—度上海市零陵中学高三数学第一学期期中测试卷
上海市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷(I)卷
上海市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·山东模拟) 已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A .B . 7C . 6D .3. （2分）如图所示，角的终边与单位圆交于点P（），则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=ln|x|B . y=C . y=sinxD . y=cosx5. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知两个单位向量的夹角为60°，向量，则（）A .B .C .D . 76. （2分）点在圆内，则直线和已知圆的公共点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不能确定7. （2分）已知两点，若直线PQ的斜率为-2，则实数m的值是（）A . -8B . 2C . 4D . 108. （2分） (2020高三上·静安期末) 某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（）A . 265米B . 279米C . 292米D . 306米9. （2分） (2017高二下·邢台期末) 下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（）A . y=x2﹣B . y=xlnxC . y=sin（πx）D . y=x3﹣2x210. （2分）把函数的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A .B .C .D .11. （2分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）在中，角所对应的边分别为，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线l过A（﹣2，（t+）2）、B（2，（t﹣）2）两点，则此直线斜率为________14. （1分） (2017高二下·潍坊期中) 已知圆的方程式x2+y2=r2 ，经过圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为x0x+y0y=r2 ，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为________．15. （1分） (2017高三上·南充期末) 函数，数列{an}的通项公式an=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为________．16. （1分） (2019高三上·佛山月考) 已知定义在上的函数满，当时，，则 ________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2019高三上·西湖期中) 已知的内角的对边分别为，若.（1）求角C；（2） BM平分角B交AC于点M，且，求 .18. （10分）(2018·临川模拟) 已知数列为单调等差数列，其中 .（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求证：对任意恒成立.19. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M在线段PD上，且AM⊥MC．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．20. （10分） (2018高二上·淮北月考) 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．21. （10分）(2018·海南模拟) 已知函数， .（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.22. （10分）(2020·银川模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；（2）若射线( 与的异于极点的交点为，与的交点为，求 .23. （10分） (2018高三上·贵阳月考) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（Ⅰ）作出函数的图象并求其值域；（Ⅱ）若，且，求的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
上海市2022高三数学上学期期中试题(含解析)
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得 q，可得a1＝﹣（q ）2 ，由二次函数和等比数列的性质可得．
【详解】∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，
∴|q|＜1，且 q，
∴a1＝q（1﹣q）＝﹣q2+q＝﹣（q ）2 ，
，求解不等式有： ，
综上可得，不等式的解集为 .
6.函数 的图像恒过定点A，若A在直线 ，其中 ，则 的最小值_________
【答案】8
【解析】
试题分析：由已知可得定点 ，代入直线方程可得 ，从而 .
考点：1、函数的定点；2、重要不等式.
【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.
当x＝1时， -1；
当x＝﹣1时， 不存在．
∴f（x）
∴只有A选项符合f（x）大致图像，
故选A.
【点睛】本题考查了函数解析式 求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．
16.设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点，若直线 与 的斜率之积为 ，则（ ）
A. B. 到直线 的距离不大于2
【详解】当直线MN的斜率不存在时，设 ，
由斜率之积为 ，可得 ，即 ，∴ 的直线方程为 ；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，联立 ，可得 ．
设 ，则 ，
∴ ，
即 ．∴直线方程为 ．
2022上海市高三上学期数学期中考试试卷
高三年级数学试卷第一学期期中考试一、填空题（本大题共12小题，1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.方程2)1(log 3=+x 的解为2.函数24x y -=的值域是3.若△ABC 中，a=5，b=7，c=8，则∠B=4.化简：=+⋅⋅⋅++++∞→nP n n 321lim 2 5.已知向量,满足3)(,2||,1||=+⋅==且，那么与的夹角是6.在二项式4)2(x x +的展开式中，3x 项的系数为7.现从4名男生，5名女生中随机选择3人参加某项活动，则选出的3人中男女生都有的概率是8.已知ααcos cos sin sin )(x x x f =，其中),0(πα∈，若)3(π+x f 为偶函数，则α=9.棱长为6的正四面体的内切球（球心在四面体内部，与各面均相切）的体积为10.函数),0(,4)(a x c xx x f ∈++=满足t t f x f =≥)()(，则act y =的取值范围是 11.点P 在△ABC 的BC 边上，若y x 2+=，则22y x +的最小值为12.设函数⎩⎨⎧>≤=-0,10,2)(x x x f x ，则满足)2()1(x f x f <+的实数x 的取值范围是二、选择题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内单调递增的为（ ）A.R x x y ∈=,2cosB.0,|,|log 2≠∈=x R x x yC.R x e e y xx ∈-=-,2D.R x x y ∈+=,13 14.设a 、b ∈R ，则“ab ≠0”是“1||||||≤++b a b a ”成立的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分且必要 D.非充分非必要15.关于函数21)(sin )32()(2||+-=x x f x ，有下面四个结论：（1）f(x)为非奇非偶函数 （2）f(x)有无数个零点（3）f(x)的最大值是23 （4）f(x)的最小值是21- 其中正确的结论个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个16.设n n n a 2sin 22sin 21sin 2+⋅⋅⋅++=，对任意正整数m 、n （m>n ）都成立的是（ ） A.m m n a a 21||<- B.m m n a a 21||>- C.n m n a a 21||<- D.n m n a a 21||>- 三、解答题（本大题共5小题，每一问均需写出必要的步骤，满分76分）17.（本题14分，第一问7分，第二问7分）在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点，如图（1）求证：点B 1、E 、D 、F 共面；（2）求异面直线DC 1与AE 所成角的大小.18.（本题14分，第一问7分，第二问7分）已知不等式5)1(42+≤+k k ，其中x 、k 均为实数.（1）若3=x ，解关于k 的不等式；（2）若对任意实数k ，上述不等式恒成立，求x 的取值范围.19.（本题14分，第一问6分，第二问8分）如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，侧量船于水面A 处测得B 和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=1千米。
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
上海中学2023学年第一学期高三数学期中试卷及答案(2023.11)
1上海中学2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若集合{}12,A x x x N =−<≤∈，{},,B x x ab a A b A ==∈∈，则集合B 的非空真子集的个数为______． 2．函数()f x =______．3．函数12y x x =+−−的值域是______． 4．关于x 的不等式4131xx <−的解是______． 5．已知函数1101()f x x=，若()()182f a f a −<−，则a 的取值范围是______． 6．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则当[]1,2x ∈时，()f x =______．7．若2(n )si x f x x =+，则0()limh f h h→=______． 8．已知存在[]11,3x ∈，对任意[]21,1x ∈−，不等式2121423x x a x +≥++成立，则实数a 的取值范围是______．9．设函数()24,()2,ax x af x x x a−+< = −≥ 存在最小值，则实数a 的取值范围是______． 10．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则()()2214a b ab+++的最小值为______．211．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______．12．给定一张()21n ×+的数表（如下表），统计1a ，1a ，⋅⋅⋅，n a 中各数出现次数．若对任意0k =，1，⋅⋅⋅，n ，均满足数k 恰好出现n a ，次，则称之为1n +阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表． 0123⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1n −n0a 1a2a3a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1n a −n a0 1 2 3 121对于如下的一张7阶自指表．记654320123456101010101010N a a a a a a a =++++++，N 的所有可能值为______． 01234560a 1a 2a 3a 4a 5a 6a二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．已知1sin 62πθ+=，则2cos 3πθ+=（ ）． A ． B C ．12−D ．1214．设函数(),(,)f a bx x c a b c Z x =++∈，则点()()()22f f −，不可能在函数 （ ）的图像上．A ．2023y x =+B ．2024y x =+C ．2023y x= D ．2024y x=15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、3现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC =（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x =图像的一部分，BC 为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）A ．2B ．1169 CD ．35227 16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题： �若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =； �若()K x 是严格减函数，则()()K x g x =；�若()K x 是周期函数，则()()K x h x =．正确的有（ ） A ．无一正确 B ．�� C ．� D ．���三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知:31x m α<−或x m >−，:2x β<或4x ≥． （1）若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围．418．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知0a >，关于x 的不等式223bx x c a +≤+≤． （1）若{}{},,1,0,1a b c =−，且2c c >，求解该不等式；（2）若该不等式解集为[]2,3，求a 的取值范围．19．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 设实数a ，b ，c 满足1a b c ++=． （1）若a ，b ，c 均为正实数，求111111a b c −−− 的最小值； （2）求()()()222112a b c −++++的最小值．520.（本题满分16分.)已知a R ∈，函数()xf x e ax =−，()lng xax x =−． （1）当a e =时，若斜率为0的直线l 是()g x 的一条切线，求切点的坐标； （2）若()f x 与()g x 有相同的最小值，求实数a ．21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； （3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．6参考答案一、填空题1.14;2.()2,+∞;3.[]3,3−; 4. ()3,4; 6.()2log 3x −;; 9.[]0,2; 10.36； 11.12512.3211000 11．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______． 【答案】125【解析】由2222221125a b a b a b++==,则222225a b a b +=,且,0a b >, 341555b a ab+−∣ 令110,0x y a b=>=>,1435x y xy +−,且2225x y +=, 22252x y xy ∴+=…,即252xy …,仅当xy ==,对于43t x y xy xy =+−≥−恒成立,当且仅当43x y =,即3,4x y ==时,等号成立, 综上,若k =,则(2212y k k −=−−+,而0−>−,即12t =,即11,34a b ==时,等号成立,112555tt=≥,仅当12t=,即11,34a b==时,等号成立,∴目标式最小值为125.二、选择题13.C 14.A 15.D 16.D15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC=（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x=图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）A．2 B．1169 C D．35227【答案】D【解析】(1)由图可知,直线AB过点()4,4B,所以4=解得2k=,所以曲线AB方程为())04f x x=≤≤;设函数BC的解析式为y ax b=+,由直线过点()()4,4,8,0B C,得4408a ba b=+=+,解得1,8a b=−=,所以BC的解析式为8(48)y x x=−+<…,所以折线ABC的函数解析式为()4;8,48xf xx x≤≤=−+<≤78(2)设(),0D t ,则04t <<,所以E y =,又F Ey y ==,所以8F x =−+,得8F x =−,则8EF t =−−,又8,DC t DE =− 所以())31221188221622CDEFS DE EF DC t t t t t =+=×−−+−=−−+梯形 设()31222216(04)g t t t t t =−−+<<,则()1213822g t t t −′=−+− 令()1609g t t =⇒=′,当1609x <<时,()0g t ′>,函数()g t 单调递增,当1049x <<时,()0g t ′<,函数()g t 单调递减, 所以()16352927max g t g== ,即梯形CDEF 的面积的最大值为35227. 故选D 三．解答题17.（1）(],4−∞ （2）1,4+∞18.（1）（2）19.（1）8 (2) 320.（1）（221.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；9（3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P 是“减0集”不是“减1集”.（2）不存在，理由见解析（3）存在，理由见解析【解析】（1）{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,110,P P ×−∈∴是“减0集”同理,{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,111,P P ×−∉∴不是“减1集”.（2）不存在，理由如下：假设存在A 是“减2集”,则若x y A +∈,那么2xy A −∈,�当2x y xy +=−时,有()()113x y −−=,则,x y 一个为2,一个为4,所以集合A 中有元素6 但是33,332A A +∈×−∉,与A 是“减2集”,矛盾;�当2x y xy +≠−时,则1x y xy +=−或者(2)x y xy m m +=−>,若1,1x y xy m +=−=时M 为除1以外的最小元素,则1,1x M y =−=时,23xy M −−小于M ,如果要符合题意必须4M =,此时取2x =,2,22y xy =−=不属于A ,故不符合题意.2m >时,()()111x y m −−=+,同样得出矛盾.综上可得:不存在A 是“减2集”.（3）存在“减1集”{}.1A A ≠.假设1A ∈,则A 中除了元素1以外,必然还含有其它元素. 假设2,11A A ∈+∈,而111A ×−∉,因此2A ∉.假设3,12A A ∈+∈,而121A ×−∈,因此3A ∈.因此可以有{}1,3A =. 假设4,13A A ∈+∈,而131A ×−∉,因此4A ∉.假设5,14,141A A A ∈+∈×−∈,235,231A +=×−∈,因此5A ∈. 因此可以有{}1,3,5A =.以此类推可得:{}()*1,3,5,,21,,,A n n N =……−……∈{}{}{}*:1,3,1,3,5,|21,A x x k k N =−∈以及的满足以下条件的非空子集。
2022年-有答案-上海市某校高三(上)期中数学试卷 (1)
2022学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 已知集合A ＝{x|−2<x <1}，B ＝{x|−1<x <3}，则A ∪B ＝________．2. 已知直线l 的一个法向量是n →=(1,−√3)，则此直线的倾斜角的大小为________．3. 设函数f(x)=log 2(2x +1)，则不等式2f(x)≤f −1(log 25)的解为________．4. 公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 2、a 5成等比数列，且该数列的前10项和为100，则数列{a n }的通项 公式为a n ＝________5. 已知实数x 、y 满足关系式5x +12y −60＝0，则的最小值为________6. 将函数y ＝cos2x −sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则正实数m 的最小值为________．7. 若y ＝4−√−x 2+2x +3最小值为a ，最大值为b ，则limn→∞a n −2b n3a n −4b n=________．8. 已知点G 是△ABC 的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a 5GA →+b 7GB →+c 8GC →=0→，则角B 的大小是________．9. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2．若函数g(x)＝f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．10. 已知椭圆，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限，Q(x Q , y Q )，Q′(x′Q , y′Q )都在椭圆上，且y Q +y′Q ＝0，FQ′⊥PQ ，则直线l 的方程为________．11. 已知多边形A 0A 1A 2−A n−1A n 的顶点都在抛物线F:x 2＝4y 上，若A 0的横坐标为所在直线的斜率(0≤i, j ≤n, i, j ∈N, n ∈N ∗)，则＝________．12. 已知等差数列{a n }中a 1＝d ＝1，b n ＝tana n ⋅tana n+1(n ∈N ∗)，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________ ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≤2ab B.a 2+b 2≥−2ab C.a +b ≥−2√|ab| D.a +b ≤2√|ab|函数y ={2x,x ≥0−x 2,x <0 的反函数是（ ）A.y ={x 2,x ≥0√−x,x <0 B.y ={x 2,x ≥0−√−x,x <0 C.y ={2x,x ≥0√−x,x <0D.y ={2x,x ≥0−√−x,x <0已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是（ ） A.(−2, 6) B.(−6, 2) C.(−2, 4) D.(−4, 6)已知函数f(x)=x 2⋅sinx ，各项均不相等的数列{x n }满足|x i |≤π2(i =1, 2, 3,…,n)．令F(n)=(x 1+x 2+...+x n )•[f(x 1)+f(x 2)+...f(x n )](n ∈N ∗)．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{x n }，使得F(n)=0；(2)若数列{x n }的通项公式为x n =(−12)n (n ∈N ∗)，则F(2k)>0对k ∈N ∗恒成立；(3)若数列{x n }是等差数列，则F(n)≥0对n ∈N ∗恒成立． 其中真命题的序号是（ ） A.(1)(2) B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)三、简答题（本大题共有5题，满分0分）已知函数，且．（1）求A 的值．（2）若，求．已知函数f(x)＝|2x−a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；（2）设函数g(x)＝|2x−1|，当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求实数a的取值范围．已知函数y＝f(x)，x∈[a, b]的图象为曲线C，两端点A（a, f(a)）、B（b, f(b)），点M(x0, y0)为线段AB上一点，其中，，λ>0，点P、Q均在曲线C上，且点P的横坐标等于x0，点Q的纵坐标为y0．（1）设f(x)＝sinx，，λ＝3，求点P、Q的坐标；（2）设，，求△MPQ的面积的最大值及相应λ的值；（3）设f(x)＝−x2+2x，x∈[a, b]，求证：点P始终在M点的上方．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，且点P(1, 32)在椭圆C上；(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C1:x2a2+y2b2−53=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O:x2+y2=43的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：13m2+1n2为定值；(3)若P1，P2是椭圆C2:x2a2+3y2b2=1上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．已知项数为m(m∈N∗, m≥2)的数列{a n}满足条件：①a n∈N∗(n＝1, 2,…,m)②a1<a2<...<a m，若数列{b n}满足b n＝(n＝1, 2,…,m)，则称{b n}为数列{a n}的“关联数列”．（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}，证明：a n+1−a n≥m−1(n＝1, 2,…,m−1)；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求数列{a n}项数的最小值与最大值．参考答案与试题解析2022学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 【答案】{x|−2<x <3}． 【考点】 并集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2. 【答案】 π6【考点】 直线的斜率 【解析】设直线的方向向量为m →=(a, b)，直线的倾斜角为α．利用m →⋅n →=0，即可得出． 【解答】解：设直线的方向向量为m →=(a, b)，直线的倾斜角为α． 则m →⋅n →=a −√3b =0， ∴ ba =√33=tanα，∴ α=π6， 故答案为：π6． 3. 【答案】 (−∞, 0]【考点】指、对数不等式的解法 【解析】先根据函数的定义域求出x 的范围，然后代入解析式，解对数不等式，转化成指数不等式进行求解，即可求出x 的取值范围 【解答】解：f−1(x)=log2(2x−1)，x∈(0, +∞)．由2f(x)≤f−1(log25)，2log2(2x+1)≤log2(2log25−1)=log24，∴log2(2x+1)≤1∴0<2x+1≤2，∴0<2x≤1，⇒x≤0；综上，x≤0；故答案为：(−∞, 0]．4.【答案】2n−1(n∈N∗)【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】12【考点】函数的最值及其几何意义极限及其运算【解析】先求函数的定义，求出函数的最大值a 和最小值b ，代入求极限． 【解答】y ＝4−√−x 2+2x +3，定义域为[−1, 3]当x ＝1时，y 取最小值为2，当x ＝3或−1时，y 取最大值为4， 故a ＝2，b ＝4；limn→∞a n −2b n3a n −4b n=lim n→∞2n −2⋅4n3⋅2n −4⋅4n=lim n→∞(12)n −23⋅(12)n −4=12．8. 【答案】 π3【考点】 余弦定理向量在几何中的应用 向量的共线定理 【解析】点G 是△ABC 的重心，可得：GA →+GB →+GC →=0→，由题意a 5GA →+b 7GB →+c 8GC →=0→，可得a ＝5，b ＝7，c ＝8，根据余弦定理可得角B 的大小． 【解答】由题意：点G 是△ABC 的重心，可得：GA →+GB →+GC →=0→， ∵ a 5GA →+b 7GB →+c 8GC →=0→，∴ 可得a ＝5，b ＝7，c ＝8， 由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=25+64−4980=12，∵ 0<B <π， ∴ B =π3． 9. 【答案】 (59,1) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】由题意可得函数f(x)的图象与直线y ＝k 有二个不同的交点，结合图象求出实数k 的取值范围． 【解答】由题意可得函数f(x)的图象与直线y ＝k 有二个不同的交点，如图所示： 故实数k 的取值范围是(59,1)，,1)．故答案为(5910.【答案】x+y−1＝0【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】−1−n【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）【答案】B【考点】基本不等式及其应用 【解析】对于A 和B ，分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解； 对于C 和D ，举出反例即可得解． 【解答】对于A ，由(a −b)2≥0，知a 2+b 2≥2ab ，即A 错误； 对于B ，由(a +b)2≥0，知a 2+b 2≥−2ab ，即B 正确；对于C ，当a ＝0，b ＝−1时，a +b ＝−1，−2√|ab|=0，此时a +b <−2√|ab|，即C 错误；对于D ，当a ＝0，b ＝1时，a +b ＝1，2√|ab|=0，此时a +b >−2√|ab|，即D 错误， 【答案】 B 【考点】 反函数 【解析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出． 【解答】∵ y ={2x,x ≥0−x 2,x <0 ，x ≥0时，由y ＝2x ，解得x =12y ，把x 与y 互换可得：y =12x ；x <0，由y ＝−x 2，解得x =−√−y ，把x 与y 互换可得：y =−√−x ． ∴ 函数y ={2x,x ≥0−x 2,x <0 的反函数是y ={x 2,x ≥0−√−x,x <0．【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可． 【解答】 画出图形如图，AP →⋅AB →=|AP →||AB →|cos <AP →,AB →>，它的几何意义是AB 的长度与AP →在AB →向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，|AC →|cos∠CAB =|AB →|+12|AB →|=3，可得AP →⋅AB →=|AP →||AB →|cos <AP →,AB →>=2×3＝6，最大值为6，在F 处取得最小值，AP →⋅AB →=|AP →||AB →|cos <AP →,AB →>=−2×2×12=−2，最小值为−2，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点， 所以AP →⋅AB →的取值范围是(−2, 6)． 【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由题意，f(x)=x 2sinx 是奇函数，只需考查0<x ≤1时的性质，此时y =x 2，y =sinx 都是增函数，得f(x)=x 2sinx 在[0, 1]上是增函数；即x 1+x 2≠0时，(x 1+x 2)（f(x 1)+f(x 2)）>0；对于(1)，取−π2≤x 1=−x 3≤π2，x 2=0，即可判断；对于(2)，运用等比数列的求和公式和性质，即可判断；对于(3)，运用等差数列的求和公式和性质，结合函数f(x)的单调性，即可判断． 【解答】解：由题意得f(x)=x 2sinx 是奇函数， 当0<x ≤π2时，y =x 2，y =sinx 都是增函数，∴ f(x)=x 2sinx 在[0, π2]上递增，∴ f(x)=x 2sinx 在[−π2, π2]上是增函数；若x 1+x 2<0，则x 1<−x 2，∴ f(x 1)<f(−x 2)， 即f(x 1)<−f(x 2)，∴ f(x 1)+f(x 2)<0； 同理若x 1+x 2>0，可得f(x 1)+f(x 2)>0；∴ x 1+x 2≠0时，(x 1+x 2)（f(x 1)+f(x 2)）>0．对于(1)，取−π2≤x 1=−x 3≤π2，x 2=0，则F(3)=(x 1+x 2+x 3)• [f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)]=0，因此(1)正确； 对于(2)，∵ x n =(−12)n (n∈N ∗)，∴ x 1+x 2+...+x n =−12[1−(−12)n ]1−(−12)<0，又f(2k −1)+f(2k)=(−12)2(2k−1)sin(−12)2k−1+(−12)2⋅2k sin(−12)2k =(14)2k [−4sin(12)2k−1+sin(12)2k ]<0，∴ F(2k)>0对k ∈N ∗恒成立，故(2)正确；对于(3)，如x 1+x 2+...+x n =0，F(n)=0时，若数列{x n }是等差数列，则x 1+x 2+...+x n >0，则x 1+x n >0，f(x 1)>f(x n )，可得x 2+x n−1>0，…，f(x 2)>f(x n−1)，…相加即可得到F(n)>0，同理x 1+x 2+...+x n <0，即有f(x 1)+f(x 2)+...f(x n )<0，即F(n)>0， 则(3)正确． 故选D ．三、简答题（本大题共有5题，满分0分） 【答案】函数，且．所以：Asin（）＝，解得：A＝．f(θ)+f(−θ)＝，则：，解得：，由于：，则：，所以：＝＝【考点】正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当a＝2时，f(x)＝|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，|2x−2|≤4，|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．不等式f(x)+g(x)≥3可化为|2x−1|+|2x−a|≥3−a，即|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，原不等式成立．当a<3时，由绝对值三角不等式可得|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|，∴12|a−1|≥3−a2>0，平方得(a−1)2≥(3−a)2，解得2≤a<3，∴实数a的取值范围是[2, +∞)．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a＝2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．（2）由f(x)+g(x)＝|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．【解答】当a＝2时，f(x)＝|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，|2x−2|≤4，|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．不等式f(x)+g(x)≥3可化为|2x−1|+|2x−a|≥3−a，即|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，原不等式成立．当a<3时，由绝对值三角不等式可得|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|，∴12|a−1|≥3−a2>0，平方得(a−1)2≥(3−a)2，解得2≤a<3，∴实数a的取值范围是[2, +∞)．【答案】设f(x)＝sinx，，λ＝3，b＝，x0＝＝，y2＝＝，sin＝1，x＝arcsin，∴P（，1)，）．设，时，a＝，x0＝，y0＝，|MP|＝y7−，|MQ|＝x6−，∴S Rt△MPQ＝×|MP|×|MQ|＝0−）(x0−）＝4y0+−2)∵x6y0＝×＝＝1+＝（当且仅当λ＝1时取等），令t＝x5y0∈(1，]，∴S Rt△MPQ＝(t+，∵y＝t+，]上是递增函数，∴t＝时，y取最大值（+，∴λ＝2时，△MPQ的面积去最大值．设f(x)＝−x2+2x，x∈[a,∵f(x)为[a，∴根据凸函数的性质得f(x6)>y0，点P始终在M点的上方．【考点】函数与方程的综合运用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(1)解：∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，且点P(1, 32)在椭圆C 上； ∴ {c =1，1a 2+94b 2=1，a 2=b 2+c 2， 解得a =2，b =√3，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1． (2)证明：由题意：C 1:x 24+3y 24=1，设点P(x 1, y 1)，M(x 2, y 2)，N(x 3, y 3)， ∵ M ，N 不在坐标轴上，∴ k PM =−1k OM=−x2y 2，∴ 直线PM 的方程为：y −y 2=−x2y 2(x −x 2)，化简得：x 2x +y 2y =43①，同理可得直线PN 的方程为：x 3x +y 3y =43②， 把P 点的坐标代入①，②得{x 2x 1+y 2y 1=43，x 3x 1+y 3y 1=43，∴ 直线MN 的方程为：x 1x +y 1y =43，令y =0，得m =43x 1，令x =0得n =43y 1，∴ x 1=43m ，y 1=43n ， 又点P 在椭圆C 1上， ∴ (43m )2+3(43n )2=4， 则13m 2+1n 2=34为定值．(3)解：由椭圆的对称性，可以设P 1(m, n)，P 2(m, −n)，点E 在x 轴上，设点E(t, 0)， 则圆E 的方程为：(x −t)2+y 2=(m −t)2+n 2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是|P 1E|，设点M(x, y)是椭圆C 上任意一点，则|ME|2=(x −t)2+y 2=34x 2−2tx +t 2+1，当x =m 时，|ME|2最小， ∴ m =−−2t 3=4t 3③，又圆E 过点F ，∴ (−√3−t)2=(m −t)2+n 2④， 点P 1在椭圆上，∴ n 2=1−m 24⑤， 由③，④，⑤，解得：t =−√32或t =−√3，又t =−√3时，m =−4√33<−2，不合题意，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E 的坐标是(−√32, 0)． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 圆与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）由焦点坐标确定出c 的值，根据椭圆的性质列出a 与b 的方程，再将P 点坐标代入椭圆方程列出关于a 与b 的方程，联立求出a 与b 的值，确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C 1的方程，设点P(x 1, y 1)，M(x 2, y 2)，N(x 3, y 3)，根据M ，N 不在坐标轴上，得到直线PM 与直线OM 斜率乘积为−1，确定出直线PM 的方程，同理可得直线PN 的方程，进而确定出直线MN 方程，求出直线MN 与x 轴，y 轴截距m 与n ，即可确定出所求式子的值为定值．（3）依题意可得符合要求的圆E ，即为过点F ，P 1，P 2的三角形的外接圆．所以圆心在x 轴上．根据题意写出圆E 的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E 距离的最小值是|P 1E|，结合图形可得圆心E 在线段P 1P 2上，半径最小．又由于点F 已知，即可求得结论． 【解答】(1)解：∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，且点P(1, 32)在椭圆C 上； ∴ {c =1，1a 2+94b 2=1，a 2=b 2+c 2， 解得a =2，b =√3，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1． (2)证明：由题意：C 1:x 24+3y 24=1，设点P(x 1, y 1)，M(x 2, y 2)，N(x 3, y 3)， ∵ M ，N 不在坐标轴上，∴ k PM =−1k OM=−x2y 2，∴ 直线PM 的方程为：y −y 2=−x2y 2(x −x 2)，化简得：x 2x +y 2y =43①，同理可得直线PN 的方程为：x 3x +y 3y =43②，把P 点的坐标代入①，②得{x 2x 1+y 2y 1=43，x 3x 1+y 3y 1=43， ∴ 直线MN 的方程为：x 1x +y 1y =43， 令y =0，得m =43x 1，令x =0得n =43y 1，∴x1=43m ，y1=43n，又点P在椭圆C1上，∴(43m )2+3(43n)2=4，则13m2+1n2=34为定值．(3)解：由椭圆的对称性，可以设P1(m, n)，P2(m, −n)，点E在x轴上，设点E(t, 0)，则圆E的方程为：(x−t)2+y2=(m−t)2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，设点M(x, y)是椭圆C上任意一点，则|ME|2=(x−t)2+y2=34x2−2tx+t2+1，当x=m时，|ME|2最小，∴m=−−2t3=4t3③，又圆E过点F，∴(−√3−t)2=(m−t)2+n2④，点P1在椭圆上，∴n2=1−m24⑤，由③，④，⑤，解得：t=−√32或t=−√3，又t=−√3时，m=−4√33<−2，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(−√32, 0)．【答案】∵，＝10，＝9，＝8，＝2，均为正整数，∴1，5，4，13，且其“关联数列”为11，10，9，8，7．证明：∵数列{a n}存在“关联数列”{b n}，∴a n+1−a n>0，(7≤n≤m−1)，且，∴b n−b n+7＝-＝∈N∗，∴≥1n+1−a n≥m−7(n＝1, 2,…,m−3)．①∵a1＝1，a m＝2049，其中，当m＝5时，a1＝1，a4＝2049，有b1＝＝2049，b3＝＝1均为正整数，即当m＝2时，数列8，1，∴m的最小值为2．②一方面，由（2）知：a n+2−a n≥m−1，(n＝1，8，…，∴a n−1＝(a m−a m−1)+(a m−8−a m−2)+...+(a2−a5)≥＝(m−1)3，∴(m−1)2≤2048，∴m≤46∗)，另一方面，由数列{a n}存在“关联数列”{b n}知，b8−b m＝＝∈N∗，∴m−1是2048的正约数，m−7取2，28，23， (311)即m取3，5，7，17，65，…，综上所述，m的最大值为33，当m＝33时，可取a n＝64n−63，(n＝1，2，…，有：b n＝＝＝1059−2n∈N∗符合条件，∴m的最大值为33．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
高中高三数学上学期期中试题 试题(共11页)
2021学年第一学期(xuéqī)高三年级数学期中试卷一、填空题：〔每一小题4分，一共56分〕1、集合，，那么___ _____.2、3、集合，集合，假设集合，那么实数的取值范围是_________________.4、假设点〔2，8〕在幂函数的图象上，那么此幂函数为 .5、假设函数为奇函数，那么的值是______________.6、集合，且，那么实数a的取值范围是___ __.7、：，那么的值是 .8、9、函数对任意的，都有，且，那么.10、11、在上是增函数，那么的取值范围是．f x在区间上单调递增，那么满足＜的x取值范围12、偶函数()是 .13、，且，那么(nà me)的值是 .14、假设关于的不等式有负数解，那么实数的取值范围是_______________．二、选择题：〔每一小题5分，一共20分〕15、“〞是“函数在区间上为增函数〞的 ( )充分不必要条件；必要不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件；16、假设正数满足，那么的取值范围是〔〕.A；.B；.C；.D；17、设，二次函数的图象不可能是〔〕18、在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设a2＋b2＝2c2，那么cosC的最小值为 ( )A. B. C. D．三、解答题：〔12分+14分+14分+16分+18分=74分〕19、〔12分〕20、〔14分〕。
(1)求的值；(2)求的值。
21、〔14分〕如图，公园(gōngyuán)有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两局部，D在AB上，E在AC上.〔1〕设AD＝x〔〕，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；〔2〕假如DE是灌溉水管，为节约本钱，希望它最短，DE的位置应在哪里？假如DE是参观线路，那么希望它最长，DE的位置又应在哪里？22、〔16分〕函数(hánshù).〔1〕写出的单调区间；〔2〕解不等式；f x在上的最大值.〔3〕设，求()23、〔18分〕的图像关于坐标原点对称〔1〕求a的值，并求出函数的零点；〔2〕假设函数在内存在零点，务实数的取值范围；〔3〕设，假设不等式在上恒成立, 求满足条件的最小整数的值.2021学年第一学期高三年级数学学科期中(q ī zh ōn ɡ)试卷〔1〕一、填空题：〔每一小题4分，一共56分〕1、集合{|31}A x x =-≤≤，{|||2}B x x =≤，那么A B =________.2、______________ .3、集合{(,)|}A x y y a ==，集合{(,)|1,0,1}xB x y y b b b ==+>≠，假设集合A B =∅，那么实数a 的取值范围是_________________.4、假设点〔2，8〕在幂函数的图象上，那么此幂函数为.5、假设函数x a x x x f ))(1()(+-=为奇函数，那么a 的值是____1a =__________.6、集合}21|{},|{<<=<=x x B a x x A ，且R =B C A R ，那么实数a 的取值范围是_____.7、：2tan =α，那么)(22tan πα+的值是.8、_______ .9、函数)(x f 对任意的R ∈b a ,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且5)4(=f ，那么=)1(f .10、__________ .11、2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，那么m 的取值范围是 ．12、偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，那么满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 .13、1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么(nà me)cos 2sin()4απα-的值是 .14、假设关于x 的不等式22x x t<--有负数解，那么实数t 的取值范围是_____．二、选择题：〔每一小题5分，一共20分〕15、“1a =〞是“函数()||f x x a =-在区间[1,)+∞上为增函数〞的 ( ).A 充分不必要条件； .B 必要不充分条件； .C 充要条件； .D 既不充分也不必要条件；16、假设正数,a b 满足3ab a b =++，那么a b +的取值范围是 〔〕.A [9,)+∞； .B (0,9]； .C [6,)+∞； .D (0,6)；17、设0>abc ，二次函数c bx ax x f +-=2)(的图象不可能是 〔 〕18、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，假设a2＋b2＝2c2，那么cosC 的最小值为 ( C )3222 C. 12 D ．12-三、解答题：〔12分+14分+14分+16分+18分=74分〕 19、〔12分〕223101(0)x x x a a -+>->>已知原命题：“若成立，则成立”.若原命题的a 逆命题为真命题，求实数的取值范围。
上海零陵中学高三第一学期期中数学测试卷
上海零陵中学高三第一学期期中数学测试卷The document was prepared on January 2, 2021零陵中学高三第一学期期中数学测试卷一、填空题：（每小题4分，共48分）1. 一球的表面积与它的体积的数量相等,则球的半径为_____________2.若集合A ＝{y |y ＝31x ，－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝2－x1，0＜x ≤1}，则A ∩B ＝3. 已知集合A={x ︱x-68∈N ，x∈Z }，试用列举法表示A = 4．把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍，那么它的体积增大的倍数是5. 若(nx -的展开式中的第三项系数等于3，则n 等于 ． 6. 已知函数()()2111f x x x =<--，则113f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 7．已知()38f x ax bx =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =8.已知()y f x =是偶函数，当0x ≥时()1f x x =-+，求()f x 的递增区间_________.9.地球表面北纬60°圈上有A 、B 两点，它们的经度差为180°，A 、B 两点沿纬度圈的距离与地球表面A 、B 两点最短距离的比是10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为__ __11. 设,a b R ∈，则“22a b =”的一个充分非必要条件是 12. 给出下列命题：(1)函数1y x x=+的最小值是2； (2) 函数3y x =+的最小值是2-；(3)函数2y =的最小值是52；(4) 函数3y x =在()(),00,-∞+∞内递减；(5)幂函数23y x-=为偶函数且在(),0-∞内递增；其中真命题的序号有： （你认为正确命题的序号都填上）二、选择题：（每小题4分，共16分）13.六个关系式：(1){a, b}= { b, a }; (2) {a, b} ⊆{ b, a }; (3){}φφ∈;(4) {}0φ⊆;(5) {}0φ; (6){}00∈其中正确的个数为 ( )（A ） 6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个及3个以下14.下列都是正方体，M 、N 、P 、Q 分别是它们所在棱的中点，则M 、N 、P 、 Q 四点共面的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15. 0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++= （ ）()A 63 ()B 64 ()C 31 ()D 3216. 有下列四个命题，①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的序号有（ ）（A ）①②③ （B ）①③④ （C ）①③ （D ）①④三、解答题：（每小题分，共86分） 17.（满分：12分=6分+6分）设幂函数()()1k f x a x =-（,a R k Q ∈∈）的图像经过点()2,2.（1）求,a k 的值；（2）求函数)(1)(x f x f y +=的最小值.18. （满分：12分=6分+6分）已知M {}23100x x x =--≤, N ={x| a +1≤x ≤2a 1}；（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.19. （满分12分）把一个大金属球表面涂漆，需油漆，若把这个金属球熔化，制成 64个半径相等的小金属球(损耗不计)，将这些小金属球表面涂漆，求需用油漆多少20. （满分：16分=5分+5分+6分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O 是AC 、BD 的交点，,E F 分别是AB 与AD 的中点． （1）求证：直线1OD 与直线11C A 垂直； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小； （3）求二面角1B AC D --的大小；21.（满分： 16分=8分+8分）我国的不少城市已跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快. 据统计资料显示：某城市1995年末老年人口有a 万人，到2005年末老年人口达a 2万人，已知老年人口的年平均增长率为b ，设从1995年末起经过x 年的人口数为)(x f .（即1995年末的人口数用)0(f 表示、1996年末的人口数用)1(f 表示） （1）求b 的精确值并写出函数)(x f 的解析式；（2）设41.17=a ，预算该市到2015年末老年人口数.22. （满分：18分=6分+6分+6分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
2021年高三数学上学期期中试题(含解析)沪教版
2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。
上海市2020版高三上学期期中数学试卷(I)卷
上海市2020版高三上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A . {-2}B . {-2,1}C . {0,1}D . {-2,-1,0}2. （2分）命题:“x∈R,”的否定是（）A . x∈R,B . x∈R,C . x∈R,D . x∈R,3. （2分） (2020高二上·珠海月考) 下列三个命题：①“ ”是“ ”的充分不必要条件；②设，若，则或；③命题，使得，则，都有 .其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2020高一下·和平期中) 已知向量，且，则等于（）A .B . 1C . 2D .5. （2分）已知为等差数列，为等比数列，其公比且,若，则（）A .B .C .D . 或6. （2分） (2020高三上·闵行期末) 已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论:①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列则（）A . ①对②错B . ①错②对C . ①②均错误D . ①②均正确7. （2分）如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图（等边三角形），此正三棱锥的侧视图的面积为（）A .B . 3C .D .8. （2分）(2019·抚顺模拟) 执行如图的程序框图，则输出的的值是（）A . 30B . 126C . 62D .9. （2分） (2019高三上·山西月考) 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为A . 5，B . ，5C . ，0D . 0，10. （2分）(2019·内蒙古模拟) 若函数有极值，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A . 1＜a＜3B . 1＜a≤3C . ＜a＜5D . ＜a≤5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·安义月考) 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是________.14. （1分） (2016高二上·杨浦期中) 已知平面内三点A（3，0）、B（2，2）、C（5，﹣4），则向量与的夹角为________．15. （1分）已知等比数列{an}，a1+a3=5，a3+a5=20，则{an}的通项公式为________．16. （1分） (2016高一上·徐州期中) 已知函数f（x）= ，则f（2016）=________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高三上·赣州期中) 在中, 分别为角的对边.向量，，且与的夹角为 .（1）求角的值；（2）已知，的面积，求的周长.18. （10分）(2020·绍兴模拟) 已知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足： .（1）求数列和的通项公式；（2）求证： .19. （10分） (2020高一下·湖北期末) 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率.20. （10分） (2018高三上·南阳期末) 如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形 1沿折起如图2所示，连接、、．（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值．21. （15分） (2020高三上·北京月考) 设函数．（1）若 a=1 ，求函数 f（x）的单调区间．（2）若函数 f（x）在区间上是减函数，求实数 a 的取值范围．（3）过坐标原点 O作曲线的切线，证明：切点的横坐标为 1 ．22. （10分） (2017高二下·吉林期末) 在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求及的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
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零陵中学高三第一学期期中数学测试卷2008.11一、填空题：（每小题4分，共48分）1. 一球的表面积与它的体积的数量相等,则球的半径为_____________2.若集合A ＝{y |y ＝31x ，－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝2－x1，0＜x ≤1}，则A ∩B ＝ 3. 已知集合A={x ︱x-68∈N ，x∈Z }，试用列举法表示A = 4．把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍，那么它的体积增大的倍数是5. 若(nx 的展开式中的第三项系数等于3，则n 等于 ． 6. 已知函数()()2111f x x x =<--，则113f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 7．已知()38f x ax bx =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =8.已知()y f x =是偶函数，当0x ≥时()1f x x =-+，求()f x 的递增区间_________. 9.地球表面北纬60°圈上有A 、B 两点，它们的经度差为180°，A 、B 两点沿纬度圈的距离与地球表面A 、B 两点最短距离的比是 10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为__ __11. 设,a b R ∈，则“22a b =”的一个充分非必要条件是 12. 给出下列命题：(1)函数1y x x=+的最小值是2； (2) 函数3y x =+的最小值是2-； (3)函数2y =的最小值是52；(4) 函数3y x =在()(),00,-∞+∞内递减；(5)幂函数23y x-=为偶函数且在(),0-∞内递增；其中真命题的序号有： （你认为正确命题的序号都填上） 二、选择题：（每小题4分，共16分）13.六个关系式：(1){a, b}= { b, a }; (2) {a, b} ⊆{ b, a }; (3) {}φφ∈;(4) {}0φ⊆; (5) {}0φØ; (6){}00∈其中正确的个数为 ( )（A ） 6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个及3个以下14.下列都是正方体，M 、N 、P 、Q 分别是它们所在棱的中点，则M 、N 、P 、 Q 四点共面的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15. 0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nnn n n C C C C ++++= （ ）()A 63 ()B 64 ()C 31()D 3216. 有下列四个命题，①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的序号有（ ）（A ）①②③ （B ）①③④ （C ）①③ （D ）①④三、解答题：（每小题分，共86分） 17.（满分：12分=6分+6分）设幂函数()()1k f x a x =-（,a R k Q ∈∈）的图像经过点()2,2.（1）求,a k 的值； （2）求函数)(1)(x f x f y +=的最小值.18. （满分：12分=6分+6分）已知M {}23100x x x =--≤, N ={x| a +1≤x ≤2a -1}； （1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.19. （满分12分）把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg ，若把这个金属球熔化，制成 64个半径相等的小金属球(损耗不计)，将这些小金属球表面涂漆，求需用油漆多少？20. （满分：16分=5分+5分+6分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD —111D C B A １中，O是AC 、BD 的交点，,E F 分别是AB 与AD 的中点． （1）求证：直线1OD 与直线11C A 垂直； （2）求异面直线EF 与11C A 所成角的大小； （3）求二面角1B AC D --的大小；21.（满分： 16分=8分+8分）我国的不少城市已跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快. 据统计资料显示：某城市1995年末老年人口有a 万人，到2005年末老年人口达a 2万人，已知老年人口的年平均增长率为b ，设从1995年末起经过x 年的人口数为)(x f .（即1995年末的人口数用)0(f 表示、1996年末的人口数用)1(f 表示） （1）求b 的精确值并写出函数)(x f 的解析式； （2）设41.17=a ，预算该市到2015年末老年人口数.22. （满分：18分=6分+6分+6分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
（1）求,a b 的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围。
参考答案：一、填空题：1. 3； 2.[]11-，； 3.{}2245-，，，； 4. 7； 5. 6； 6.2-； 7.26-； 8.[)10-，和[)1+∞，；9. 3︰2； 10.23； 11. ,a b =； 12.（2）（3）（5）；二、选择题：13. A ； 14. D ； 15. C ； 16. B ；三、解答题： 17. 解：（1）由题意，得112a a -=⇒=； ………………………………………（3分） 将点()2,2代入m x x f =)(得2)2(=m ，所以2=m ……………………（6分）（2）由（1）知，2)(x x f =，于是221xx y +=又2122≥+x x （当且仅当12=x 时取等号），…………………………………（10分）即当1±=x 时，函数221x x y +=取得最小值为2. …………………………（12分）18．解：（1）由23100x x --≤得：[]25,2,5x A -≤≤∴=- ……………………（2分）又 M ⊆N 则21121232153a a a a a a a a φ->+>⎧⎧⎪⎪+≤-⇒≤-⇒∈⎨⎨⎪⎪-≥≥⎩⎩…………………（6分）（2）由M ⊇N 则分N φ=和N φ≠两种：其一：N φ= ，1212a a a +>-⇒<； ……………………（8分）其二：N φ≠ ，2111223215a a a a a -≥+⎧⎪+≥-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩……………………（11分）综合得：(],3a ∈-∞ ……………………………（12分）19．解：设大金属球的半径为R ，小金属球的半径为r ，依题意得知：面积为24R π需要要用油漆2.4kg ；……………………（2分） 由3344164334R r r R ππ=⨯⇒= ……………………（6分） 64个小球球面的总面积为：()2221644644444r R R πππ⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭………………（10分）()4 2.49.6kg ∴⨯=答：共需油漆9.6kg ……………………………（12分）20．解：（1）111//,AC AC AC OD ∴与所成的角就是所求的角； ………（1分）11AC BD AC DD AC D DO ⊥⊥∴⊥，，平面 ………………（3分）1AC OD ∴⊥，即1OD 与AC 所成的角为090……………………（5分）（2）11//,AC AC AC ∴与EF 所成的角就是所求的角； ………（6分）又,E F 分别是,AB AD 的中点，AC EF ∴⊥……………………（8分） 则EF 与11AC 所成的角为090 ……………………………（10分） （3）11BO AC D O AC DOB ⊥⊥∴∠，，是二面角1B AC D --的平面角……（12分） 在1DOB ∆中，11,,BO OD BD ===，由余弦定理得：2221133cos a a a D OB +-∠==15分） 因此，所求二面角1B AC D --的大小为π- ……………………（16分）21．解：（1）依题意得a b a 2)1(10=+122)1(1010-=⇒=+⇒b b ，………………（4分）所以102)1()(x xa b a x f ⋅=+=即函数)(,2)(10N x a x f x ∈⋅=；…… ………（8分）（2）由41.17=a ，因此)(,241.17)(10N x x f x ∈⋅=， ……………………………（10分）即2015年末老年人口数64.69241.17)20(1020=⋅=f ；所以该市到2015年末老年人口数约64.69万人.…………………………（16分）22、（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f ＝0，即1012b b a -=⇒=+， ∴112()2xx f x a +-=+ 又由f （x ）＋f （－x ）＝0得 2.a = ……………………（6分）（2）11211()22221x x x f x +-==-+++任取12,(,)x x ∈-∞+∞，则12212121111122()()()()0221221(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+--+=<++++所以()f x 在(,)-∞+∞上为减函数； …………………………………（12分）（3）因()f x 是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=- ，………………………… （14分） 由（2）知()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-对一切t R ∈恒成立 即2320t t k -->对一切t R ∈恒成立， ………………………………… （16分） 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- …………………………………（18分）。