函数的平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
第三章 3.1.1函数的平均变化率
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取 x都为13，哪一点附近的平均变化率 最大？ 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以 y＝f(x1＋ x)－f(x1) ＝2(x1＋ x)2＋3(x1＋ x)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[( x)2＋2x1 x]＋3 x ＝2( x)2＋(4x1＋3) x. ΔyΔx＝2Δx2＋4x1＋3ΔxΔx＝2 x＋4x1＋3. ①当x1＝4，x2＝5时， x＝1，
(1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量 x＞0.( × ) (2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为fx2－fx1x2－x1.( √ ) (3)ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx是f(x)在区间[x0，x0＋ x]( x＞0)上的平均变化率，也可以 说是f(x)在x＝x0处的变化率．( × )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 考点 题点 答案 B 解析 ΔyΔx＝1－33－1＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋ x,6＋ y)，则ΔyΔx为( )
A． x＋1Δx＋4
B． x－1Δx－4
C． x＋4
D．4＋ x－1Δx
考点
题点
答案 C
(2)当 t＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当 t＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 s2.1－s22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2. 2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为( )
函数的平均变化率
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率。
解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或
f(x0 x)f(x0)[(x 0x+0△ x ， x 0x ] ))的2平 均x 变0 2 化 率 为
x
x
2x0 x
由上式可以看出，当x0取定值时，△x取不同的值， 函数的平均变化率不同，当△x取定值，x0取不同 的值时，该函数的平均变化率也不一样。 例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变 化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。
许多小段，每一小段的山坡可视为平直
的。例如，山坡DE可近似的看作线段
DE，再用对平直山坡AB分析的方法，
得到此段山路的陡峭程度可以用比值近
似y地刻画。f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
y
x
注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪
一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、
终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度y量。 f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
由此我们引出函数平均变化率的概念。
函数平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是
其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，
△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－
f(x0).
则当△x≠0时，商
f(x0x)f(x0)y
一质点运动的方程为s=1－2t2，则在
一段时间[1，2]内的平均速度为
（）
○ A．－4
B．－8
○ C． －6
D．6
C
三．将半径为R积增加△S等于（ 8 ） R R4 R2
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数平均变化率
函数平均变化率函数平均变化率是数学中的一个重要概念，用来描述函数在一定区间内的平均变化速度。
在实际应用中，平均变化率可以帮助我们理解和分析函数的变化趋势，从而做出合理的决策。
我们来看一下函数平均变化率的定义。
给定一个函数f(x)，在区间[a,b]上的平均变化率可以用以下公式表示：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f(b)表示函数在点b处的取值，f(a)表示函数在点a处的取值，b和a分别是区间的上限和下限。
这个公式的含义是，函数在区间[a,b]上的平均变化率等于函数在点b和点a处的取值之差除以区间的长度。
平均变化率可以帮助我们理解函数在某个区间内的变化趋势。
如果平均变化率为正，表示函数在该区间内递增；如果平均变化率为负，表示函数在该区间内递减；如果平均变化率为零，表示函数在该区间内保持不变。
举个例子来说明。
假设我们有一个函数f(x)表示某个商品的价格随时间的变化情况。
我们可以选择一个时间段，比如一周，来计算该时间段内商品价格的平均变化率。
如果平均变化率为正，说明商品价格在这一周内上涨；如果平均变化率为负，说明商品价格在这一周内下跌；如果平均变化率为零，说明商品价格在这一周内保持不变。
平均变化率的应用不仅仅局限于函数的变化趋势分析，还可以用来解决实际问题。
比如，我们可以利用平均变化率来计算速度、密度、增长率等。
在物理学中，速度的平均变化率等于位移的变化量除以时间的变化量；在经济学中，增长率的平均变化率等于GDP的变化量除以时间的变化量。
除了平均变化率，还有一个相关概念叫做瞬时变化率。
瞬时变化率是平均变化率的极限情况，即取区间长度趋于0的情况。
瞬时变化率可以用微分来表示，是微积分中的重要概念之一。
瞬时变化率描述了函数在某一点的变化速度，比如速度、加速度等。
总结一下，函数平均变化率是描述函数在一定区间内的平均变化速度的概念。
它可以帮助我们理解函数的变化趋势，解决实际问题。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
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函数的平均变化率一【学习目标】：1.通过实例了解函数平均变化率的意义2.掌握求函数)(x f 在0x 到x x +0之间的平均变化率 二、【学习重难点】：1. 函数平均变化率意义的理解；2. 求函数)(x f 在0x 到x x +0之间的平均变化率三、【自主学习】：1、在教材中，我们利用山坡的陡峭程度来理解函数的平均变化率，即将登山者的水平位置用来表示，竖直位置用来表示，构造出)(x f y =的函数关系。
〔1〕如果山坡是一条直线，则)(x f y =的陡峭程度用直线的来表示,为什么. 〔2〕如果山坡是曲线，则)(x f y =的陡峭程度如何表示. 2、函数的平均变化率一般地，函数)(x f y =，，记作 ，，则当商的平均变化率。
注意〔1〕0)(x x f 在处是否有意义；〔2〕y x ∆∆、的含义、求法及围； 〔3〕平均变化率的大小、符号是由谁决定四、【课探究】问题1 掌握求函数)(x f y =的平均变化率的过程与方法，并注意上述三点。
1、求函数2x y =在以下区间上的平均变化率。
〔1〕],[00x x x x ∆+∈；〔2〕]4,1[∈x变式：求()221y f x x ==+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值。
2、求函数xy 1=在],[00x x x x ∆+∈的平均变化率〔0000≠∆+≠x x x ，且〕， 思考：假设]4,1[∈x ，]4,1[-∈x 是否能求出函数的平均变化 3、求函数x y =在)0(00>=x x x 附近的平均变化率。
五、【当堂检测】1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足〔 〕A x ∆>0B x ∆< 0C ≠∆x 0D x ∆= 02、质点运动规律s= 2t +3，则当*=2，x ∆=0.1时，y ∆的值为 〔 〕 A 0.40 B 0.41 C 0.43 D 0.443、在*=1附近，取x ∆=0.3，在四个函数○1y=* ○2y=2x ○3 y= 3x ○4 y=x1中，平均变化率最大的是 〔 〕A ○1B ○2C ○3D ○4 4、函数y=x2、当自变量*由2变到23，函数值的增量y ∆为 。
5、曲线y=2x - 1 两点A 〔 2, 3〕、B 〔2+x ∆，3+y ∆〕，当x ∆=1时，割线AB 的斜率是；当x ∆=0.1时，割线AB 的斜率是。
6.甲乙二人跑步路程与实间关系及百米赛跑路程和时间关系如图〔1〕(2)所示试问〔1〕甲乙二人那个跑得快，〔27.求2=x y〔1〕x ∈；〔3〕x ∈高二数学寒假生活〔八〕瞬时速度与导数【学习目标】〔1〕通过实例分析，了解函数平均变化率与瞬时速度的关系；〔2〕理解瞬时速度的意义，会求物体运动过程*时刻的瞬时速度；〔3〕了解函数的平均变化率与瞬时速度、瞬时变化率、导数间的关系； 〔4〕掌握函数在一点处的导数的定义，以及函数在区间〔a,b 〕导函数的概念路程图二0m 100【重难点】1. 函数平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率及导数的关系。
2. 掌握函数在一点处的导数【自主学习】问题1、设在10米跳台上，运发动跳离跳台时竖直向上的速度为6.5m/s 。
当t= 2s 〔1〕运发动在时刻t 距离水面的高度为多少. (2) 求运发动在2s 至2.1s 这段时间的平均速度. (3) 求t= 2s 时的速度. 1、物体运动的瞬时瞬时速度设物体运动的路程与时间关系式)(t f s =，当时函数)(t f 在0t 到t t ∆+0之间的平均变化率趋近于常数，这个常数称称为0t 时刻的瞬时速度。
2.函数的瞬时变化率设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值相应地改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当x ∆趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率。
记作；当0→∆x 时，l → 思考：〔1〕瞬时速度和瞬时变化率一样吗.〔2〕函数)(x f 在定义域的任意一点都存在瞬时变化率吗.【课探究】结合预习问题总结出：1.函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率： 2.函数)(x f 在0x x =处的导数函数)(x f 在0x x =处的，通常称为函数)(x f 在0x x =处的导数，记作，即0'()f x =。
3.函数的导数〔1〕函数可导定义：如果)(x f y =在开区间),(b a 每一点x ，则称)(x f 在区间),(b a 可导。
〔2〕导函数定义如果)(x f y =在开区间),(b a 可导，则对在开区间),(b a 每个值x ，都对应一个，于是在区间),(b a '()f x 构成一个新的函数，把这个函数称为函数)(x f y =的导函数，记为，导函数通常简称为导数例1、火箭竖直向上发射，熄火时的速度到达100m/S ，试问熄火后多长时间火箭向上速度为0.思考与讨论：1。
火箭向上速度变为0，意味着什么.2．你能计算出此火箭熄火后上升的最大高度吗.例2、一正方形铁板在C 00时，边长为10cm 。
加热后铁板会膨胀。
当温度为C t 0时，边长变为10〔1+at 〕cm ，a 为常数。
试求铁板面积S 对温度的膨胀率 例3、求函数2x y =在*=2处的导数。
变式：求函数y=2*+1的导数。
【当堂检测】1、一名同学以40m/s 斜向上抛出一块石头，抛掷方向与水平成45o角，求石头所能到达的最高高度。
2、求函数y=a+b*+c 在*=1和*=2处的导数。
思考：如果一个函数的导数处处为0，这个函数是什么函数.3．一物体的运动方程是s =3+t 2，则在一小段时间[2, 2.1]相应的平均速度为〔〕 A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 4．设y =f (*)函数可导，则 等于〔〕A ．f ′(1)B ．不存在C ．f ′(1)D ．3f ′(1) 5．设，则等于〔〕 A ． B ．C ． D 6．假设f (*)=3x ，f ′(0x )=3，则0x 的值是〔〕A ．1B ．－1C ．±1D ．7．设函数f (*)=a*3+2，假设f ′(－1)=3，则a =__________。
8．函数y =2m*+n 的瞬时变化率是 . 9．函数在*=1处的导数是.高二数学寒假生活〔九〕导数的几何意义【学习目标】〔1〕通过实例分析，了解函数平均变化率的意义〔2〕会求函数在到之间的平均变化率；【重难点】1.重点：求函数平均变化率。
难点：求函数平均变化率。
【自主学习】1.曲线的切线及切线的斜率〔1〕如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 为.〔2〕割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点nP 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = = 2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '=.练习：求抛物线2x y =在点)9,3(的切线的斜率。
【课探究】：我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢.探究：〔1〕函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么.〔2〕将上述意义用数学式表达出来。
〔3〕根据导数的几何意义如何求曲线在*点处的切线方程. 例1、〔1〕求抛物线2x y =在点)1,1(的切线的斜率。
〔2〕求双曲线x y 1=在点)21,2(的切线方程。
变式训练1：求经过点)0,2(且与曲线xy 1=相切的直线方程。
例2、抛物线12-=x y 的一条切线平行于直线34-=x y ，求该切线的切点坐标和切线方程。
图3.1-2变式训练2：直线a x y l +=4:和曲线3223+-=x x y 相切，求切点坐标及a 的值。
例3、求曲线3x y =在点)27,3(处的切线与两坐标轴所围成的三角型面积。
【当堂检测】：1.函数()x f y =在0x x =处的导数()0x f '的几何意义是〔 〕A.0x x =处的斜率B.在点()),(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C.曲线()x f y =在点()),(00x f x 处的切线斜率；D.点()()00,x f x 与点)0,0(连线的斜率 2.假设函数()x f 的导数为()x x f sin -='，则函数图象在点())4,4(f 处的切线的倾斜角是〔 〕A. 90 B.0 C.锐角 D 钝角3.曲线12-=x y 和其上一点，这一点的横坐标为1-，求曲线在这点的切线方程。
高二数学寒假生活〔十〕导数的运算一、【学习目标】：1、掌握根本初等函数的导数公式。
能应用根本初等函数的导数解决有关问题。
2、了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导。
掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
3、培养学生归纳、探求规律的能力。
二、【学习重、难点】：重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进展探究。
掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。
学生对积和商的求导法则的理解和运用。
三、【自主学习】复习引入：1、按定义求导数有哪几个步骤. 2、用导数定义求函数()y f x =的导数。
知识梳理：〔1〕用定义求函数y=1x、 练习：用定义求函数〔1〕y=C (2)y=* 〔3〕y=2x 〔4〕y=3x 的导数。
函数和〔或差〕的求导法则：函数积的求导法则： 函数商的求导法则： 【合作探究】： 1． 怎样求y=1nx 的导数. 2． 复合函数求导时应注意什么问题. 例1：求以下函数的导数：(*>o) 〔3〕y=6x -练习：1、求以下幂函数的导数〔1〕y=15x 〔2〕y=54x (*>0) 〔3〕y=23x -例2：质点运动方程是S=51t ，求质点在t=2时的速度 例3：求以下函数的导数(1)y=0a nx +1a 11n a x -+…+1n a x -+n a 〔2〕y=*sin* 〔3〕y=tan*〔4〕y=sin2*练习：求以下函数的导数〔1〕y=7x +6x -35x 〔2〕y=3x -cos* 〔3〕y=〔53x -7〕〔3*+8〕〔4〕y=sin xx例4：可导函数y=〔u 〕,且u=a*+b 〔a,b 为常数，a ≠0〕，求dy dx小结：练习：〔1〕y=2(35)x +〔2〕y=sin 〔3*+5〕〔3〕y=〔2(x +4〕y=ln(54)x +〔5〕y=213x -四、当堂检测：1、求以下函数的导数：〔1〕y=*+1x - 〔2〕y=22cos x x + 〔3〕2(32)(5)x x +-〔4〕y=21x x + 〔5〕y=22(54)x - 〔6〕y=34(35)x -2、抛物线y=235x x +-，求此抛物线在点〔3，13〕处的切线方程。