天津大学《最优化方法》深刻复知识题(含答案解析)

天津大学《最优化方法》复习题（含答案）

第一章 概述(包括凸规划)

一、 判断与填空题

1 )].([arg

)(arg

min max

x f x f n

n

R x R

x -=∈∈ √

2 {}{}

.:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯

3 设.:R R D f n

→⊆ 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*

，则称*

x 为

最优化问题)(min

x f D

x ∈的全局最优解. ⨯

4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*，存在*

x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切

)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D

x ∈的严格局部最

优解. ⨯

5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √

6 非空集合n

R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n

R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √

8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯

9 函数R R D f n

→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √

10 设R R D f n

→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*

. 则对D x ∈∀，有

).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯

11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k

x

为由求解)(min

x f D

x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，

则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √

15 函数R R D f n

→⊆:在点k

x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的

步长k α，则其搜索公式为 .

16 函数R R D f n

→⊆:在点k

x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的

步长k α，则=+∇k

T k k k d d x f )(α 0 .

17 设}0{\n

k R d ∈为点n

k

R D x ⊆∈处关于区域D 的一个下降方向，则对于

0>∀α，),0(αα∈∃使得.D d x k k ∈+α ⨯

二、 简述题

1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数是否为凸函数.

（例如: 判断函数212

2

212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数）

三、 证明题

1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如

判断0 ..2

1)(min ≥=++=

x b

Ax t s b x c Gx x x f T T

（其中G 是正定矩阵）是凸规划.

2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.

第二章 线性规划

考虑线性规划问题：

,

0,

..min )

(≥=x b Ax t s x c LP T

其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈⨯,,

为给定的数据，且rank .,n m m A ≤=

一、 判断与选择题

1 (LP)的基解个数是有限的. √

2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √

3 (LP)的解集是凸的. √

4 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有

.1+>k T k T x c x c ×

5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √

6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量

m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0

7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.

8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×

二、 简述题

1 将以下线性规划问题化为标准型：

.

0,0,2,1242,

6..32)(max

32321321321321≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f

2 写出以下线性规划的对偶线性规划：

.

0,,

,,3342,

6342..423)(max

4321432143214321≥≥+++-=++++++=x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f

三、 计算题

熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本：

例2.5.1 (利用单纯形表求解);