广东省佛山市南海区2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
2019_2020学年广东佛山南海区高一下学期期末数学试卷-学生用卷
1−
2
=
1
−
1 2
−
1 5
=
3，
10
对于 A 项：甲不输的概率为 1 +
2
=
1 2
+
1 5
=
7 ，故
10
A
项正确；
对于 B 项：乙不输的概率为 1 +
3
=
1 2
+
3 10
=
4，故
5
B
项正确；
对于 C 项：乙获胜的概率为
3
=
3 ，故
10
C
项正确；
对于 D 项：乙输的概率为
2
=
1，故
5
D
项正确，
故选 ABCD．
∴
(
1 )2
>
0，
∴
⋅
(
1 )2
<
⋅(
1)2，即
1
2
<
1
2
，故
C
正确；
D 选项 : ∵ < ， 又 2+ − 2− = 2− 2 + −
=+ −+−
= − + +1 ∵ + + 1 的符号不定，∴ 2 + < 2 + 不一定成立，故 D 错误．
7 、【答案】 A;
【解析】
平行四边形
，由 → = 2 → ，
=
1 5
2+3+4+5+6
= 4，
=
1 5
25 +
0 + 50 + 56 + 64
2019-2020学年广东省佛山市南海区高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年广东省佛山市南海区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查．如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（）A．8B．9C．10D．113．（5分）若函数f（x）＝4x+（x＞0，a＞0）当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．364．（5分）两个相关变量满足如下关系：两个相关变量满足如下关系：x23456y25•505664根据表格已得回归方程＝9.4x+9.2，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（）A．37.4B．39C．38.5D．40.55．（5分）班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏18927不喜欢电脑游戏81523总数262450如果校长随机地问这个班的一名学生，估计认为作业多的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．a2+a＜b2+b7．（5分）已知点E为平行四边形ABCD所在平面上一点且满足＝2．点F为AE与BD的交点，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．+8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762A．5%B．10%C．45%D．90%10．（5分）已知||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最大值等于（）A．4B．+C．2D．5二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（）A．甲不输的概率B．乙不输的概率C．乙获胜的概率D．乙输的概率12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．S2n﹣1＝（2n﹣1）•B．S2n＝S nC．S2n≥﹣+S n D．S2n≥S n+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中第14题第一空3分，第二空2分.13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣2），则cos＜，＞＝．14．（5分）一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是，球的体积是．15．（5分）甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是．16．（5分）在数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，则a n＝．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．18．（12分）已知{a n}是公比q＝2，a3＝12的等比数列，其前n项和为S n．（Ⅰ）是否存在正整数k，使得S k＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求（a1+a3+a5+……+a2i+1）．19．（12分）在△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC＝120°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△ABD的面积．20．（12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，（b+c）（sin B﹣sin C）＝（a﹣c）sin A．且∠A＜∠C．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）给出三个条件：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求c的值（只需写出二个选定方案即可）．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．2019-2020学年广东省佛山市南海区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝（﹣∞，2]∪[3，+∞）B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）∴A∩B＝（0，2]∪[3，+∞）故选：D．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用．2．（5分）某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查．如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（）A．8B．9C．10D．11【分析】由题意根据分层抽样的定义和方法，求出从第二组抽取的人数．【解答】解：设第二组抽取的人数为x，则由题意利用分层抽样可得＝，∴x＝9，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题．3．（5分）若函数f（x）＝4x+（x＞0，a＞0）当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．36【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数当且仅当x＝2时取得最小值，∴f（x）≥2＝4，当且仅当x＝＝2时取等号，解得a＝16．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）两个相关变量满足如下关系：两个相关变量满足如下关系：x23456y25•505664根据表格已得回归方程＝9.4x+9.2，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（）A．37.4B．39C．38.5D．40.5【分析】根据回归方程过样本中心点，求得的值，从而求得看不清的数据a．【解答】解：计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，根据回归方程＝9.4x+9.2过样本中心点，得＝9.4×4+9.2＝46.8；设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64＝5＝234，解得a＝39．故选：B．【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．5．（5分）班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏18927不喜欢电脑游戏81523总数262450如果校长随机地问这个班的一名学生，估计认为作业多的概率为（）A．B．C．D．【分析】由列联表求出50名学生中认为作业多的学生数，计算所求的概率值．【解答】解：由列联表知，对全班50名学生进行了作业量多少的调查，认为作业多的学生有26人，所以所求的概率为P＝＝．故选：C．【点评】本题考查了由列联表求古典概型的概率问题，是基础题．6．（5分）若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．a2+a＜b2+b【分析】根据不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．【解答】解：非零实数a，b满足a＜b，A．取a＝﹣1，b＝﹣，则，故A不正确；B．∵0＜a＜b，∴由基本不等式知，故B不正确；C．∵非零实数a，b满足a＜b，∴，∴，即，故C正确；D．取a＝1，b＝，则，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用，属基础题．7．（5分）已知点E为平行四边形ABCD所在平面上一点且满足＝2．点F为AE与BD的交点，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．+【分析】由已知结合向量加法的平行四边形法则及向量的线性表示即可求解．【解答】解：由题意可得，＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础试题．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理化简a cos A＝b cos B，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，所以sin A cos A＝sin B cos B，所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，所以A＝B或A+B＝90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力，属于基础题．9．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762A．5%B．10%C．45%D．90%【分析】由题意，用1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；利用随机数表中这20组随机数，求出这三天中恰有一天下雨的基本事件，计算所求的概率值．【解答】解：每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；随机数表中这20组随机数，表示这三天中恰有一天下雨的基本事件有9个，所以所求的概率为P＝＝45%．故选：C．【点评】本题考查了利用随机数表法求概率的问题，是基础题．10．（5分）已知||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最大值等于（）A．4B．+C．2D．5【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得，|+|+|﹣|≤2×，进而变形可得答案．【解答】解：根据题意，|+|+|﹣|≤2×＝2×＝2，当且仅当|+|＝|﹣|，即⊥时等号成立，即|+|+|﹣|的最大值等于2；故选：C．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（）A．甲不输的概率B．乙不输的概率C．乙获胜的概率D．乙输的概率【分析】利用互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，对于A，甲不输的概率为：P＝＝，故A正确；对于B，乙不输的概率为：P＝1﹣＝，故B正确；对于C，乙获胜的概率为：P＝1﹣＝，故C正确；对于D，乙输的概率就是甲胜的概率，∴乙输的概率为：P＝，故D正确．故选：ABCD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．S2n﹣1＝（2n﹣1）•B．S2n＝S nC．S2n≥﹣+S n D．S2n≥S n+【分析】易知，a2＝2，由a n+a n+1＝2n+1，a n+1+a n+2＝2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n＝2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n＝n．A令n＝2，即可判断出正误；B令n＝1，即可判断出正误；C作差，利用，即可判断出正误；D作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．【解答】解：易知，a2＝2，由a n+a n+1＝2n+1，a n+1+a n+2＝2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n＝2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1＝1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2＝2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n＝n．A令n＝2，，，，A错；B令n＝1，，，，B错；C∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故C正确；D∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故D正确．故选：CD．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中第14题第一空3分，第二空2分.13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣2），则cos＜，＞＝．【分析】根据条件即可求出，和的值，从而可得出的值．【解答】解：∵，∴，，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是3πa2，球的体积是．【分析】求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积和体积即可．【解答】解：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线长为，因为一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，于是正方体的体对角线长即球的直径长，设球的半径为R，则⇒，于是球的表面积S＝4πR2＝3πa2，球的体积．故答案为：3πa2；．【点评】本题考查球的体积和表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题．15．（5分）甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是．【分析】从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n＝＝9，选出的2名医生性别不相同包含的基本事件个数m＝＝5，由此能求出选出的2名医生性别不相同的概率．【解答】解：甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n＝＝9，选出的2名医生性别不相同包含的基本事件个数m＝＝5，则选出的2名医生性别不相同的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）在数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，则a n＝．【分析】通过数列的递推关系式，利用累加法转化求解即可．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，可得＝2n﹣1•2n﹣2•2n﹣3…22•21＝21+2+3+…+（n﹣1）＝．所以a n＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是中档题．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．【分析】（Ⅰ）由已知求解三角形可得AB⊥AC，然后由直角三角形面积及长方形面积求得三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）连接AB1，交平面A1BC于D，则B1D＝AD，可得B1到面A1BC的距离等于A到平面A1BC的距离，求出三角形A1BC的面积，再由求解B1到面A1BC 的距离．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由AB＝1，BC＝2，AC＝，得AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，则△ABC为Rt△．∴三棱锥A1﹣ABC的表面积S＝2×＝；（Ⅱ）连接AB1，交平面A1BC于D，则B1D＝AD，∴B1到面A1BC的距离等于A到平面A1BC的距离．在△A1BC中，∵，，BC＝2，∴＝．设A到平面A1BC的距离为h，由，的，解得：h＝．故B1到面A1BC的距离为．【点评】本题考查多面体表面积与体积的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．18．（12分）已知{a n}是公比q＝2，a3＝12的等比数列，其前n项和为S n．（Ⅰ）是否存在正整数k，使得S k＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求（a1+a3+a5+……+a2i+1）．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式可得首项，运用等比数列的求和公式，以及不等式的解法，可判断存在性，再求最小值；（Ⅱ）由等比数列的求和公式，结合数列的分组求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）由q＝2，a3＝12，可得a1＝＝3，可得S n＝＝3（2n﹣1），假设存在正整数k，使得S k＞2020，则3（2k﹣1）＞2020，由3×（29﹣1）＝1533，3×（210﹣1）＝3069，可得k≥10，则存在k，且k的最小值为10；（Ⅱ）（a1+a3+a5+……+a2i+1）＝（a1+a3）+（a1+a3+a5）+…+（a1+a3+…+a2n+1）＝（3+12）+（3+12+48）+…+（3+12+…+3•4n）＝（42﹣1）+（43﹣1）+…+（4n+1﹣1）＝（42+43+…+4n+1）﹣n＝﹣n＝（4n﹣1）﹣n．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．（12分）在△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC＝120°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△ABD的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理里的应用求出结果．（2）利用正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC ＝120°．如图所示：在△ADC中，利用余弦定理BC2＝BD2+DC2﹣2•DB•DC•cos∠BDC，整理得BD2+6BD﹣160＝0，解得BD＝10．（Ⅱ）在△ABD中，利用正弦定理，整理得，在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠A，整理得AC＝5．所以AD＝5＝5．所以＝．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．（12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程，级求出a．（Ⅱ）由频率分布直方图求出快递公司人均每日完成快递数量的平均数为62．由此分别求出方案（1）日工资和方案（2）日工资，从而求出骑手应选择方案（2）．（Ⅲ）由频率分布直方图得前4个小组的频率之和为0.6，前5个小组的频率之和为0.8，从而该骑手的平均业务量应在[65，75）内，设他的平均业务量为x，则0.6+（x﹣65）×0.02≥0.75，由此能求出他每天的平均业务量至少应达73单．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005）×10＝1，解得a＝0.02．（Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62．方案（1）日工资为：50+62×3＝236，方案（2）日工资为：150+（62﹣44）×5＝240＞236．∴骑手应选择方案（2）．（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过75%的骑手，前5个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2，前4个小组的频率之和为：0.05+0.05+0.2+0.3＝0.6，前5个小组的频率之和为0.05+0.05+0.2+0.3+0.2＝0.8，故该骑手的平均业务量应在[65，75）内，设他的平均业务量为x，则0.6+（x﹣65）×0.02≥0.75，解得x≥72.5，又x∈N*，∴x的最小值为73．∴他每天的平均业务量至少应达73单．【点评】本题考查频率、平境外数、分位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，（b+c）（sin B﹣sin C）＝（a﹣c）sin A．且∠A＜∠C．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）给出三个条件：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求c的值（只需写出二个选定方案即可）．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，结合余弦定理可得答案；（Ⅱ）选择条件：①b＝2；③c＝2a．根据∠B，利用余弦定理即可求解c的值．选择条件：②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．根据余弦定理和平行四边形性质列方程，解方程求解c的值．选择条件：①b＝2；②AC边的中线为m．根据余弦定理和平行四边形性质列方程，解方程求解c的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可得（b+c）（b﹣c）＝（a﹣c）a．即b2﹣c2＝a2﹣ac，根据余弦定理，cos B＝＝＝，∵0＜B＜180°，∴B＝60°．（Ⅱ）方案1：①b＝2；③c＝2a．由（Ⅰ）可知B＝60°，根据余弦定理cos B＝＝＝，解得c＝；方案2：②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．由平行四边形性质得：b2+4m2＝2a2+2c2，因为c＝2a，于是b2+4m2＝2a2+2（2a）2，b2＝10a2﹣4m2，由余弦定理可得，即b2＝a2+c2﹣ac＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，那么，故，．方案3：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）．由平行四边形性质得：4+4m2＝2a2+2c2，所以a2+c2＝2+2m2，由余弦定理可得：，则a2+c2＝4﹣ac，于是4＝2+2m2﹣ac，所以ac＝2m2﹣2，那么（a+c）2＝6m2﹣2，即①，那么（a﹣c）2＝6﹣2m2，因为∠A＞∠C，所以a＞c，即a﹣c＞0，所以②，由①②得．【点评】本题主要考查正余弦定理的应用，着重考查推理推理能力和计算能力，属于中档题．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【分析】（Ⅰ）利用通项与前n项和之间的关系得到a n+1+a n﹣1＝2a n，进而证明{a n}是等差数列；（Ⅱ）（1）由b k＝a m得到a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，再结合等比数列求和公式即可证明T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）先证i＝2时与题意矛盾，当i＝1时，q＝﹣1此时满足题意，当i≥3时，由b3＝a i 得q＝i﹣2（q≠1），所以i＞3，然后利用数学归纳法即可证明数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，又，所以，所以a1＝na n+2a n+1﹣（n+1）a n+1＝na n﹣（n﹣1）a n+1，①又因为，，所以，所以a1＝（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n，②由①②得（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n＝na n﹣（n﹣1）a n+1，所以（n﹣1）（a n+1+a n﹣1）＝2（n﹣1）a n（n⩾2），即a n+1+a n﹣1＝2a n，所以{a n} 是等差数列．（Ⅱ）（1）设a1＝a，d＝a2﹣a1，由已知，a+d＝aq，即d＝a（q﹣1），由b k＝a m得aq k﹣1＝a+（m﹣1）d，即a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，所以．（2）当i＝2时，b3＝a2＝b2，从而q＝1，b2＝b1＝a1，与题意不符；当i＝1时，b3＝b1，从而q2＝1，q＝﹣1 （上面已证q≠1），{b n} 成为a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，每一项都是数列{a n}中的项（a＝a1，﹣a＝a2）；当i≥3时，由aq2＝a+（i﹣1）d＝a+（i﹣1）•a（q﹣1），得q2＝1+（i﹣1）（q﹣1），即q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）＝0，所以q＝1（舍去），q＝i﹣2．于是i＞3，q为正整数i﹣2．设已有b k＝a j，则因为aq＝a+d，＝a j′（其中j′＝j+q k﹣1），因此数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查等差数列定义，等比数列求和公式，通项与前n项和之间的关系，着重考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题．。
广东省佛山市2019-2020学年高一下学期第一次段考数学试题Word版含答案
广东省佛山市2019-2020学年下学期第一次段考高一数学试题一、选择题（共12小题；共60分）1. 在中，，，，则此三角形解的情况为( )A. 无解B. 只有一解C. 有两解D. 解的个数不确定2. 若，则下列结论中一定成立的是A. B.C. D.3. 设是所在平面内的一点，，则A. ，，三点共线B. ，，三点共线C. ，，三点共线D. 以上均不正确4. 在中，已知，则角为( )A. B. C. D. 或5. 在中，若，则是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形6. 已知，，，则的值为A. B. 或 C. D.7. 在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A. B. C. D.8. 在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则的值为A. B. C. D.9. 已知函数又，，若的最小值为，则正数的值为( )A. B. C. D.10. 已知中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则( )A. B. C. D.11. 已知的三个顶点，，，及平面内一点满足，则点与的关系是( )A. 在的内部B. 在的外部C. 是边上的一个三等分点D. 是边上的一个三等分点12. 平面四边形中，，，，，若，则A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知，，，则在方向上的投影是．14. 如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距海里．此船的航速是海里/小时．15. 已知向量，．若，则实数的值为．16.．三、解答题（共6小题；共70分）17. 在中，，，分别为角，，所对的边，角是钝角，且．(1) 求角的值；(2) 若，的面积为，求的值．18. 已知，，是同一个平面上的三个向量，其中．(1) 若，且，求的坐标；(2) 若，且与垂直，求向量与的夹角．19. 已知函数的最小正周期为．(1) 求函数的表达式，并求单调递增区间；(2) 若，且，求的值．20. 如图，在中，为钝角，，，．为延长线上一点，且．(1) 求的大小；(2) 求的长及的面积．21. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且满足．(1) 求角的大小；(2) 若，求周长的范围。
2019-2020学年广东省佛山市第一中学高一上学期第一次段考(10月)数学试题
2019-2020学年广东省佛山市第一中学高一上学期第一次段考（10月）数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集{}{}{1234524}13U A B ===，，，，，，，，，则U B C A =（）（ ） .5A {}.5B .C ∅ .12{}34D ，，， 2.已知集合{}{}A B A m B m A === ,,1,,3,1,则m 等于（ ）. 0.A 3.B 30.或C 31.或D3.下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的函数是（ ）2.3A y log x =+（） |.1|2B y x =+ 2.1C y x =-- ||.3xD y -= 4.值域为0+∞（，）的函数是（ ）12.5xA y -= 11.()2xB y -= .C y =.D y =5.下面四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）|.|A f x x =（），2)()(x x g = B.2f x x =（），22()x g x x=C.,()f x x g x ==（） D .f x x =（），()g x =6.函数2()f x x=的单调递减区间为（ ） .A -∞+∞（，） .00B -∞+∞（，）（，） .00C -∞+∞（，）,（，） .0D +∞（，）7.已知函数y f x =（）定义域是[23]-，，则21y f x =-（）的定义域是（ ）1]42-A.（， [] .14B -， 1 .,22C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦].[55D -， 8.函数||31x f x =-+（）的图象大致是（ ）A. B. C. D.9.计算：33012222()4()16325--+⨯-的值是（ ）．646399.A 646463.B 646433.C 641087.D 10.若函数⎩⎨⎧<->+=0,10,2)(2x x x x x f ，则=-))2((f f （ ）. 3.A 8.B 0.C 5.D 11.设313231)31(,)31(,)32(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）b c a A >>. c b a B >>. b a c C >>. a c b D >>. 12. 关于奇函数与偶函数，以下说法正确的是：（1）任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和； （2）任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的差；（3）任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和，并且这种表示方法不唯一；（4）有些函数不能表示成一个偶函数与一个奇函数之和二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请把正确答案填在题中横线上)13.已知集合A={x|1≤x<2},B={x|x<a},若A ∩B=A,则实数a 的取值范围是 .14.已知a 是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则a 的值是 .15．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。
广东省佛山市普通高中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019~2020学年佛山市普通高中高一教学质量检测数学 2020年1月本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}318A x x =->,{}10B x x =≤,则A B =I （ ）A. ()10+∞，B. ()3,10C. (]3,10D. [)10+∞，【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A ，再求交集.【详解】{}318{|3}A x x x x =->=>Q{|310}A B x x ∴⋂=<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.下列函数既是偶函数,又在区间()0,3上是减函数的是（ ）A. ln y x =B. y =C. cos y x =D. e e x xy -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的判断排除B 选项，根据单调性排除A ，D .【详解】令()ln ||,(,0)(0,)f x x x =∈-∞⋃+∞，()ln ||ln ||()f x x x f x -=-==，则ln y x =为偶函数 当0x >时，ln ln y x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 错误；令()g x x R =∈，则()()g x g x -===-，则函数y =B 错误；令()cos ,h x x x R =∈，()cos()cos ()h x x x h x -=-==，则函数cos y x =为偶函数cos y x =在区间(0,)π上单调递减，则cos y x =在区间()0,3上是减函数，故C 正确；令(),x x t x e e x R -=+∈，()()xx t x ee t x --=+=，则函数e e x x y -=+是偶函数令()()()()121112212212120,1x x x x x x x x x x e e e x x t x t x e e e e e--++-≤<-=+---=因为120x x ≤<，所以22110,10xx x x e e e +<->-，即()()120t x t x -<所以函数e e x xy -=+在(0,)+∞上单调递增，故D 错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 3.已知1sin 3α=,02πα<<,则tan α=（ ）A.3 B.4C.10【答案】B 【解析】 分析】利用平方关系得出cos α，再由商数关系即可得出答案.【详解】cos α===Qsin 1tancos 34ααα∴===故选：B【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系的应用，属于基础题.4.函数sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式得出cos sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q2sin 3y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即当62,x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值2故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题. 5.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=-的图象A. 向左平行移动3π个单位 B. 向左平行移动6π个单位 C. 向右平行移动3π个单位D. 向右平行移动6π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位得到sin[2（x 6π+）3π-]= sin2x ， ∴要得到函数y ＝sin2x 的图象，只需将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．6.若函数()sin ,0,f x x x x R w w w =->?，又()()122,0f x f x ==，且12x x -的最小值为3π，则ω的值为（ ） A.16B.13C.43D. 2【答案】A 【解析】∵ 函数()sin f x x x ωω= ∴()2sin()3f x x πω=-∴函数()f x 的最大值为2∵1()2f x =，2()0f x =，且12x x -的最小值为3π ∴函数()f x 的周期为12T π= ∴由周期公式可得212T ππω==∵0>ω ∴16ω= 故选A7.设160.7a =,130.9b =,2log 0.8c =,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. b a c >> B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】利用6y x =的单调性比较,a b ，c 与0比较即可得出答案.【详解】6620.7,0.90.81a b ===，则66a b <因为函数6y x =在()0,+?上单调递增，则660ab a b <⇒<<22log 0.8log 10c =<=所以b a c >>故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题. 8.函数cos y x x =⋅,[]5,5x ∈-的大致图象为（ ）A.B.CD.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cos f x x x =⋅，()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，则函数cos y x x =⋅为奇函数，则排除D ；3522ππ<<Q(5)5cos50f ∴=⨯>，则排除AC故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（ ）.A. ()–,1∞B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】 分析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】()()()()112523,224341g f g f =-=-==-=-=-Q()()120g g ∴<则函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是()1,2故选：B 【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.10.已知函数2()log f x x =，()2g x x a =+，若存在121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ） A. [5,0]- B. (,5][0,)-∞-+∞U C. (5,0)-D. (,5)(0,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件求出两个函数的值域，结合若存在12122x x ，，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得f （x 1）＝g （x 2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【详解】当12≤x ≤2时，log 212≤f （x ）≤log 22，即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为[﹣1，1]， 当12≤x ≤2时，212⨯+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为[1+a ，4+a ]， 若存在12122x x ，，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得f （x 1）＝g （x 2），则[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅， 若[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1，【得a ＞0或a ＜﹣5，则当[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[﹣5，0]， 故选A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．二、多项选择题:本题共2小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.11.函数()()s 2,in 20f A x x A πϕϕ=+><⎛⎫⎪⎝⎭部分图象如图所示,对不同1x ,[]2,x a b ∈,若()()12f x f x =，都有()12f x x +=，则（ ）A. a b π+=B. 2b a π-=C. 4πϕ=D. ()f a b +=【答案】BC 【解析】 【分析】由三角函数的对称性得1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()12f x x +=化简得出4πϕ=，利用五点作图法得出,a b 的值，即可得出答案.【详解】由三角函数的最大值可知2A = 设122x x m +=，则122x x m +=，由对称性可知()2f m =，则()22sin 2m ϕ=+ 解得22()2m k k Z πϕπ+=+∈()()12122sin 22sin(22)2sin[2(2)]f x x x x m m ϕϕϕϕ+=++=⨯+=⨯+-⎡⎤⎣⎦2sin 222sin[4]2sin 2k k ππϕππϕϕ⎡⎤⎛⎫=⨯+-=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则sin 2ϕ=，结合||2πϕ≤，即4πϕ=，则()2sin 24f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭由五点作图法可知：20,244a b πππ+=+=，所以3,88a b ππ=-=所以(),4444,2sin(2)2a b f a f b a b πππππ⎛+=+=+⎫-==⨯= ⎪⎝⎭故选：BC【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题.12.已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数B. 对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C. 对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D. 若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞U 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围.【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则 ()22()()2()2() 11 f x x x x x f x -=--+-+-≠-+=- 所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x -<-<⇒--<⎡⎤⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2(2 )11f x x x x x -=--+--+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x <<<，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)1⎡⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞U ，故D 正确； 故选：CD【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分.13.计算:22318lg902lg34-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________.【答案】21 【解析】 【分析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.【详解】()222233318lg902lg342lg9lg10lg9214-⎛⎫++-=++-= ⎪⎭+⎝故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.14.函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________. 【答案】1 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为函数的交点问题，即可求解. 【详解】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x -=⇔-=令123,y x y =-()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1. 故答案：1【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于基础题. 15.已知当3x π=时,函数()()sin cos 0f x a x x a =+>取得最大值,则a =________.【解析】 【分析】求出3f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用辅助角公式得出())f x x ϕ=+12=+，即可得出答案.【详解】1333s n 2cos 2i a f a πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭=+ ()sin cos )f x a x x x ϕ=+=+，其中1tan aϕ=因为3x π=时,函数()f x23012a +⇔=-+=解得：a =【点睛】本题主要考查了由正弦函数的最值求参数以及辅助角公式的应用，属于基础题.16.某种物质在时刻min t 的浓度()mg/L M 与t 的函数关系为()24tM t ar =+（,a r 为常数）.在0min t =和1min t =测得该物质的浓度分别为124mg/L 和64mg/L ,那么在4min t =时,该物质的浓度为________mg /L;若该物质的浓度小于24.001mg /L,则整数t 的最小值为________.（参考数据:lg 20.3010≈） 【答案】 (1). 26.56 (2). 13 【解析】 【分析】由024*******ar ar ⎧+=⎨+=⎩求出2100,5a r ==，利用解析式求出(4)M ，解不等式21002424.0015t⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即可得出整数t 的最小值.【详解】由题意知024*******ar ar ⎧+=⎨+=⎩，解得2100,5a r ==2()100245tM t ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭42(4)1002426.565M ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭所以在4min t =时,该物质的浓度为26.56mg/L由21002424.0015t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭得，52(0.1)5t⎛⎫< ⎪⎝⎭52(0.1)5tlg lg ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭2t lg 55⎛⎫∴⋅<- ⎪⎝⎭[2(12)]5t lg lg ∴--<-，由lg 20.3010≈得出12.5t >所以整数t 的最小值为13 故答案为：26.56；13【点睛】本题主要考查了指数函数模型的应用，属于中档题.四、解答题:本题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知α为第一象限角,且sin 2cos αα=. （1）求sin 2α的值; （2）求的sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值. 【答案】（1）45；（2【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可； （2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sin cos 1(2cos )cos 1αααα+=⇒+=Qcos αα∴==4sin 22sin cos 2555ααα∴=⋅=⨯⨯= （2）sin cos 42225510πααα⎛⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题. 18.已知函数()2ln 2mx f x x ⎛⎫⎪⎝-=⎭+,其中0m >,且()()110f f +-=.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性; （2）判断()f x 的单调性（不需证明）;（3）求使()()ln9f x f x <-+成立的x 的取值集合. 【答案】1 【解析】 【分析】（1）根据题意求出1m =，由奇偶性的定义判断即可； （2）利用复合函数单调性的证明方法证明即可；（3）将不等式变形为()ln 3f x <，解对数不等式即可得出 【详解】（1）()()101f f -+=Q22244ln ln(2)0ln01333m m m m ---⎛⎫∴++=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，解得：1m = 2()ln 2x f x x -⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭由202xx->+，则22x -<< 1222()ln ln ln ()222x x x f x f x x x x -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 为奇函数 （2）24()ln ln 122x f x x x -⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令412u x=-+，ln y u = 设1222x x -<<<，121244022u x x u -=->++，即12u u > 所以函数412u x=-+在区间()2,2-上单调递减 又函数ln y u =在()0,u ∈+∞上单调递增所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递减 （3）()()2ln3()ln3f x f x f x <-+⇒<则2lnln 32xx-<+ 故有23212202xxx x x-⎧<⎪⎪+⇒-<<⎨-⎪>⎪+⎩ 则使()()ln9f x f x <-+成立的x 的取值集合为{}12x x -<<【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.19.弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t （单位:s ）与位移y （单位:mm ）之间的对应数据记录如下表:（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式; （2）画出该函数在[]0,0.6t ∈的函数图象;（3）在整个振动过程中,求位移为10mm 时t 的取值集合. 【答案】（1）1020sin()32y t ππ=-，0t ≥（2）见解析（3）{}0.2,0.4 【解析】 【分析】（1）设函数解析式为sin()y A t ωϕ=+，0t ≥，根据表格数据得出A ，ω，ϕ的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式； （2）由五点作图法作图即可； （3）解方程1020sin()1032t ππ-=，即可得出t 的取值集合.【详解】（1）设函数解析式为sin()y A t ωϕ=+，0t ≥ 由表格可知：20,0.6A T ==，则22100.63T πππω===，即1020sin()3y t πϕ=+ 由函数图象过点(0,20)-，则2020sin ϕ-=，即sin 1ϕ=- 可取2πϕ=-则这个振子的位移关于时间的函数解析式为1020sin()32y t ππ=-，0t ≥ （2）由表格数据知，1020sin()32y t ππ=-，[]0,0.6t ∈的图象所下图所示（3）由题意得：1020sin()1032t ππ-=，即101sin()322t ππ-= 则11102,326t k k Z ππππ-=+∈或221052,326t k k Z ππππ-=+∈ 化简得1113,55t k k Z =+∈或2223,55t k k Z =+∈又[]0,0.6t ∈，则t 为0.2，0.4所以在整个振动过程中，位移为10mm 时t 的取值集合为{}0.2,0.4 【点睛】本题主要考查了三角函数在物理问题中的应用，属于中档题. 20.已知函数()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 的解析式;（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性,并用定义证明; （3）解不等式()54f x ≥. 【答案】（1）()222x xf x -+=；（2）见解析；（3）{1x x ≤-或}1x ≥【解析】 【分析】（1）将x -代入已知等式，利用函数()f x ，()g x 的奇偶性，得出关于()f x 与()g x 的另一个方程，联立两个方程，即可得出()f x 的解析式； （2）利用单调性的定义证明即可；（3）结合函数()f x 的单调性以及奇偶性解不等式即可.【详解】（1）令x 取x -，代入()()2xf xg x +=中，得()()2xf xg x --+-=因为函数()f x 是偶函数,()g x 是奇函数 所以()()()()22xx f x g x f x g x ---+-=⇒-=故有()()()()22xxf xg x f x g x -⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得()222x xf x -+= 所以()222x xf x -+=（2）设120x x <…，()()()()1212112212122221222212222x x x x x x x x x x f x f x +--+--++-=-=⋅ 因为121222,21xx x x +<>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增（3）因为()f x 为偶函数，所以()()()f x f x fx =-=，并且()1252124f +== 则()()()514f x f x f ≥⇒≥ 由（2）知，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则1x ≥ 解得1x ≤-或1x ≥ 所以不等式()54f x ≥的解集为{1x x ≤-或}1x ≥ 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用定义证明函数单调性，利用单调性以及奇偶性解不等式，属于中档题.21.汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关,其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设d 表示停车距离,1d 表示反应距离,2d 表示制动距离,则12d d d =+.下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图，对应的汽车行驶的速度与停车距离的表格如下图所示（1）根据表格中的数据,建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一:d av b =+或模型二:2d av bv =+（其中v 为汽车速度,a,b 为待定系数）进行拟合,请根据序号2和序号7两组数据分别求出两个函数模型的解析式;（2）通过计算180km/h v =时的停车距离,分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据:324648209952⨯=;181********⨯=;182063708⨯=.）【答案】（1）模型一： 1.17832.4d v =-；模型二：20.006480.206d v v =+；（2）模型二的拟合效果更好 【解析】 【分析】（1）根据序号2和序号7两组数据，建立方程组，求解即可得出对应函数解析式；（2）将180km/h v =代入模型一和模型二解析式求出对应停车距离，再与实际的比较，即可判断. 【详解】（1）模型一:d av b =+ 由题意可得26.55085.4100a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得 1.178,32,4a b ==-则模型一的解析式为： 1.17832.4d v =- 模型二:2d av bv =+由题意可得22505026.510010085.4a b a b ⎧+=⎨+=⎩ ，解得0.00648,0.206a b == 则模型二的解析式为：20.006480.206d v v =+（2）将180v =代入模型一解析式得出 1.17818032.4212.0432.4179.64d =⨯-=-= 将180v =代入模型二解析式得出20.006481800.206180247.032d =⨯+⨯= 由于实际的停车距离为245.5m ，则模型二的拟合效果更好. 【点睛】本题主要考查了建立拟合模型解决实际问题，属于中档题.22.已知函数()()2104f x x ax x =++>,()12log g x x =.用{}min .m n 表示m,n 中的最小值,设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>.（1）当1a =时,求()h x 的最大值; （2）讨论()h x 零点的个数. 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）画出函数()h x 的图象，由图象即可得出最大值；（2）分别讨论a 的值，画出函数()h x 的图象，根据图象判断()h x 零点的个数. 【详解】（1）当1a =时，函数()h x 的图象如下图所示由图可知函数()h x 的最大值为112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）函数()214f x x ax =++的对称轴为2a x =-①当02a-≤，即0a ≥时，函数()h x 的图象如下图所示②当20210a a ⎧->⎪⎨⎪∆=-<⎩，即10a -<<时，函数()h x 的图象如下图所示由图可知，函数()h x 的零点只有1个 ③当20210a a ⎧->⎪⎨⎪∆=-=⎩，即1a =-时，函数()h x 的图象如下图所示由图可知，函数()h x 的零点只有2个 ④当20210(1)0a a f ⎧->⎪⎪⎪∆=->⎨⎪>⎪⎪⎩，即514a -<<-时，函数()h x 的图象如下图所示⑤当20210(1)0a a f ⎧->⎪⎪⎪∆=->⎨⎪=⎪⎪⎩，即54a =-时，函数()h x 的图象如下图所示由图可知，函数()h x 的零点只有2个 ⑥当20210(1)0a a f ⎧->⎪⎪⎪∆=->⎨⎪<⎪⎪⎩，即54a <-时，函数()h x 的图象如下图所示由图可知，函数()h x 的零点只有1个综上，当1a >-或54a <-时，函数()h x 的零点只有1个； 当1a =-或54a =-时，函数()h x 的零点有2个； 当514a -<<-时，函数()h x 的零点有3个h x的图象，属于中档题. 【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，关键是画出函数()。
广东省佛山市第一中学2019_2020学年高一数学上学期第一次段考(10月)试题
广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次段考（10月）试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第一部分选择题（共60分）一．单项选择题: 共10题，每题5分，共50分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝{x ∈N |0≤x ≤9}，M ＝{1，3，6}，N ＝{0，2，5，6，8，9}，则（∁U M ）∩N ＝（ ） A ．{2，5，8，9} B ．{0，2，5，8，9} C ．{2，5} D ．{2，5，6，8，9} 2．下列函数与函数x y =相等的是（ ） A ．()2x y =B ．2x y =C ．()33x y =D ．xx y 2=3．下列函数是奇函数的是（ ）A ．()xxx f -+=22 B ．()1+=x x f C ．()xx x f 32+= D ．()21x x f =4.德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2110f f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.3a a ⋅的分数指数幂表示为（ ） A ．21aB ．23aC ．43aD ．都不对6．函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数，且f （2）＝﹣1，则满足f （2x ﹣4）＞﹣1的实数x 的取值范围是（ ）A ．()+∞,3B ．()3,∞-C ．[)3,2D ．[)3,07．已知52121=--x x ，则xx 1+的值为（ ） A ．7B ．53C ．53±D ．278．若二次函数()42+-=x ax x f 对任意的()+∞-∈,1,21x x ，且21x x ≠，都有()()02121<--x x x f x f ，则实数的取值范围为（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,21 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-0,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,219．已知()()⎩⎨⎧≥+-<++-=1,1,2732x x ax x a x a x f 在()+∞∞-,上单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．()3,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,92D ．⎪⎭⎫⎝⎛3,9210．已知()x f 为定义在R 上的偶函数，()()2x x f x g +=，且当()+∞∈,0x 时，()x g 单调递增，则不等式()()3221+<+-+x x f x f 的解集为（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,23 C ．()3,-∞-D ．()3,∞-二．多项选择题: 共2题，每题5分，共10分. 在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求. 全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11．下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列运算结果中，一定正确的是（ ）A ．743aa a =⋅B ．()632a a =- C ．aa =88D ．()ππ-=-55第二部分非选择题（90分）三．填空题: 本题共4个小题,每小题5分,共20分.13．()232021238272412--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ ．14．已知函数()⎩⎨⎧>-≤=0,120,22x x x x x f 且()1=a f ，则a ＝ ．15．已知函数()x f 是定义在()+∞∞-,上的奇函数，当[)+∞∈,0x 时，()x x x f 42-=，则当()0,∞-∈x 时()=x f ．16．函数()12+-=x xx f 的最小值为四．解答题:本大题共6个小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．(10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣5x ＜0}，B ＝{x |m +1≤x ≤3m ﹣1} （1）当m ＝2时，求∁U （A ∩B ）；（2）如果A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（10分）设()()2652-+-+=a x a x x f（1）若()()x a x f x g 2+=为偶函数，求a 的值；（2）若()x f 在（1，2）内是单调函数，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数()xax x f +=2（1）若2-=a ，求满足()0=x f 的x 的集合； （2）若4=a ，求证: ()x f 在（2，+∞）单调递增.20．（12分）已知二次函数()()R a aax x x f ∈+-+-=122（1）求函数f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值()max x f ; （2）记()()a g x f =max ，求()a g 的最小值．21．(12分)某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q （百件）与销售价格p （元）的关系如下图，每月各种开支2000元．（1）写出月销售量Q （百件）与销售价格p （元）的函数关系； （2）写出月利润y （元）与销售价格p （元）的函数关系； （3）当商品价格每件为多少元时，月利润最大？并求出最大值．22．（14分）已知函数()()R c b c bx x x f ∈++=,2，且()0≤x f 的解集为[]2,1．（1）求函数()x f 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()()21-->x m x f （m ∈R ）； （3）设()()13-+=x x f xx g ，若对于任意的R x x ∈21,都有()()M x g x g ≤-21，求M 的最小值．佛山市第一中学2019级高一上学期第一次段考数学答案13. 21 14.221-或 15. ﹣x 2﹣4x ． 16.﹣1．17.解：（1）集合{}{}50052<<=<-=x x x x x A ，…………………………2 当m ＝2时，{}53≤≤=x x B ，所以A ∩B ＝{}53<≤x x ，…………………………4 故∁U （A ∩B ）＝{}53≥<x x x 或…………………………5 （2）因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， (6)①当B ＝φ时，有m +1＞3m ﹣1得：m ＜1， (7)②当B ≠φ时，有⎪⎩⎪⎨⎧<->+-≤+51301131m m m m ，解得1≤m ＜2， (9)综合①②得：m ＜2，故实数m 的取值范围为：()2,∞-． (10)18.解：（1）()()()265222-++-+=+=a x a a x x a x f x g 为偶函数， (2)则0652=+-a a ，解得51==a a 或 (5)（2）∵()x f 对称轴为256-=a x ，又（1，2）内是单调函数，…………………………7 ∴2256≥-a 或1256≤-a ，解得23≥a 或67≤a ∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,2367, (10)19.解：（1）2-=a 时，()x x x f 22-=，则()0=x f 即022=-xx ， 解得1±=x . 所以满足()0=x f 的x 的集合为{}11-，.…………………………4 （2）4=a ，()x x x f 42+=.任取∵212x x <<，则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-2211214242x x x x x f x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=21211142x x x x ()21122142x x x x x x -+-=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121212x x x x ………………8 ∵212x x <<∴,4,02121><-x x x x ∴411021<<x x ， ∴212021<<x x ，∴02121>-x x …………………………10 ∴()()021<-x f x f ，∴()()21x f x f <∴()x f 在（2，+∞）单调递增 (12)20.（1）()122+-+-=a ax x x f f 的对称轴为2ax =…………………………2 当12≥a 即a ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]递增，可得f （1）＝2a ， 当2a ≤﹣1即a ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]递减，可得f （﹣1）＝a 23-， 当﹣1＜2a ＜1，即﹣2＜a ＜2时，f （x ）的最大值为f （2a）＝42a ﹣2a +1， (5)综上可得 ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-<<-+-≥=2,2322,1242,22max a a a a aa ax f (6)（3）a ≥2时，()2aa g =单调递增， ∴g （a ）的最小值为()12=g ；﹣2＜a ＜2时，()()4314112422+-=+-=a a a a g ，且()2,21-∈=a ， ∴g （a ）的最小值为()431=g ； a ≤﹣2时，()a x g 23-=单调递减，∴g （a ）的最小值为()32=-g ，..................10 综上，g （a ）的最小值为． (12)21解：（1）当14≤P ≤20时，直线过点（20，10），（14，22）， 故可得为k ＝﹣2，故所在直线的方程为Q ﹣10＝﹣2（p ﹣20）， 化简可得Q ＝﹣2P+50，同理可得，当20＜P ≤26时，Q ＝﹣P +40，故可得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=)2620(4023)2014(502P P P P Q (4)（2）结合（1）可知：当14≤P ≤20时，y ＝100（P ﹣14）（﹣2P +50）﹣2000 即y ＝﹣200（P 2﹣39P +360）…………………………6 当20＜P ≤26时，y ＝100（P ﹣14）（ 23-P +40）﹣2000 即y ＝﹣50（3P 2﹣122P +1160）…………………………8 所以()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤≤+--=2620,11601223502014,3603920022P P P P P P y (9)（3）由（2）的解析式结合二次函数的知识可知： 当14≤P ≤20时，当P ＝19.5时，函数取最大值4050， 当20＜P ≤26时，当P ＝时，函数取最大值＜4050综上可得：当商品价格为19.5元时，利润最大，为4050元 (12)22.解：（1）f （x ）≤0的解集为[1，2] 可得1，2是方程x 2+bx +c ＝0的两根，则⇒，⇒b ＝﹣3，c ＝2⇒f （x ）＝x 2﹣3x +2 (2)（4）f （x ）＞（m ﹣1）（x ﹣2）⇒x 2﹣（2+m ）x +2m ＞0⇒（x ﹣m ）（x ﹣2）＞0当m ＞2时，x ∈（﹣∞，2）∪（m ，+∞） 当m ＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）当m ＜2时，x ∈（﹣∞，m ）∪（2，+∞）…………………………6 （3）()()1132+=-+=x xx x f x x g ，为R 上的奇函数当x ＝0时，g （0）＝0 当x ＞0时，()xx x g 11+=，则函数g （x ）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且x →+∞时，g （x ）→0，在x ＝1时，g （x ）取得最大值，即()()211max ==g x g ； (8)当x ＜0时，()xx x g 11+=，则函数g （x ）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[﹣1，0）上单调递减，且x →﹣∞时，g （x ）→0，在x ＝﹣1时，g （x ）取得最小值，即()()211in -=-=g x g m ； (10)对于任意的x 1，x 2∈R 都有|g （x 1）﹣g （x 2）|≤M 则等价于|g （x ）max ﹣g （x ）min |≤M 或（|g （x ）min ﹣g （x ）max |≤M ）..............................12 则M 的最小值为1 (14)。
广东省佛山市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷
广东省佛山市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·西湖月考) 等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·江门期中) 设向量 =（cos25°，sin25°）， =（cos25°，sin155°），则的值为（）A .B . 1C .D .3. （2分）在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若内角ABC依次成等差数列，且不等式的解集为{x|a<x<c}，则△ABC的面积为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一上·荆门期末) 已知θ∈（π，2π）， =（1，2）， =（cosθ，sinθ），若∥，则cosθ的值为（）A .B . ±C . ﹣D .5. （2分） (2016高一上·荆门期末) 若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（）A .B .C .D . 26. （2分） (2016高一上·荆门期末) 函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·荆门期末) 函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，则f（）等于（）A . 3B . ﹣3C . ﹣log36D . ﹣log388. （2分） (2016高一上·荆门期末) 函数f（x）=log2x﹣3sin（ x）零点的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分） (2016高一上·荆门期末) 将函数y=sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A . x=﹣B . x=﹣C . x=D . x=10. （2分） (2016高一上·荆门期末) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0，f（x）= ，f ﹣1（x）是f（x）的反函数，那么f﹣1（﹣9）（）A . 3B . ﹣3C . 2D . ﹣211. （2分） (2016高一上·荆门期末) 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）A .B .C .D . 212. （2分） (2016高一上·荆门期末) 已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=s inπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）= ，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b 的取值范围是（）A . （0，1）B . （，）C . （，）D . （，）二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高二下·东阳期中) 在等差数列中，若，则 ________，________.14. （1分） (2019高一下·上海月考) 把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为________.15. （1分） (2016高一上·南充期中) 若2a=5b=10，则 =________．16. （1分） (2016高一上·荆门期末) 已知函数，若存在x1 ，x2∈R，x1≠x2 ，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分）已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）= ﹣（a∈R）．（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．18. （5分）判断“函数有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题?说明理由.19. （10分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 求下列函数的导数．（1）；（2） .20. （5分） (2016高一上·海淀期末) 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当• =﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得| |= | |恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2018高一下·伊通期末) 在平面直角坐标系中，已知向量，， .(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)若的夹角为，求的值.22. （5分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
【35套试卷合集】佛山市南海区石门中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案
广东省佛山市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷(I)卷
广东省佛山市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·淄博期中) 下列各命题中，真命题是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·淄博期中) 若不等式的解集为，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·淄博期中) “ ”是“一次函数 ( 是常数)是增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高一上·淄博期中) 若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D . 或6. （2分） (2019高一上·淄博期中) 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A .B . 或C .D . 或7. （2分） (2019高一上·淄博期中) 如果函数在区间 ]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·淄博期中) 设集合，集合，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分） (2019高一上·淄博期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·淄博期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·淄博期中) 小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·淄博期中) 若在处取得最小值，则（）A .B . 3C .D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·南京期中) 某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是________年.（参考数据：）14. （1分） (2019高一上·淄博期中) 函数的定义域为________．15. （1分） (2019高一上·淄博期中) 若，且满足，则的最小值为________.16. （1分） (2019高一上·淄博期中) 已知函数，若，则 ________.三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．（1）试求a，b的值；（2）求不等式＞0的解集．18. （5分） (2019高一上·淄博期中) 已知集合，集合，若，求实数的取值集合．19. （5分） (2019高一上·淄博期中) 已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的范围.20. （5分） (2019高一上·淄博期中) 要制作一个体积为，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？21. （5分） (2019高一上·淄博期中) 已知二次函数在区间上有最小值，求实数的值.22. （10分） (2019高一上·淄博期中) 已知函数 .（1）求它的定义域和值域；（2）用单调性的定义证明: 在上单调递减.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次段考数学试题 Word版含解析
2019—2020学学年佛山市第一中学高一下学期第一次段考数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若||||a b =，则a b = B. 若||||a b =，则//a b C. 若a b =，b c =，则a c = D. 若//a b ，//b c ，则//a c【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误； B. 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误； C. 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D. 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误. 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=（ ） 3 5 C. 310【答案】D 【解析】 【分析】根据已知计算出2a b 的值，进而计算出2||a b -，即可得到结论． 【详解】||3a =，||2b =，∴29a =，24b =又||4a b +=，∴22216a b a b ++= ∴23a b =∴222210||a b a b a b +-==-， ∴||10a b -=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的模和平面向量的数量积的计算，其中根据已知条件计算出2a b 的值，是解答本题的关键．3.在ABC 中，3a =22c =60A =︒，则C =（ ）. A. 30° B. 45°C. 45°或135°D. 60°【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理得2322sin 60sin C=，化简即得解. 【详解】由正弦定理得23222,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则678a a a ++=( ) A. 63 B. 45C. 39D. 27【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意列方程组求出1a 、d ，再计算678a a a ++的值．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由39S =，636S =，得1339161536a d a d +=⎧+=⎨⎩， 解得11a =，2d =；678131833639a a a a d ∴++=+=+=．故选C ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式应用问题，是基础题． 5.已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，已知60A ∠=︒，3a =b x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是（ ） A. 3,2) B. 3)C. (1,2)D. 3,3)【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件A 的度数，a 及b 的值，根据正弦定理用x 表示出sin B ，由A 的度数及正弦函数的图象可知满足题意ABC ∆有两个B 的范围，然后根据B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin B 的范围，进而求出x 的取值范围． 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin a x A B=3sin xB =， ∴sin 2x B =， 由题意得：当(60,90)(90,120)B ∈︒︒︒︒时，满足条件的ABC ∆有两个，312x<<32x <<， 则a 的取值范围是(32)．故选：A ．【点睛】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基础知识的考查．6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A.49B. 49-C.43D. 43-【答案】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()PA PB PC ⋅+2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA =∴()49PA PB PC ⋅+=- 故选B ．【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．7.ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()()0a c c a b b a +---=，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--，//p q ， 所以()()()0a c c a b b a +---=， 整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab解得3C π=.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果. 8.若实数1，x ，y ，4成等差数列，2-，a ，b ，c ，8-成等比数列，则y xb-=（ ） A. 14-B.14C. 14±D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，可以确定1y x -=，利用等比数列的定义，可以得出4b =-，故可以求出y xb-．【详解】1，x ，y ，4成等差数列， 3()413y x ∴-=-= 1y x ∴-=，2-，a ，b ，c ，8-五个实数成等比数列，2(2)(8)b ∴=-⨯-，4b ∴=-或4b =（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同）∴14y x b -=-． 故选：A ．【点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义，考查学生的计算能力，求b 时，容易错误得出两个解，需要谨慎判断．9.设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A.34B.23C.12D.13【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】∵数列{}n a 等比数列，且其前n 项和记为n S ，∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为105512S S S -=-， ∴()1510105511 24S S S S S -=--=， ∴15510513 44S S S S =+=， ∴1553:4S S =． 故选A ．【点睛】在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．10.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A.11S a B.88S a C.55S a D.99S a 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 【详解】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜．这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 故选C ．【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分部分选对得3分，有错的得0分. 11.下列命题中，其中错误命题有（ ）A. 单位向量都相等B. 在ABC 中，若sin sin A B >，则A 一定大于B ；C. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S An Bn C =++（A 、B 、C 均为常数），则数列{}n a 一定为等差数列；D. 若数列{}n a 是等比数列，则数列232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅也是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】A ，利用单位向量的定义分析判断；B ，利用正弦定理分析判断得解；C ，利用等差数列的性质分析判断得解；D ，利用等比数列的性质分析判断得解. 【详解】A. 单位向量不一定相等，因向量既有大小，又有方向，所以该命题错误；B. 在ABC 中，若sin sin A B >，所以,22a bR R>所以a b >，则A 一定大于B ，所以该命题正确；C. 若数列{}n a 的前n 项和为2n S An Bn C =++（A 、B 、C 均为常数），由等差数列性质得，当0C =时，数列{}n a 一定为等差数列；当0C ≠时，数列{}n a 从第二项起，是等差数列，所以该命题错误；D. 若数列{}n a 是等比数列，则数列232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅不一定是等比数列，如当公比1q =-时，n 为偶数，232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅均为零，所以该命题错误.故选：ACD【点睛】本题主要考查单位向量的定义，考查正弦定理，考查等差数列的前n 项和的性质，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，有以下结论：其中正确结论有（ ） A. 当6t =时，,,a b c 成等差数列 B. 28t <<C. 当4t =，ln 2a =时，ABC 215ln 2；D. 当58t <<时，ABC 为钝角三角形【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ，利用正弦定理和等差中项分析判断得解；对于B,利用正弦定理和三角形性质分析判断得解；对于C,求三角形的面积即可判断；对于D,利用余弦定理分析判断得解.【详解】对于A ，sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln 6,A B C =所以::ln 2:ln 4:ln 6,a b c =可设2a kln =，422b kln kln ==，6c kln =，0k >，所以ln 2ln 6ln12,a c k k k +=+=24ln 2,b k =所以2a c b +≠，所以,,a b c 不成等差数列，所以A 不正确；对于B,根据题意，若sin :sin :sin 2:4:A B C ln ln lnt =，则::2:4:a b c ln ln lnt =，故可设2a kln =，422b kln kln ==，c klnt =，0k >．则有b a c b a -<<+，则232kln c kln <<，变形可得28t <<，所以B 正确；对于C ，当4t =，2a ln =时，则4b ln =，4c lnt ln ==，则有2b c a ，所以BC 边上的高为152,此时ABC ∆的面积为115ln 22=2⋅2152ln ，所以C 不正确； 对于D ，当528t <<时，此时::2:4:a b c ln ln lnt =，则有2222222222222252ln 24ln 2ln (5ln 2ln )[5ln 2(ln ]0k k k t t b k c k a +-=+--<-==，故ABC ∆为钝角三角形．所以D 正确. 故答案为：BD ．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,0),(1,7)A B C -，则D 点坐标为_________. 【答案】(0,9) 【解析】 【分析】设(,),D x y 根据=AB DC 得解.【详解】设(,),D x y 由题得=,(1,2)(1,7),11.27,AB DC x y x y ∴-=--∴=--=- 所以0,y 9x ==，所以D 点坐标为(0,9). 故答案为：(0,9)【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和相等向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23a c bbc b c--=,ABC 外接圆的半径为3，则a =_____ 【答案】3 【解析】 【分析】首先对23a c b bc b c--=通分化简，再根据余弦定理即可求出cos A ，进而求出sin A ，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.【详解】由题意可得2223a c b bc --=，根据余弦定理可知3cos A =-，所以1sin 2A =，根据正弦定理可得6sin aA=，所以3a =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = ________ m.【答案】1006试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006考点：正弦定理及运用．16.数列1111,,,12123123n+++++++ 的前49项和为______【答案】4925【解析】 【分析】令1123n a n=++++，分母为等差数列的前n 项和，用列项法可求得221n a n n -+＝ ，从而可求得数列1111,,,12123123n+++++++的前49项和． 【详解】令1123n a n=++++，()11232n n n +⋅+++⋯+=， ∴()22211n a n n n n =-⋅++＝，∴124922222249211233449505025a a a （）（）（）（）．++⋯+=-+-+-+⋯-=-= 即答案为4925. 【点睛】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，()1,2a =； （1）若25c =，且c a ∥，求c 的坐标； （2）若5b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 【答案】（1）2,4c或()2,4c =--；（2）π.【分析】（1）设向量(),c x y =，根据25c =和c a ∥得到关于,x y 的方程组，从而得到答案；（2）根据2a b +与2a b -垂直，得到a b ⋅的值，根据向量夹角公式得到cos θ的值，从而得到θ的值.【详解】（1）设向量(),c x y =， 因为()1,2a =，25c =，c a ∥，所以22252x y x y+==⎪⎩24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩所以2,4c或()2,4c =--；（2）因为2a b +与2a b -垂直， 所以()()220a b a b +⋅-=， 所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而5b =，22125a =+= 所以5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，a 与b的夹角为θ，所以52cos 1552a b a bθ-⋅===-⋅⨯， 因为[]0,θπ∈，所以θπ=.【点睛】本题考查根据向量的平行求向量的坐标，根据向量的垂直关系求向量的夹角，属于简单题.18.已知等比数列{}n a 中，22a =，且2a ，31a +，4a 构成等差数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且2n S n n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足：14n n n n c a b b +=+⋅求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1=2n n a -；（2）121nn T n =-+. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，由题得到关于1,a q 的方程组，解方程组即得解；（2）先求出数列{}n b 的通项，再利用公式法和裂项相消法求和得解.【详解】（1）设等比数列的公比为111231112,,2,1,22(1)n n a q q q a a a q a q a q-=⎧∴∴==∴=⎨+=+⎩. （2）当1n =时，211112b S ==+=;当2n ≥时，221(1)(1)2n n n b S S n n n n n -=-=+----=，适合1n =. 所以2n b n =.所以11141112224(+1)(1)1n n n n c n n n n n n ---=+=+=+-++.所以数列{}n c 的前n 项和n T 12111111112112121223111n n n n n n n -=+-+-++-=-+-=--+++. 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列. （1）求B ； （2）若33a c +=，3b =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3B π=；(2)316. 【解析】【分析】（1）由题意可知2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理边化角整理可得()2sinBcosB sin A C =+，据此可知12cosB =，3B π=. （2）由题意结合余弦定理整理计算可得54ac =，结合三角形的面积公式可得53ABC S ∆=. 【详解】（1）∵ccosA ，bcosB ，acosC 成等差数列, ∴2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理2a RsinA =，2c RsinC =，2b RsinB =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sinBcosB sinCcosA sinAcosC =+， 即()2sinBcosB sin A C =+.又A C B π+=-，∴()2sinBcosB sin B π=-， 即2sinBcosB sinB =. 而0sinB ≠，∴12cosB =，由0B π<<，得3B π=. （2）∵222122a cb cosB ac +-==，∴()222122a c acb ac+--=，又332a c +=，3b = ∴27234ac ac --=，即54ac =， ∴115353224216ABC S acsinB ∆==⨯⨯=. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．20.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，且24a =，123452a a a =.数列{}n b 是单调递增的等差数列，且3215b b ⋅=，148b b +=， （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =，21n b n =-；（2）1=6+(23)2n n T n +-.【解析】 【分析】（1）根据已知列方程组求出12,2,a q ==即得数列{}n a 的通项公式.根据已知得到233,5,b b ==即得数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求和得解.【详解】（1）由题得14a q =，391122q a =，因为数列{}n a 是各项为正数，所以12,2,a q ==1222n n n a -∴==由题得3215b b ⋅=，238b b +=.因为等差数列单调递增， 所以233,5,2,3(2)221n b b d b n n ==∴=∴=+-⨯=-. （2）数列{}n n a b 的前n 项和23=21+23252(21)n n T n ⋅⋅+⋅++⋅-，所以234+12=21+23252(21)n n T n ⋅⋅+⋅++⋅-，两式相减得231=21+2222222(21)n n n T n +-⋅⋅+⋅++⋅--所以118(12)=2+2(21)12n n n T n -+-----， 所以1=6+(23)2n n T n +-.【点睛】本题主要考查等差等比数列通项的基本量的计算，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos 2sin 2a c b Bac A+-=． (1)求角A ；(2)若2a =，求ABC ∆的面积的最大值． 【答案】（1）4π；（221 【解析】 【分析】(1)由余弦定理可得cos cos sin2BB A=，化简可得sin21A =，由此可求角A ；(2)12sin 2ABC S bc A bc∆==，由（1）知，22222cos 4b c bc π=+- 22bc bc ≥-． 由此可求ABC ∆的面积的最大值．【详解】(1)∵222cos 2sin2a c b Bac A+-=，∴cos cos sin2B B A =． ∵B 是锐角，∴cos 0B ≠．∴sin21A =． ∵02A π<<，02A π<<，∴4A π=．(2)112sin sin 2244ABC S bc A bc bc π∆===． 由（1）知，22222cos4b c bc π=+- 22bc bc ≥-．∴()224bc -≤．即()222bc ≤+．∴()222222144ABC S bc ∆=≤⨯+=+． 当且仅当422b c ==+时取等号，∴21．【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式的应用，属中档题.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，1145(2)n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2log n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ；（3）求满足231115011199n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋯⋯-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.【答案】（1）212n n a -=；（2）2n T n =；（3）98.【解析】 【分析】（1）由已知条件得114()n n n n S S S S +--=-，从而14n n a a +=，由此推导出数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列．从而121242n n n a --==．（2）由22212o 1l g log 2n n a n -==-，能求出数列2{log }n a 的前n 项和．（3）231111(1)(1)(1)2n n T T T n +--⋯-=，令150299n n +>，能求出满足条件的最大正整数n 的值. 【详解】（1）当2n 时，1145(2)n n n S S S n +-+=，114()n n n n S S S S +-∴-=-，14n n a a +∴=，12a =，28a =， 214a a ∴=，∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列． ∴121242n n n a --==．（2）由（1）得：22212o 1l g log 2n n a n -==-， 21222log log log n n T a a a ∴=++⋯+13(21)n =++⋯+-2(121)2n n n +-==． （3）23111(1)(1)(1)n T T T --⋯-222111(1)(1)(1)23n =--⋯- 222222222131411234n n ----=⨯⨯⨯⋯⨯ 2222132435(1)(1)234n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯-+=⨯⨯⨯⋯⨯12n n+=， 令150299n n +>，解得99n <. 故满足条件的最大正整数n 的值为98．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，考查最大的正整数的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。
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，则 D．
的值为（ ）
6. 已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 若
，则
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8. 已知函数 A．
的图象大致为( ) B．
C．
D．
9. 如图， 是全集， 、 、 是 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 若 A． C．
二、多选题
11. 已知函数 A． C．
广东省佛山市南海区2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1. 已知全集 A． C．
，集合
，集合
，则
为（ ）
B．
D．
2. 某校有一班级，设变量 是该班同学的姓名，变量 是该班同学的学号，变量 是该班同学的身高，变量 是该班同学的某一门课程的考试
成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A． 是 的函数
21. 已知函数
.
（1）完成表一中 对应的 值，并在坐标系中用描点法作出函数
的图象：（表一）
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
0.08
1.82
2.ห้องสมุดไป่ตู้8
（2）根据你所作图象判断函数
的单调性，并用定义证明；
（3）说明方程
的根在区间
存在的理由，并从表二中求使方程
小值并求此时方程
的根的近似值，且说明理由.
16. 函数
，函数
有______个零点，若函数
有三个不同的零点，则实数 的取值范围是______.
五、解答题
17. 已知集合
，
，
.
（1）求 （2）若
； ，求 的取值范围.
18. 已知 （1）求
（2）求
的值；
. 的值.
19. 已知函数
.
（1）当 时判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数
在 上的最大值为9，求 的值.
（表二）二分法的结果
的根的近似值达到精确度为0.01时运算次数 的最
运算次数 的值
左端点
右端点
-0.537
0.6
0.75
0.08
-0.217
0.675
0.75
0.08
-0.064
0.7125
0.75
0.08
-0.064 -0.03 -0.01
0.7125 0.721875 0.7265625
0.73125 0.73125 0.73125
，则 的取值范围是（ ） B． D．
，
，则
，
满足（ ）
B．
且
D．
12. 已知狄利克雷函数
A．
的值域为
C．
三、填空题
13. 函数
，则下列结论正确的是（ ）
B． D．
定义域为 是奇函数
的定义域为________.
14.
______.
15. 设 是R上的奇函数，且当
时，
，那么当
时， ＝_____．
四、双空题
20. 已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百 公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：
01 2 3 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b． （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
0.011 0.011 0.011
22. 函数 ①函数 ②函数 ③函数 ④函数
满足以下4个条件.
的定义域是 ，且其图象是一条连续不断的曲线；
在
不是单调函数；
是偶函数；
恰有2个零点.
（1）写出函数
的一个解析式；
（2）画出所写函数
的解析式的简图；
（3）证明
满足结论③及④.
B． 是 的函数
C． 是 的函数
D． 是 的函数
3. A．正数
的值为（ ） B．负数
C．0
4. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2
B．
C．
D．不确定 D．
5. 已知角 、 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，终边关于 轴对称，若角 的终边上有一点
A．
B．
C．