高三数学轨迹方程50题及答案精选

高三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法. (1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 . 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F （1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为 . 18、曲线x 2+4y 2=4关于点M （3，5）对称的曲线方程为 . 19、经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦中点轨迹方程是 .20、倾斜角为4π的直线交椭圆42x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 .21、两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 .三、解答题：22、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程.23、求以直线2:-=x l 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN 端点的轨迹方程.24、设△ABC 的两顶点B 、C 坐标为（－1，0），（1，0），当∠BAC=3时，求动点A 的轨迹方程.25、线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a ，|CD|=2b ，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．26、 点A(-1，0)、B(2，0)，动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程．27、已知椭圆162422y x +=1，直线l :812y x +=1, P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ||OP|=|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.28、△ABC 的底边BC=16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.29、（2007北京）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．30、已知△ABC，A(-2，0)、B(0，-2)，第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．31、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.2007年11月20日 zishi 编辑第 4 页共 24 页32、已知定点A（3，0），p是圆O：x2+y2=1上的一动点，且∠AOP的平分线交直线PA于Q，求点Q的轨迹.33、点Q 为双曲线x 2－4y 2=16上任一点，定点A(0,4)，求内分AQ 所成比为21的点P 的轨迹.34、已知直线l 过原点与抛物线C ：y=x 2－2x+2有两个交点P 、Q 、M 为射线OP 上的点，且||1||1||1OQ OP OM +=（O 为原点），求M 的轨迹方程.35、过点A （0，a ）作直线与圆(x －2)2+y 2=1顺次相交于B 、C 两点，在BC 上取满足BP ：PC=AB ：AC 的点P ，（1）求点P 的轨迹方程.（2）证明不论a 取何值，轨迹恒过一定点.3、已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程及点Q 的横坐标的取值范围.37、已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．38、（05广东）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.39、（2005江西）21．（本小题满分12分）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.40、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ． （Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．41、（已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．42、设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)43、如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的 轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离.44、双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.45、已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A （1，0）及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.46、如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线L：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程.47、过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，（1）求AB中点p的轨迹方程.（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程.（求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程.）48、已知两点P（－2，2），Q（0，2）以及一直线l：y=x，设长为2的线段AB（A在B下方）在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.49、已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点， QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点， （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.50、已知椭圆C 的方程为222y x +=1，点P(a, b)的坐标满足≤+222b a 1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求： （1）点Q 的轨迹方程.（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点个数.求轨迹方程答案1、C2、B3、B4、C5、B6、B7、C8、C9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D 16、22220xy xy 17、2219()24xy 18、22(6)4(10)4x y19、22(1)yx 20、4440(55)55x yx21、221010({{x x y y x yx y 且) 22、2412(4){x x y(03)(34)x x23、解：设M （x ，y ），过M 作l MA ⊥于A ，22||y x MO +=，2||+=x MA ，∴e x y x =++222，又过M 作x O M ⊥'轴于O ＇，因为点M 为短轴端点，则O ＇必为椭圆中心，∴c x O O =='||，22||y x a MO +==，∴22yx x ac e +==，∴22222yx x x y x +++化简得y 2=2x ，∴短轴端点的轨迹方程为y 2=2x （x ≠0）.24、2234()33x y(y>0)和2234()33x y(y<0) 25、解 以AB 中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图2-4所示．设P(x ，y)，又A(-a ，0)、B(a ，0)、C(0，-b)、D(0，b)，由题设知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|．26、解 设点M(x ，y)，∠MAB=α，则∠MBA=2α， tan α=k MA =(1)∵∠MBA=2∠MAB ，∴|MA|＞|MB|．(2)当∠MBA=90°时，MB 的斜率不存在，此时△MAB 为等腰直角三角形，求得点M(2，3)或M ′(2，-3)．经验证，点M 或M ′在曲线上． (3)当点M 为线段AB 的内分点时，满足题设∠MBA=2∠MAB ，∴y=0，且-1＜x ＜2是轨迹的一个方程． (4)点M 在x 轴下方时，∠MBA 为MB 的倾斜角，此时MA 的倾斜角为π-∠MAB ．用同样的方法，可求得上述方程．27、2223460(00)x y x y x y 且28、以直线BC 为x 轴，线段BC 的中点为原点建立直角坐标系2222(1)1(0)10036(2)1(0)900324x y y x yy 29、解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又22(20)(02)22AM =-++=．从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =．所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤ 30、解 设△ABC 重心为G(x ，y)，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得∴y=9x 2+12x+3，即为所求轨迹方程．31、解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 32、29(3)16xy 33、2294(38)16x y34、220(22)y x y x35、（1）22222323230()44aa aa x ay ya a （2） 3(,0)236、解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由QBAQPB AP -=可得：x x x x x x --=--212144，解之得：)(82)(4212121x x x x x x x +--+=（1）设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k（2）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.234++=k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x在（2）中，由02464642>++-=∆k k ，解得41024102+<<-k ，结合（3）可求得 .910216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （910216910216+<<-x ）. 37、 解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．38、（I ）设1122(,),(,),(,)G x y A x y B x y ，则消去1212,,,x x y y 得2223y x =+； （II ）222244112212111()()2222AOB S OA OB x y x y x x ∆==++=++ 21212()212x x ≥+=，当4412x x =，即121x x =-=-时，等号成立.39、解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得2200)1(,1kky x k ky y F F -=∴-=解得 ).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M).32(2729120>-=x x y y 得消去参数40、（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k+=-+，21222212m b x x k -=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即22200202b x x --=， 解得22023x b =．这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=． 解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=， 于是2220122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=， 于是222012220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=． 41、解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-． 将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-． 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④ 241k y k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y -=，将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，当AB不与x轴垂直时，由（I）有212241kx xk+=-，2122421kx xk+=-．以上同解法一的（II）．42、解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有。