全等三角形压轴题分类解析(供参考)

B A

O D

C

E

图2

三角形全等综合题归类

一、 双等边三角形模型

1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

2、 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点

（1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD

BE 是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． C B

O D

图

A E

4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接

5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

C

F G E D

B

A

H

6.已知：如图，ABC

△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC

∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB

=，连接AE CD

，．

（1）求证：AGE DAC

△≌△；

（2）过点E作EF DC

∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF

△是怎样的三

角形，试证明你的结论．

C

G

A

E

D

B F

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：利用垂直证明角相等

1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 说明理由。3. 直线CD经过BCA

∠的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα

∠=∠=∠．

（1）若直线CD经过BCA

∠的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若

90,90

BCAα

∠=∠=，则EF BE AF

-

（填“>”，“<”或“=”号）；

②如图2，若0180

BCA

<∠<，若使①中的结论仍然成立，则α

∠与BCA

∠应满足的关系；（2）如图3，若直线CD经过BCA

∠的外部，BCA

α

∠=∠，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

考点2：利用角相等证明垂直

1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

2、如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

A

B

C

E

F D

D

A

B

C

E F

A

D

F

C

E

B

图1 图2 图3

A B

C

D

E

F

3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，

EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量

关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. l

(1)

A B

(F) (E)

C P A

B

E

C F P

Q

(2)

l

A

B

E

C F

P l

(3

Q