高三培优3

1. D2. A 【解析】由题意可得，可得四边形OBAC 是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC 是边长为2的菱形，且∠ABO =∠AC 0=60°，可得∠ACB =∠AC 0=30°，由投影的定义可得．3. A 【解析】构造函数g （x ）=e xf （x ）-e x，（x ∈R ）研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解. 4. B 解：设椭圆半长轴为，半焦距为，双曲线半长轴为，半焦距为，由题意可知，，解得.又因为是以为底边的等腰三角形，所以，则，即，所以，可解得（，）。

则，令（），则，代入可得，在上单调递增，当时，，所以，e 1e 2＋1>5.存在点E 且SE ：EC =2：1，使得BE ∥面PAC ．证明如下：在平面SCD 内作QE ∥CP ，∴QE ∥面PAC ，又BQ ∥OP ，∴BQ ∥面PAC ，又QE ∩BQ =Q ，∴面EBQ ∥面PAC ，∵BE ⊂面EBQ ，∴BE ∥面PAC ，∴SE ：EC =SQ ：QP =2：1．6.（1）椭圆C 的方程为；（2）（i ）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =±， 代入椭圆方程得到A （，），B （，-），或者A （-，），B （-，-），此时=0,，即以AB 为直径的圆过坐标原点；当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，因为直线l 与圆相切，所以,即m 2=(1+k 2)，将直线与椭圆联立方程组消去y 得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-8=0，设A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2）,则x 1+x 2=，x 1x 2=, =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2===0，所以以AB 为直径的圆过原点，综上，以AB 为直径的圆横过原点； （ii ）当l 的斜率不存在时，|AB |=，当直线l 的斜率存在时，由弦长公式可得|AB |===,若k =0，|AB |=;若k ≠0时，|AB |=∈（，]，综上所得，|AB |的取值范围为[，].高三文科数学短卷训练（3）1. 已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(a cos B +b cos A )=abc ，若a +b =2，则c 的取值范围为（ ）A. (0,2)B. [1,2)C. [12,2] D. (1,2]2. 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ） A. ()41m q +元B. ()51m q +元C.()()411m q q q ⎡⎤+-+⎣⎦元 D. ()()511m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元 3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M −ABCD 为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且MA =BC =AB =2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________． 4．如果圆(x −a )2+(y −a )2=8上总存在到原点的距离 2的点，则实数a 的取值范围是__________．5．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率.6．函数f(x)=ln x+12x2+ax(a∈R)，g(x)=e x+32x2．（Ⅰ）讨论f(x)的极值点的个数；（Ⅱ）若对于∀x>0，总有f(x)≤g(x).（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于∀x>0，不等式e x+x−(e+1)+ex>2成立．【答案】B【解析】由题意可得：a 2+b 2−c 22ab×a cos B +b cos Ac =12,且cos C =a 2+b 2−c 22ab，a cos B +b cos Ac=sin A cos B +sin B cos Asin C =sin Csin C =1，据此可得：cos C =12，即：a 2+b 2−c 22ab=12,a 2+b 2−c 2=ab ，据此有：c 2=a 2+b 2−ab = a +b 2−3ab =4−3ab ≥4−3 a +b 22=1，当且仅当a =b =1时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则c <a +b =2， 综上可得：c 的取值范围为[1,2). 本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccosA可以转化为sin 2 A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA ，利用这些变形可进行等式的化简与证明． 【答案】D【解析】2016年存款的本息和为()1m q +，2015年存款的本息和为()21m q +，2014年存款的本息和为()31m q +，2013年存款的本息和为()41m q +，三年存款的本息和为()()()()()()()()()4523411111111111m q q m q q m q m q m q m q q q ⎡⎤⎡⎤++-+-+⎣⎦⎣⎦+++++++==+-，选D.【答案】36π−16 【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别R 与r ，则2R =2+AB 2+BC 2=2 3.即R = 3. 由13S M−ABCD 表∙r =13S ABCD ∙MA .得r =S ABCD ∙MA S M −ABCD 表=2×2+1×(2×2×2+2×2 2×2)=2− 2. 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为4π R 2+r 2 =36π−16 2π. 【答案】[−3,−1]∪[1,3] 【解析】圆心(a ,a )到原点的距离为 2|a | ，圆(x −a )2+(y −a )2=8上总存在到原点的距离 2的点，则 2≤ 2|a |≤3 2,1≤|a |≤3，则−3≤a ≤−1或1≤a ≤3. 【答案】（1）514（2）815【解析】【试题分析】（1）依据图像运用互斥事件的程求出角分析求解；（2）运用列举法及古典概型的概率公式求解：解：(1)设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j ⋂=∅≠.设B 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1天” ，则356710B A A A A A =⋃⋃⋃⋃，所以()()()()()()356710514P B P A P A P A P A P A =⋃⋃⋃⋃=，即此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率为514. (2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为,E F ，另外4天记为,,,a b c d ，则6天中选2天到达的基本事件如下：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d c E c F ，()()(),,,,,d E d F E F 共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a E a F b E b F c E c F d E d F 这8个基本事件，故所求事件的概率为815. 【答案】见解析. 【解析】【试题分析】（Ⅰ）先运用求导法则求函数的导数，再分类进行探求； （Ⅱ）先将不等式进行等价转化，再构造函数借助导数的有关知识进行推证： （Ⅰ）解法一：由题意得f ′(x )=x +1x +a =x 2+ax +1x(x >0)， 令Δ=a 2−4（1）当Δ=a 2−4≤0，即−2≤a ≤2时，x 2+ax +1≥0对x >0恒成立 即f ′(x )=x 2+ax +1x≥0对x >0恒成立，此时f (x )没有极值点；…………2分（2）当Δ=a 2−4>0，即a <−2或a >2①a <−2时，设方程x 2+ax +1=0两个不同实根为x 1,x 2，不妨设x 1<x 2 则x 1+x 2=−a >0,x 1x 2=1>0，故x 2>x 1>0∴x <x 1或x >x 2时f (x )>0；在x 1<x <x 2时f (x )<0 故x 1,x 2是函数f (x )的两个极值点.②a >2时，设方程x 2+ax +1=0两个不同实根为x 1,x 2， 则x 1+x 2=−a <0,x 1x 2=1>0，故x 2<0,x 1<0∴x >0时，f (x )>0；故函数f (x )没有极值点. ……………………………4分 综上，当a <−2时，函数f (x )有两个极值点；当a ≥−2时，函数f (x )没有极值点.………………………………………5分解法二：f ′(x )=x +1x+a , …………………………………………1分∵x >0,∴f ′(x )∈[a +2,+∞),当a +2≥0，即a ∈[−2,+∞)时，f ′(x )≥0对∀x >0恒成立，f (x )在(0,+∞)单调增，f (x )没有极值点； ……………………………………………………………3分②当a +2<0，即a ∈(−∞,−2)时，方程x 2+ax +1=0有两个不等正数解x 1,x 2，f ′(x )=x +1+a =x 2+ax +1=(x −x 1)(x −x 2)(x >0) 不妨设0<x 1<x 2，则当x ∈(0,x 1)时，f ′(x )>0,f (x )增；x ∈(x 1,x 2)时，f ′(x )<0,f (x )减；x ∈(x 2,+∞)时，f ′(x )>0,f (x )增，所以x 1,x 2分别为f (x )极大值点和极小值点，f (x )有两个极值点. 综上所述，当a ∈[−2,+∞)时，f (x )没有极值点；当a ∈(−∞,−2)时，f (x )有两个极值点. ………………………………5分 （Ⅱ）（i ）f (x )≤g (x )⇔e x −ln x +x 2≥ax ， 由x >0，即a ≤e x +x 2−ln xx对于∀x >0恒成立，设φ(x )=e x +x 2−ln xx(x >0)，φ′(x )=(e x +2x−1x)x−(e x +x 2−ln x )x =e x (x−1)+ln x +(x +1)(x−1)x ，∵x >0，∴x ∈(0,1)时，φ′(x )<0,φ(x )减，x ∈(1,+∞)时，φ′(x )>0,φ(x )增，，． ……………………………………9分（ii ）由（i ）知，当∴a =e +1时有，即：e x +32x 2≥ln x +12x 2+(e +1)x ，⇔e x +x 2−(e +1)x ≥ln x ……①当且仅当x =1时取等号, ……………………………10分 以下证明：，设θ(x )=ln x +ex ，θ′(x )=1x −ex 2=x−e x 2，∴当x ∈(0,e )时θ′(x )<0,θ(x )减，x ∈(e ,+∞)时θ′(x )>0,θ(x )增，∴θ(x)≥θ(e)=2，，……②当且仅当x=e时取等号；由于①②等号不同时成立，故有e x+x2−(e+1)x+ex >2.……………………………12分点睛：本题以函数参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用，求解过程中充分运用题设条件，借助导数与函数的单调性极值（最值）等基础知识与基本方法以及等价转化与化归的数学思想、分类整合思想的进行分析求解和推证，从而使得问题获解。