣/.x '
由[][][][]a x a x '=及[][][][][][],a x ax a x ax ''==得，[][].ax ax '=于是，
()|.p ax ax a x x ''-=-
因p ∣/，故由上式得[][]|,.p x x x x ''-=
在这个域F 里，任取一个非零元[]a （这里p ∣/a ）
，有 [][][][][][]0.p p a a a a pa =++
+==个
分析原因：是因为F 中除零元外，其余元的阶（对加群F 而言）均为p .
对一般的环F ，设a F ∈且0a ≠，若a 在加群F 里的阶是无限大，则（1）成立；若a 在加群F 里的阶是有限的，则（1）不成立.
在一个环F 里，可能会出现这种情况：某个元a F ∈的在加群F 里的阶是有限的，另一个元b F ∈在加群F 里的阶是无限的.
例2 设()()12,G b G c ==是两个循环群，b 的阶无限，c 的阶是.n 1G 和2G 都是交换群，它们的代数运算都用+来表示.用加群符号，我们有
{}1|,G hb h Z =∈
0hb =，当且仅当0h =时.
{}2|,G kc k Z =∈
0kc =，当且仅当|n k 时.
设
(){},|,.R hb kc h k Z =∈
规定R 的一个加法：
()()()11221212,,,.hb k c h b k c hb h b k c k c +=++
再规定R 的一个乘法：
()()()1122,,0,0hb k c h b k c =.
那么R 是一个环.在这个环里，元(),0b 的阶是无限大，而元()0,c 的阶是.n 但在无零因子环里，情况就不会这样了.
定理1 在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的. 证 若环R 的每一个非零元的阶都是无限大，则定理结论正确.
若环R 存在阶为有限的非零元，设a R ∈，a 的阶是有限的，设其阶为正整数n .再设b 是R 的任一非零元，则
()()0na b a nb ==
（根据课本P84，（13）式）.
因0a ≠，环R 无零因子，故0.nb =于是，b 的阶不超过n ，即b 的阶不超过a 的阶. 同理可证，a 的阶不超过b 的阶.
于是，b 的阶等于a 的阶.
定义 一个无零因子环R 的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环R 的特征. 定理2 若无零因子环R 的特征是有限整数n ，那么n 是一个素数.
证 假设n 不是素数，则n 可以表示为12,n n n =其中121,1n n n n <<<<.
设a 为环R 的一个非零元，则a 的阶为n ，于是0na =，但120,0.n a n a ≠≠ 又因
()()()()()22121212120n a n a n a n a n n a n n a ⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦
， 这与R 没有零因子矛盾.
推论 整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数.p
在一个特征p 的交换环R 里，有
()p p p a b a b +=+，
其中,.a b R ∈
这是因为
()1111p p p p p p p a b a a b ab b p --⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭， 而p i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是p 的倍数，1,
, 1.i p =- 习题选解 1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.
(a )的特征是2;
(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程
证 (a ) 设F 的特征为P
则P 的(加)群F 的非零元的阶
所 4P (4是群F 的阶)
但要求P 是素数, .2=∴P
(b ) 设},,1,0{b a F =
由于2=P ,所以加法必然是
,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11
故有
0 1 a b
0 1 a b 1
1 0 b a a
a b 0 1 b b a 1 0 又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是
1,=⇒≠≠ab b ab a ab
1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2
故有
.
1 a b
1
1 a b a
a b 1 b b a 1
这样, b a , 显然适合12
+=x x
2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,
那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素).
证 设][a x ∈ 且d n x =),(
则11,dn n dx x ==
由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-
故有 ,a d ,且有 n d
因为 1),(=n a 所以1=d
3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说
作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)
证]{[a G =而][a 同n 互素} G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G
(ⅰ)G b a ∈][],[
则][]][[ab b a =
又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n ab
G ab ∈∴][
(ⅱ)显然适合结合律.
(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限.
若]][[]][['
x a x a =
即][]['ax ax = 由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴= 即有][]['
x x =
另一个消去律同样可证成立. G 作成一个群
4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n a n ≡φ(费马定理)
证 ),(n a 则G a ∈][
而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子
因此]1[]
[)(=n a φ 即]1[][)(=n a φ
)(1)(n a n ≡∴φ。