(完整版)轨迹方程的五种求法例题
求轨迹方程题型全归纳
求轨迹方程的六种常用方法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+-化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得230203BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C为焦点的椭圆。
椭圆轨迹方程的求法
从课本看椭圆轨迹的求法一、待定系数法由不对称的两点确定椭圆方程时，由于焦点的位置不确定，一般可以用椭圆方程的一般形式，不必考虑焦点位置，直接用待定系数求解即可。
【例1】求经过两点)21,0(),31,31(-Q P 的椭圆的标准方程。
【答案】1415122=+y x 【解析】由于椭圆的焦点位置不确定，可以设椭圆方程的一般形式122=+ny mx 椭圆经过)21,0(),31,31(-Q P 两点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+14199n n m ，解之得⎩⎨⎧==45n m 故所求椭圆的标准方程为1415122=+y x . 二、定义利用定义求椭圆方程，关键在于从题干中寻找“动点到两定点的距离和为常数”，找准这一关系式，则确定了标准方程中的a ，c 。
【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 【答案】2213627x y += 【解析】设动圆圆心为),(y x M ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ， 将圆方程化解得()2234x y ++=，()223100x y -+=当⊙M 与1O 外切时，有12O M R =+，①当⊙M 与2O 内切时，有210O M R =-，② 将①②两式的两边分别相加，得1212O M O M +=，由椭圆的定义知，M 的轨迹是以1O 、2O 为焦点的椭圆则有3,6==c a ．从而所求椭圆方程为2213627x y +=. 【例3】如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程。
【答案】13422=+y x 【解析】因为1l 是线段BP 的垂直平分线，所以||||QB QP =即42QA QB AP AB +==>=由椭圆定义可知Q 点的轨迹是椭圆，且3,1,2===b c a ，所以曲线C 的方程为13422=+y x . 三、直接法直接法是将题干中的几何关系直接转化，化简，在处理时要注意几何关系有意义的前提条件，最后判断方程的曲线，曲线的方程是否一一对应。
求轨迹方程的常用方法及练习
求轨迹方程的常用方法及练习求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。
出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。
二、常用方法及例题1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
例谈动点的轨迹方程的四种求法
思路探寻求动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中，这类问题侧重于考查同学们的推理、分析以及运算能力.求解这类问题的主要方法有定义法、参数法、相关点法和交轨法.下面结合实例，谈一谈这四种方法的特点以及应用技巧.一、定义法定义法是指运用圆锥曲线的定义解题.若发现动点的轨迹形如椭圆、圆、双曲线、抛物线或其中的一部分曲线，就可以根据椭圆、圆、双曲线、抛物线的定义，确定定点、焦点、焦点与动点之间的关系，求得椭圆、圆、双曲线、抛物线方程中的各个参数，便可以快速确定曲线的轨迹方程.例1.如图1所示，已知圆C1：x2+（y+4）2=25和圆C2：x2+（y-4）2=1，某动圆C分别与圆C1和圆C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.图1解：由题意知两圆的圆心为C1(0,-4)，C2(0,4)，半径为r1=5，r2=1，设动圆C的半径为r，因为圆C分别与圆C1和圆C2外切，所以||CC1=r+5，||CC2=r+1，所以||CC1-||CC2=4<8，即点C到两定点C1、C2的距离之差为常数4，所以动圆圆心C的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支，可得2a=4，2c=||C1C2=8，所以b2=c2-a2=12.所以动圆圆心C的轨迹方程是y24-x212=1(y≥2).结合图形分析动圆C与圆C1、圆C2的位置关系，即可发现||CC1=r+5，||CC2=r+1，即可得出||CC1-||CC2=4<8，由此可联想到双曲线的定义，即平面内到两定点的距离之差为定值的点的轨迹，确定动点的轨迹，求得a、b、c值，即可求得动点的轨迹方程.二、参数法参数法是解答数学问题的重要方法.若动点受某些变量的影响，而我们又无法确定这些变量的取值，则需运用参数法，即用参数表示出变量，设出直线的斜率、点的坐标、曲线的方程等，然后将其代入题设中，建立关系式，通过恒等变换消去参数，即可求得动点的轨迹方程.例2.已知抛物线y2=4px(p>0)的顶点为O，A,B是抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b，因为OA⊥OB，所以k=-xy，由ìíîy2=4px，y=kx+b，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，所以x1x2=-b2k2，y1y2=-4pb k，因为OA⊥OB，所以y1y2=-x1x2，所以-4pbk=-b2k2，即b=-4kp，所以直线AB的方程为y=kx+b=k(x-4p)，将k=-xy代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)，即所求点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).解答本题主要运用了参数法，即先引入参数x、y，49k 、b 、x 1、x 2、y 1、y 2，设出动点M 的坐标、直线AB 的方程以及A 、B 两点的坐标；然后将直线与抛物线的方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式；最后通过恒等变换消去参数，得到关于x 、y 的方程，即为动点的轨迹方程.三、相关点法若两个动点之间存在某种特定的关系，则可以采用相关点法求解.先分别设出两个动点的坐标，并根据二者之间的关系，用所求动点的坐标表示另一个动点的坐标；然后根据另一个动点的几何关系，建立关于所求动点坐标的关系式，从而求得动点的轨迹方程.运用相关点法解题，要注意寻找两个动点之间的联系，并确定另一个动点所满足的几何关系.例3.如图2所示，在圆x 2+y 2=4上任意选取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD中点M 的轨迹方程.图2解：设点M (x ,y )，P (x 0,y 0)，因为M 为线段PD 的中点，所以ìíîïïx =x 0，y =y 02，得{x 0=x ，y 0=2y ，又因为点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，将{x 0=x ，y 0=2y ，代入上述方程中，得x 24+y 2=1，所以点M 的轨迹为一个椭圆，其方程为x 24+y 2=1.本题中P 、M 均为动点，且点M 随着点P 的运动而变化，需采用相关点法求解，先分别设出P 、M 两点的坐标；然后用M 点的坐标表示P 的坐标；再将其代入点P 的轨迹方程，即可确定点M 的轨迹及其方程.四、交轨法当问题中所求的动点为两条动曲线的交点时，往往需采用交轨法，即将两条动曲线的方程联立，消去其中的参数，得到的关于x 、y 的方程即为所求的动点的轨迹方程.例4.如图3所示，已知双曲线C ：y 24-x 23=1与y轴交于点A 1(0,-2)与点A 2(0,2)，直线l ：y =m 与双曲线交于点P ,Q ，直线A 1P 与直线A 2Q 相交于点M ，试求点M 的轨迹方程.图3解：设P (x 1,m )，Q (-x 1,m )，M (x ,y )，因为点P 在双曲线上，所以m 24-x 123=1.当x 1≠0时，直线PA 1的方程为y +2=m +2x 1x ，直线QA 2的方程为y -2=2-m x 1x，可得y 2-4=4-m 2x 12x 2，所以x 12=3m 2-124，将其代入y 2-4=4-m 2x 12x 2，得y 2-4=-43x 2，化简整理得y 24+x 23=1.当x 1=0时，点M 的坐标满足方程y 24+x 23=1.综上所述，点M 的轨迹方程为y 24+x 23=1.仔细分析题意可知，M 为直线A 1P 与直线A 2Q 的交点，且点A 1、A 2、P 、Q 都满足双曲线的方程，于是采用交轨法，求得两动直线A 1P 与A 2Q 的方程，再将两方程联立，消去参数，即可求出交点M 的轨迹方程.总之，求动点的轨迹方程，关键是要根据题目中的几何条件，寻找动点的横坐标与纵坐标之间的关系，建立关于动点的横坐标与纵坐标的方程.求动点的轨迹方程的方法很多，同学们需熟练掌握一些常用方法的特点、适用情形、解题思路，才能将其灵活地应用于解题中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）思路探寻50。
常见轨迹方程的求法2023届新高考数学
设 A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，M(x，y)，由韦达定理得 x1＋x2＝4＋k，x1x2＝
6.
7
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
∴x＝x1＋2 x2 ＝4＋2 k ，y＝kx＝4k＋2 k2 . 由yx＝＝44k＋2＋2k， k2， 消去 k 得 y＝2x2－4x. 又 2x＝x1＋x2＝4＋k，所以 x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞). ∴点 M 的轨迹方程为 y＝2x2－4x，x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞).
课堂练习
课后练习
利用椭圆、抛物线、双曲线的定义求轨迹方程的方法．
例 4 一个动圆 M 与圆 F1：x2＋y2＋6x＋5＝0 相外切，同时与圆 F2：x2 ＋y2－6x－91＝0 相内切，求动圆的圆心轨迹方程．
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知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
【解】设动圆半径为 r，依题意： |MF1|＝2＋r，|MF2|＝10－r. 两式相加得|MF1|＋|MF2|＝12. 所以 M 的轨迹是以 F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点，长半轴长为 6 的椭圆， 方程为3x62 ＋2y72 ＝1.
【答案】 B
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知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
4. (2019 新课标Ⅱ理)已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线
AM 和 BM 的斜率之积为－12 ，记 M 的轨迹为曲线 C. 求 C 的方程，并说明 C 什么曲线.
例 2 过原点作直线 l 和抛物线 y＝x2－4x＋6 交于 A，B 两点，求线段
AB 的中点 M 的轨迹方程．
【解】由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y＝kx.把它
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法
1.参数方程法：利用参数方程表示曲线上任意一点的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。
2. 一般式法：将曲线的一般式y=ax^2+bx+c和y=k(x-h)^2+v表示成标准式，然后进行配凑，求得曲线的轨迹方程。
3.隐式方程法：将曲线的形状表示成一些等式或者不等式，通过解方程或者判断不等式的不等关系确定曲线的轨迹方程。
4.极坐标方程法：对于极坐标系下的曲线，可通过极坐标方程
r=f(θ)来表示其轨迹方程。
5.向量函数法：将曲线表示为向量函数，即曲线上的任意一点p处的位置矢量可以表示为一个向量f(t)，则曲线的轨迹方程可以表示为
r(t)=f(t)。
求轨迹方程方法总结
高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为〔 〕A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.例1已知直角坐标平面上点Q 〔2，0〕和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数()0>λλ〔如图〕，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M 〔x ，y 〕，直线MN 切圆C 于N ，则有λ=MQMN ，即λ=-MQONMO 22，λ=+--+2222)2(1y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．假设1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；假设λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线等〕的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原Cy点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x . 例3 假设动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 〔A 〕012122=+-x y 〔B 〕012122=-+x y 〔C 〕082=+x y 〔D 〕082=-x y【解析】：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心〔－2，0〕的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以〔－2，0〕为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是〔1，0〕，开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选〔B 〕． 例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 〔A 〕抛物线 〔B 〕圆 〔C 〕双曲线的一支 〔D 〕椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支，选〔C 〕．三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。
高考数学专题复习——轨迹方程的几种常见求法
2008届高考数学专题复习——轨迹方程的几种常见求法1直接法：把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等【例1】 已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y )是轨迹上任意一点. 则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入， 得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0)为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆.【例2】某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？（直接法）解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. 【例3】 双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．解：（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 【例4】 已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入).2,5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24,14(4),1(12:).24,14(,242,0484,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222----=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-===-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k ky y x k y k k x kk k k k y DE k k E x y x ky AE k kD k y y ky k y x y x k y AD A m x y m A ),1,(21212,2,0)2(24),(),,(,,14)2,()3(212211222211112≠=--⋅--∴=⋅=+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+===x x x y x y k k b x kb x k xy b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD 得由的方程为设直线得代入将)2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).2().2(,)2(,)2(2,02)2())(22()2(,2222212212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==--=+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k b x x k kb x x b x x k kb x x k bkx y b kx y2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．例1设Q是圆x2+y2=4上动点另点A（0）。
求点的轨迹方程的六种常见方法
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
(完整word版)2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法.docx
高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法 .例 1 已知点A(2,0) 、 B(3,0). 动点 P(x, y) 满足 PA PB x2，则点P的轨迹为（）A ．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解： PA( 2x,y), PB(3x,y)， PA PB( 2x)(3 x)y2x2x 6y 2.由条件， x 2x6y2x 2，整理得 y2x 6 ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选 D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b、 c ，若a, c, b 依次构成等差数列，且a cb ， AB 2 ，求顶点 C 的轨迹方程.C y解：如右图，以直线 AB 为x轴，线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，a,c,b构成等差数列，2c a b ，A O Bx即 | CA || CB | 2 | AB | 4 ，又CB CA ， C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，a 2, c1，b3x2y 21(x0, x2) .，故 C 的轨迹方程为34三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标 x, y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例 3 如图，从双曲线C : x2y 2 1 上一点 Q 引直线P yl : x y 2 的垂线，垂足为N，求线段 QN的中点 P 的轨迹方程.QNO x解：设 P( x, y)，Q( x1 , y1 ) ，则 N (2x x1 ,2 y y1 ) .N 在直线 l 上，2x x1 2y y1 2. ①又PNy y11,即 x y y1x1 0 .②l 得x1x3xy 2联解①②得x 1 2.又点 Q 在双曲线 C 上， (3xy 2) 2( 3y x 2) 21 ，化简整理得：3y x222y 122x 2 2 y 2 2x 2 y10 ，此即动点 P 的轨迹方程 .四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程 .例 4 已知点 A( 3,2) 、 B(1,4) ，过 A 、 B 作两条互相垂直的直线 l 1 和 l 2 ，求 l 1 和 l 2 的交点 M 的轨迹方程 .解：由平面几何知识可知，当ABM 为直角三角形时，点 M 的轨迹是以 AB 为直径的圆 .此圆的圆心即为 AB 的中点 ( 1, 1) ，半径为1AB52 ，方程为 ( x 1) 2 ( y 1) 2 13 . 故 M 的轨迹方程为22(x 1) 2( y 1) 213 .五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x, y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x, y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例 5 过抛物线 y 22 px （ p0 ）的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 .解：设 M ( x, y) ，直线 OA 的斜率为 k (k0) ，则直线 OB 的斜率为1 .直线 OA 的方程为 y kx ，k由 y kxx2 p2 p ,2 p) ，同理可得 B( 2 pk 2 , 2 pk) .解得k2，即 A(y 2 2pxy2 pk 2kkx ppk 2由中点坐标公式，得k 2 ，消去 k ，得 y 2p(x2 p) ，此即点 M 的轨迹方程 .yppkk六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例 6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线x 2 y 2 1于y M a 2b 2PM 、 N 两点， A 1 , A 2 为双曲线的左、右顶点，求直线 A 1 O A 2 xA 1M 与NA 2 N 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设 P( x, y) 及 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 1 , y 1 ) ，又 A 1 ( a,0), A 2 (a,0) ，可得直线 A 1M 的方程为 yy 1 (x a) ①；直线 A 2 N 的方程为 y y 1 ( xa) ② .x 1 a x 1 a2y 12 22x 12 y 12 2b 222① × ② 得 yx 12a 2( xa ) ③ . 又a 2b 21,y 1a 2 (ax 1 ) ， 代 入 ③ 得y 2b 2 ( x 2a 2 ) ，化简得 x 2y 2 1，此即点 P 的轨迹方程 . 当 ab 时，点 P 的轨迹是以原点为a 2a 2b 2圆心、 a 为半径的圆；当a b 时，点 P 的轨迹是椭圆 .高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（ ）已知 F 1 、 F 2 是定点， | F 1F 2 | 8 ，动点 M 满足 | MF 1 | | MF 2 |8 ，则动点 M 的轨迹是（A ）椭圆（ B ）直线（C ）圆 （ D ）线段2．（）设 M (0,5) ， N (0, 5) ，MNP 的周长为 36，则MNP 的顶点 P 的轨迹方程是（A ） x 2y 21（ x 0）（ B ）x 2y 21（ x0 ）25 169 144169（C ）x 2y 21 （ y0 ）x 2y 21（ y0 ）169 25（ D ）1441693．与圆 x 2y 24 x 0 外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；x 2y 2F 1 F 2 P 的重心G 的轨迹方程是4． P 在以 F 1 、 F 2 为焦点的双曲线1上运动，则；1695．已知圆 C ： (x3) 2 y 216 内一点 A( 3 , 0 ) ，圆 C 上一动点 Q ， AQ 的垂直平分线交 CQ 于 P 点，则 P 点的轨迹方程为． x2y 2146． △ ABC 的顶点为 A( 5, 0 ) 、 B( 5, 0 ) ， △ ABC 的内切圆圆心在直线 x 3 上，则顶点 C 的轨迹方程是； x 2y 2 1 （ x 3 ）916变式：若点 P 为双曲线x 2y 2 1的右支上一点， F 1 、 F 2 分别是左、右焦点，则 △ PF 1F 2 的内切圆圆心916的轨迹方程是；推广：若点 P 为椭圆x 2y 2 1 上任一点， F 1 、 F 2 分别是左、右焦点，圆 M 与线段 F 1 P 的延长线、线段 259PF 2 及 x 轴分别相切，则圆心 M 的轨迹是；7．已知动点 M 到定点 A(3,0) 的距离比到直线x 4 0 的距离少 1，则点 M 的轨迹方程是． y 212 x8．抛物线 y2x 2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是．kk 2 ）x （ y849．过抛物线 y 24x 的焦点 F 作直线与抛物线交于P 、 Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦 PQ 中点的轨迹方程为．解法分析： 解法 1 当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 所在直线方程为y k (x 1) 与抛物线方程联立，y k ( x 1),2x2(2k24) x k20 ．y 2 消去 y 得 k4x设 P( x 1 , y 1 ) ， Q (x 2 , y 2 ) ， PQ 中点为 M (x, y) ，则有x 1x 2 k 2 2,xk 22消 k 得 y 2 2( x 1) ．2y k ( x1).k当直线 PQ 的斜率不存在时，易得弦 PQ 的中点为 F (1,0) ，也 满 足所求方程．故所求轨迹方程为y 22( x 1) ．解法 2设 P( x 1 , y 1 ) ， Q (x 2 , y 2 ) ，y 124x 1 , y 2 )( y 1 y 2 ) 4( x 1x 2 ) ，设 PQ 中点为 M ( x, y) ，由得 ( y 1y 224x 2 .当 x 1x 2 时，有 2 yy 1y 2 4 ，又k PQkMFy ，x 1x 2x1所以， yy 2 ，即 y 22( x 1) ．x1当 x 1 x 2 时，易得弦 PQ 的中点为 F (1,0) ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为y 2 2( x 1) ．10．过定点 P(1, 4) 作直线交抛物线 C : y 2x 2 于 A 、B 两点 , 过 A 、B 分别作抛物线 C 的切线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为 _________． y 4x4（二）解答题1．一动圆过点 P(0, 3) ，且与圆 x 2 ( y 3)2100 相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程．（定义法）x 2 y 2为椭圆另一顶点，2．过椭圆1 的左顶点 A 1 作任意弦 A 1 E 并延长到 F ，使 | EF | | A 1 E |， A 236 9连结 OF 交 A 2 E 于点 P ，yF求动点 P 的轨迹方程．EA 1POA 2x3．已知 A 1 、 A 2 x 2 y 2 1的长轴端点， P 、Q 是椭圆上关于长轴A 1 A 2 对称的两点， 求直线 PA 1 和是椭圆2 b 2aQA 2 的交点 M 的轨迹．（交轨法）4．已知点 G 是 △ABC 的重心， A(0, 1), B(0,1) ，在 x 轴上有一点 M ，满足uuur uuuur uuuuruuur R ．| MA | | MC | ， GM AB（1）求点 C 的轨迹方程； （ 2）若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点uuur uuurP 、Q ，且满足 | AP | | AQ | ，试求 k 的取值范围．解：（ 1）设C (x, y)，则由重心坐标公式可得G( x,y) ．uuuur uuur33 M (x,0) ．∵ GM AB ，点M在 x 轴上，∴3uuur uuuur( x)2x)2y2x2y21) ，∴1( x1．∵ | MA || MC | ， A(0,，即333故点 C 的轨迹方程为x2y21（ y1）．（直接法）3（2）设直线l的方程为y kx b （b1），P( x1, y1)、Q (x2, y2)，PQ的中点为 N ．y kx b,消 y ，得(13k 2 ) x26kbx3(b21)0 ．由3y 2x2 3.∴36k2 b212(13k 2 )(b21)0 ，即 13k 2b20 ．①又 x1x26kb，∴ y1y2k( x1x2 )2b6k2 b2b12b，13k 213k 23k 2∴ N (13kb,1b) ．3k 23k 2uuur uuur1b211 ，13k∵ | AP | | AQ | ，∴AN PQ ，∴k AN，即k3kb k13k 2∴ 13k 22b，又由①式可得2b b20 ，∴0b2且 b 1．∴ 013k 2 4 且 13k 2 2 ，解得1k 1 且k3．3故 k 的取值范围是1k1且k3．3uuur uuuur uuur uuuur5．已知平面上两定点M (0, 2) 、 N (0,2) ，P为一动点，满足 MP MN PN MN ．（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（直接法）uuur uuurC 的切线，设其交点为Q，（Ⅱ）若 A 、B 是轨迹C上的两动点，且AN NB ．过A、B两点分别作轨迹uuur uuur证明 NQ AB 为定值．uuur( x, y2)uuuur uuur(x, 2y) ,解： (Ⅰ )设P( x, y)．由已知MP， MN(0, 4) ， PNuuur uuuur8 ．MP MN 4 yuuur uuuurx22)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3PN MN 4( y分uuur uuuur uuur uuuur8 4 x2( y2)2x28 y ．∵ MP MN PN MN ，∴ 4y整理，得即点 P 的迹 C 抛物，其方程x28y ．uuur uuur uuuur uuur 6．已知 O 坐原点，点、，点、、足 | AE |（m1），MN AF 0 ，E(m | EF |1,0) F (1,0) A M Nuuur 1uuur uuur uuuur uuurON(OA OF ) ，AM // ME．求点M的迹W的方程．2uuur1 uuur uuuruuuur uuur解：∵ MN AF0 ，ON(OA OF ) ，2∴ MN 垂直平分 AF ．uuuur uuur又AM // ME ，∴ 点M在AE上，uuuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ | AM | | ME | | AE | m | EF | 2m ， | MA | | MF | ，uuur uuur uuur∴ | ME | | MF | 2m | EF | ，∴点 M 的迹 W 是以 E、 F 焦点的，且半a m ，半焦距c 1 ，∴ b2a2c2m2 1．∴点 M 的迹 W 的方程x2y21（m1）．m2m217 ．x, yr( y 2) j ，R ，i , j直角坐系内x, y正方向上的位向量，若向量 a xir r rb xi ( y 2) j ，且 | a | |b | 8 ．（1）求点M ( x, y)的迹C的方程；（定法）（2）点(0,3)uuur uuur uuurl ，使得四作直 l 与曲 C 交于 A 、 B 两点，OP OA OB ，是否存在的直形 OAPB是矩形？若存在，求出直l 的方程，若不存在，明理由．解：（ 1）x2y21；1216（2）因l y上的点(0,3)．若直l是y，A, B两点是的点．uuur uuur uuurOAPB 是矩形矛盾．Q OP OA OB 0 ，所以P与O重合，与四形故直线 l的斜率存在，设l方程为 y kx 3 ， A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ．y kx3,3k 2 ) x2(18k) 23k 2 )(由x2y21,消 y 得(418kx 210, 此时4(421) ＞0恒成立，1216且 x1 x218k， x1x221，43k 243k 2Q uuur uuur uuurOP OA OB ，所以四边形OAPB是平行四边形．若存在直线 l ，使得四边形 OAPB 是矩形，则 OAuuur uuur0 ．OB ，即OA OBuuur uuurQ OA(x1, y1 ), OB ( x2, y2 ) ，uuur uuurx x y y0 ．∴ OA OB2121即 (1 k 2 ) x1 x23k( x1x2 ) 9 0．(1k 2 )(421 2)3k(18k 2)9 0 ．k25，得 k5．3k43k164故存在直线 l ：y 5 x 3 ，使得四边形OAPB是矩形．48F l2E uuur=2EF l G Q l到定直线的距离为满足： | EF |，且于，点是直线上．如图，平面内的定点，定点uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur0 ．一动点，点 M 满足：FM MQ ，点P满足： PQ // EF ， PM FQ（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点 E 的直线l1与点 P 的轨迹交于相异两点A、 B，令AFB，当3时，求直线 l1的斜率k的取值范围．41FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设点 P( x, y) ，解：（）以则 F (0,1) ， E(0,3) ， l : y1．uuuur uuuur uuur uuur1) ，M (x, 0)．∵ FM MQ ， PQ // EF ，∴ Q(x,uuuur uuur2 x(y) ( 2) 0 ，∵ PM FQ 0 ，∴(x)2即所求点 P 的轨迹方程为x24y ．（ 2） 点 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 )( x 1x 2 )AF 的斜率 k 1 ， BF 的斜率 k 2 ，直 l 1 的方程 ykx 3由y kx 3⋯⋯⋯⋯6 分得 x 2 4kx 12 0x24 yx 1 x 24kx 1 x 212 ⋯⋯⋯⋯7 分1y 2x 12x 22 x 1 x 2 29y44( )4k 24y 1 y 2 k(x 1 x 2 ) 6 6 ⋯⋯⋯⋯8 分FA ( x 1 , y 1 , 1), FB (x 2 , y 2 1) FA FB x 1 x 2 ( y 1 1)( y 2 1)x 1 x 2 y 1 y 2 (y 1 y 2 ) 1 12 9 4k 2 6 14k 28又 | FA | | FB | ( y 11)( y 2 1)y 1 y 2 ( y 1y 2 ) 1 9 4k 26 1 4k 216cosFA FB 4k 2 8k 2 2⋯⋯⋯⋯ 10分| FA | | FB |4 k 21624k32 即k 222⋯⋯⋯⋯ 11分由于1cos142k 2 42k 22 2k 2解得 k48或 k482 2 2⋯⋯⋯⋯ 13分k 42∴直 l 1 斜率 k 的取 范 是 { k | k48, 或 k 48}9F (1, 0)， 点P在y上运 ， 点P作 PM交 x于点M，并延MP到点 N，．如 所示，已知定点uuuur uuuruuuur uuur 且 PM PF 0， | PM | | PN |．（1）求 点 N 的 迹方程；uuur uuur（2）直 l 与 点 N 的 迹交于4 ，且 4 6 | AB | 4 30 ，求直 l 的斜率A 、B 两点，若 OA OBk 的取 范 ．uuuuruuur x,0) ，yN 解：（ 1） N (x, y) ，由 | PM| | PN |得 M (uuuuruuury) ，PP(0,x,y) ， PM (y) ， PF (1,222MoFxuuuur uuury 20 ，即 点 N 的 迹方程 y 2又 PM PF0，∴x4x ．4uuuur uuur uuuuruuur r 10F (0, 1) ，点 M在 x 上，点 N在 y上，P点， 足MN MF 0 ， MNMP0 ．．已知点（1）求 P 点 迹 E 的方程；r22的两条切线，分别交x 轴与A、B两点，求 | AB | 的取值范围．解：（ 1）设M ( a,uuuur(uuur( a, 1) 、0) 、 N (0, b) 、 P(x, y) ，则 MN a, b) 、 MFuuur(x a, y) ．MP(a, b)( a, 1)0,a2b0,1 x2，由题意得∴x∴ y(a, b)(x a, y)(0, 0).a, b2y,4故动点 P 的轨迹方程为 y1x2．4uuuruuur1 ，11．如图A(m,3m) 和 B(n,3n) 两点分别在射线OS、 OT 上移动，且 OA OBuuur uuur uuur2O 为坐标原点，动点 P 满足OP OA OB ．（1）求m n的值；（ 2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（）若直线过点 E(2,0)交（）中曲线C 于M、Nuuur uuurl的方程．3l两点，且 ME3EN ，求2uuur uuur(m,3m) ( n,3n)2mn 1 ，∴ mn1解：（ 1）由已知得OA OB．uuur uuur uuur24（ 2）设 P 点坐标为( x, y)（x0 ），由OP OA OB 得y (x, y)(m,3m)(n,3n)(m n,3( m n)) ，Ax m n,消去 m ， n 可得x2y 2Ox∴4mn ，P y3( m n)31，∴ P 点的轨迹方程为x2y 2B又因 mn 1 (x0) ．43y 2它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为 4 的双曲线x2 1 的右支．3（3）设直线 l 的方程为x ty 2 ，将其代入C的方程得3(ty2)2y23即(3t 21) y212ty90 ，易知 (3t21)0 （否则，直线l 的斜率为 3 ，它与渐近线平行，不符合题意）又144t 236(3t 21)36(t21)0 ，设 M ( x1, y1), N ( x2 , y2 ) ，则y1y23t 12t, y1 y23t91 212∵l 与 C 的两个交点M , N 在y轴的右侧x 1 x 2 (ty 1 2)( ty 2 2) t 2 y 1 y 2 2t( y 1 y 2 ) 4t 29 2t12t 43t 2 4 0 ，3t 2 2 13t 2113t∴ 3t 210 ，即 0 t 2 1 ，又由 x 1 x 2 0 同理可得0 t 2 1 ，33uuur uuur x 1, y 1) 3(2 x 2 , y 2 ) ， 2 x 1 3(2 x 2 ) 由 ME 3EN 得 (2 ∴y 1 3y 2由 y 1y 23y 2 y 22 y 212t 1 得y 2 6t ，3t 2 3t 2 1 由 y 1 y 2( 3y 2 ) y 229 得 23 ，3y 23t 2y 23t 211消去 y 2 得36t 23 1解之得： t21，满足 0 t 21 ．(3t 2 1)23t 2153故所求直线 l 存在，其方程为：15x y 2 50 或 15x y 2 5 0 ．y 2 5x 和 y2 5x 上的两个动点，并且uuur12．设 A ， B 分别是直线| AB | 20 ，动点P 满足55uuur uuur uuur OP OA OB ．记动点 P 的轨迹为 C ．（I ） 求轨迹 C 的方程；（II ）若点 D 的坐标为（ 0，16）， M 、N 是曲线 C 上的两个动点，且uuuur uuurDM DN ，求实数的取值范围．解：（ I ）设 P( x, y) ，因为 A 、 B 分别为直线 y2 5x 和 y 2 5x 上的点，故可设 552 5x 1 ) ， B( x 2 ,2 5A(x 1,55 x 2 ) ．uuur uuur uuur xx 1 x 2 ,x 1 x 2 x, ∵ OP OA OB ， ∴ y25 (x 1． ∴x 1x 25 ．5 x 2 )2 yuuur 20 ，∴ ( x x )24( x x )220 ．又 AB1 2512∴5y 2 4 x 2 20 ． 即曲线 C 的方程为x 2y 2 1 ．4 52516（II ） 设 N （s ， t ）， M （ x ，y ），则由 DMDN ，可得（ x ，y-16 ） =(s ，t-16) ．故 x s ， y 16(t 16) ．s2t 21,∵ M 、N 在曲线 C 上，∴25161616) 22s2( t 1.2516消去 s 得2 (16 t 2 )( t16 16) 21．1616由题意知0 ，且 1 ，解得t 17152．又t 4 ，∴1715 4 ．解得351 ）．5（23故实数的取值范围是35（1）．5313．设双曲线y2x2的两个焦点分别为F1、 F2，离心率为2．a231（1）求此双曲线的渐近线l1、 l2的方程；（ y 3x ）3（2）若 A、 B 分别为l1、l2上的动点，且2 | AB | 5 | F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（x23y2751 ）25提示：| AB |10(x1x2 )2y1210 ，又 y13x1， y23x2，y233则 y1y23( x2x1) ， y2y13( x1x2 ) ．33又 2x x1x2， 2 y y1y2代入距离公式即可．uuur uuur0 ，若存在，求出直线l的（3）过点N (1, 0)是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP OQ方程；若不存在，说明理由．（不存在）y 14 ．已知点 F (1, 0 ) ，直线l : x 2 ，设动点P 到直线l 的距离为 d ，已知Ml| PF |2 d ，且2d3．（1）求动点P 的轨迹方程；232PG O F Cx15．如，直l : y kx 1与 C : ax2y2 2 （a 1 ）交于A、B两点，以OA、OB作平行四形 OAPB （O 坐原点）．（1）若k1，且四形OAPB 矩形，求 a 的；（a 3 ）（2）若a 2 ，当 k 化（ k R ），求点P的迹方程．（2x2y2 2 y 0 （ y 0 ））16 ．双曲C ：x2y21 （a0 ， b 0 ）的离心率2 ，其中A(0,b) ， B(a, 0)，且a2b2uuur 2uuur 24uuur2uuur2| OA ||OB || OA || OB |．（ 1）求双曲 C 的方程；3（2）若双曲 C 上存在关于直l ：y kx 4 称的点，求数k的取范．c2,a4 a2b2,解：（ I）依意有：a2b2解得： a 1, b3, c 2.3a2b2c2 .所求双曲的方程x 2y2 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3（Ⅱ）当 k=0 ，然不存在．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当 k≠0 ，双曲上两点M 、N 关于直 l 称．由 l⊥ MN ，直 MN 的方程y 1x b ．kM 、 N 两点的坐足方程y 1 x b,消去 y 得(3k 21)x22kbx(b23)k20 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分由k3x 2y2 3.然 3k 210 ，∴(2kb) 24(3k21) (b 23)k 20 ．即k2b23k 2 1 0 ．①段 MN 中点 D（x0, y0）kbx 02 ,3k 2bk 2b3k1∵ D （ x 0 , y 0 ）在直 l 上，∴2b=3k 212213k 214 ．即 k②y 03k b .3k3k 2 1把② 入①中得k 2 b 2 +bk 2 0 ，解得 b 0 或 b 1．∴ 3k 2 13k 2 1<-1 ．即 k3 1，且 k ≠0．k 2或k2或 k23∴ k 的取 范 是 (,3 1 1 3) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分3 ) U (,0) U (0, ) U ( ,223uuur uuur y =1 的距离等于d ，并且 足17．已知向量OA =(2， 0) ， OC = AB =(0， 1)， 点 M到定直uuuur uuuuruuuur uuuurOM ·AM =K( CM ·BM - d 2)，其中 O 坐 原点， K 参数 .（Ⅰ）求 点 M 的 迹方程，并判断曲 型；（Ⅱ）如果 点M 的 迹是一条 曲 ，其离心率e 足3≤e ≤2，求 数 K 的取 范 .3218 ．抛 物y 24x 的 焦 点 作 两 条 弦 AB 、uuur uuur uuuur1 uuur uuurCD ， 若 AB CD 0 ， OM(OAOB) ，uuur1 uuuruuur2ON(OC OD) ．2（1）求 ：直MN 定点；（ 2） （ 1）中的定点 Q ，求AQB 角；（3）分 以 AB 、 CD 直径作 ，两 公共弦的中点H ，求 H 的 迹方程，并指出 迹是什么曲 ．19 05年江西）如 ，M是抛物 上y2x上的一点， 弦ME、MF分 交x 于 A、 B两点，且．（MA MB ．（ 1）若 M 定点， 明：直EF 的斜率 定 ；（2）若 M 点，且EMF90o ，求△ EMF 的重心 G 的 迹．思路分析： （ 1）由直 MF （或 ME ）方程与抛物 方程 成的方程 解出点 F和点 E 的坐 ，利用斜率公式来 明； （2）用 M 点的坐 将 E 、 F 点的坐 表示出来，而表示出G 点坐 ， 消去 y 0即得到 G的 迹方程（参数法） .解：（ 1）法一：M ( y 02 , y 0 ) ，直 ME 的斜率 k （ k0 ），yM则直线 MF 的斜率为k ，方程为 y y 0 k( x y 02 ) ．∴由y y 0 k( x y 02 ) ，消 x 得 ky 2yy 0 (1 ky 0 ) 0 ，y 2 x解得 y F1 ky 0，∴ x F (1 ky 0 )2，kk 2y E y F1 ky 0 1 ky 02 1∴ k EF k kk (定值 )．所以直线 EF 的斜率为定值．x Ex F (1 ky 0 ) 2 (1 ky 0 )24ky 02y 0k 2k 2k 2法二： 设定点 M (x 0 , y 0 ) ， E ( x 1, y 1 ) 、 F ( x 2 , y 2 ) ，y 02x 0 , 得 ( y 0y 1)( y 0 y 1)x 0 x 1 ，即 k ME1kMF1由xy 0；同理y 2．y 2 y 1y 011∵ MAMB ，∴ k MEkMF，即11，∴ y 1 y 22 y 0 ．y 0y 1y 0 y 2所以， k EFy 1 y 2 y 1 y 2 y 1 1 y 2 1 （定值）．x 1 x 2 y 12 y 22 2 y 0第一问的变式：过点 M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线 EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2） 当 EMF90o 时, MAB 45o ,所以 k 1,直线 ME 的方程为 yy 0 k ( x y 02 )yy 0x y 022,1 y 0 ) 同理可得 F ((1 y 0 ) 2, (1 y 0 )).由x得 E((1 y 0 )y 2x M x E x Fy 02(1 y 0 )2(1 y 0 )22 3y 02x3 3 3 设重心 G （ x, y ），则有x Mx Ex Fy 0(1 y 0 ) (1 y 0 )y 0y333消去参数 y 0 得 y 21x2(x2) ．927320．如图， ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使uuuur uuur uuur得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上，记为 B ，折痕 l 与 AB 交于点 E ，点 M 满足关系式 EMEB EB ． （1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；uuur uuur （2）若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的， F 是 AB 边上的一点，BA 4BF ，uuur uuur过点 F 的直线交曲线 C 于 P 、Q两点，且PF FQ ，求实数的取值范围．。
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动点轨迹方程的求法
一、直接法
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简
整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与
的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，
．整理得，这就是动点
M的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若
λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，
为半径的圆．
二、代入法
若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入
已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般
用于两个或两个以上动点的情况．
例2 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，
且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲
线．
【解析】：设，由题设，P分线段AB的比，∴
解得.又点B在抛物线上，
其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P的轨迹方程为
其轨迹为抛物线．
三、定义法
若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方
程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．
例3 若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是
122yx
MQ
0
MQ
MN
MQONMO
22
2222)2(1yx
yx
0)41(4)1()1(222222xyx
1
45x)0,4
5
(
222222
2
)1(3112
yx）－（
)0,12(
2
2
13122
12xy
),(),,(11yxByxP
2
PB
AP
.2121,212311yyxx
2123,232
3
11
yyxx
12xy
.1)2323()2123(2xy
),31(32)31(2xy
4)2(22yx
（A） （B）
（C） （D）
【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到
定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且
p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．
例4 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为
（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆
【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距
离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．
四、参数法
若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的
制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．
例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆
的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直
线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得
所以椭圆方程为．
(2)设点解方程组得
由和得
012122xy
012122xy
082xy082xy
)1(122xy
122yx012822xyx
.1,2,1MOMC
rMC
rMO
12tt
OQ
OP
).0(12222＞＞babxay
,,122t
b
a
ba
.11.122222t
b
t
t
a
222222
)1()1(tytxtt
),,(),,(11yxQyxP
,,)1()1(1122122122txy
tytxtt
.)1(2,)1(212121t
t
y
t
x
12ttOQOP1xxOQOP
,2,2,2222tytxty
t
x
或
其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其
轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线
在侧的部分．
五、交轨法
一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的
方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．
例6 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移
动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．
【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，
则PA：QQB：消去t，得
当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以
点M的轨迹方程是
以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关
系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中
变量的取值范围．
)22(222xyx
)22(222xyx
yx22222xyx222
2
2
x
)2,0(),2,2(QP
2
)1,1(),,(ttBttA
),2)(2(222txtty).1(112txtty
.082222yxyx
.0822222yxxyx