电磁波的辐射

第五章 电磁波的辐射

§5.1 电磁场的矢势和标势

1. 矢势和标势

（1）矢势

因为0=⋅∇B

，故存在矢势A ，使得

A B

⨯∇= （5.1.1）

矢势A

沿任一闭合环路L 的线积分等于通过以L 为边界的任意曲面S 的磁通

量，即

⎰⎰⎰Φ=⋅=⋅⨯∇=⋅S

S

L

S d B S d A l d A

(5.1.2)

(2) 标势

由麦克斯韦方程组的 0=∂∂+⨯∇t

B

E 和（5.1.1）式得 0)(=∂∂+⨯∇t

A

E

可见t

A E ∂∂+ 是无旋场，因此存在标势ϕ，使得

ϕ-∇=∂∂+t

A E

所以

t

A E ∂∂--∇=

ϕ （5.1.3）

（3）用矢势和标势描述电磁场

在宏观领域里，通常用B E

和描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势A 和

标势ϕ描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用A

和

ϕ描述电磁场。

2. 规范变换

（1）规范变换

对于一个给定的电磁场，它的B E

和都是确定的，但它的A 和ϕ却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。设),(t r

ψ为有连续二级偏微商的任意函数，则

当

ψ∇+=A A

' （5.1.4）

t

∂∂-

=ψ

ϕϕ' （5.1.5） 时，ϕϕ,,''A A

与 所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。 （2）两种规范

为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择A

⋅∇为某个值。这叫做选择规范。

（a ） 库仑规范

0=⋅∇A

（5.1.6）

（b ） 洛伦兹规范

t

c A ∂∂-=⋅∇ϕ21 (5.1.7)

3. 势的微分方程

在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得

J t c

A t A c A 022222

)1(1μϕ-=∂∂+⋅∇∇-∂∂-∇ （5.1.8）

2

ερ

ϕ-=⋅∇∂∂+∇A t （5.1.9）

（1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为

J t c

t A c A 022222

11μϕ-=∇∂∂--∂∂-∇ （5.1.10）

2ερ

ϕ-

=∇ （5.1.11） 这时，标势ϕ与静电势相同，就是库仑势。

（2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为

J t

A c A 02222

1μ-=∂∂-∇ （5.1.12）

02222

1ερ

ϕϕ-=∂∂-∇t

c （5.1.13）

这时ϕ和A 满足相同的方程——达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流A J

是的波源，电荷ϕρ是的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播。

§5.2 推迟势

设电荷和电流分布在体积V 内，它们在r

处产生的势为

⎰---=V dV r r c r r t r t r '''

'0|

|)||,(41

),( ρπεϕ （5.2.1）

⎰

---=V

dV r

r c r r t r J t r A ''

''

)

||,(4),( π

μ

（5.2.2） 式中ρ和J

分别表示

c

r r t t r '

''

--

=处时刻

的电荷密度和电流密度，参看图1-4-1。（5.2.1）和（5.2.2）

两式表明，电荷和电流在距离为'r r

-处产生势需要经过一段时间

c

r r t t '

' -=

-，所以叫做推迟势。

1. 振荡电流的推迟势和电磁场

（1）振荡电流的推迟势

若电流J

是频率为ω的振荡电流，即

t

i e r J t r J ω-=)(),('' （5.2.3）

则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为

''

)('0

')(4),(dV r

r e

r J t r A V

t r r k i ⎰

-=-- ωπ

μ （5.2.4） 式中c

k ω=。令t

i e r A t r A ω-=)(),('' ，则

'

'

'0

')(4),(dV r

r e r J t r A V

r r ik ⎰

-=- π

μ （5.2.5） （2）振荡电流外面的电磁场

在振荡电流区域外面，0,0==ρJ

。这时，有了A ，就可求出磁场

A B

⨯∇= （5.2.6）

再根据下式，便可求出电场

B ic E

⨯∇=ω

2 （5.2.7）

因此，这时只要知道矢势A

，便可求出电磁场来。

2. 远区推迟势的多极展开

设电流t i e r J t r J ω-=)(),(''

分布在区域V 内，V 的线度为l 。如图1-4-2，在V 内任取一点为坐标原点，这时，l r ≤'。通常λ≅r （波长）的地方叫做中区，把

l r >>>>λ的地方叫做远区。

在中区和远区，（5.2.5）式可展开为

[]

''01)(4)(dV r e ik r J r

e r A V

r r

ik ⎰

-⋅-=

πμ （5.2.8）

式中r

r

e r

=是r 方向上的单位矢量。

这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为

00'0)0(44)(p r

e i dV r e r A r i r ik πωμπμω-== （5.2.9）

式中0p 是系统的电偶极矩t i e p p ω-=0

的振幅，即