第四章习题与复习题详解(线性空间)高等代数

习题5. 1

1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

答是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkRo其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

答是. 设,R.

因为,abRababR,

,RaRaaRo,

所以R对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律

(1) ababbaba;

(2)()()()()()abcabcabcabcabcabc;

(3) R中存在零元素1, aR, 有11aaa;

(4) 对R中任一元素a，存在负元素1naR, 使111aaaa;

(5)11aaao; (6)aaaaaoooo;

(7) aaaaaaaaooo;

(8)()().ababababababoooo

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

答否.

,()ABABBABABAABABBAQ ABBA与不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

答否.

121123123345例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.

习题5.2

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

解设11223344xAxAxAxAO,

即12341234123412340000axxxxxaxxxxxaxxxxxax . 由系数行列式3111111(3)(1)111111aaaaaa

知, 31 , , aa且时方程组只有零解这组向量线性无关；

3 1 , , aa或时方程组有非零解这组向量线性相关.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

解设11223344xxxx

由1234100110010111MMMMM2111301010001010000010100010MMMM初等行变换得13. 故向量1234在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

解设11223344xxxx

则有123412341234123402030040007xxxxxxxxxxxxxxxx.

由1011210007111030100111100400102110007000130MMMMMMMM初等行变换

得12347112130.故向量1234在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）.

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11

（Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2）已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3）已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量.

解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 321321,,,, C

即123111234100143111C, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C.

（2）首先计算得11322201013122C,

于是 在基321,, 下的坐标为131200112C.

（3） 在基321,, 下的坐标为171123C.

(4) 设在基321,, 下的坐标为123yyy, 据题意有234010101123yyy123yyy,

解此方程组可得123yyy=043kk，为任意常数.

231430,7kkkk为任意常数.

5．已知P[x]4的两组基

（Ⅰ）：2321234()1()()1()1fxxxxfxxxfxxfx，，，

（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1gxxxxxxxxxxxxx，g，g，g

（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).

解 ( 1 ) 设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 12341234,,,,,,ggggffffC 有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000xxxxxxC，.

10110111100011101110101101000011 11001101001001121000111000011113MMMMQMMMM初等行变换

1110001101121113C.

（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)Txxxx.

据题意有111222333444 ()xxxxxxCCExxxxxx0 （*）

因为01101101100111111001101021021021112CE

所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T ，所以f(x) = 0

习题5.3

证明线性方程组

1234512345123453642022353056860xxxxxxxxxxxxxxx

的解空间与实系数多项式空间3[]Rx同构.

证明设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.

316421568622353043751568600000A初等行变换 ()2()3RARAQ线性方程组的解空间的维数是5-.

实系数多项式空间3[]Rx的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]Rx同构.

习题5.4

1．求向量1,1,2,3 的长度.

解 22221(1)2315.

2．求向量1,1,0,12,0,1,3与向量之间的距离.

解 (,)d2222(12)(10)(01)(13)7.

3．求下列向量之间的夹角

（1） 10431211,,,，,,,

（2） 12233151,,,，,,,

（3）1,1,1,2311,0，，，

解（1）,1(1)02413(1)0,,2aQ.

（2）,1321253118Q,

22222222122318,31516,

18,arccos4618.

（3）,13111(1)203Q,

11147 , 911011,

3,arccos77.

3．设，,为n维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)ddd.

证明因为22(,)

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线性代数第四版课后习题答案

线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组

1.1 习题答案：

1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：

2x + 3y + z = 7

4x + 2y + 5z = 4

3x + 4y + 2z = 5

解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：

1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：

x - 2y + 3z = 1

2x + y + z = 2

3x + 4y - 5z = -1

解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数

2.1 习题答案：

1. 解：设矩阵A为： 1 2

3 4

5 6

则A的转置矩阵为：

1 3 5

2 4 6

2.2 习题答案：

1. 解：设矩阵A为：

1 2

3 4

则A的逆矩阵为：

-2 1

3/2 -1/2

第三章：向量空间

3.1 习题答案：

1. 解：设向量v为：

则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：

1. 解：设向量v为： 1

则v的单位向量为v/||v||，即：

1/sqrt(14)

2/sqrt(14)

3/sqrt(14)

第四章：线性变换

4.1 习题答案：

1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：

T(x, y) = (y, -x)

高等代数第四章矩阵练习题参考答案

第四章矩阵习题参考答案

一、判断题

1. 对于任意n阶矩阵A,B,有ABAB.

错.

2. 如果20,A则0A.

错.如211,0,011AAA但.

3. 如果2AAE,则A为可逆矩阵.

正确.2()AAEAEAE,因此A可逆,且1AAE.

4. 设,AB都是n阶非零矩阵,且0AB,则,AB的秩一个等于n,一个小于n.

错.由0AB可得()()rArBn.若一个秩等于n,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.

5．CBA,,为n阶方阵,若,ACAB 则.CB

错.如112132,,112132ABC,有,ACAB但BC.

6．A为nm矩阵,若,)(sAr则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使.000sIPAQ

正确.右边为矩阵A的等价标准形,矩阵A等价于其标准形.

7．n阶矩阵A可逆,则*A也可逆.

正确.由A可逆可得||0A,又**||AAAAAE.因此*A也可逆,且11(*)||AAA.

8．设BA,为n阶可逆矩阵,则.**)*(ABAB 正确.*()()||||||.ABABABEABE又

()(**)(*)*||*||*||||ABBAABBAABEABAAABE.

因此()()*()(**)ABABABBA.由BA,为n阶可逆矩阵可得AB可逆,两边同时左乘式AB的逆可得.**)*(ABAB

二、选择题

1．设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵()TBB,则下列矩阵中为反对称矩阵的是B .

A ABBA B ABBA C 2()AB D BAB

AD为对称矩阵,B为反对称矩阵,C当,AB可交换时为对称矩阵.

2. 设A是任意一个n阶矩阵,那么 A是对称矩阵.

线性代数第四章线性方程组复习题(32课时)

第 1 页（共 6 页）第四章线性方程组复习题

一、填空题：

1. 设矩阵A=0 00000 10100 0101，则矩阵A的秩为，线性方程组OXA的基础解系的向量个数为 .

2. 若A为nm矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是_________.

3. 若A为nm矩阵，则齐次线性方程组0AX有非零解的充分要条件是_________.

4. 设A为n阶方阵，且1)(nAr， 21,是AX=0的两个不同解，则21，一定

线性

5.设123456333A，则齐次线性方程组0Ax 的基础解系所含向量个数为_____ ___。

6．在n元齐次线性方程组0Ax中，若秩(),RAk 且12,,,r是它的一个基础解系，则r= ___ 。

二、选择题：

1. 当( )时，齐次线性方程组02020kxzxkyzkxyz，仅有零解

(A) 0k (B) 1k (C) 2k (D) 2k

2..设A为nm矩阵,0b,且nAr)(,则线性方程组bAx___ .

第 2 页（共 6 页）（A). 有唯一解；（B). 有无穷多解；（C). 无解；（D). 可能无解。

3. 当( )时，齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx，有非零解

(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或2

4. 设A为n阶方阵，且秩12()1.,An是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX0的通解为( )

东北大学线性代数第四章课后习题详解线性方程组

基本教学要求：

1.理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件.

2.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.

3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.

4.掌握用线性方程组的初等变换求通解的方法.

第四章线性方程组

一、线性方程组

1. 线性方程组的表示形式

(1)代数形式 11112121nn12112222nn2m11m22mnnmaxaxaxb,axaxaxb,axaxaxb. (4.1)

记

11121n21222n12nm1m2mnaaaaaaA,,,aaa

11121n121222n212nm1m2mnmaaabA aaabB,,,,aaab

(2)矩阵形式

Ax. (4.2)

(3)向量形式

1122nnxxx. (4.3)

2. 基本概念

非齐次线性方程组——当(4.1)式中的12mb,b,,b不全为零.

齐次线性方程组——当(4.1)式中的12mb,b,,b全为零.

线性方程组的解(解向量)——使(4.1)式成立的12nx,x,,x的一组取值12nc,c,,c(T12n(c,c,,c)).解线性方程组(4.1)是指求解的集合(简称解集合).

同解线性方程组——解集合完全相同的线性方程组.

系数矩阵/增广矩阵——由变量前的系数构成的矩阵A/由变量前的系数与右端常数构成的矩阵B.

线性方程组的初等变换——互换两个方程的位置；

用一个不为零的数乘某个方程；

某个方程的倍数加到另一个方程.

二、解线性方程组

解线性方程组涉及三个问题：1.解的存在性问题；2.解的数目问题；3.解的结构问题.

1. 解的存在性问题(P86)

高等代数第三版习题答案

高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。

第一章：线性空间

习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。

- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1,

1)不在集合中。

习题2：证明线性空间的基具有唯一性。

- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =

c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。

第二章：线性变换

习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y,

x - y, z)的核和像。 - 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。设(x, y, z) ∈

N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。因此，核是一维的，由向量(0, 0,

1)生成。

习题2：证明线性变换的复合是线性的。

- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。对于任意的v1,

v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S

高等代数复习题

高等代数重修复习

一．填空题

1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 . 2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 01

5.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .

6．已知3阶矩阵A的特征值为 1,1,2，则2A 2A的特征值为2 1

7.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1

P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为

8.设 1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i

1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n

则A在基 1, 2, , n下的矩阵为， A的值域为，A的核为

9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则 , ，(A ,A )= .

10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中， 1 (__)， 2 (5031)，则 1, 2的夹角 1,

2 为。

12.设线性变换A:V V在基 1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。

二．单选题

1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）

(A)A B也是正交矩阵 (B) kA也是正交矩阵

(C)AB也是正交矩阵 (D) PAP也是正交矩阵

2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）

2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1

高等代数习题及答案

高等代数习题及答案 1 / 5

高

等

代

数

试

卷

一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”

，错的打“×”；每题

1 分，

共 10分）

1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。（）

2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。（）

3、实二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。（）

4、 W x1 , x2 , x3 xi R, i 1,2,3; x1 x2 x3 是线性空间 R3 的一个子空间。（）

5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。（）

6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指

数和负惯性指数。（）

7、零变换和单位变换都是数乘变换。（）

8、线性变换的属于特色根 0 的特色向量只有有限个。（）

9、欧氏空间 V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对

称矩阵。（）

n n

10、若 1, 2, , n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且 xi i ，那么 xi2 。

i 1 i 1

（）

二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干

后边的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每题 1 分，共 10 分）

1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（）

① f n x , g n x f x , g x n ；

② f1 , f 2 , , f n 1 f i , f j 1, i j ,i , j 1,2, , n ；

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A=󰀇

00󰀈

,B=󰀇

01󰀈

,|A+B|=1,|A|=0,|B|=0.

|A+B|=|A|+|B|.

2A=󰀇

00󰀈

,A2=0,A=0.

3A(E+A)=EA

4A=󰀇

00󰀈

,B=󰀇

00󰀈

,AB=0,rank(A)=1,rank(B)=

1,A,B2.

1B2A3C4A5D6B7B8C9D10A

11D12A13C14D15D16B17C18C19C20D

21C22C23D24C25C26A27A28A

1−1

35,9

3m×s,n󰀉

k=1a

jkb

4

1

001

an1

a20···00

...···············

000···19

104

11(−1)mnab

122

13I

1 单元练习：线性方程组部分

一、填空题每空 1分，共 10分

1．非齐次线性方程组 AZ = b（A 为 m×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是

____________。

2．n+1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组

3 2 1 , , a a a 线性无关，则常数 l, m 满足____________时，向量组

3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a - - - m l 线性无关。

4．设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为零，且 r (A) = n－1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组

3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组

3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b，r (A) = 3，

3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中

T T ) 3 , 1 , 0 , 1 ( , ) 2 , 0 , 2 , 1 (

3 2 2 1 = + = + h h h h ，则齐次线性方程组的通解为

习题与复习题详解线性空间高等代数

习题5. 1

1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

答是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘; 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n阶实对称矩阵的性质知;n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵;数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵; 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭; 构成实数域上的线性空间.

2．全体正实数R+; 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkR其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

答是. 设,R.

因为,abRababR;

,RaRaaR;

所以R对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律 1 ababbaba;

2()()()()()abcabcabcabcabcabc;

3 R中存在零元素1; aR; 有11aaa;

4 对R中任一元素a;存在负元素1naR; 使111aaaa;

511aaa; 6aaaaa;

7 aaaaaaaa;

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵;其加法定义为

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

答否.

ABBA与不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则１; 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在22P中;2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

答否. 121123123345例如和的行列式都为零，但的行列式不为零; 也就是说集合对加法不封闭.

高等代数第四章线性变换

第四章线性变换

习题精解

1．判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是：

1 在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量；

2 在线性空间V中,A其中V是一固定的向量；

3 在P3中,A),,(),,(233221321xxxxxxx；

4 在P3中,A),,2(),,(13221321xxxxxxxx；

5 在Px中,A)1()(xfxf

6 在Px中,A),()(0xfxf其中0xP是一固定的数；

7 把复数域上看作复数域上的线性空间, A

8 在Pnn中,AX=BXC其中B,CPnn是两个固定的矩阵.

解 1当0时,是;当0时,不是.

2当0时,是;当0时,不是.

3不是.例如当)0,0,1(,2k时,kA)0,0,2()(, A)0,0,4()(k,

A)(k kA).

4是.因取),,(),,,(321321yyyxxx,有

A)(= A),,(332211yxyxyx

=),,22(1133222211yxyxyxyxyx

=),,2(),,2(1322113221yyyyyxxxxx

= A+ A

A)(k A),,(321kxkxkx

),,2(),,2(1322113221kxkxkxkxkxkxkxkxkxkx

= kA)(

故A是P3上的线性变换.

5 是.因任取][)(],[)(xPxgxPxf,并令

)()()(xgxfxu则

A))()((xgxf= A)(xu=)1(xu=)1()1(xgxf=A)(xf+ A))((xg

再令)()(xkfxv则A))((xkf Akxkfxvxv)1()1())((A))((xf

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