2014计算方法试题及参考答案

研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 闭卷 年 级： 2014 学时： 54 考试时间： 2015年1月6日 专 业： 学生姓名: 学号:

一、填空题（共10个空，每空3分，共30分）

1、设近似值p 的相对误差为2%，那么n p 的相对误差为 2%n ⨯ ；

2、设(1,2,2)T x =-，1102A -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则2||||x = 3 ，1||||A = 3 ；

3、设()f x 可微，求方程()x f x =的牛顿迭代公式是1()

1()

n n n n n p f p p p f p +-=-'-。

4、求解方程组12126510x x x x +=⎧⎨+=⎩ 的Jacobi 迭代公式为112

121

620.2k k

k k

x x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ，该迭代 是 收敛；

5、已知(4)2f =，(9)3f =，则()f x 的线性插值多项式为1()0.2 1.2p x x =+；

6、求积公式0

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度以Gauss 型求积公式为最高，具有21n +

次代数精度；

7、对初值问题0

(,)

(a)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，显式Euler 方法的绝对稳定区间为[2,0)-。

二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）

1、对实数0a ≠，应用牛顿法于方程10a x -=，导出求1

a

的迭代公式，证明它二阶

收敛。

解：设1()f x a x =-，则方程10a x -=的解1a

的牛顿迭代公式为2

12n n n p p ap +=-。

令2()()2()f x g x x x ax f x =-

=-'，则11g a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11220g a a a ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，120g a a ⎛⎫

''=-≠ ⎪⎝⎭

。故迭氏公式是二阶收敛的。

2、用LU 分解求解方程组：

1231231

2324144565125

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩。

解：设2144416512A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，155b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 。令A LU = 得100210311L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

，214027007U ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭。

令UX Y =，方程组化为LY b =，解之得：131Y ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

。最后再解方程组UX Y =得

27117X ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。

3、对下面线性方程组

1231231

23321015104521048

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

--=⎨⎪+-=⎩

（1）试建立一种收敛的Gauss Seidel -迭代公式，说明理由 （2）取(0)(0,0,0)T X = ，计算出(2)X 。

解：（1）改变方程的次序得新方程组1231231

23104521048321015

x x x x x x x x x --=⎧⎪

+-=⎨⎪++=⎩，它的系数矩阵是严格对角占

优矩阵，所以其Gauss Seidel -迭代是收敛的。Gauss Seidel -迭代为

(1)()()

123(1)

(1)()

213(1)(1)(1)3120.50.40.10.80.20.41.50.30.2k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=-+⎨⎪=--⎩

。 （2）当(0)(0,0,0)T X =时，(1)(0.5,0.7,1.21)T X =，(0)(0.901,1.1038,1.0021)T X =

4、已知sin x 在区间[0.4,0.8]的函数表

如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选取结点才能使误差最小？并求该近似值。

解：由插值余项得结点应选为与插值点最近的三个点即0.5,0.6和0.7，插值多项式为：

2(0.6)(0.7)(0.5)(0.7)(0.5)(0.6)

()0.479420.564640.64422

(0.50.6)(0.50.7)(0.60.5)(0.60.7)(0.70.5)(0.70.6)

x x x x x x L x ------=

++------ 20.282 1.16240.03128x x =-+- sin0.63891的近似值为：

2(0.63891)0.2820.63891 1.16240.638910.031280.59627L =-⨯+⨯-≈

5、求形如1

y ax b =

+（,a b 为常数）的经验公式，使它与下表数据相拟合。

解：令X x =，1Y y =。函数1y ax b

=+化为Y aX b =+，数据(,)i i x y 化为(,)i i X Y 如表：

问题化为求形如Y aX b =+的经验公式，使它与上表数据据拟合。 建立矛盾方程：

00.9901

3.0003253 6.9979

a b a b a b a b +=⎧⎪+=⎪

⎨

+=⎪⎪+=⎩ 法方程为：

14633.9946415.9883a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解之得： 2.0023a =，0.9936b =。 形如1

y ax b

=

+（,a b 为常数）的经验公式为： 1

2.00230.9936

y x =

+。

也可简化为1

21

y x =

+ 6、求,A B 使求积公式[]11

11()(1)(1)22f x dx A f f B f

f -⎡

⎤

⎛⎫⎛⎫≈-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎰的代数精度尽量高，并求其代数精度。利用此公式求2

1

1

I dx x

=⎰。 解：令公式对2()1,f x x =是精确的，得