第四章习题与复习题详解(线性空间)高等代数

习题5. 1

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

答 是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkRo其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

答 是. 设,R.

因为,abRababR,

,RaRaaRo,

所以R对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律

(1) ababbaba;

(2)()()()()()abcabcabcabcabcabc;

(3) R中存在零元素1, aR, 有11aaa;

(4) 对R中任一元素a，存在负元素1naR, 使111aaaa;

(5)11aaao; (6)aaaaaoooo;

(7) aaaaaaaaooo;

(8)()().ababababababoooo

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

答 否.

,()ABABBABABAABABBAQ ABBA与不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

答 否.

121123123345例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.

习题5.2

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

解 设11223344xAxAxAxAO,

即12341234123412340000axxxxxaxxxxxaxxxxxax . 由系数行列式3111111(3)(1)111111aaaaaa

知, 31 , , aa且时方程组只有零解这组向量线性无关；

3 1 , , aa或 时方程组有非零解这组向量线性相关.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

解 设11223344xxxx

由1234100110010111MMMMM2111301010001010000010100010MMMM初等行变换 得13. 故向量1234在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

解 设11223344xxxx

则有123412341234123402030040007xxxxxxxxxxxxxxxx.

由1011210007111030100111100400102110007000130MMMMMMMM初等行变换

得12347112130.故向量1234在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）.

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11

（Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.

解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 321321,,,, C

即123111234100143111C, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C.

（2）首先计算得11322201013122C,

于是 在基321,, 下的坐标为131200112C.

（3） 在基321,, 下的坐标为171123C.

(4) 设在基321,, 下的坐标为123yyy, 据题意有234010101123yyy123yyy,

解此方程组可得123yyy=043kk，为任意常数.

231430,7kkkk为任意常数.

5．已知P[x]4的两组基

（Ⅰ）：2321234()1()()1()1fxxxxfxxxfxxfx，，，

（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1gxxxxxxxxxxxxx，g，g，g

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).

解 ( 1 ) 设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 12341234,,,,,,ggggffffC 有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000xxxxxxC，.

10110111100011101110101101000011 11001101001001121000111000011113MMMMQMMMM初等行变换

1110001101121113C.

（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)Txxxx.

据题意有111222333444 ()xxxxxxCCExxxxxx0 （*）

因为01101101100111111001101021021021112CE

所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T ，所以f(x) = 0

习题5.3

证明线性方程组

1234512345123453642022353056860xxxxxxxxxxxxxxx

的解空间与实系数多项式空间3[]Rx同构.

证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.

316421568622353043751568600000A初等行变换 ()2()3RARAQ线性方程组的解空间的维数是5-.

实系数多项式空间3[]Rx的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]Rx同构.

习题5.4

1． 求向量1,1,2,3 的长度.

解 22221(1)2315.

2． 求向量1,1,0,12,0,1,3与向量之间的距离.

解 (,)d2222(12)(10)(01)(13)7.

3．求下列向量之间的夹角

（1） 10431211,,,，,,,

（2） 12233151,,,，,,,

（3）1,1,1,2311,0，，，

解（1）,1(1)02413(1)0,,2aQ.

（2）,1321253118Q,

22222222122318,31516,

18,arccos4618.

（3）,13111(1)203Q,

11147 , 911011,

3,arccos77.

3． 设，,为n维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)ddd.

证明 因为22(,)