高考数学二次曲线的经典性质
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圆锥曲线的性质及对偶性质 （必背的经典结论）
高三数学备课组
一、切线
1.①圆222(0)x y R R +=>上点000(,)P x y 处的切线方程为200x x y y R +=。
②若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是0
0221x x y y a b
+=。 ③若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是0
0221x x y y a b
-=。 ④抛物线22y px =上点000(,)P x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；
抛物线22x py =上点000(,)P x y 处的切线方程为00()x x p y y =+。
2.①若000(,)P x y 在椭圆222
(0)x y R R +=>外 ，则过0P 作圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切
点弦12P P 的直线方程是200x x y y R +=。 ②若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是0
0221x x y y a b
+=。 ③若000(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为1P 、 2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y y a b
-=。 ④若000(,)P x y 在22y px =外，则过0P 作抛物线的的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的
直线方程是为00()y y p x x =+；若000(,)P x y 在2
2x py =外，则过0P 作抛物线的的两条切线 切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是为00()x x p y y =+。 二、焦半径及焦点弦
3.①1(,0)F c -、2(,0)F c ，00(,)M x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，椭圆的焦半径（坐标式） 公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-()。
1(,0)F c -、2(,0)F c ，00(,)M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，椭圆22
221(0)x y a b b a
+=>> 的焦半径（坐标式）公式：10||MF a ey =+,20||MF a ey =-。
记忆规律：左+右-、下+上-。
②1(,0)F c -、2(,0)F c ，双曲线22
221(0,0)x y a b b a
-=>>的焦半径（坐标式）公式： 当00(,)M x y 在右支上时，100||||MF e x a ex a =+=+,200||||MF e x a ex a =-=-； 当00(,)M x y 在左支上时，100||||MF e x a ex a =+=-+,200||||MF e x a ex a =-=--。
1(0,)F c -、2(0,)F c ，双曲线22
221(0,0)x y a b b a
-=>>的焦半径（坐标式）公式： 当00(,)M x y 在上支上时，100200||||,||||MF e y a ey a MF e y a ey a =+=+=-=-； 当00(,)M x y 在下支上时，100200||||,||||MF e y a ey a MF e y a ey a =+=-+=-=--。 记忆规律：左+右-、下+上-，长正短负。
③抛物线焦半径（坐标式）公式（0p >）：
④椭圆2221(0)x y a b a b +=>>的焦半径（倾斜角式）公式：2
||1cos cos ep b MF e a c αα
==±±。 椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的焦半径（倾斜角式）公式：2
||1sin sin ep b MF e a c αα
==±±。 记忆规律：长（焦半径）-短（焦半径）+。 ⑤1(,0)F c -、2(,0)F c ，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦半径（倾斜角式）公式： 2|||1cos ||cos |ep b MF e a c αα==±±。 1(0,)F c -、2(0,)F c ，双曲线22
221(0,0)x y a b b a
-=>>的焦半径（倾斜角式）公式： 2
|||1sin ||sin |
ep b MF e a c αα==±±。 记忆规律：长（焦半径）-短（焦半径）+。
⑥抛物线的焦半径（倾斜角式）公式（0p >）：
||1cos p PF α=±（焦点在x 轴上）； ||1sin p PF α=±（焦点在y 轴上）。
4.过圆锥曲线一焦点F 的焦点弦AB 的倾斜角为α（tan k α=），且(0)AF FB λλ=>，则
当焦点F 在x 轴上时1111||||11|cos |1e λλλλλαλ---===+++；
当焦点F 在y 轴上时1111||||11|sin |1
e λλλλλαλ---===+++。
5.①椭圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
②双曲线：以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交。
6.①椭圆：以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
②双曲线：以焦点半径1PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：P 在右支；外切：P 在左支）。
7.①P 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>上任一点，1F 、2F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立。
②P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上任一点，1F 、2F 为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则21||2||||AF a PA PF -≤+，当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立。
三、焦点三角形