轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法

一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.

例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA

PB x =u u u r u u u r

·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r

·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，

P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．

二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．

例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有

2

39263

BM CM +=⨯=．

M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，

其中1213c a ==，．2

2

5b a c =-=∴．

∴所求ABC △的重心的轨迹方程为

22

1(0)16925

x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313

3x x y y -++⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②

又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2

00y x =∴． ③

将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24

34(0)3

y x x y =++≠．

四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r

·，求直线AP

与A P ''的交点M 的轨迹方程．

解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐

标系．

设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫

' ⎪⎝⎭

，．

由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4

()()t y x a y x a a ta =+=--，．

两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．

评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r

．

（1）求E 点轨迹方程；

（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4

5

，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．

解：（1）设()E x y ，，由1()2

AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r

知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．

又2AD =u u u r

，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．

由题意设椭圆方程为22

2214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．

∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．

将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得22224

4(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045

x =-，即2242(3)5a a =-，解得2

8a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．

配套训练

一、选择题

1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

2. 设A 1、A 2是椭圆4

92

2y x +

=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )

A.14

92

2=+y x

B.14922=+x y

C.1492

2=-y x D.14

92

2=-x y

二、填空题

3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =2

1

sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.

4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题

5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.